A运算的意义
2 3
1.填一填 200+80=（ ） 0.5 ×4=（ ）
280－80=（
）
2 ÷ 0.5=（
2 ÷ 4 =（
）
）
280 －200=（ ） 2.根据题意列式
（1）2.5的10倍是多少？（2）3.2是0.4的几倍？
（3）160的25%是多少？
……
+
50 加数
……
=
130 和
……
130 130
－ －
50 80
= =
80 50
小 结 ： 减 法 是 加 法 的 逆 运 算 。
乘除法关系
2.5 因数
……
×
4 因数
……
=
10 积
……
10 10
÷ ÷
2.5 4
= =
4 2.5
小 结 ： 除 法 是 乘 法 的 逆 运 算 。
4、举例说明加法各部分之间有什么 关系。减法、乘法、除法呢？
2.
国际长途 每分7.2元
国内长途 每分0.7元
打了12分，应 答：应付8.4元。 我打了27 分市话，一 共花了5.4 元。 市话每分多少钱呢？ 5.4÷27=0.2（元）
答:市话每分钟0.2元。
43.2元
打了多长时间呢？
43.2÷7.2 = 6（分）
答：打了6分钟。
你用什么方法来计算呢？为什么？
算式：１２０－６５＝５５（只） 答：还要折５５只纸鹤．
减法的意义：已知两个数的和和其中的一个加数，求另 一个数的运算．
口头说算式：
１．六年级有男生７７人，女生５９人，六年级一 共有学生多少人？ 算式：７７＋５９ ２．六年级有男生７７人，女生５９人，六年级 男生比女生多多少人？（女生再添上几人就 与男生同样多？） 算式：７７－５９
除法
已知两个因数的积 与其中一个因数， 求另一个因数的运 算。
巩固与应用
1. 2006年第15届亚运会奖牌榜
（1）.请将奖牌榜补充完整。 （2）.你还能提出那些问题？尝试回答。
排名 1 2 3
代表团 中国 韩国 日本
金牌 165 58 50
银牌 88 53
71
铜牌 63 82 77
总数 316 193 198
1 我们用彩带中的 1 捆扎礼品盒，用 3 扎蝴蝶结． 2
我拿了18 米的彩带
1.扎礼品盒用了多少米彩带？
1 18× =6(米) 3
+
答：扎礼品盒用了6 米．
求一个数的几分之几是多少用乘法计算．
1 我们用彩带中的 1 捆扎礼品盒，用 3 扎蝴蝶结． 2
我拿了18 米的彩带
2.扎蝴蝶结用了多少米彩带？
北师大版六年级数学下册总复习第49-50页
教学目标
1.结合具体情境，体会四则运算的意义.
2. 体会加与减、乘与除法互逆关系。
• 1.庆祝 “六一”
我折了39只红 色的纸鹤
装饰教室一共需要 120只纸鹤
我折了26只蓝 色的纸鹤
你能提出哪些数学问题？
1.一共折了多少只纸鹤？ 3.红色的纸鹤比蓝色的纸鹤多多
开联欢会需要 ５２瓶饮料，每 瓶两元
一共需要多少钱？ 算式：５２×２＝１０４（元）
（求５２个２是多少）
答：一共需要１０４元．
根据以上信息你能提出哪些 数学问题？使用哪种运算？ 为什么？
开联欢会需要 52瓶饮料，每瓶 1.5元 一共需要多少钱？
算式：５２×1.5＝78（元）
（求５２个1.5是多少）
1 18× =9(米) 2
+
答：扎礼品盒用了9 米．
求一个数的几分之几是多少用乘法计算．
1 我们用彩带中的 1 捆扎礼品盒，用 3 扎蝴蝶结． 2
我拿了18 米的彩带
3.还剩多少米彩带？ 18－6－9=3（米） 答：还剩3米．
我们班有48个同 学，做游戏时平 均分成４个组．
平均每组多少人？
48÷4=12(人) 答：平均每组12人．
举例说明加法各部分之间的关系：
2 + 8=10 8 2 = = 10 - 2 10 - 8
加数＋加数=和
一个加数=和－另一个加数
举例说明减法各部分之间的关系：
100 - 30=70 被减数-减数=差 100=70+30 被减数=减数＋差 30 = 减数= 100 - 70 被减数-差
举例说明乘法各部分之间的关系：
7 × 8 = 56 7 = 56 ÷ 8 一个因数=积 8 = 56 ÷ 7 ÷另一个因数
因数 ×因数=积
举例说明除法各部分之间的关系：
24 ÷ 4 = 6
被除数÷除数=商
4 = 24 ÷ 6
除数=被除数÷商
24 = 6 × 4 被除数=商× 除数
意义 运算名称
数的 范围
整数
小数
分数
加法
把两个数合并成一 个数的运算。
与整数加法的 意义相同。
与整数加法 的意义相同。
减法
已知两个数的和与 其中一个加数求另 一个加数的运算。 求几个相同加数的 和的简便运算。
与整数减法的 意义相同。
与整数减法 的意义相同。
乘法
一个数与小数相乘， 可看作是求这个数的 十分之一、百分之一 ……是多少。
与整数除法的 意义相同。
一个数与分数相 乘，可看作是求 这个数的几分之 几是多少。 与整数除法的 意义相同。
一套衣服原 价400元， 现在打6折 出售，现价 多少元？
1.求几个相同加数和的简便运算，用乘法。 2.求一个数的几倍是多少，用乘法。 3.求一个数的几分之几（或百分之几） 是多少，用乘法。 4.求几何图形的面积、体积等。
3、举例说明加法和减法之间有什 么关系。乘法和除法呢？
加减法关系
80 加数
少个？ 2.还要折多少只纸鹤？
4.蓝色的纸鹤比红色的纸鹤少 多少个？
使用了哪些运算
我们提出的问题：
１．两个同学一共折了多少只纸鹤？
你用什么方法来计算呢？为什么？
算式：３９＋２６＝６５（只） 答：两个同学一共折了６５只纸鹤．
加法的意义：把两个或两个以上的数合并成 一个数的运算．
我们提出的问题：
２．还要折多少只纸鹤？
3.为支援灾区的学生学习，实验小学开展了捐书活动。
四年级捐120本
五年级比四年级多捐60本
（1）五、六年级各捐多少本？ （2）五年级捐书的本数是四年级的几倍？
六年级捐的本数 是五年级的3倍
（3）六年级捐书的本数正好是二年级的5倍， 二年级捐书多少本？
4、请你分别根据下面的算式，提出一个可以 用该算式解决的实际问题。
（4）一个数的5倍是1.25，这个数是多少？
（5）两个因数的积是4.5，其中一个因数是0.5，另 一个因数是多少？
你能说出下面各题分别用什么方法运算 1.小红家买电视用了1200元，买洗衣机用了 800元，买电脑用了4000元，本次买家电一共 用了多少元？ 2.100元买了25千克大米，每千克多少元？
除法的意义：已知两个因数的积和其中的一个因数， 求另一个因数的计算．
根据以上信息你能提出哪些 数学问题？使用哪种运算？ 为什么？
2.举例说明生活中哪些地方会用到乘法运算。其他运算呢？
六年级平均每 班有38人，一共有 6个班，六年级一 共有多少人？ 教室长8米， 宽6米，教室的 面积是多少？
我们班喜欢 踢球的有8人，喜 欢跳绳的人数是 喜欢踢球人数的 1.5倍，喜欢跳绳 的有多少人？
答：一共需要78元． 乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算．
根据以上信息你能提出哪些 数学问题？使用哪种运算？ 为什么？
我们用彩带中的
1 捆扎 3
1
礼盒礼品盒，用 扎蝴 2 蝶结。 我拿来了 18米的彩 带。
开联欢会需要52瓶 饮料，每瓶1.5元。
1.扎礼品盒用了多少米彩带？ 2.扎蝴蝶结用了多少米彩带？ 3.还剩下多少米彩带？
向量的加法及几何意义
向量加法运算及其几何意义我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？1．向量的加法(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__．(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量 AC →叫做向量a 与b 的和，记作a ＋b .这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则．(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a 、b (如图乙所示)，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB →、AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则向量 AC →＝a ＋b ，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．[知识点拨]向量加法的平行四边形法则和三角形法则(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．(3)向量求和的多边形法则①已知n 个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n 个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －2A n －1＋A n －1A n ＝A 0A n →②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2．向量加法的交换律已知向量a 、b ，如图所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，如果A 、B 、C 不共线，则AC →＝a ＋b ． 作AD →＝b ，连接DC ，如果我们能证明DC →＝a ，那么也就证明了加法交换律成立． 由作图可知，AD →＝BC →＝b ，所以四边形ABCD 是平行四边形，这就证明了DC →＝a ，即a ＋b ＝b ＋a .向量的加法满足交换律．3．向量加法的结合律如图，作AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，由向量加法的定义，知AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，BD →＝BC →＋CD →＝b ＋c ，所以AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝a ＋(b ＋c )． 从而(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即向量的加法满足结合律．[知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律： 一质点从点A 出发，①先走过的位移为向量a ，再走过的位移为向量b ，②先走过的位移为向量b ，再走过的位移为向量a ，则方案①②中质点A 一定会到达同一终点．2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a ＋b )＋(c ＋d )＝(b ＋d )＋(a ＋c )；a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝[d ＋(a ＋c )]＋(b ＋e )．1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( C )A ．AB →＝DC →B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →＝BD →＋AD → D ．AD →＋CB →＝0[解析] 因为AB →＝AD →＋DB →≠BD →＋AD →，所以，C 错误． 2．化简PB →＋OP →＋BO →＝ 0 ．[解析] PB →＋OP →＋BO →＝(OP →＋PB →)＋BO →＝OB →＋BO →＝0．3．如图所示，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b ＋c ．[解析] a 、b 、c 不共线中隐含着a ，b ，c 均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB →＝a ，BC ＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →＝a ＋b ＋c ．解法二：(平行四边形法则)：∵a 、b 、c 不共线，如图(2)所示． 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ， 以OA →、OB →为邻边作▱OADB ， 则对角线OD →＝a ＋b ，再作OC →＝c ， 以OC →、OD →为邻边作▱OCED ． 则OE →＝a ＋b ＋c ．命题方向1 ⇨向量的加法及几何意义 典例1 (1)如图，已知a 、b ，求作a ＋b ．(2)如图所示，已知向量a 、b 、c ，试作出向量a ＋b ＋c ．[思路分析] (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．[解析] (1)①AC →＝a ＋b ②AC →＝a ＋b(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ；然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD 、OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用． (2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和． 〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．[解析] 如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ． 命题方向2 ⇨向量加法运算律的应用 典例2 化简下列各式： (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →； (2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA →．[思路分析] 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．[解析] (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DA →＝0．(2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)＋EA → ＝AC →＋CE →＋EA → ＝AE →＋EA →＝0．『规律总结』 向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．〔跟踪练习2〕如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)AB →＋DF →＝ AC →； (2)AD →＋FC →＝ AB →； (3)AD →＋BC →＋FC →＝ AC →．[解析] 由已知可得四边形DFCB 是平行四边形． (1)易知DF →＝BC →．由三角形法则得：AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →． (2)易知FC →＝DB →，所以AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →． (3)AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →． 向量加法的实际应用向量加法的实际应用中，要注意如下应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．典例3 在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[思路分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．[解析] 如图所示，设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800km ．则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →． 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)． 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°． 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．从而飞机飞行的路程是1600km ，两次飞行的位移和的大小为8002km ，方向为北偏东80°．〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．[解析] 如图，设CE →、CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →．易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →|cos30°＝10×32＝53．|CF →|＝|CG →|cos60°＝10×12＝5．∴A 处所受的力的大小为53N ，B 处所受的力的大小为5 N ． 用平行四边形法则作平行向量的和 典例4如图，已知平行向量a ，b ，求作a ＋b ． [错解]作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝a ＋b 就是求作的向量．[辨析] 由于a ∥b ，所以不适合用平行四边形法则，应该用三角形法则． [正解]作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b 就是求作的向量．[点评] 1.当a 与b 同向共线时，a ＋b 与a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |．2．当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |；若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0．〔跟踪练习4〕已知向量a ∥b ，且|a|>|b|>0，则向量a ＋b 的方向( A ) A ．与向量a 的方向相同B ．与向量a 的方向相反C ．与向量b 的方向相同D ．不确定1．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( D ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2km[解析] 如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°． 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B ) A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＋OE →＝OF →C ．EF →＝FO →＋OE →D ．EF →＝FO →＋EO →[解析] 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案． 3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简结果为( C ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →[解析] 原式＝AB →＋BO →＋MB →＋BC →＋OM →＝AO →＋OM →＋MC →＝AM →＋MC →＝AC →． 4．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →成立时，点P 位于( D ) A ．△ABC 的AB 边上 B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部[解析] 如图P A →＋PB →＝PC →，则P 在△ABC 的外部．5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( C ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →[解析] 因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →．A 级 基础巩固一、选择题1．下列等式中不正确的是( C ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C ．|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．AC →＝DC →＋AB →＋BD →[解析] 当a 与b 方向不同时，|a ＋b |≠|a |＋|b |． 2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( D ) A ．CA → B ．BC → C ．AB →D ．AC →[解析] AB →＋BC →＝AC →．3．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( A ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是共线向量 C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可[解析] 当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |；向量a 与b 同向时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |；向量a 与b 反向且|a |<|b |时，a ＋b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |．4．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( B )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →[解析] 连结CF ，取CF 中点O ，连结OE ，CE ． 则BA →＋CD →＋FE →＝(BA →＋AF →)＋FE →＝BE →．5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] AB →＋BC →＝AC →，则|AB →|＝|BC →|＝|AC →|， 则△ABC 是等边三角形．6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( C ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB →＋PC →＝0[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →，∴由平行四边形法则，点P 为线段AC 的中点， ∴PC →＋P A →＝0.故选C ． 二、填空题 7．化简下列各式： (1)AB →＋BC →＋CA →＝ O →； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝ BA →；(3)化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝ AC →． [解析] (1)AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0；(2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →． (3)AC →．8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝ OC →．[解析] OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →． 三、解答题 9．如图所示，求：(1)a ＋d ； (2)c ＋b ； (3)e ＋c ＋b ； (4)c ＋f ＋b ．[解析] (1)a ＋d ＝d ＋a ＝DO →＋OA →＝DA →； (2)c ＋b ＝CO →＋OB →＝CB →；(3)e ＋c ＋b ＝e ＋(c ＋b )＝e ＋CB →＝DC →＋CB →＝DB →； (4)c ＋f ＋b ＝CO →＋OB →＋BA →＝CA →．10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：(1)AB →＋BE →＝AC →＋CE →； (2)EA →＋FB →＋DC →＝0．[证明] (1)由向量加法的三角形法则， ∵AB →＋BE →＝AE →，AC →＋CE →＝AE →， ∴AB →＋BE →＝AC →＋CE →．(2)由向量加法的平行四边形法则，∵EA →＝EF →＋ED →，FB →＝FE →＋FD →，DC →＝DF →＋DE →， ∴EA →＋FB →＋DC →＝EF →＋ED →＋FE →＋FD →＋DF →＋DE → ＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →) ＝0＋0＋0＝0．B 级 素养提升一、选择题1．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( A ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10)D ．[3,10][解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB →与AC →共线时的情况求解．即|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AC →|＋|AB →|，故3≤|BC →|≤17．2．向量a 、b 均为非零向量，下列说法中不正确的是( B ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同[解析] 当a 与b 反向，且|a |<|b |时，向量a ＋b 与b 的方向相同．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |A ．①②⑥B ．①③⑥C ．①③⑤D ．②③④⑤[解析] ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA → ＝AD →＋DA →＝0， ∴①③⑤均正确．4．若M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( C ) A ．AB →＋BC →＋AC → B ．AM →＋MB →＋BC → C ．AM →＋BM →＋CM →D ．3AM →＋AC → [解析] 由三角形重心性质得AM →＋BM →＋CM →＝0． 二、填空题5．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为 4 km/h ，他实际沿__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8_km/h__．[解析] ∵OB ＝43，OA ＝4， ∴OC ＝8，∴∠COA ＝60°．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝__1__．[解析] 在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABC 是等边三角形，则BD ＝1，则|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1．三、解答题7．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →．[解析] 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四这形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝OD →．由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°， 知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|． 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|． ∴OD →＋OC →＝0， 故OA →＋OB →＋OC →＝0．8．如图所示，已知矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，试求|a ＋b ＋c |的大小．[解析] 如图所示，过D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于点E ．∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，∴四边形ADEC 为平行四边形， ∴DE →＝AC →，CE →＝AD →， 于是a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →＝AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →＝AD →＋AD →， ∴|a ＋b ＋c |＝|AD →＋AD →|＝83．C 级 能力拔高如图，已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是__①②③④__．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|； ④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2．。
四年级数学下册知识结构Word 文档
四年级数学下册知识结构总结用字母表示数一、用字母表示数的格式（默写）1、用字母表示数：在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“.”，也可以省略不写。
省略时，通常把数字写在字母前面。
如：5×a x×3 a×x x×y×6 1×b 7×7 a×b a×b×c （a—b）÷3写为：5a 3x ax 6xy b 7•7 ab abc a/3－b/3或1/3(a－b)2、求含有字母的式子的值时要注意格式：首先写出字母等于几，再写出含有字母的式子，然后利用脱式计算的形式，将字母换成数再计算即可。
例：超市原有b台彩电，卖出70台后，超市还有彩电（b—70）台。
当b=150台时，超市还有彩电：b—70=150—70=80（台）二、用字母表示数量关系，1、表示路程公式：s=vt；（默写）例：一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶了4小时，下午行驶了b千米，这辆汽车共行驶了（4a+b）千米。
当a=80 b=200时，这辆汽车行驶了：4a+b=4×80+200=520（千米）。
2、含字母的式子比较大小：如: “< = ˃”2Χ一定（）Χ²。
1）大于2）小于3）等于4）不能确定注意：a²和2a，当a=2时，其值相等；当a≠2时，无法确定。
3、表示面积、周长公式:（默写）正方形的面积公式：s=a•a 或s=a²长方形的面积：S=ab正方形的周长：C=4a长方形的周长：C=2•(a+b) 或c=2(a+b)4、应用类：①某班有女生X人，女生比男生少8人，则某班全体同学的人数是（2X+8）人。
如果X=23时，则某班人数为2x+8=46+8=54（人）②青青林场栽了梧桐树和雪松各X排，已知梧桐树每排12棵，雪松树每排14棵，栽梧桐树和雪松树共计（12+14）X棵。
第三章 定义新运算
专题三 定义新运算【考点扫描2】本专题涉及知识在小升初择校考试中多以填空、选择、判断等题型出现，属于中低档难度（偶尔有极少数题涉及到小学奥数难度）。
常见的考点有：整数、分数、小数、百分数的基本概念，简单的数论问题等。
同学们在备考时，只要对相应的知识进行全面系统的梳理，及时查漏补缺，在考试中遇到本专题涉及到的问题一定能够轻松应对。
【典例精讲2】例1 分数56的确切意义是 。
（西区2008）解：考查分数的基本含义，答案是：把1平均分成6份，表示其中的5份。
例2 一个数的小数点向右移动一位，这个数就增加2.7，这个数原来是 。
（西川2010） 解：设这个数为x ，则小数点向右移动一位后变为10x ，于是有102.7x x -=，解得0.3x =，即原数为0.3。
例3 有一个自然数，用它去除226余a ，去除411余1a +，去除527余2a +，则a = 。
（成外2011）解：由题意分析可知，用这个自然数去除226、410和525都余a ，设这个自然数为m ，则(410226,525410)(184,115)23m =--==，于是有22623919÷= ，所以19a =。
例4 已知a 是质数，b 是奇数，且22009a b +=，那么a b += 。
（实外2008）解：由22009a b +=可知，2a 与b 必为一奇一偶，而b 是奇数，则2a 必为偶数，从而a 必为偶质数，故2a =，于是2005b =，所以220052007a b +=+=。
例5 大于15而小于11的分数中，分母为6的最简分数一共有 个。
（嘉祥2009）解：设满足题意的最简分数为6m （m 为正整数且与6互质），则有11156m <<，于是1.266m <<，即265m <<，从而满足题意的m 必然是奇数且不是3的倍数，共有(651)21121-÷-=个。
【真题演练2】一、填空题1、（嘉祥2011）设a 、b 分别表示两个数，如果a*b=342a b +,如4*3=34432⨯+⨯=12，则（1）2*（6*7）=________;(2)如果x*(6*7)=109,那么x=________.2、（成外2007）“| |”表示一种运算，|a,b|的含义是：a 与b 中较大数与较小数的差。
小升初数学系列课件-第5课时 四则运算的意义和法则 l (通用版,含答案)(共47张ppt).ppt
798×9≈7200
643÷79≈8
398×31≈12000
3.99×7.01≈28
12.03÷3.9≈3
3．用竖式计算，带“△”的要验算。(18 分)
2016－894＝1122
766＋548＝1314
△25.3－18.5＝6.8
365×18＝6570
0．036×1.5＝0.054 △8.7÷1.42＝6……0.18
【解】 5.2≈5 4.4≈4 5×4＝20(元) 因为 5.2>5，4.4>4，所以 5.2×4.4>20，因此 20 元不够。 答：20 元不够。
课时训练
一、填空。(每空 1 分，共 23 分)
1. 加法算式： 18＋18＋18＋18＝12 乘法算式： 18×4＝12 2．根据 216÷12＝18，直接写出下面各题的结果。 216÷1.2＝( 180 ) 0.18×12＝( 2.16 )
3.6÷12＝0.3
9.125＋78＝10 49×34＝13 0.55－15＝0.35 48×12.5%＝6
34×36＝27 0.8÷1.6＝0.5 0÷3131＝0 0.1÷0.01＝10 1－0.375＝0.625
2．估算下面各题。(4 分)
476＋301≈780
502－399≈100来自900－494≈400数＝被除数－商× 除数”得到，即余数＝ 5800－ 96× 60＝ 40。
【解】 B
【例 5】 1 千克香蕉 5.2 元，妈妈买了 4.4 千克，
20 元够吗？ ☞思路点拨 本题主要考查估算问题。计算买香蕉的钱数，
用单价乘数量，把单价和数量分别看作和它们最接近的整数求出 积，再根据原数确定实际的积与估算的积的大小关系。
人教A版数学必修 向量减法运算及其几何意义 课件(共21)
B
a +(b)
b
b
O
a
A
a
b
a +(b)
C
D
作 图 方 法 ： 已 知 a,b,在 平 面 内 任 取
一 点 O， 作 OA=a,OB=b,则 BA=a-b.
四、向量减法的几何意义:
a b 的 作 图 方 法 : ①将两向量平移,使它
们有相同的起点.
b a
B
ab
②连接两向量的终点.
b
O
a
A ③箭头点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
注意共起点.共线向量不适用
3.向量加法的交换律 :
rr rr a + b = b + a.
4.向量加法的结合律 :
rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
则BA=ab,DC=cd.
例 2 .已 知 平 行 四 边 形 A B C D ,A B =a ,A D =b ,
你 能 用 a ,b表 示 向 量 A C ,D B 吗 ？ D C
b
解：由向量加法的平行四边形法则，
我们知道
AC=a+b;
Aa
B
同样，由向量的减法，知
D B = A B A D = a b .
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
六年级数学 定义新运算
第4讲定义新运算例1“◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a ◎b=a×b-(a+b) 求：(1) 3◎5；(2) (3◎4)◎5例2将新运算“*”定义为：a *b= (a 1×b 1)÷(a 1÷b1)(a 、b 非0)。
求3*(4*5).例3如果2△3=2+3+4=9，5△4=5+6+7+8=26， 那么：(1)求9△5； (2)解方程：x △3=15。
例4规定“□”的运算法则如下，对于任何整数a ，b ：2a+b-1 (a+b≥10)a□b=2ab (a+b<10） 求：1□2+3□+3□4+4□5+5□6+6□7+7□8+8□9+9□10例5定义运算“#”，它的意义是a#b=a+aa +aaa +aaaa …+aa aaa (a ，b 都是非0自然数)。
求： (1)2#3，3#2；(2)1#x=123456789，求x ；(3)5678×(5677#2)-5677×(5678#2)。
1．设a ☆b=a 2-b 2,求15☆13=( )。
2．设a*b=4×a －5×b ，求： (1)5*4=( )：(2)(6*4)*2=( )：(3)x*(2*x)=18，x=( )。
3．如果o ：l ：6的含义表示o×b 一口+6，那么2半(4牢 6)水8=( )。
4．规定A∆ b=b a －a b，则5∆3+158=( )5．对于整数a,b ，规定运算#的含义为： a#6=a× b+a+1，又知(2#x)#2=10， 则x= ( )。
6．对于任意非零自然数a,b ，规定 a*b=a÷b×2+3且256*x=19， 则x = ( )。
7．规定o ※b= ba ba +⨯，则2※2※10 = ( )。
8．对于任意非零自然数x 、y ，定义新运算口如下：若x 、y 奇偶性相同， 则x □y=(x+y)÷2；若x 、y 奇偶性不同， 则x □y=(x+y+1)÷2。
代数运算及其性质
群互。为逆元,2,4互为逆元,3的逆元是3,0的逆元是0,(Z6,+6)是 例6:(P(A),),P(A)是A的幂集,是对称差运算。
因BP(A),B=B=B, BB= 所以单位元是,每个元素的逆元就是其本身。
el◦x=x（或x◦er=x） 则称el（er）是A中关于运算◦的一个左单位 元（右单位元） 若元素e既是左单位元，又是右单位元，则称 e是A中关于运算◦的一个单位元，也称幺元。
例
实数集上加法运算 0是单位元； 乘法运算 则1是单位元； 对于幂集P（A）上的∪运算 是单位元， 而∩运算 则A是单位元。 Mn（R）上的矩阵加法运算，零矩阵是单位元而乘法 运算，单位矩阵是单位元。
（6）求一个数的相反数分别是整数集合，实 数集合，有理数集合上的一元运算。
（7）求一个数的倒数是非零有理数，非零实 数集上的一元运算但其不是非零整数集上的 运算。
2.运算表
在有限集上可以将结果一一列出来定义运算， 简便明了的方法是画出运算表。
例:设A ={1，2} P（A）={Φ，{1}，{2}，{1，2}}
例
四元群。设G={e,a,b,c} 运算*表如下 * eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
①xG,x*x=e ②xG,x*e=e*x=x ③x,yG,如 xe,ye,x*y=y*x=Z其中Ze,x,y,z均不相等。
由此可知①G存在单位元e,②运算封闭③*存在结合律④G的每个元 素均存在逆元,逆元是其本身。⑤G存在交换律(这不是群的要求) 称(G,*)为四元群
c语言中的表达式a+=b,相当于a=a+b 正确
C语言中的表达式a += b，相当于a = a + bC语言是一门广泛应用的编程语言，其具有丰富的表达式和语法规则，其中a += b这样的表达式在实际编程中经常被使用。
本文将深入探讨C语言中的表达式a += b，明确其含义和使用方法，以帮助读者更好地理解和应用这一表达式。
一、表达式a += b的含义1.1 a += b的基本形式在C语言中，表达式a += b是一种简写形式的赋值运算符。
它相当于a = a + b，表示将变量a的值与变量b的值相加，然后再将相加的结果赋值给变量a。
1.2 适用情况表达式a += b通常用于简化代码，特别是对于重复进行加法操作的情况。
当需要对一个变量进行多次累加时，使用a += b可以减少代码的重复性，提高代码的可读性和简洁性。
1.3 赋值运算符的其他形式除了a += b，C语言中还有许多其他形式的赋值运算符，例如+=、-=、*=、/=等，它们分别表示加法赋值、减法赋值、乘法赋值和除法赋值。
这些赋值运算符都是用来简化代码和提高效率的重要工具。
二、表达式a += b的使用方法2.1 基本用法下面通过一个简单的示例来介绍表达式a += b的使用方法：```c#include <stdio.h>int m本人n() {int a = 10;int b = 5;a += b; // 相当于a = a + b;printf("a的值为：d\n", a); // 输出a的值为15return 0;}```在上面的示例中，变量a的值最终被赋为15，即10加上5的结果。
可以看到，表达式a += b的使用方法非常简单直观。
2.2 注意事项在使用表达式a += b时，需要注意变量a和b的类型是否匹配，以避免产生意外的结果。
因为C语言是一种强类型语言，对于不同类型的变量进行运算时需要进行类型转换，否则可能会出现错误。
三、表达式a += b与a = a + b的区别3.1 形式上的区别表达式a += b与a = a + b在形式上有明显的区别，前者使用了赋值运算符+=，而后者则是通过等号=进行赋值操作。
向量的点乘和叉乘以及几何意义
向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。
2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。
（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。
3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。
（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。
（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。
二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。
2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。
绝对值的运算公式
绝对值的运算公式绝对值是数学中的一种运算方式，用来表示一个数与零的距离。
绝对值的运算公式可以表示为：|a| ={a, a ≥ 0-a, a < 0}其中，|a| 表示数 a 的绝对值，a 可以是任意实数。
绝对值运算公式的意义绝对值运算公式可以用来计算一个数的绝对值。
当数a 大于等于零时，它的绝对值等于它本身；当数a 小于零时，它的绝对值等于它的相反数。
1. 绝对值的基本性质绝对值的运算公式具有以下基本性质：1.1 非负性：对于任意实数 a，其绝对值非负，即|a| ≥ 0。
1.2 同号性：若a ≥ 0，则 |a| = a；若 a < 0，则 |a| = -a。
1.3 逆性：对于任意实数 a，有 |-a| = |a|。
1.4 三角不等式：对于任意实数 a 和 b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
这些基本性质使得绝对值运算公式成为数学中一个重要的工具，被广泛应用于各种数学问题的求解过程中。
2. 绝对值的应用2.1 解绝对值方程绝对值运算公式在解绝对值方程中起着重要的作用。
对于形如|a| = b 的方程，根据绝对值的定义，可以得到以下两个解：a =b 或 a = -b通过将方程中的绝对值拆解成正负两种情况，可以得到方程的解集。
例如，对于方程 |2x - 5| = 7，可以拆解为以下两个方程：2x - 5 = 7 或 2x - 5 = -7解得 x = 6 或 x = -1，所以方程的解集为 {6, -1}。
2.2 确定数的范围绝对值运算公式还可以用于确定数的范围。
例如，对于一个不等式|x - 3| < 5，可以拆解为以下两个不等式：x - 3 < 5 或 -(x - 3) < 5解得 x < 8 或 x > -2，所以不等式的解集为 (-2, 8)。
绝对值运算公式在数学中还有很多其他的应用，如求函数的绝对值最小值、计算误差的绝对值等等。
无论在哪个领域，绝对值运算公式都是解决问题的一个重要工具。