第2章质点运动定律(1)

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Fx max Fy ma y Fz maz
在研究物体作圆周运动和平面曲线运动的问题时,常采用自然 坐标系，此时第二定律沿轨道法向和切向的分量式可写成如下 形式:
(3）
Fn man m
v
2

dv Ft mat m dt
（４）
式中, Fn、Ft分别代表物体所受的沿 轨道法向和切向方向的合外力。
对任意两个物体间的万有引力作用，上式的结论都应成立
m1 A m2 A 2 m1 I m 2 I F G G 2 r r2
令m1I=m2I=1kg，r=1m，实验测得F=6.6710-11N，因此，只需 选取G=6.6710-11Nm2/kg2，可以保证式中=1
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讨论 • • 前提条件：同一地点测量一切自由落体的加速度都相同 结论：惯性质量与引力质量是相等的 牛顿定律的应用
2
F
dp dt

d (mv) dt
(１)
如果物体的质量不随时间而变,则第二定律可以写成
dv F m ma dt
(２)
式(１)是牛顿第二定律的普遍形式,式(2)则是定律在质量 保持不变条件下的特殊形式。 在国际单位制(SI)中,质量的单位是kg,加速度的单位 是m/s2,力的单位是N。 牛顿第二定律是物体的加速度和它所受的合外力之间 的瞬时关系,也是一个矢量等式。 在直角坐标系中,第二定律写成如下分量式:
这样我们就知道，牛顿定律并不是对所有参考系都成立的。 我们把牛顿定律 成立的参考系称作惯性参 乙 m k 考系(简称惯性系),而牛顿 a 定律不成立的参考系称作 甲 A 非惯性系。一个参考系是 不是惯性系,只能由实验确定。
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天体运动的研究指出: 如果我们选择的参考系,以太阳中心 为原点,以指向某些恒星的直线为坐标轴,则所观察到的天文现 象都与 牛顿定律和万有引力定律推出的结论相符合,因此,这 样的参考系是惯性系。在研究地球表面附近(高度不太高、距 离不太远)物体的运动时,地面(或固定在地面上的物体)就是近 似程度相当好的惯性系。在大学物理的学习中，我们基本上 就是采用这种地面参考系。 惯性系有一个重要性质：一切相对于惯性系作匀速直线运 动的参考系也是惯性系。
g 在图(B)中：N=mR2, N≥mg, 解得 R 问题：若a,N ,使 N>mg, m是否会上升呢?
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例题2-2 一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮，绳的一端挂有 质量为m1的物体，绳的另一端穿过一质量为m2的环，求当环相 对于绳以恒定的加速度a0沿绳向下滑动时，物体和环相对于地面 的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？ 解 在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况，并规定(ox轴)向 上为各量的正方向。
ω
N fs y x mg
g sin R cos 2 g cos R sin
2
对给定的ω、R和θ，μ不能小于 此值否则最大静摩擦力不足以维 持m在斜面上不动。
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g sin R cos 2 g cos R sin
2
讨论：由μ>0,可得：gcosθ-ω 2 Rsinθ>0
(m1 m2 ) g m1a0 a2 m1 m2
(2 g a0 )m1m2 f T m1 m2
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4.应用牛顿定律解题 例1、水平面上有一质量为51kg的小车D，其上有一 定滑轮C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量m1=5kg 和m2=4kg的物体A 和B。其中物体A在小车的水平面 上，物体B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示。 各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大水平力作用在 小车上，才能使物体A与小车D之间无相对滑动。 （滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
1666年。250年后发展 为广义相对论 W＝mg=GMm/R2
G=6.6710-11Nm2/kg2
例:地球对物体的引力
(忽略地球自转)所以
rR
g=GM/R2
(2)电磁力：（库仑力）
f=kq1q2/r2
注意：电磁力远远大于万有引力！
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k=9 109Nm2/C2
(3)强力：粒子之间的一种相互作用， 作用范围在0.410-15米至10-15米。
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例 讨论：
Fs R a m mg N
m
(A)
m (B)
在上面的两个图中，要物体m不下滑，斜面的加速度a和圆 筒的角速度至少应为多少?(设斜面与物体m间和圆筒与物 体m间的摩擦系数都为)。
在两个图中物体m都受三个力作用:N, mg, Fs=N。 在图(A)中：N=ma, N=mg, 解得 a=g/ 。
4

（3）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律） 两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方 向相反,且在同一直线上。
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惯性系
1.惯性参考系 从运动的描述来说,参考系的选择是任意的，这主要由研 究问题的方便而定。但是，如果问题涉及运动和力的关系， 即要应用牛顿定律时,参考系是否也能任意选择呢?我们用下 面的例子来说明这个问题。 如图所示，车厢A在地面上以 加速度a向右运动。车厢内的光滑桌 面上有一与弹簧相连的质量m的小球, 弹簧的另一端系在该车厢壁上。现在 来分析这个 弹簧、小球 力学系统的 运动情况。
所以： 当
tan
g
R
2
tan
g
R
2
时，物体不可能在 锥面上静止不动
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非惯性系
1. 平动系
惯性力
(只要求 平动系。 转动系不要求)
在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和分析物 体的运动。然而在非惯性系中牛顿定律是不成立。
乙
m
k a A
甲
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如果在相对于某惯性系以加速度a作直线运动的非 惯性系中,假定每个质量为m的物体除了受到真实的外 力F作用外，还受到一个附加的、假想的力Fi=-ma的 作用,那么我们就可以在非惯性系中形式地利用牛顿 定律来解决力学问题了。 这一假想的力 F ma 称为 惯性力。请注意：这里的 a不是物体m的加速度，而是 非惯性系相对于惯性系的加速度。 于是引进惯性力后，在非惯性系中就有了下述牛 顿第二定律的形式： F+Fi=ma` (１) 式中a`是物体m相对于非惯性系的加速度。 惯性力-ma与物体之间相互作用的那种真实力不同， 惯性力是虚拟、假想的力,不遵从牛顿第三定律。
A
D
C
B
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解：建立坐标系并作受力分析图：
O
Y X
N2
T T
A
N1
T
F
T
B
D
Mg
m1g
解出：
m2g
列方程： A:
m2 g m1 m2 g T＝m1a x ax T 2 2 T sin m a m12 m2 m12 m2 2 x B: (m1 m2 M )m2 g T cos m2 g F 784 N 2 2 D: F T T sin Ma m1 m2 20 x
R
ω
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f s N 2 x : N cos N sin m R

y : N sin N cos mg 0
cos sin 2 R sin cos g
2 2
R
g cos g sin R cos R sin
第２章 质点动力学
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§2-1 力对质点的瞬时效应——牛顿定律
1.牛顿三大定律 （1）牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到 外力迫使它改变运动状态为止。 牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念： 惯性—任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。 力——是使物体改变其运动状态,或是使物体获得加 速度的一种作用。 （2）牛顿第二定律 一个物体的动量对时间的变化率正比于这个物体所 受的合外力,其方向与所受的合外力的方向相同。其数 学表达式为
相互作用力
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力学几种常见的力
（1）弹簧的弹性力 在弹性限度内,弹性力 f = -kx 式中,k是弹簧的倔强系数, x表示弹簧的伸长量。上式又叫胡克 定律。 （2）摩擦力 滑动摩擦力f 的大小与正压力N成正比,即 f = kN 式中, k为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体的材料性质和 接触面的粗糙程度决定。
dv mg kv F ma m dt
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初始条件：t=0 时 v=0

v
0
dv ( mg kv F ) / m
kt m

t
0
dt
得证。
v ( mg F )(1 e
)/k
例3、在倾角为的圆锥体的侧面 放一质量为m的小物体，圆锥体以 角速度绕竖直轴匀速转动。轴与 物体间的距离为R，为了使物体能 在锥体该处保持静止不动，物体 与锥面间的静摩擦系数至少为多 少？并简单讨论所得到的结果。
§2.1.3
(1).牛顿定律应用的主要类型
A.已知受力求物体运动状态 B.已知物体运动状态求物体受力 C.已知物体部分运动状态和部分力求解未知力和运动状态 (2). 牛顿定律应用的解题步骤 A.确定研究对象，分析物体受力 B.建立坐标系，列动力学方程 C.解算及讨论
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牛顿定律的适用范围
低速、宏观、实物。惯性系。
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以M、mA分别表示地球与物体的引力质量，mI表示物体的
惯性质量，R表示地球的半径，g0表示地球表面自由落体的加 速度，由万有引力定律与牛顿第二定律
GM MmA mI G 2 mI g 0 mA g 0 R 2 R
实验证明，同一物体惯性质量与引力质量之比是一个常数，即
m A mI
静摩擦力 两接触物体间虽未发生相对运动,但存在着相对运动趋势 时,就产生静摩擦力。静摩擦力f是个变力： 0 f s N (最大静摩擦力） 式中,s为静摩擦系数。对于同样的两个物体,k<s。 （3）万有引力