圆与正方形
圆形和正方形的关系
圆形和正方形是两种不同的几何形状，它们之间存在一些关系。
首先，当一个正方形内切于一个圆时，正方形的边长等于圆的直径。
在这种情况下，圆的半径是正方形边长的一半。
正方形的面积和圆的直径的平方成正比，这是因为正方形的面积是边长的平方，而圆的直径的平方也是半径的平方，两者相等。
另外，当一个圆内切于一个正方形时，圆的直径等于正方形的对角线。
在这种情况下，圆的半径是正方形对角线的一半。
圆的面积和正方形的对角线的平方成正比，这是因为圆的面积是π乘以半径的平方，而正方形的对角线的平方也是半径的平方，两者相等。
综上所述，圆形和正方形之间的关系可以通过它们的边长、对角线和半径之间的关系来描述。
当一个正方形内切于一个圆时，正方形的边长等于圆的直径；当一个圆内切于一个正方形时，圆的直径等于正方形的对角线。
同时，圆的面积和正方形的对角线的平方成正比，或者与圆的直径的平方成正比。
小学 六年级 圆与正方形关系
答：外面的圆与内部的正方形之间的面积约是452.16cm²。
提高练习 1、已知正方形的面积100平方厘米，圆的面积是____平方厘米．
把正方形平均分成两个三角形，每个三角 形的面积是100÷2=50（平方厘米），而 三角形的面积为2r×r÷2=r²，所以r²=50 ，所以因此圆的面积为3.14×50=157（平 方厘米） 。
题目中都告诉了我们什么？
上图中两个圆的半径都 是1 m，怎样求正方形 和圆之间部分的面积呢 ？左图求的是正方形比圆多的 面积，右图求的是……
图（1）
你能解决这个问题吗？
右图中正方形的边 长就是圆的直径。
从图（1）可以看出： 2×2＝4（m²） 3.14×1²＝3.14（m²） 4－3.14＝0.86（m²）
我们把三个图合起来 旋转一下，通过观察 ，你发现了什么？
四、再次探究
你还能找到不同的方法，探究圆和正方形的面积关系吗？
1. 小正方形是涂色部分的2倍， 中等正方形是涂色部分的4倍； 2. 大正方形是小正方形的4倍。
圆的半径是r，最小正方 形的面积就是r²，其它两 个正方形和圆的面积分别 是小正方形的几倍呢？
我们把三个图合起来 旋转一下，通过观察 ，你发现了什么？
五、解决问题 图中两个圆半径都是1 m，求出正方形和圆之间部分的面积。
r＝1 m
左图： 4r²－πr²
右图： πr²－2r²
＝0.86r²
＝1.14r²
＝0.86（m²）
＝1.14（m²）
做一做 右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。 外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？
六年级下册：圆与正方形的关系(方中圆)题型分类(教师版带答案)
无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ² 小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。
《圆和正方形》(课堂PPT)
1π 3.14 1 π 3.14 1.52π 7.065 2π 6.28 22 π 12.56 2.52 π 19.625 3π 9.42 32 π 28.26 3.5 2π 38.465 4π 12.56 42 π 50.24 4.52 π 63.585 5π 15.7 52 π 78.5 6π 18.84 62 π 113.04 7π 21.98 72 π 153.86 8π 25.12 82 π 200.96 9π 28.26 92 π 254.34
5米 1米
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已知正方形面积是10平方厘米， 求圆的面积。
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已知正方形面积是10平方厘米， 求空白部分的面积。
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已知三角形面积是10平方厘米， 求空白部分的面积。
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已知阴影部分的面积是50平方厘米， 求圆环的面积。
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已知阴影部分的面积是50平方厘米， 求圆环的面积。
36
求图形的周长
r = 6dm
8厘米
3.14×6×2+6×4 = 37.68+24 = 61.68dm
6厘米
3.14×6÷2+8×2+6
= 18.84+22 = 40.84厘米
37
• 一个直径为1米的圆形洞口， • 一个身高为1.45米的小女孩不能直身通过， • 如果将洞口周长增加1.57米， • 请你计算她现在能否直身通过？
94
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已知圆和四个圆弧所在的圆的半径都为2厘米， 求阴影部分的面积。
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求乙比甲大多少平方厘米？
甲 乙
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边长为10厘米的正方形中，AD与BC相交与O， 分别以A、B、C、D为圆心，以对角线长的一半 为半径画圆弧与正方形的边相交，求图中阴影部
圆与正方形的关系
通过正方形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；
教
学
过
程
第一步：课前小练笔，设计关键问题（一）、顺畅导入新课
1、计算下面圆的周长和面积。
（1） r=3dm (2)d=4cm
2、已知 c=12.56cm ，求圆的面积。
3、这种阴影部分该如何求呢？
第二步：师生合作、交流、总结
教师活动
课题
圆与正方形的关系
授课时间
查阅签名
教学目标
1、基础目标：使学生了解在任何正方形都有一个外接圆和 一个内切圆，这两个圆是同心圆。
2、深层目标：使学生理解正多边形的中心、半径、边心距、圆心角等概念．
3、巩固目标:通过正方形性质的教学培养学生的探索、 推理、归纳、迁移等能力。
教学重点
使学生了解在任何正方形都有一个外接圆和一个内切圆， 这两 个圆是同心圆。
学生活动
设计关键问题，促成学生合作、探究新知识的过程：
1.引导学生利用学具画一个外方内圆图。
2.出示例3,引导学生读题，弄清已知条件和要求的是什么？两个圆的 半径都是 1m ，左图求的是正方形比圆多的面积，右图求的是圆比 正方形多的面积。
关键问题：正方形的边长与圆的半径有什么关系？那它们的面积该如何算呢？
4﹣3.14=0.86（㎡）
关键问题：外圆内方的图形中我们能找到正方形的边长吗？它的面积能考虑为圆面积减正方形面积吗？那该如何呢？
出示例题图，指导学生思考，如何才能算出阴影部分的面积。
O
1m
教师引导学生明白：虽然不知道正方形的边长，但可以将正方形 看成两个三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径。三角 形的面积可求，即可求出正方形的面积。
圆中求正方形的面积公式
圆中求正方形的面积公式
在圆中求正方形的面积公式，需要先了解圆的面积公式和正方形的面积公式。
圆的面积公式为:πr2，其中 r 为圆的半径，π约等于 3.14。
正方形的面积公式为：边长 2，其中边长为正方形的半径。
接下来，可以利用圆的面积公式和正方形的面积公式来计算圆中求正方形的面积。
设圆的半径为 r，则正方形的边长为 r，圆中求正方形的面积可以通过以下步骤计算:
1. 计算圆的面积:πr2 = 3.14r2
2. 将圆的面积分成若干个正方形，每个正方形的面积等于圆的一个小面积，即πr2/n(其中 n 为正方形的数量)。
3. 计算每个正方形的面积:πr2/n = 3.14r2/n
4. 将所有正方形的面积相加，得到圆中求正方形的面积:S = n × 3.14r2/n
拓展:
在圆中求正方形的面积公式不仅可以用于计算圆的面积的一部分，也可以用于计算其他形状的面积。
例如，如果有一个半径为 r 的圆形，需要计算其中正方形的面积，可以使用相同的公式:S = n ×3.14r2/n。
不同的是，此时正方形的边长不再是圆的半径，而是圆形的一部分，即正方形的边长为 r/n。
在实际应用中，圆中求正方形的面积公式非常有用，例如在建筑、
机械、电子等领域中都有广泛的应用。
《圆与正方形》——冯赛弟
《圆与正方形》教学设计南海区丹灶镇中心小学冯赛弟教学背景：南海区小学数学骨干班的老师到杭州上城区挂职培训期间，到时代小学蹲点学习，在学习期间，接受时代小学数学老师的教学新理念，并结合南海区教学的方向与时代小学学生的实际情况，上了一节《圆与正方形》的研究课。
（这一节课的内容，在人教版没有，但是可以在互联网上搜索“浙教版”六年级上册教材（新思维），即可找到相关的教学内容。
在教学这一课时中，老师可以上网收索不同的教材进行对比，例如：网上比较容易收索的版本有北师大版、人教版、浙教版与青岛版。
上课老师可以把不同版本的教材进行对比，根据自己所教学生的实际情况，调整教材，提高课堂的教学效率。
教学课题：《圆与正方形》教学内容：浙教版p71-72页教学目标：知识目标：1、让学生能在正方形内画一个最大的圆与在圆内画一个最大的正方形。
2、通过探究，知道正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积比是∏：4；圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的比是∏：2。
能力目标：1、通过让学生在正方形内画一个最大的圆与在圆内画一个最大的正方形，培养学生的作图能力与分析能力。
2、通过探究，使学生发现正方形的内切圆与外切圆与正方形的面积关系，培养了学生的探究意识与能力。
情感态度与价值观目标：通过合作探究，让学生经历探究的整个过程，体会探究数学知识的乐趣，体会获取成功的喜悦。
教学重、难点：通过探究，知道正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积比是∏：4；圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的比是∏：2。
教材分析：《圆与正方形》这一课时是浙教版六年级上册第三单元p71-72页的一节思维训练课。
（这一节课的内容，在人教版没有，但是可以在互联网上搜索“浙教版”六年级上册教材（新思维），即可找到相关的教学内容。
在圆这一单元中的一节思维训练课，知识点难度较大。
第一个难点就是作图：先作正方形内接圆，然后通过已知圆画出圆的外切正方形；还有一个就是画出圆的内接正方形。
正方形与圆之间的关系
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1、如图1，小正方形的面积是8平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
其实这道题目很简单，小正方形的边长是圆的半径，小正方形的面积也就是半径的平方，而圆的面积是圆周率乘上半径的平方，所以圆的面积就是3.14×8=25.12（平方厘米）。
2、如图2，正方形的面积是8平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
接着上一题的思路，只要把这个大正方形平均分成四个小正方形，求出每个小正方形的面积，再乘上圆周率即可。
如图：
算式为：8÷4=2（平方厘米）3.14×2=6.28（平方厘米）
这道题目还有很多种方法，比如到了六年级，孩子们知道在一个正方形里画一个最大的圆，其利用率为78.5％，就可以直接用8×78.5％=6.28（平方厘米）。
即使是五年级，如果平时讲解比较深入的话，孩子们也可以知道这个圆的面积占正方形的π/4，可以直接用8×3.14/4，不过孩子们还没有学过分数乘除法，可由教师演示计算过程。
3、如图，正方形的面积为2平方厘米，圆的面积是多少平方厘米呢？
这道题与前面两道似乎不一样，但是加上两条辅助线，似乎“柳暗花明又一村”了：
这样，把正方形分成了四个完全一样的三角形了，然后取两个一拼，又成了一个以半径为边长的正方形了，回到第一题了。
算式：2÷4×2=1（平方厘米）3.14×1=3.14（平方厘米）。