数学必修五-三角函数应用举例-教学设计

数学必修五-三角函数应用举例-教学设计

数学必修五三角函数应用举例教学设计

教学分析

本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．

本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．

本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．

三维目标

1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解

决实际问题．

2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．

重点难点

教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．

教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．

思路2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．

推进新课

新知探究

提出问题

1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两

边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？

2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法

？

3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达

，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？

4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？

5解决实际问题的一般程序是什么？

活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．

对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？

图1

图2 教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．

在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．讨论结果：

(1)～(4)略．

(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．

应用示例

例1(教材问题1)

活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底

部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．

点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3 m的误差，可让学生分析误差产生的原因．

变式训练

如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)

解：如下图，在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.

根据正弦定理，

BC

sinα－β

＝

AB

sin90°＋β

，

所以AB＝BCsin90°＋β

sinα－β

＝

BCcosβ

sinα－β

.

解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝BCcosβsinα

sinα－β

.将测量数据代入上式，

得

BD＝27.3cos50°1′sin54°40′

sin54°40′－50°1′

＝

27.3cos50°1′sin54°40′

sin4°39′

≈177(m)，

CD＝BD－BC≈177－27.3≈150(m)．

答：山的高度约为150 m.

例2(教材问题2)

活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．

点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？

变式训练

如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )

A．α，a，b B．α，β，a

C．a，b，γ D．α，β，b

答案：C

解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.

例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.

活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什

么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．

解：在△AB C中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，

根据正弦定理，

BC

sinA

＝

AB

sinC

，BC＝

ABsinA

sinC

＝

5sin15°

sin10°

≈7.452 4(km)，

CD＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m)．

答：山的高度约为1 047 m.

点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．

知能训练

1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A和B，观测对岸标记C点，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河宽为__________ m.

答案：20(3＋3)

解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，知

AB sin∠ACB ＝

AC

sin75°

，

∴AC＝sin75°

sin60°

·120＝20(32＋6)．

在Rt△ACD中，CD＝ACsin45°＝20(3＋3)，

即河的宽为20(3＋3) m.

2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝__________.

答案：156米

解析：在△DBC中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得

CD

sin∠CBD

＝

BC

sin∠BDC

，

∴BC＝30sin30°

sin135°

＝15 2.

在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝152×3＝156(米)，

即塔高为156米．

课堂小结

先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？

在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步

的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速

解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，

需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．

作业

课本本节习题1—2A 组1、2、3.

设计感想

本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相

结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知

识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变

过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让

学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．

本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死

记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一

重点，不在一些细枝末节上浪费时间．

通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师

要在规范步骤等方面加以关注．

备课资料

一、拓展资源

1．利用余弦定理证明正弦定理

在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，c 2＝a 2＋b 2

－2abcosC ，求证：a sinA ＝b sinB ＝c sinC

. 证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc

， ∴sin 2A ＝1－cos 2A ＝1－b 2＋c 2－a 2

22bc 2＝2bc 2－b 2＋c 2－a 222bc 2

＝2bc ＋b 2＋c 2－a 22bc －b 2－c 2＋a 2

4b 2c 2＝

b＋c＋a b＋c－a a＋b－c a－b＋c

4b2c2

.

∴

a2

sin2A

＝

4a2b2c2

a＋b＋c－a＋b＋c a＋b－c a－b＋c

.

记该式右端为M，同理可得

b2

sin2B

＝M，

c2

sin2C

＝M，

∴

a2

sin2A

＝

b2

sin2B

＝

c2

sin2C

.

∴a

sinA ＝

b

sinB

＝

c

sinC

.

2．如图，P为△ABC内的一点，且∠PAB＝∠P BC＝∠PCA＝θ，记BC＝a，

CA＝b，AB＝c，求证：

1

sin2θ

＝

1

sin2A

＋

1

sin2B

＋

1

sin2C

.

证明：在△PAC中，由正弦定理，得

AP

sinθ

＝

b

sin∠APC

.

∴∠APC＝180°－θ－(A－θ)＝180°－A.

∴

AP

sinθ

＝

b

sinA

.

从而S

△PAB ＝

1

2

c·APsinθ＝

1

2

c·

bsinθ

sinA

·sinθ＝

1

2

bcsinA·

sin2θ

sin2A

＝

S

△ABC ·

sin2θ

sin2A

.

同理可得S

△PBC

＝S

△ABC

·

sin2θ

sin2B

，S

△PCA

＝S

△ABC

·

sin2θ

sin2C

.

相加后即得S

△ABC

＝S

△ABC

(

sin2θ

sin2A

＋

sin2θ

sin2B

＋

sin2θ

sin2C

)．

∴

1

sin2θ

＝

1

sin2A

＋

1

sin2B

＋

1

sin2C

.

二、备用习题

1．在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，

则塔高为( )

A．20(1＋

3

3

) m B．20(1＋3) m

C．10(6＋2) m D．20(6＋2) m

2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )

A．a，c，α B．b，c，α

C．c，α，β D．b，α，β

3．如图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A点离地面的高AB等于 ( )

A.

asinαsinβ

cosβ－α

B.

asinαsinβ

sinβ－α

C.

asinαcosβ

sinβ－α

D.

acosαcosβ

cosβ－α

4．如图，有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡

顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( ) A．5 m B．10 m C．102 m D．10 3 m

5．如下图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，

已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测

得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)

6．如下图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得A点的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB.

参考答案：

1．B 解析：如图，AB为楼，CD为塔，AM为水平线，则有AB＝20.

∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，

∴MD＝20，AM ＝20，CM ＝20 3. ∴CD＝20(1＋3)(m)．

2．D 解析：由α，β，b 可利用正弦定理求出BC.

3．B 解析：在△ABC 中，CD ＝a ，∠DAC＝β－α，

由正弦定理，得a sin β－α＝AC sinα

， ∴AC＝asinαsin β－α.

在Rt△ABC 中，AB ＝AC·sinβ＝asinα·sinβsin β－α

. 4．C 解析：在△ABC 中，由正弦定理，可知

x sin45°＝10sin30°，∴x＝10 2 m.

5．解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD ＝6 000 m ，

∠ACD＝45°，

由正弦定理，有AD ＝CD sin45°sin60°＝63

·CD. 同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD ＝6 000，∠BCD

＝30°.

由正弦定理，有BD＝CDsin30°

sin135°

＝

2

2

CD.

又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理，得

AB＝AD2＋BD2＝

6

3

2＋

2

2

2·CD＝

42

6

CD＝1 00042 m.

答：炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m. 6．解：设AB的高为x.∵AB与地面垂直，∴△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形．

∴BM＝x·cot30°＝3x，BN＝x·cot45°＝x，BP＝x·cot60°＝

3

3

x.

在△MNB中，BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cos∠MNB，在△PNB中，BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cos∠P NB，又∵∠BNM与∠PNB互补，MN＝NP＝500，

∴3x2＝250 000＋x2－2×500x·cos∠MNB，①

1

3

x2＝250 000＋x2－2×500x·cos∠PNB.②

①＋②，得10

3

x2＝500 000＋2x2，∴x＝2506(m)．

答：塔高AB为250 6 m.

第2课时

导入新课

思路1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．

思路2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能

否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．

推进新课

新知探究

提出问题

1回忆前面是如何测量距离和高度的？

2在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他

边的？

3回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.

4日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保

轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？

活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．

三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．讨论结果：

(1)～(4)略．

应用示例

例1(教材问题3)

活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．

点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，

然后用正弦定理解决．

变式训练

有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的

绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．

解：如图所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记为CE →、CF →，

重力记为CG

→.

由C 为绳子的中点，知|CE

→|＝|CF →|. 由CE →＋CF →＝CG

→，知四边形CFGE 为菱形． 又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2

102＋0.22

≈0.02， ∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos∠FCG ＝8.90.02

＝445， 即绳子所受的张力为445 N.

例2如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后

到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0. 1°，距离精确到0.01 n mile)

活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．

解：在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC

＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°

≈113.15.

根据正弦定理，

BC

si n∠CAB

＝

AC

sin∠ABC

，

sin∠CAB＝BCsin∠ABC

AC

＝

54.0sin137°

113.15

≈0.325 5，

所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.

答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.

点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．