高三数学第一轮复习-第八课时 函数的单调性

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第8课时 函数的单调性
【考点概述】
1.理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
2.理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题.
【重点难点】
领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性；领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值.
【知识要点】
1.增函数和减函数:
2.单调性与单调区间:
3.最大（小）值:
4.判断函数单调性的方法
（1）定义法;（2）利用函数的运算性质;（3）利用复合函数关系判断单调性;4）图像法
（5）奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性；偶函数在两个对称的区间上具
有 的单调性;（6）导数法
【基础训练】 随 堂 反 思
1.下列函数中，单调增区间为(]0,∞-的是 。

(1)
x
y 1-
= (2)
)1(--=x y (3)22-=x y (4)
x
y -=
2.若函数
2)14()(22++-+=x a a x x f 在区间(]1,∞-上是减函数，
则a 的取值范围是 3.已知
)(x f 为R 上减函数，则满足)1()1
1
(
f x f >-的实数的取值范围是
4.函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为
5.函数
)132(log 25.0+-=x x y 的单调递减区间是
【例题分析】
例1.判断下列函数的单调性： (1)
;23)(2-+-=x x x f (2);32)(2++-=x x x f
(3）);0(9)(>+
=x x x x f (4) ).0()(>>++=b a b
x a x x f
2
例2.已知函数
).0(1
1)(>-=
a x
a x f
(1)用函数单调性的定义证明)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数；
(2)若)(x f 的定义域、值域都是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21，求实数a 的值.
例3.已知函数
()x
ax x f 12+
=，R a ∈在区间
[)+∞,1上是增函数，求a 的
取值范围.
例 4.已知函数
)(x f 的定义域是()+∞,0,当1>x 时,0)(>x f ，且
)()()(y f x f y x f +=⋅.
(1)求
)1(f ； (2)证明：)(x f 在定义域上是增函数；
(3)如果
,1)31(-=f 求满足不等式2)2
1()(≥--x f x f 的x 的取值
范围。

【感悟高考】 1.(2010北
京文数）给定函数
(1)
2
1x
y =,(2)
()1log 2
1+=x y ,(3)1-=x y ,
(4)
12+=x y 期中在区间()1,0上单调递减的函数序号是
3
2.(2010天津理数)若函数
()()⎪⎩⎪
⎨⎧<->=0,log 0,log 2
1
2x x x x x f ,若()()a f a f ->,
则实数a 的取值范围是 3.(2010全国卷1文数）已知函数()x
x f lg =,若b a
≠,且()()b f a f =,
则b a
+的取值范围是
4.(2010江苏卷）已知函数
()⎩⎨
⎧<≥+=0
,10,12x x x x f ,则满足不等式
()
()x f x f 212>-的x 的范围是
【巩固练习】 1.若函数
)
(3)1()(2R x mx x m x f ∈++-=是偶函数，则实数
=m ，的单调减区间为 .
2.
已
知
函
数
().
1,1,5s i n )(-∈+=x x x x f 如果
,0)1()1(2<-+-a f a f 则
a
的取值范围
是 . 3.已知函数
)(x f y =是R
的偶函数，且在
()0,∞-上是减函数，若
),2()(f a f ≥则实数a 的取值范围是 .
4.函数
2
+-=a x y 在区间
[)
+∞,1上为增函数的充要条件
是 . 5.若函数
x
a
x x f +
=)(在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,43上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 . 6.)32(log 22
1-+=x x y 的单调递减区间为 .
4
7.设定义在
[]2,2-上的偶函数
)
(x f 在区间
[]2,0上单调递减，若
),()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围.
8.判断函数()1
2
+=
x x
x f 的单调区间,并证明其单调性. 9.已知
)(x f 是定义在[]1,1-上的函数，当[]b a b a ≠-∈且,1,1,时，有
.0)
()(>--b
a b f a f
（1）判断函数)(x f 在[]1,1-上的单调性，并给予证明；
（2）若
22)(,1)1(+-≤=cm m x f f 对所有[][]1,1,1,1-∈-∈c x 恒成
立，求实数m 的取值范围.。