数值分析历年考题

数值分析A 试题

2007.1

第一部分：填空题10?5

1.设3112A ??= ???

,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ???

分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ 3.已知数据

,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________

b =___________

4.方程13cos 2044

x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法113cos 244

k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________

6.设()s x = 3232323,[0,1]

31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________

b =___________

7.要想求积公式：1

121()(()f x dx A f f x -≈+?的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________

8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________

9.用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________

10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8

L x x x =-+,求积分1

241()()ax bx c L x dx -++=?___________其中,,a b c 为常数。

第二部分：解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）

1.（14分）已知方程组,Ax b =其中31,32a A b a ????== ? ?????

（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi 和Gauss-seidel 迭代法收敛的a 的取值范围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。

（2）当1, 1.2a ω=-=时，写出SOR 方法迭代矩阵的表达式和SOR 方法计算公式的分量形式，并取初值(0)(0,0)T x =，求(1)(2),x x

（3）取1a =-，用迭代公式(1)()()()k k k x

x Ax b β+=+-，试求使该迭代方法收敛的β的最

大取值范围，最优β=？ 2（14分）用单步法1[(,)(,(,))]2

n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y +=++++求解初值问题：00'(,),(),y f x y y x y ==

（1） 求出局部截断误差1n T +以及局部截断误差主项，该方法是几阶的？

（2） 求绝对稳定性区间。（写出求解过程）

（3） 用该方法解初值问题0',(0)y y y y =-=时，步长h 满足什么条件才能保证方法的绝

对稳定性。

3（14分）已知非线性方程组 11221124cos 0

1408

x x x x x x +-=-+=，在矩形域212{|11,02}D x R x x =∈-≤≤≤≤内有解*x 。提示：

cos(0.5)0.8776,sin(0.5)0.4794.==

（1） 取初值(0)(0.5,0.5)T x =，用Newton 迭代(1)x 。

（2） 记12(,)T x x x =，并设122111(cos )4()11()48x x x x x ??-+??Φ=????-????

。试证明不动点迭代法(1)()k k x x +=Φ在*x 处具有局部收敛性。

4（14分）试构造Gauss 型求积公式：

111221()()()(),x f x dx A f x A f x ρ-≈+?其中，权函

数2().x x ρ=构造步骤如下：

（1） 构造区间[1,1]-上权函数为2x 的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss 点12,x x

（2） 写出求积系数12,A A ，并给出求积公式代数精确度的次数

（3） 写出求积公式的余项表达式并化简

5（8分）设A 为n 阶非奇异阵，B 是奇异阵，求证()

2cond A A B A αα-≥,其中?为

矩阵从属范数，α为常数，且0α≠

第二份（2004.6）

1. 给定二阶RK 基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h 的要求 112121()2

(,)

33(,)55n n n n n n h y y k k k f t y k f t h y hk +=++==++

2. 给定一个分段函数，求全函数为1区间[0,2]的最佳二次平方逼近

3. 给定对称正定矩阵（3*3），判断SOR 收敛性（ 1.2ω=）、给定初值算一步，估计5次

迭代误差

4. 给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度

()f x 从0积到2 1122()()r f x r f x =+

5. 给定两个矩阵1,A A （均为3*3）,将A 变化为三对角阵，用QR 方法对1A 算一步求2A

6. （1）设B 奇异，证明11

A B

A A A --=,其中?为算子范数。

（2）证明最佳n 次平方逼近函数奇偶性与()f x 相同

第三份，韩老师2002.1

1. 单步法122(,)3(,(,))433n n n n n n n n h h h y y f t y f t y f t y +=+

+++ （1）1,n T +收敛阶

（2）绝对稳定区间

（3）对052,1,y y y '=-+=在0.2,0.5,1h =时讨论数值扰动的稳定性

2.（1）2x e -的(1*2)pade 逼近

（2）012(()()())I A f x f x f x =++

确定012,,,A x x x ，判断代数精度，是否高斯

3. 给定()F x

(1) 11(),(1,1,1)4

T k k x x F x x *+=-=,证明局部收敛 （2） 给定0x ，用牛顿算两步

4. ,Ax b A =含未知数a

（1）求a ，使T LL 存在

（2）给定a ，用cholesky 算L

（3）给定a ，判断,jaccobi gauss siedel -是否收敛

（4）给定a ，SOR 算一步

5. 给定A

（1）househoulder 算p ，1A pAp =

（2）givens 对1A 做QR

（3）算一步QR 迭代，得到2A 6. 1B <,证明I B -可逆，并证明11I B B

-<-

第四份，郑老师2006年

填空：

1. 3.1425926是π的几位有效数字

2. 3()1f x x x =+-，求均差[1,1,1],[0,1,2,3],[0,1,2,3,4]f f f

3. simpson 公式得代数精度是几阶

4. cot New es -积分系数k C 的和是多少