4.3 函数的性态(2)
函数的简单性态
函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
函数性态研究2011
e
例 7 证明:当
p
1
时
， 2
1
令f ( x) 0，解得驻点x 0,3,5
f ( x) 10x(2 x 2 12x 15)
f (0) 0, f (3) 90 0, f (5) 250 0
因此 x 3 为极大点，极大值为 f (3) 108； x 5 为极小点，极小值为 f (5) 0。
而在x 0的某空心邻域内，f ( x) 0，因此 x 0不是极值点。
1. 首先，由闭区间上连续函数的性质知：
设f ( x)在a, b 上连续，则f ( x) 在 a, b
上 的 最 大 值 ， 最 小 值 一定 存 在 。
其次，如果f ( x)在 a, b内某点取得“最值”,
则x0必是 f 的极值点，从而 x0一定是 f 的 驻点或导数不存在的点。另外，f 的“最值” 也可能在区间的端点a, b取得.这样就可用如下
综上可知，方程 f ( x) 0， 即 x a sin x 1(0 a 1) 在( , )内有且仅有一个实根。
4.2 函数的极值
定义4.2： 设函数 f : I R, x0 I , 若 0, 使得
o
x N ( x0 , ) I , 恒有f ( x) f ( x0 )( f ( x0 )),
4 在 实 际 问 题 中 根 据 问 题的 实 际 意 义 可 以 判 定 可 导 函 数f ( x) 确 有 最 值 ， 且 一 定 在 定 义 区 间 内 部 取得 ， 则 唯 一 的 驻 点 x0 必是 f ( x)的最值点。
函数的性态分析
高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。
思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。
例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。
函 数 的 基 本 性 质 和 特 征
函 数 的 基 本 性 质 和 特 征一．函数的基本性质1. 函数的单调性：1212),,f x D x x D x x ∈<函数（的定义域为，任给，且 1212)(0f x f x x x ->-（）若1212()(()())0x x f x f x ⇔-->，则函数)f x （是单调递增函数；12121212)(0()(()())0f x f x x x f x f x x x -<⇔--<-（）若，则函数)f x （是单调递减函数； 2. 函数的奇偶性：函数)f x （的定义域为D ，D 关于原点为对称，()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=---∈---若（则为奇函数。
或）则为奇函数。
()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=--∈--若（则为奇偶函数。
或）则为偶函数。
3. 函数的周期性：(=()()f x T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。
(=()()f kx T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。
(=()()f x T f x f x T +-若），则函数是以2为周期的周期函数。
1(=()()f x T f x T f x +若），则函数是以2为周期的周期函数。
1(=()()f x T f x T f x +-若），则函数是以2为周期的周期函数。
(=()()m f x T m f x T f x +-≠若），(0),则函数是以2为周期的周期函数。
()()T f x T f x ϖϖ若的周期是，则的周期为。
1(()()21(f x f x T f x T f x -+=+），则是以为周期的周期函数。
） 1(()()1(f x f x T f x T f x -+=-+），则是以4为周期的周期函数。
4.3 函数的性态(1)
y
y 3 x 2 的单增区间为(0, ), 单减区间为( ,0).
o x
arctan x . Example 3. 当x 0时, 证明 ln(1 x ) 1 x Proof. 当 x=0 时, 等号成立.
当 x 0时, 设 f ( x ) (1 x ) ln(1 x ) arctan x , 1 f ( x ) ln(1 x ) 1 1 x2 2 x ln(1 x ) 0 ( x 0) 2 1 x 所以 f(x) 单调递增.
同理可证得结论(2),(3)成立.
极值存在的第一充分条件的图形记忆法. y y
o y : 0
x
极大
o y : 0 极小
x
y
y
o
y :
x
o
y :
x
没有极值
4. 极值存在的第二充分条件 定理3. 设f ( x )在 U ( x0 , )内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0.则
二.函数极值的判别法
1. 函数极值的定义与图形:
y
o
x
注意: (1) 极值是局部性质. (2) 极大值不一定比极小值大，反之亦然.
2. 极值存在的必要条件 ------Fermat定理
定理1. 设函数f ( x )在x0可导, 若x0为极值点, 则f ( x0 ) 0. 注意: (1) 导数为0的点称为函数的驻点.( f ( x0 ) 0) (2) 可导函数的极值点一定是驻点. (3) 驻点只是可能的极值点.
Proof. 由极值的定义来证明.
(1) 当x x0时, f ( x ) 0,
故 f(x) 单调递增. f ( x ) f ( x0 ).
数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续
第 函数 极限 连续第一节 函 数1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性定义：单调增： ).()(2121x f x f x x <⇒< 单调不减： ).()(2121x f x f x x ≤⇒< 判定：（1）定义：(2）导数：设)(x f 在区间I 上可导，则 a) )(0)(x f x f ⇔≥'单调不减； b) )(0)(x f x f ⇒>'单调增； 2)奇偶性定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义：(2）设)(x f 可导，则：a))(x f 是奇函数⇒ )(x f '是偶函数；b))(x f 是偶函数⇒ )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义；(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃则称)(x f 在I 上有界。
判定：（1）定义：（2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ⇒在],[b a 上有界；（3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ⇒在）（b a ,上有界；（4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ⇒在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数:常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。
了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.题型一 复合函数例1．1已知)1(+x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[--a (B) ]1,1[+a(C) ]1,[+a a (D) ],1[a a - 解 应选 (B)例1．2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==ϕ且,0)(≥x ϕ求)(x ϕ及其定义域。
函数的性态知识点总结
函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。
2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。
4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。
5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。
三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。
2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。
四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。
3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。
4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。
五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。
2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。
3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。
4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。
六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。
2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。
3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。
七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。
函数性态的描述、刻画与应用分析研究
函数性态的描述、刻画与应用分析研究函数性态的描述、刻画与应用分析研究引言函数性态描述、刻画与应用分析是函数理论中的一个重要研究方向。
函数是数学中的基本概念，它描述了元素之间的映射关系。
函数性态的描述与刻画研究不仅可以帮助我们深入理解函数的性质，还可以为函数的应用提供理论支持。
本文将对函数性态的描述、刻画与应用分析进行综合研究。
一、函数性态的描述1.1 定义函数是一个关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数通常用公式、图像、表格等方式进行描述。
对于给定的输入，函数能够唯一确定一个输出，而且对于同一个输入，函数的输出是确定的。
函数的描述可以通过函数的定义域、值域、映射关系等元素来进行完整阐述。
1.2 性态的描述函数性态的描述主要从函数的连续性、可导性、单调性等方面展开。
连续性描述了函数在定义域上是否存在间断点，以及间断点的类型；可导性描述了函数在某个点是否存在导数，以及导数的存在条件；单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质。
这些性态描述可以帮助我们深入了解函数在不同区间的变化规律。
二、函数性态的刻画2.1 数学工具函数性态的刻画离不开一些数学工具的支持。
常见的刻画工具有极限、导数、积分等。
通过这些工具，我们可以对函数的性态进行定量描述。
比如，极限可以描述函数在某个点上的趋近性；导数可以描述函数在某个点上的变化率；积分可以描述函数在某个区间上的累积效应。
这些数学工具为函数性态的刻画提供了重要依据。
2.2 图像刻画函数的图像是刻画函数性态的重要工具之一。
通过绘制函数的图像，可以直观地显示函数在定义域上的性态特征。
比如，函数的连续性可以通过图像上是否存在间断点来观察；函数的单调性可以通过图像上的上升或下降趋势来判断；函数的可导性可以通过图像上的平滑性来体现。
图像刻画可以帮助我们更直观地了解函数的性态。
三、函数性态的应用分析3.1 实际问题的建模函数性态的应用主要体现在实际问题的建模中。
4-3 函数的性态(二)
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0)为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在(0, )为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那么 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
d2 y 由 2 0, 得t1 1, t2 1 dx
d2 y 当 t < – 1 时, 0, 即x < –4, y = f (x)是凸的. 2 dx d2 y 当–1< t <1时, 2 0, 即–4< x <4时, y = f (x)是凹的. dx
当 t > 1时,
d2 y 0, 即x >4时, y = f (x)是凸的. 2 dx
两侧邻域同号，那么它就不是曲线y=f(x)的拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
函数的整体性态
f(x)有界:给定函数f(x),xI, M>0,
xI,| f(x) | M.
f(x) 无界:给定函数f(x),xI, M>0,
xI,| f(x) |> M.
6
(二)奇偶性 设函数f的定义域 I=(–a,a)关于原点对称.若 f(– x)= – f(x),xI,则说f是奇函数; 若 f(– x)=f(x),xI,则说f是偶函数. 奇函数: xI, f(– x)= – f(x), 偶函数: xI, f(– x)=f(x). 非奇函数: x0I, f(– x0) – f(x0), 非偶函数: x0I, f(– x0) f(x0).
csch 2 x 1 coth 2 x
sinh( x y) sinh x cosh y cosh x sinh y
cosh( x y) cosh x cosh y sinh x sinh y 17
(四)周期性 设f:D(f)R.若存在T1>0使 得xD必有x+T1 D,并且f(x+T1)=f(x), 则称f为周期函数,T1是它的一个周期, 最小正周期T称为它的(基本)周期.
§2 函数的整体性态 所谓函数的整体性态就是与整 个定义域有关的函数性质而且都在 其图象上体现出来.
(一)有界性
定义 给定函数f(x),xI.若存在 M>0(M,m),使得对任意xI,| f(x) | M则说f是有界函数, M 称为f(x)的一 个界.
1
定义 给定函数f(x),xI.若存在 M(m),使得对任意xI, 都有f(x) M(f(x)m),则说f是有上(下)界, M (m)称为f(x)的一个上(下)界有下 界)的函数.
15
双
曲
正
切
及
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f ( x ), f ( x ) 的符号 , 从而确定出 .
, 凹凸 , 极值与拐点
(5) 求出极值,拐点与坐标轴的交点. (6) 求出渐近线. (7) 描图.
Example 7. 设 y
x 1 x
2
, 描绘图形 .
( , ).
Solution. (1) 函数 y 的定义域为
或者
( 2 )当 x x 0 时 , f ( x ) 0 ; 当 x x 0 时 , f ( x ) 0 则 ( x 0 , f ( x 0 )) 是曲线 y f ( x )的拐点 .
三.判定函数图形凹凸与拐点的步骤
( 1 ) 求 f ( x ).
( 2 ) 求出 f ( x ) 0的点及二阶导数不存在 ( 3 ) x i 将定义区间分成若干个 小区间 . 的点 x i .
( 2 ) 在区间 ( a , b )内的可导函数 充要条件是导函数
f ( x ) 在 ( a , b )内递增 .
定理2. 设 f (x)在(a,b)内有二阶导数,
( 1 ) 若 x ( a , b )时有 f ( x ) 0 ,
则 f (x)在(a,b)内的图形是凸的.
( 2 ) 若 x ( a , b )时有 f ( x ) 0 ,
3. 斜渐近线
若 lim [ f ( x ) ( kx b )] 0 ,
x
则 y=kx+b 是曲线 y=f(x) 的斜渐近线.
由此可得
k lim f (x) x
x
,
b lim [ f ( x ) kx ].
x
Example 6. 求曲线 y
x
3
x
2
3
则 f (x)为区间 I上的凸函数.
( 2 ) 若 f ( 1 x 1 2 x 2 ) 1 f ( x 1 ) 2 f ( x 2 ),
则 f (x)为区间 I上的凹函数.
2. 判别法
y
如图所示
y
o
x1
x2 x3
x
o
x
凹弧的曲线位于 各点处切线的上方.
tan tan tan
( 4 )由 f ( x )的符号可得凹凸区间
;
若在 x i 左右两侧 , f ( x ) 变号则 ( x i , f ( x i )) 为拐点 , 否则不是拐点 .
Example 3. 求 y 3 x 4 4 x 3 1的凹凸区间与拐点 Solution. 函数 y 的定义域为 ( , ).
列表讨论如下:
x
f ( x )
f (x) ( , 0 )
0
( 0 , )
0
f ( x ) arctan x 的图形在 ( , 0 ) 上是凹的 ; 在 ( 0 , ) 上是凸的 .
Example 2.
证明 1 2 (x
n
y ) (
n
x y 2
) ( x 0 , y 0 , x y , n 1 ).
.
(6) 描图如下:
y
1
o
1
x
Example 8. 设 y 1
36 x ( x 3)
2
, 描绘图形 .
( , 3 ) ( 3 , ).
Solution. (1) 函数 y 的定义域为
(2) y y 36 ( 3 x ) ( x 3) ( x 3)
又 k lim
f (x) x
x
lim
x
3
x
( x 3 )( x 1 ) x
1,
b lim [ f ( x ) kx ] lim [
x x
x
3
( x 3 )( x 1 )
x]
lim
2x 3x
2
x
x 2x 3
Chapter 4(3) 函数的性态(2)
教学要求：
1. 会用导数判断函数图形的凹凸性;
2. 会求函数图形的拐点;
3. 会求水平、铅直和斜渐近线; 4. 会描绘函数的图形.
一 .函数图形的凹凸性 二 .函数图形的拐点
三 .判定函数图形凹凸与拐 四 .曲线的渐近线 点的步骤
五 . 函数图形的描绘
一.函数图形的凹凸性
3 ) 3 ( 3 , )
0
0
0
0
0
( 4 ) 极大值为
拐点有 (
y (1 )
3 ,
1 2
3 4
, 极小值为
y( 1)
3 4
1 2
,
), ( 0 , 0 ), ( 3 ,
).
( 5 ) lim
x 1 x
2
x
0,
y 0 为水平渐近线
y 12 x 12 x ,
3 2
.
y 36 x 24 x 36 x ( x
2
2 3
).
令 y 0 , 得 x 1 0 , x 2
x
y
y
( , 0 )
2 3
. 2 2 3
0
0 0
(0, ) 3
( , ) 3
2
拐点
拐点
2 11 ( 0 ,1 ) 和 ( , ) 是拐点 . 3 27
(2) y y 1 x
2 2
(1 x )
2 2
, 令 y 0, 得 x 1. , 令 y 0 , 得 x 0 , x
2 x( x 3) (1 x )
2 3
3.
(3)列表讨论如下:
x ( ,
y y
y
3)
3 (
3 , 1 ) 1 ( 1 , 0 ) 0 ( 0 ,1 ) 1 ( 1 ,
1 x
2
0.
f ( x ) ln x 的图形在 ( 0 , ) 上是凸的 . (2) f ( x ) arctan x 的定义域为 ( , ).
f ( x )
1 1 x
2
, f ( x )
2x (1 x )
2 2
.
令 f ( x ) 0 , 得 x 0 .
x 2x 3
的渐近线 .
Solution. y
( x 3 )( x 1 )
,
3
lim y lim
x1
x
x1
( x 3 )( x 1 ) x
3
,
x 3
lim y lim
x 3
( x 3 )( x 1 )
,
故有铅直渐近线
x 1 与 x 3.
f (x) A 或
x
lim
f ( x ) A,
则 y=A 是曲线 y = f(x) 的水平渐近线. 2. 铅直渐近线
若 lim f ( x ) 或 lim
x a x a
f (x) 或
lim
x a
f (x) ,
则 x=a 是曲线 y = f(x) 的铅直渐近线.
设 f ( x ) 在包含 x 0的区间 I 上二阶可导 若 ( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 , 则 f ( x 0 ) 0 . ,
注意:
~ 设 f ( x ) 在 U ( x 0 , )内存在 , ( 1 )当 x x 0 时 , f ( x ) 0 ; 当 x x 0 时 , f ( x ) 0 则 ( x 0 , f ( x 0 )) 是曲线 y f ( x )的拐点 .
f ( x 2 ),
令
x2 x x 2 x1
1 ,
x x1 x 2 x1
2 ,
则 1 2 1, x 1 x1 2 x 2 ,
f ( 1 x 1 2 x 2 ) 1 f ( x 1 ) 2 f ( x 2 ).
类似地, 若函数为凹函数, 则有
.
x
y
y
( , 4 )
4
( 4 , )
不存在
拐点
( 4 , 3 ) 是拐点 .
Example 5.
问 a , b 为何值时 , ( 1 , 3 ) 为曲线 y ax
3
bx 的拐点 ?
2
Solution.
y 3 ax
2
2 bx ,
3
y 6 ax 2 b .
3
, 令 y 0, 得 x 3.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
过 ( x 1 , f ( x 1 )) 和 ( x 2 , f ( x 2 )) 的直线方程为
y f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
x x1 x 2 x1
,
即 y f ( x1 )
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
( x x 1 ),
若函数为凸函数, 则有
f ( x ) f ( x1 ) f (x) x2 x x 2 x1 f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 f ( x1 ) x x1 x 2 x1 ( x x 1 ),