有界磁场带答案
有界磁场专题
1．如图所示，有界匀强磁场边界线SP ∥MN ，速率不同的同种带电粒子(重力不计且忽略粒子间的相互作用)从S 点沿SP 方向同时射入磁场。其中穿过a 点的粒子速度v 1与MN 垂直；穿过b 点的粒子速度v 2与MN 成60°角，则粒子从S 点分别到a 、b 所需时间之比为
A ．1∶3
B ．4∶3
C ．3∶2
D ．1∶1
2．如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O 点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a 、b 、c 、d 四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间t a 、t b 、t c 、t d ，其大小关系是
A ．t a B ．t a ＝t b ＝t c ＝t d C ．t a ＝t b >t d >t c D ．t a ＝t b >t c >t d 3．如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点一个带正电的粒子（重力忽略不计）若从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向（如图中虚线所示），以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是 A ．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B ．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0 C ．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 2 30 t D ．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间 一定是3 50t 4．如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O 和y 轴上的点a （0，L ）。一质量为m 、电荷量为e 的电子从a 点以初速度v 0平行于x 轴正方向射入磁场，并从x 轴上的b 点射出磁场，此时速度的方向与x 轴正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（ ） A ．电子在磁场中运动的半径为 B ．电子在磁场中运动的时间为 23L v π C ．磁场的磁感应强度0 2mv B eL = D ．电子在磁场中做圆周运动的速度不变 5．如图所示，在直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，正、负离子分别以相同的速度从原点O 进入磁场，进入磁场的速度方向与x 轴正方向夹角为30°。已知正离子运动的轨迹半径大于负离子，则可以判断出 ( ) A ．正离子的比荷大于负离子 B ．正离子在磁场中运动的时间等于负离子 C ．正离子在磁场中受到的向心力大于负离子 D ．正离子离开磁场时的位置到原点的距离大于负离子 6．如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B ， ∠A.=60 ， AO=L ，在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子。已 知粒子的比荷为 q m ，发射速度大小都为0qBL v m =。设粒子发射方向与OC 边的夹角为θ，不计粒子间相互作用及重力。对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是 A.当θ=45 时，粒子将从AC 边射出 B.所有从OA 边射出的粒子在磁场中运动时间相等 C.随着θ角的增大，粒子在磁场中运动的时间先变大后变小 D.在AC 边界上只有一半区域有粒子射出 7．如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电粒子以速度v 1从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过t 1时间射出磁场。另一相同的带电粒子以速度v 2从距离直径AOB 的距离为R/2的C 点平行于直径AOB 方向射入磁场，经过t 2时间射出磁场。两种情况下,粒子射出磁场时的速度方向与初速度方向间的夹角均为600.不计粒子受到的重力，则（ ） A ．v 1: v 2= 1:3 B ．v 1: v 2=1:2 C ．t 1 = t 2 D. t 1 > t 2 8．如图所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B ．现有一质量为m 、电量为q 的带正电粒子，从在x 轴上的某点P 沿着与x 轴成30°角的方向射入磁场。不计重力影响，则下列说法中正确的是( ) A ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 Bq m 35π B ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 2Bq m π C ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 Bq m π D ．粒子一定不能通过坐标原点 9．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过t ?时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。现将带电粒子的速度变为v /3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( ) A. 21t ? B.2 t ? C. 3 1 t ? D.3 t ? 10．如图所示，在OA 和OC 两射线间存在着匀强磁场，∠AOC 为30°，正负电子(质量、电荷量大小相同，电性相反）以相同的速度均从M 点以垂直于OA 的方向垂直射入匀强磁场，下列说法可能正确的是 A ．若正电子不从OC 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为3∶1 B ．若正电子不从O C 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为6∶1 C ．若负电子不从OC 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为1∶1 D ．若负电子不从OC 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为1∶6 11．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a 、b 、c ，以不同的速率对准圆心O 沿着AO 方向射入磁场，其运动轨迹如图．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法错误．． 的是 A ．三个粒子都带正电荷 B ．c 粒子速率最小 C ．c 粒子在磁场中运动时间最短 D ．它们做圆周运动的周期T a =T b =T c 12．如图所示，L 1和L 2为两条平行的虚线，L 1上方和L 2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A 、B 两点都在L 2上．带电粒子从A 点以初速度v 0与L 2成30°角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B 点，经过B 点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是 A ．若将带电粒子在A 点时的初速度变大(方向不变)，它仍能经过 B 点 B ．带电粒子经过B 点时的速度一定跟在A 点时的速度大小相同 C ．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 D ．若将带电粒子在A 点时的初速度方向改为与L 2成60°角斜向右上方，它将不能经过B 点 13．如图所示,矩形区域Ⅰ和Ⅱ内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场(AA′、BB′、CC′、DD′为磁场边界,四者相互平行),磁感应强度大小均为B,矩形区域的长度足够长,磁场宽度及BB′与CC′之间的距离相同.某种带正电的粒子从AA′上的O 1处以大小不同的速度沿与O 1A 成α=30°角进入磁场(如图所示,不计粒子所受重力),当粒子的速度小于某一值时,粒子在区域Ⅰ内的运动时间均为t 0;当速度为v 0时,粒 子在区域Ⅰ内的运动时间为05 t .求: (1)粒子的比荷 q m ；(2)磁场区域Ⅰ和Ⅱ的宽度d; (3)速度为v 0的粒子从O 1到DD′所用的时间. 14．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60°.一质量为m 、带电量为＋q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求： (1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹； (2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径R 1和R 2比值； (3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)． 15．在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B．一质量为m带有电量为q的粒子以一定的速度，沿垂直于半圆直径AD方向经P 点（AP＝d）射入磁场（不计粒子重力影响）． （1）如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度v 1 ． （2）如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图所示）．求入射粒子的速度v2．16．如图在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为 2 B 的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以与x轴成30°角的方向斜向上射入磁场，且在x轴上方运动半径为R。求： （1）粒子在x轴下方磁场中运动的半径R'。 （2）粒子在x轴下方磁场中运动的时间t'与在x轴上方磁场中运动的时间t之比。 A 参考答案 1．C 【解析】 试题分析：粒子在磁场中运动的周期的公式为Bq m T π2= ，由此可知，粒子的运动的时间与粒子的速度的大小无关，所以粒子在磁场中的周期相同；由粒子的运动的轨迹可知，通过a 点的粒子的偏转角为90°，通过b 点的粒子的偏转角为60°，所以通过a 点的粒子的运动的时间为T/4，通过b 点的粒子的运动的时间为T/6，所以从S 到a 、b 所需时间t 1：t 2为3：2，所以C 正确。 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动. 2．D 【解析】 试题分析：根据左手定则判断出粒子偏转方向，画出粒子的轨迹， 如图所示 从图中可得粒子偏转所对应的圆心角关系为 a b c d θθθθ=>>，因为 2m T Bq π=，所以粒子运动时间为2m t T Bq θθπ= = ，所以a b c d t t t t =>>，故D 正确； 考点：考查了带电粒子在有界磁场的中的运动 【名师点睛】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，画轨迹是基本方法，也是基本能力，粒子运动的时间常常根据2m t T Bq θθπ= =（θ是轨迹的圆心角）求解 3．AD 【解析】 试题分析：随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG 、FE 、DC 、BA 之间，不可能从四个顶点射出，故A 正确；当粒子从O 点沿纸面垂直于cd 边射入正方形内，轨迹恰好为半个圆周，即时间t 0刚好为半周期，从ab 边射出的粒子所用时间小于半周期（t 0），从bc 边射出 的粒子所用时间小于32周期（3 4 t 0）， 所有从cd 边射出的粒子圆心角都是 300，所用时间为65T （3 5 t 0），故B 、 C 错误， D 正确。 考点：带电粒子在磁场中的运动 4．BC 【解析】 试题分析：设电子在磁场中的轨迹半径为R ，由几何知识得 Rsi n30°=R -L ，得 R=2L ．故A 错误． a O d c b ④ ③ ②A B C D E F G ① 电子在磁场中运动时间 6 T t =；因为 2R T v π= ，解得电子在磁场中的运动时间 t= 23L v π．故B 正确． 由02mv R L eB = =，得02mv B eL =，故 C 正 确．电子在磁场中作匀速圆周运动， 速度大小不变，但其方向时刻在变化，所以速度是变化的，故D 错误．故选：BC 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动. 5．D 【解析】 试题分析：粒子做圆周运动的向心力 等于洛伦兹力，则2 v qvB m r =，解得 q v m rB =，因正离子运动的轨迹半径大于负离子，故正离子的比荷小于负离子，选项A 错误；由左手定则可知，正离子向上偏转，从y 轴射出，其圆弧所对的圆心角为1200；负离子向下偏转，从x 轴射出，其圆弧所对的圆心角为600；因正离子运动的轨迹半径大于负离子，则正离子离开磁场时的位置到原点的距离大于负离子，选项D 正确；根据s t v =可知正离子在磁场中 运动的时间大于负离子，选项B 错误；带电粒子在磁场中运动的向心力是由洛伦兹力提供的，根据洛伦兹力F=qvB 可知，由于q 大小关系未知，所以不能比较向心力的大小，所以C 错误．故选D. 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动. 6．AD 【解析】 试题分析：粒子在磁场中运动的半径为0 mv R L qB = =，若当θ=45°时，由几何关系可知，粒子将从AC 边射出，选项A 正确；所有从OA 边射出的粒子在磁场中运动时所对应的弧长不相等，故时间不相等，选项B 错误；当θ=0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC 中点飞出，在磁场中运动时间 也恰好是6 T ；当θ=60°飞入的粒子在 磁场中运动时间恰好也是6 T ，是在磁 场中运动时间最长，故θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，当θ从60°到90°过程中，粒子从OA 边射出，此时在磁场中运动的时间逐渐减小，故C 错误；当θ=0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC 中点飞出，因此在AC.边界上只有一半区域有粒子射出，故D 正确；故选AD. 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动 7．AC 【解析】 试题分析： 根据题意确定圆心，画出轨迹，如图所示，连接O O 1根据三角形O AO 1?，由几何关系可知 30tan 1 =R R ，连接CO 连接第二个粒子射出点D 与O ，四边形O 2CDO 为菱形，R R =2，根据带电粒子 在磁场中运动的半径公式qB m v R = ，速度与半径成正比1v ：2v =1R ： 2R = 60tan ：1=3：1，所以A 项正 确；B 项错误；根据周期公式qB m T π2= 可知粒子的周期相同，圆心角都为 60，根据磁场中运动时间T t π θ 2=，时间相同，所以C 项正确；D 项错误。 考点：本题考查了带电粒子在磁场中的运动时间 8．ACD 【解析】 试题分析：粒子在磁场中运动的周期 为2m T qB π=；由于P 点的位置不定， 所以粒子在磁场中的运动圆弧对应的圆心角也不同，当粒子从P 点射入，并能从x 轴上射出时，轨迹对应的圆心角最大，此时的圆心角为300°，则运动的时间为5563T m t qB π= =；而最小的圆心角为P 点从坐标原点出发，圆心角为120°，所以运动时间为 233T m t qB π= =，故粒子在磁场中运动所经历的时间为2533m m t qB qB ππ≤≤，选项AC 正确，B 错误；粒子由P 点成30°角 入射，则圆心在过P 点与速度方向垂直的方向上，粒子在磁场中要想到达O 点，转过的圆心角肯定大于180°，而因磁场为有界，故粒子不可能通过坐标原点，故D 正确． 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动. 9．B 【解析】 试题分析： 粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，圆形区域磁场半径为R ，以速度v 射入时，半径qB m v r = 1，由几何关系得：R r 31 =，运动时间t ＝T 6 1 ＝?t 。以速度v /3射入时，半径qB m v r 32= ，故R r r 3 3 3 1 2= = ；设第二次射入时圆心角为θ，则3tan 2 == r R θ，θ＝ 120°。所以第二次运动时间为t ′＝t T ?=23 ，选项B 正确。 考点：本题旨在考查带电粒子在磁场中的运动。 10．CD 【解析】 试题分析：若正电子不从OC 边射出， 从OA 边射出，则负电子也从OA 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比为1∶1，A 、B 错误、C 正确；若负电子刚好不从OC 边射出，轨迹与OC 相切，对应的圆心角为180°，则正电荷轨迹对应的圆心角为30°，正负电子在磁场中运动时间之比为1∶6，D 正确。 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动 11．B 【解析】 试题分析：从图中可得三个粒子都向上偏转，受到向上的洛伦兹力，所以根据左手定则可得三个粒子都带正电，A 正确；因为三个粒子的电荷量质量都相同，又是在同一个匀强磁场中运动，所以根据公式mv R Bq = 可得半径越大，速度越大，故c 粒子的速度最大，B 错误；根据公式2m T Bq π= 可得三个粒子在磁场中的周期相同，故所对圆心角越大，运动时间越长，所以a 粒子运动时间最长，c 粒子运动时间最短，CD 正确； 考点：考查了带电粒子在有界磁场中的运动 12．ABC 【解析】 试题分析：画出带电粒子运动的可能轨迹，B 点的位置可能有下图四种． 根据轨迹，粒子经过边界L 1时入射点 与出射点间的距离与经过边界L 2时入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B 点，故A 正确． 由粒子的运动轨迹图可知，粒子B 的位置在B 1、B 4，速度跟在A 点时的速度大小相等，但方向不同．故B 正确．根据图中轨迹可看出，此粒子正负电荷都可能，故C 正确；如图，设L 1与L 2 之间的距离为d ，则A 到B 2的距离为： 2tan d x θ = ，所以，若将带电粒子在A 点时初速度方向改为与L 2成60°角斜向上，它就只经过多个周期后仍有可能经过B 点，故D 错误．故选：ABC ． 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动. 13．（1） 053t B π （2 ）0010t π（3 ） 025t 【解析】 试题分析：（1）若速度小于某一值时粒子不能从BB′离开区域Ⅰ,只能从AA′边离开区域Ⅰ.则无论 粒子速度大小,在区域Ⅰ中运动的时间相同.轨迹如图所示(图中只画了一个粒子的轨迹).粒子在区域Ⅰ内做圆周运动的圆心角为φ1=300° 由2 v Bqv m R =,2R T v π=解得粒子做圆 周运动的周期为2m T qB π= 依题意053m t T qB π== 解得 053q m t B π = (2)速度为v 0时粒子在区域Ⅰ内的运 动时间为05 t ,设轨迹所对圆心角为φ2, 则012T t ?π=，052t T ?π=； 解得 φ2=φ1=60° 所以其圆心在BB′上,穿出BB′时速度方向与BB′垂直,其轨迹如图所示, 设轨道半径为R,则2 00v Bqv m R = 解得00 035mv t R v qB π = = 故 d=Rsin 60°= 00 10t π (3)区域Ⅰ、Ⅱ宽度相同,则粒子在区 域Ⅰ、Ⅱ中运动时间均为05t ,穿过中间 无磁场区域的时间'0d t v = = 则粒子从O 1到DD′所用的时 间 00 2510t t π = + 考点：带电粒子在磁场中的运动. 14．（1）轨迹如图 （2）2:1；（3）156m B qt π= ；253m B qt π= 【解析】 试题分析：（1）画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹如图所示． （2）设粒子的入射速度为v ，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A 4点射出，用B 1、B 2、R 1、R 2、T 1、T 2分别表示在磁场Ⅰ区、Ⅱ区的磁感应强度、轨道半径和周期(没有设符号的，在图中标记也可以)设圆形区域的半径为r ，如图所示，已知带电粒子过圆心且垂直A 2A 4进入Ⅱ区磁场，连接A 1A 2，△A 1OA 2为等边三角形，A 2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径 R 1＝A 1A 2＝OA 2＝r 在Ⅱ区磁场中运动的半径R 2＝r/2； 即：R 1/R 2＝2:1 （3）2 11v qvB m R =① 2 22 v qvB m R = 11122R m T v qB ππ== ③ 222 22R m T v qB ππ= = ④ 圆心角∠A 1A 2O ＝60°，带电粒子在Ⅰ 区磁场中运动的时间为 t 1＝1 6T 1 在Ⅱ区磁场中运动时间为t 2＝1 2 T 2 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t ＝t 1＋t 2 由以上各式可得：156m B qt π=； 253m B qt π= 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动. 15．（1） 2qBd m （2） [] d R m d R qBd v -+-= )cos 1(2) 2(2? 【解析】 试题分析：（1）由于粒子在P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP 上，AP 是直径。设入射粒子的速度为v 1，由洛仑兹力的表达式和牛顿第二定律得： 2112 v m qBv d = ① 由①式解得： m qBd v 21= ② （2）设O’是粒子在磁场中圆弧轨道 的圆心，连接O’Q，设O’Q＝R’。 由几何关系得：∠OQO’=? ③ 而 OO’=R’－OP , OP ＝d －R 所以OO’= R’+R－d ④ 由余弦定理得 ： ?cos '2')'(222RR R R oo -+= ⑤ 由⑤式解得：[] d R d R d R -+-= )cos 1(2) 2('? ⑥ 设入射粒子的速度为v 2，由 22 2' qBv R v m = ⑦ 由⑦式解得：[] d R m d R qBd v -+-= )cos 1(2) 2(2? ⑧ 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动. 16． （1）2R ；（2）2:1 【解析】 试题分析：（1）由2 v qvB m R =得，半径 mv R qB = （2分），mv R qB '=' （2分） 所以粒子做圆周运动的半径之比为21 R B R B '=='；则2R R '=。（1分） （2）粒子在第一象限运动轨迹所对应的圆心角为60°，在第四象限运动轨迹所对应的圆心角也为60°，粒子在x 轴上方做圆周运动的周期为 2m T qB π= ，运动时间为126m t qB π=?。（2分） 粒子在x 轴下方运动的周期 242 m m T B qB q ππ'= = ?，运动的时间为146m t qB π'=? 。（2分） 所以， 21 t t '=。（1分） 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类 命题人：罗 通 审题人：李吉彬 一、单直线边界磁场 1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点： （1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示. （2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆； 正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=??π，且2-=?θ（或 2+=?θ）. 2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子. 规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例） （1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于 1 2 圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）； （2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于 1 2 圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点. 图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则 m υr= Bq ()2 222aO=r -d-r =dr-d () 2 22Ob=r -d 22224x=ab=aO+Ob=dr-d +r -d 例1．如图所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比 m q 。 υ υ θ θ υ υ O － O ＋ θ φ＋ φ－ 图1 图2 d S b O 2 O 1 a O 寒假磁场题组练习 题组一 1．如图所示，在xOy平面内，y ≥ 0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电量大小为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。 在着沿ad方向的匀强电场，场强大小为E，一粒子源不断地从a处的小孔沿 ab方向向盒内发射相同的带电粒子，粒子的初速度为v0，经电场作用后恰好 从e处的小孔射出，现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场， 磁感应强度大小为B（图中未画出），粒子仍恰好从e孔射出。（带电粒子的重 力和粒子之间的相互作用均可忽略不计） （1）所加的磁场的方向如何？ （2）电场强度E与磁感应强度B的比值为多大？ 题组二 4．如图所示的坐标平面内，在y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小B1 = T的匀强磁场，在y 轴的右侧存在垂直纸面向里、宽度d = m的匀强磁场B2。某时刻一质量m = ×10-8 kg、电量q = +×10-4 C的带电微粒（重力可忽略不计），从x轴上坐标为（ m，0）的P点以速度v = ×103 m/s沿y轴正方 向运动。试求： （1）微粒在y轴的左侧磁场中运动的轨道半径； （2）微粒第一次经过y轴时速度方向与y轴正方向的夹角； （3）要使微粒不能从右侧磁场边界飞出,B2应满足的条件。 5．图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0， 方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG （EF 边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q 的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF 边中点H 射入磁场区域。不计重力。 （1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG 后，从边界EF 穿出磁场，求离子甲的质量。 （2）已知这些离子中的离子乙从EG 边上的I 点（图中未画出）穿出磁场，且GI 长为3a /4，求离子乙的质量。 （3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。 题组三 7．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布 在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域I 、II 中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60°。一质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子以某一速度从I 区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入II 区，最 后再从A 4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求I 区和II 区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。 8．如图所示，在以O 为圆心，内外半径分别为R 1和R 2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U 为常量，R 1＝R 0，R 2＝3R 0，一电荷量为+q ，质量为m 的粒子从内圆上的A 点进入该区域，不计重力。 （1）已知粒子从外圆上以速度射出，求粒子在A 点的初速度的大小； （2）若撤去电场，如图（b ）,已知粒子从OA 延长线与外圆的交点C 以速度射出，方向与OA 延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间； （3）在图（b ）中，若粒子从A 点进入磁场，速度大小为，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？ A 23 有界磁场专题复习 一、带电粒子在圆形磁场中的运动 例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间． 例2、如图2，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36 ?=的粒子．已知α粒子质量 kg m 271064.6-?=，电量C q 19102.3-?=，试画出α粒子通过磁场 空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角． 二、带电粒子在半无界磁场中的运动 例3、如图3中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线, 在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q 、质量为m 、速率为v 的粒子，粒子射入磁场时 的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用． (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔． 例4、如图4所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内， M N O , 图1 M N . . . . . . . . . . . . 图4 o cm x /cm y /p ??? ??? ? ????? ?? ? ? ? 高中物理《磁场》典型题(经典推荐) 一、单项选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．在静电场中电场强度为零的位置，电势也一定为零 B ．放在静电场中某点的检验电荷所带的电荷量q 发生变化时，该检验电荷所受电场力F 与其电荷量q 的比值保持不变 C ．在空间某位置放入一小段检验电流元，若这一小段检验电流元不受磁场力作用，则该位置的磁感应强度大小一定为零 D ．磁场中某点磁感应强度的方向，由放在该点的一小段检验电流元所受磁场力方向决定 2．物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系。如关系式U=IR ，既反映了电压、电流和电阻之间的关系，也确定了V （伏）与A （安）和Ω（欧）的乘积等效。现有物理量单位：m （米）、s （秒）、N （牛）、J （焦）、W （瓦）、C （库）、F （法）、A （安）、Ω（欧）和T （特） ，由他们组合成的单位都与电压单位V （伏）等效的是( ) A ．J/C 和N/C B ．C/F 和/s m T 2? C ．W/A 和m/s T C ?? D ．ΩW ?和m A T ?? 3．如图所示，重力均为G 的两条形磁铁分别用细线A 和B 悬挂在水平的天 花板上，静止时，A 线的张力为F 1，B 线的张力为F 2，则（ ） A ．F 1 =2G ，F 2=G B ．F 1 =2G ，F 2>G C ．F 1<2G ，F 2 >G D ．F 1 >2G ，F 2 >G 4．一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，先保持线框的面积不变，将磁感应强度在1s 时间内均匀地增大到原来的两倍，接着保持增大后的磁感应强度不变，在1s 时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半，先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为（ ） A ．1/2 B ．1 C ．2 D ．4 5．如图所示，矩形MNPQ 区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场，在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示，由以上信息可知，从图中a 、b 、c 处进入 有界磁场专题 1．如图所示，有界匀强磁场边界线SP ∥MN ，速率不同的同种带电粒子(重力不计且忽略粒子间的相互作用)从S 点沿SP 方向同时射入磁场。其中穿过a 点的粒子速度v 1与MN 垂直；穿过b 点的粒子速度v 2与MN 成60°角，则粒子从S 点分别到a 、b 所需时间之比为 A ．1∶3 B ．4∶3 C ．3∶2 D ．1∶1 2．如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O 点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a 、b 、c 、d 四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间t a 、t b 、t c 、t d ，其大小关系是 A ．t a 1．(多选)(2019·湖南长沙、望城、浏阳、宁乡四个县市区3月调研)如图1所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则() 图1 A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子速度大 C．从P点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 2．(2019·闽粤赣三省十校下学期联考)如图2所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，当速度大小为v1时，粒子从b点离开磁场；当速度大小为v2时，粒子从c点离开磁场，不计粒子重力，则v1与v2的大小之比为() 图2 A ．1∶3 B ．1∶2 C ．2∶1 D.3∶2 3．(多选)(2019·山东德州市上学期期末)如图3所示，直角三角形 AOC 内有磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里，∠A ＝60°，AO ＝L .在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为q m ，发射速度大小都为qBL m ，粒子重力忽略不计．对 于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( ) 图3 A ．粒子在磁场中运动最长的时间为πm 3Bq B ．粒子在磁场中运动最长的时间为πm Bq C ．粒子在 AC 边界上可以射出的区域长度为L D ．粒子可以从 A 点射出 4.(多选)(2020·山东济宁市模拟)如图4所示，等腰直角三角形abc 区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，在bc 的中点O 处有一粒子源，可沿与ba 平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子均带负电、质量均为m 、电荷量均为q ，已知这些粒子均可以从ab 边离开abc 区域，ab ＝2l ，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用．关于这些粒子，下列说法正确的是( ) 图4 A ．速度的最大值为 ( )2＋1qBl m B ．速度的最小值为qBl m C ．在磁场中运动的最短时间为πm 4qB D ．在磁场中运动的最长时间为πm qB 5．(2019·福建三明市期末质量检测)如图5所示，在一边长为a 的正方形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．两个相同的带电荷量为－q (q >0)的粒子，质量均为m ，先后从P 点和Q 点以相同的速度v 0沿垂直于边界方向射入磁场，两粒子在图中M 点相遇．不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，已知PO ＝ 32a ，QO ＝36a ，OM ＝1 2 a ，则( ) 磁场典型例题 【内容和方法】 本单元内容包括磁感应强度、磁感线、磁通量、电流的磁场、安培力、洛仑兹力等基本概念，以及磁现象的电本质、安培定则、左手定则等规律。 本单元涉及到的基本方法有，运用空间想象力和磁感线将磁场的空间分布形象化是解决磁场问题的关键。运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况是将力学知识与磁场问题相结合的切入点。 【例题分析】 在本单元知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：不能准确地再现题目中所叙述的磁场的空间分布和带电粒子的运动轨迹：运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况时出错；运用几何知识时出现错误；不善于分析多过程的物理问题。 例1 如图10-1，条形磁铁平放于水平桌面上，在它的正中央上方固定一根直导线，导线与磁场垂直，现给导线中通以垂直于纸面向外的电流，则下列说法正确的是：[ ] A．磁铁对桌面的压力减小 B．磁铁对桌面的压力增大 C．磁铁对桌面的压力不变 D．以上说法都不可能 【错解分析】错解：磁铁吸引导线而使磁铁导线对桌面有压力，选B。 错解在选择研究对象做受力分析上出现问题，也没有用牛顿第三定律来分析导线对磁铁的反作用力作用到哪里。 【正确解答】 通电导线置于条形磁铁上方使通电导线置于磁场中如图10-2所示，由左手定则判断通电导线受到向下的安培力作用，同时由牛顿第三定律可知，力的作用是相互的，磁铁对通电导线有向下作用的同时，通电导线对磁铁有反作用力，作用在磁铁上，方向向上，如图10-3。对磁铁做受力分析，由于磁铁始终静止，无通电导线时，N = mg，有通电导线后N+F′=mg，N=mg-F′，磁铁对桌面压力减小，选A。 例2 如图10-4所示，水平放置的扁平条形磁铁，在磁铁的左端正上方有一线框，线框平面与磁铁垂直，当线框从左端正上方沿水平方向平移到右端正上方的过程中，穿过它的磁通量的变化是：[ ] A．先减小后增大 B．始终减小 C．始终增大 D．先增大后减小 习题课一 带电粒子在匀强磁场中的运动 一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1.基本问题 【例题1】如图所示,一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感应强度为B 、宽度为d 的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300 .求: (1)电子的质量m (2)电子在磁场中的运动时间t 【小结】处理带电粒子在匀强磁场中的运动的方法： 1、 找圆心、画轨迹（利用F ⊥v 或利用弦的中垂线）； 2、 定半径（几何法求半径或向心力公式求半径） 3、 求时间（t= 0360θ ×Ｔ或t= v s ） 注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。 ① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等； ② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。 2.应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。 【例题2】如图—所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比 m q 。 【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。 【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A ，向x 轴作垂线，垂足为H ，由与几何关系得： R L s i n θ=1 2 ① 带电粒子在磁场中作圆周运动，由 qv B mv R 00 2 = 解得R mv qB = ② ①②联立解得 q m v LB =20sin θ 【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。 2qBd m v = 303603d t T v π= = 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。 一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法 1．圆心的确定 因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。 2．半径的确定和计算 利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点： ①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。 ②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。 3．粒子在磁场中运动时间的确定 若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出 圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T 即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t 与运动轨迹的长短无关。 4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析 ①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。 a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标） b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标） c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。 ②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。 专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（1） 该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。 1. 从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 2. 常用方法 ①对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。 ②旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相同而方向不同时，粒子运动轨迹的圆周半径是相同的，所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法”。 ③放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。 【典例1】(2016·全国卷Ⅲ) 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A. mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB 【答案】 D 【解析】 如图所示， 粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ＝mv qB 。设入射点为A ，出射点为B ，圆弧与ON 的交点为P 。由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB ＝R 。 磁场典型题 一、磁场的叠加 例1 已知长直通电导线在周围某点产生磁场的磁感应强度大小与电流大小成正比、与该点到导线的距离成反比。4根电流大小相同的长直通电导线a 、b 、c 、d 平行放置，它们的横截面的连线构成一个正方形，O 为正方形中心，a 、b 、c 中电流方向垂直纸面向里，d 中电流方向垂直纸面向外，则a 、b 、c 、d 长直通电导线在O 点产生的合磁场的磁感应强度 B ( ) A.大小为零 B.大小不为零，方向由O 指向d C.大小不为零，方向由O 指向c D.大小不为零，方向由O 指向a 例3[2017·湖南十三校联考] 如图所示，M 、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 为半圆弧的圆心，∠MOP ＝60°，在M 、N 处各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒 定电流，方向如图所示，这时O 点的磁感应强度大小为B 1，若将N 处长直导线移至 P 处，则O 点的磁感应强度大小为B 2，那么B 2与B 1之比为( ) A.1∶1 B ．1∶2 C.3∶1 D.3∶2 二、安培力的计算 例1 将长为l 的导线弯成16 圆弧，固定于垂直纸面向外、大小为B 的匀强磁场中，两端点A 、C 连线竖直，如图所示。若给导线通以由A 到C 、大小为I 的恒定电流，则导线所受安培力的大小和方向是( ) A.IlB ，水平向左 B ．IlB ，水平向右 C.3IlB π，水平向左 D.3IlB π ，水平向右 例2. 两条直导线相互垂直，如图所示，但相隔一小段距离，其中一条AB 是固定的，另一条CD 能自由转动，当电流按如图所示的方向通入两条导线时，CD 导线将( ) 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱 带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。 在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按 已知参数可将问题分为如下10类（2 5C ），并可归并为6大类型。 所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。 类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。 【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A ．使粒子的速度v 带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析 一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时,一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心,从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。 1、首先确定圆心： 一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 三个常用方法： 方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心 由于向心力的方向与线速度方向互相垂直,洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力,其延长线的交点即为圆心。 例1：如图1所示，一个质量为ｍ电荷量为ｑ的带电粒子从x 轴上的P （a ,０）点以速度v,沿与x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。 解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点Ｏ即为粒子做圆运动的圆心,由图可以看出，轨道半径为 3 260sin a a r = = ,洛仑兹力是向心力r mv qBv 2 = ，由①②解得aq mv B a r 23,32==. 射出点的纵坐标为（ｒ+r ｓin30°）=1.５r ，因此射出点坐标为（０,a 3)。 方法二:利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心 带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时,如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向,可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。 例2:电子自静止开始经M 、N 板间(两板间的电压为U)的电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为ｄ的匀强磁场中,电子离开磁场时的位置P 偏离入射方向的距离为Ｌ,如图2所示,求： (1)正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； (２）匀强磁场的磁感应强度.(已知电子的质量为ｍ，电量为e) 解析:（1)联结ＡP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦,做弦AP 的中垂线,由于电子通过Ａ点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过Ａ点的半径与磁场的左边界重合。ＡP 弦的中垂线ＯC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心,以O 为圆心以OA 为半径画圆弧,如图3所示， （2)在M 、Ｎ间加速后获得的速度为v ，由动能定理得: 22 1mv eU = 电子进入磁场后做匀速圆周运动,设其半径为r ，则：r v m eBv 2 = 在△ＡQP 中：2 2 sin d L L += θ 在△A ＣO 中 :r d L r AC 2/sin 2 2+==θ 由①②③④解得:Ｂ = e mU d L L 222 2+ 方法三:利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心 当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置,而不知道射出点的位置,应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。 例3、一质量为ｍ、带电量为+q 的粒子以速度v 从O 点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后,从Ｂ 处穿过ｘ轴,速度方向与x 轴正方向的夹角为３0°,同时进入场强为E 、方向沿与x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中,通过了B 点正下方的C 点。如图示4所示,不计重力，试求： （1)圆形匀强磁场区域的最小面积; （2）C 点到B 点的距离h 。 解析:（1)反向延长ｖb 交ｙ轴于O 2点，作∠B Ｏ2O 的角平分线交x 轴于Ｏ1,O 1即为圆运动轨道的圆心,OO 1即为圆运动轨道的半径,其半径为 qB mv OO R ==1 画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交B O 2于A 点,最小的圆形磁 场区域是以ＯA 为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则 R r OA 32== 2m in r S π= 利用①②③解得2 222min 43B q v m S π= （２） Ｂ到C 受电场力作用，做类平抛运动,沿初速方向:vt h = 30sin 沿电场方向：22130cos t m qE h ?= 利用④⑤消去ｔ解得qE mv h 2 34=. 2.半径的确定和计算 带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题探析 甘肃省 兰州市第五十八中学 李秀明 邮编730060 【摘要】带电粒子在有界匀强磁场中的运动类问题，因其能有效考察学生数理结合能力、图形图像能力、空间思维能力而成为历年高考的热点之一。本文从带电粒子在匀强磁场中运动的基本物理模型出发，结合数学知识探究解决此类问题的一般规律。 【关键词】带电粒子 匀强磁场 一、 带电粒子在匀强磁场中的受力特点和运动规律 电量为q 的带粒子以速度v 垂直进入匀强磁场B 时，受到的洛仑兹力f=qvB 始终与运动方向垂直，因此在匀强磁场中做匀速圆周运动，且有： F 向=f=r v 2m 解得：圆周运动半径r=qB m v 圆周运动周期T=qB m 2v r 2ππ= 二、 带电粒子在有界匀强磁场中的运动规律 当带电粒子穿越有界匀强磁场区域时，带电粒子在磁场中垂直磁场方向的平面内的运动轨迹为一段圆弧，两端点的半径和圆弧围成一个扇面，其几何尺寸与圆周运动的半径相联系，在磁场中运动的时间与扇面的圆心角相对应。解决这类问题的核心是正确画出在磁场中运动的扇面，然后利用半径公式求解相关距离，利用周期公式求解在磁场中运动所需时间。 例一、如图1所示，带电量为q 的正电荷以速度 v 从a 点射入垂直纸面向里的匀强磁场B 中，入射方向与磁场边界的夹角为θ，求出射点到入射点间的距 离及带电粒子在磁场中运动的时间。 解析：（1）、带电粒子在磁场中运动轨迹如图， 根据带电粒子在磁场中圆周运动规律和几何关系知：圆周半径：r=qB m v ① 出射点b 到入射点a 之间的距离：L=2rsin ② 解得：L=θsin qB mv 2 结论：两点间距离与带电粒子的比荷、入射速度、入射方向、磁感应强度都有关。 v v 正电荷 负电荷 精心整理 高中物理磁场经典计算题训练（有答案） 1.弹性挡板围成边长为L =100cm 的正方形abcd ，固定在光滑的水平面上，匀强磁场竖直向下，磁感应强度为B =0.5T ，如图所示.质量为m =2×10-4kg 、带电量为q =4×10-3C 的小球，从cd 边中点的小孔P 处以某一速度v 垂直于cd 边和磁场方向射入，以后小球与挡板的碰撞过程中没有能量损失. （1）为使小球在最短的时间内从P 点垂直于dc 射出来，小球入射的速度v 1是多少？ （2）若小球以v 2=1 m/s 的速度入射，则需经过多少时间才能由P 点出来？ 2. 量为m ,（1（2（33.量为q 上的A 大小为v 4.度为B 粒子最后打在屏上E 点，求粒子从A 到E 所用时间． 5.如图所示，3条足够长的平行虚线a 、b 、c ，ab 间和ab 间和 bc q 的粒子沿垂直于界面a 的方向射入磁场区域，不计重力，粒子的初速度大小应满足什么条件？ 6.如图所示宽度为d 的匀强磁场，现有一质量为m ，带电量为+q 的粒子在纸面内以速度v 边缘线成30°角，试求当v b c 7.在受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子的运动束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R 1= 3 3 m ，外圆半径R 2=1.0m ，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（如图所示）。已知磁感应强度B ＝1.0T ，被束缚带正电粒子的荷质比为 m q ＝4.0×107C/kg ，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用． ⑴若中空区域中的带电粒子由O 点沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v 0。 ⑵若中空区域中的带电粒子以⑴中的最大速度v 0沿圆环半径方向射入磁场，求带电 粒子从刚进入磁场某点开始到第一次回到该点所需要的时间。 8.空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一带电量为+q 、质量为m 的粒子，在P Q 子在P 点时的⑵ 1、（1 得v 1 （2 得R 小球从甲乙 2.(1)从S 点发射的粒子将在洛仑兹力作用下做圆周运动, 即R mv qvB 2 =①-------------------（2分） 因粒子圆周运动的圆心在DE 上,每经过半个园周打到DE 上一次，所以粒子要打到E 点应满足：() 3,2,1,22 1 =?=n R n L ②-------------------（2分） 由①②得打到E 点的速度为nm qBL v 4=，() 3,2,1=n ------------（2分） 专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题 目练习】 1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁 场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量 的带正电，电荷量为q ，质量为m，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相 互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（） A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上 B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D ．只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上m 2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m ，宽ab=0.3m ，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场） -7 磁感应强度B= 0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg 、电荷量 -3 2 q=+2 ×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（） A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点 3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a 的上方和直线x=2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+ q（q>0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O1 点正上方的 A 点射出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度 B 的大小； （2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角； （3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 “临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。 一、解题方法 画图→动态分析→找临界轨迹。（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。） 二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度） 分述如下： 第一类问题： 例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？ 分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。 第二类问题： 例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。 分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆 ──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。 【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力）， 第五章 稳恒磁场 设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：如图所示 令 110A I H e r = 220A I H e r = 由稳恒磁场的边界条件知， 12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H = 所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律 H dl I ?=? 得 12I H H r π+= (2) 联立(1),(2)两式便解得 ， 2112 0I I H r r μμμμπμμπ=? =?++ 01212 0I I H r r μμμμπμμπ= ? =?++ 故， 01110I B H e r θμμμμμπ==?+ 02220I B H e r θμμμμμπ== ?+ 212()M a n M M n M =?-=? 2 20 ( )B n H μ=?- 00()0I n e r θμμμμπ-= ???=+ 222()M M M J M H H χχ=??=??=?? 00 00(0,0,)z J Ie z μμμμδμμμμ--=?=?++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。 ？ 解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分 量，而与φ，z 无关。由2A ?的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ?=- 220A ?= 此即 1 01()A r J r r r μ??=-?? 2 1()0A r r r r ??=?? 通解为 21121 ln 4 A Jr b r b μ=-++ 带电粒子在有界磁场中运动的 临界问题（同名9311） 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大 小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。 在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（C2），并可归并为6大类型。 所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹 圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序 尽可能多地 作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少 5画个轨迹圆）， ③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆, 从而抓住解题的关键点。 类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大 小不确定（即轨道半径不确定） 【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于 纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 B ， 板间距离也为L ，板不带电.现有质量为 m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）， ① ② r = ④厂⑧ 出射 二 ―⑨ 一*■⑩ 型 四 类 型 五 ⑤ ⑨ 入射方向、速度大 小； 出射方向、速度 大小； 类 型 六 ④ ⑥ 入射点、出射方向； 出射点，入射方向 ⑤ ⑥ ⑦ L X 为 * * i X * 丸 X 从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁 场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A ?使粒子的速度xBm 5BqL v > 4m BqL 5BqL 4m 带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类
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