用频率作为概率的估计值
用频率估计概率(含答案)
一、基础知识： 用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某一个常数p 的附近，那么事件A 发生的概率P (A )=p .其中0≤p ≤1条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。
关键是：通过大量重复试验找出频率的稳定值。
二、重难点分析本课教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
本课教学难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率。
通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。
培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。
典型例题分析例1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率=nm 0.9600.9400.9550.9500.9480.956 0.950则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）A ．0.96 B ．0.95 C ．0.94D ．0.90率=频数与总情况数之比．例2、一个不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大1，求：（1）取出白球的概率是多少？量的实验，得到取出红球的频率是4（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？三、感悟中考1、（2014•河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4（2014•贵阳）“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是个．四、专项训练（一）基础练习1、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在20%和40%，则布袋中白色球的个数很可能是个．姚明在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：投篮次数10 100 10000投中次数9 89 9012试估计姚明在这段时间内定点投篮投中的概率是（精确到0.1）【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．3、在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，搞清频率与概率的关系是解题关键．（二）提升练习1、（2014•东海县模拟）一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A．袋子一定有三个白球B．袋子中白球占小球总数的十分之三C．再摸三次球，一定有一次是白球D．再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次【答案】D2、某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数（张）500 1000 2000 6500（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．。
人教版数学九年级上册《用频率作为概率的估计值》说课稿2
人教版数学九年级上册《用频率作为概率的估计值》说课稿2一. 教材分析《用频率作为概率的估计值》是人教版数学九年级上册第五章第三节的内容。
这部分教材是在学生已经掌握了概率的基本概念和等可能事件的概率计算的基础上进行讲解的，旨在让学生通过实验和观察，理解并掌握频率与概率之间的关系，从而能够利用频率来估计事件的概率。
本节课的内容对于学生来说是一个重要的转折点，他们将从理论的层面转向实践的层面，通过实验来验证概率的计算结果。
教材通过具体的实例和活动，引导学生发现频率与概率之间的规律，从而培养学生的观察能力、实验能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对概率的概念和计算方法有一定的了解。
然而，他们对频率与概率之间的关系可能还不是很清楚，需要通过实验和观察来进一步理解和掌握。
此外，九年级的学生正处于青春期的后期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散，需要教师通过有趣的教学活动和实例来吸引他们的注意力。
三. 说教学目标本节课的教学目标有三：1.让学生通过实验和观察，理解频率与概率之间的关系，能够利用频率来估计事件的概率。
2.通过解决实际问题，培养学生的观察能力、实验能力和推理能力。
3.培养学生的合作意识和交流能力，提高他们的数学素养。
四. 说教学重难点教学重点：频率与概率之间的关系，如何利用频率来估计事件的概率。
教学难点：频率与概率之间的关系，如何利用频率来估计事件的概率。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、实验法、讨论法、探究法等教学方法，利用多媒体教学手段，引导学生通过实验和观察，发现频率与概率之间的关系，从而能够利用频率来估计事件的概率。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的抽奖游戏，让学生感受概率的魅力，激发学生的学习兴趣。
2.实验与观察：让学生进行抛硬币实验，观察并记录硬币正面朝上的频率。
3.分析与推理：引导学生发现频率与概率之间的关系，总结出利用频率来估计事件的概率的方法。
初三数学上学期同步讲解：用频率估计概率
用频率估计概率一、知识点1. 用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝m n.二、标准例题：例1：做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（）A．概率等于频率B．频率等于12C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【解析】A、概率不等于频率，A选项错误；B、频率等于正面朝上的次数总次数，B选项错误C、概率是稳定值不变，C选项错误D、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。
故答案为：D总结：此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。
例2：“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”【答案】D【解析】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确；D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．故选D．总结：本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．例3：下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】（1）见解析；（2）0.5.【解析】（1）根据题意得：28÷50=0.56；60÷100=0.60；78÷150=0.52；104÷200=0.52；123÷250≈0.49；152÷300≈0.51；350÷251≈0.50；见下表：(2)由题意得：投篮的总次数是50+100+150+200+250+300+350=1400(次)，投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796(次)，则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次,投中的概率约为：796 1400≈0.5.故答案为：0.5.总结：本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率.例4：为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．（1）填空：样本容量为，a＝；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．【答案】（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．解：（1）5415100360÷=，所以样本容量为100；B组的人数为100153515530----=，所以3010030100a=⨯=，则30a=；故答案为100，30；（2）补全频数分布直方图为：（3）样本中身高低于160cm的人数为153045+=，样本中身高低于160cm的频率为450.45 100=，所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．总结：本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．三、练习1．以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是2 3B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是1 2D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是1 2【答案】D解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项D正确，故选：D．2．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选：C．3．某运动员投篮5次，投中4次，则该运动员下一次投篮投中的概率为（）A．15B．14C．45D．不能确定【答案】D【解析】因为投中是不确定的事件，所以下次投篮投中的概率不能确定.故选：D4．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】B【解析】解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1-20%-50%=30%，故此选项正确；∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选：B．5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（）A．朝上的点数是6的概率B．朝上的点数是偶数的概率C．朝上的点数是小于4的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【答案】D【解析】A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为16，故此选项错误；B. 掷一枚正六面体的骰子，点数为偶数的概率为12，故此选项错误；C．掷一枚正六面体的骰子，点数小于4的概率为12，故此选项错误；D．掷一枚正六面体的骰子，点数为3的倍数的概率为10.333，故此选项正确；6．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：当n越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到0.01）【答案】0.82.【解析】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.82，故答案为：0.82.7．有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______.【答案】20【解析】解：石块标记3的面落在地面上的频率是15100=320，于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是3 20．故答案为：3 20．8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表：投中的频率根据上表，该运动员投中的概率大约是__________（结果精确到0.01）．【答案】0.85【解析】由表格可知，该运动员大量投篮时，投中的频率稳定在0.85附近，所以该运动员投中的概率大约是0.85. 故答案为：0.85.9．某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为_________________（精确到0.01）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树_________万棵.【答案】0.86 5【解析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86．（2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 10．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了60次试验，试验的结果如下：①填空：此次实验中“3点朝上”的频率为________；②小红说：“根据实验，出现3点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．【答案】（1）①110；②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）16． 【解析】解：（1）①∵实验中“3点朝上”的次数有6次，总数为60， ∴此次实验中“3点朝上”的频率为6÷60=110； ②小红的说法不正确，∵利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有代表性，∴小红的说法不正确；（2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况：，，，，， ，∴和为2的有1种， 和为3的有2种， 和为4的有3种， 和为5的有4种， 和为6的有5种， 和为7的有6种， 和为8的有5种， 和为9的有4种， 和为10的有3种， 和为11的有2种， 和为12的有1种，两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大， 则最大概率为：6÷36=16．11．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3． （1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数． 【答案】（1）50；（2）60 【解析】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）=50（个） （2）设小明放入红球x 个．根据题意得：200.5100xx+=+解得：x =60（个）．经检验：x =60是所列方程的根． 答：小明放入的红球的个数为60．12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）假如摸一次，摸到黑球的概率P=；（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只.【答案】（1）0.6；（2）0.4；（3）20.【解析】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6（2）摸到黑球的概率P=1-0.6=0.4（3）盒子里黑颜色的球有50×0.4＝20．13．“五一”期间，某商场推出“购物满额即可抽奖”活动.商场在抽奖箱中装有1个红球、2个黄球、3个白球、8个黑球，每个球除颜色外都相同，红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖，黑球代表谢谢参与.获得抽奖机会的顾客每次从箱子中摸出一个球，按相应颜色对应等级兑换奖品，每次所摸得球再放回抽奖箱，摇匀后由下一位顾客抽奖.已知小明获得1次抽奖机会.(1)小明是否一定能中奖___________；(填是、否)(2)求出小明抽到一等奖的概率；(3)在这个活动中，中奖和没中奖的机会相等吗？为什么？如果不相等，可以如何改变球的个数，使中奖和没中奖的机会相等？(只写一种即可)【答案】(1)否；(2)小明抽到一等奖的概率是114；(3)见解析.【解析】解：(1)否；(2)球的个数有123814+++=(个)，而红球有1个所以小明抽到一等奖的概率是1 14；(3)因为黑球的个数有8个，所以没有中奖的概率是84 147=，则中奖的概率是43177 -=，因为43 77≠，所以中奖和没中奖的机会不相等，可以减少2个黑球使中奖和没中奖的机会相等.（答案不唯一）.14．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）上表中的a=；（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？【答案】(1) 0.58;(2) 0.6;(3)白球12(个),黑球8 (个)【解析】(1)a=290500=0.58，故答案为：0.58；(2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：0.60；(3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个).答：黑球8个，白球12个.15．一个袋中装有7个红球，8个黑球，9个白球，每个球除颜色外都相同．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率；（2）若先从袋中拿出7个红球和(5)m m>个黑球，再从剩下的球中摸出一球．①若事件“再摸出的球是白球”为必然事件，求m的值；②若事件“再摸出的球是白球”为随机事件，求m 的值，并求出这个事件概率的最小值． 【答案】（1）724；（2）①8m =；②6m =，911. 【解析】解：（1）从袋中随机摸出一个球是红球的概率7778924==++．（2）①由题意袋中，都是白球，8m =． ②由题意6m =或7或8，当6m =时，这个事件概率的最小，最小值911=． 16．小明在一个不透明的口袋里装若干个白球，要求本学习小组的其他成员在不允许将球倒出来数的情况下，估计白球的个数.小组成员小华应用了统计与概率的思想和方法解决了这个问题.他拿了8个黑球放入口袋里，将球搅匀.然后学习小组进行有放回的摸球实验，下表是活动进行中的一组统计数据.请你根据以上统计数据，帮助小华解答下列问题：（1）补全上表中的有关数据，并估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）估计口袋里白球的个数. 【答案】（1）0.4；（2）12. 【解析】（1）上表中的有关数据是0.399，当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近0.4.（2）设白球的个数为x ，则80.48x =+，解得12x =.。
频率估计概率的公式
频率估计概率的公式
用频率估计概率的公式是f=p，在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数。
比值m/n称为事件A发生的频率，用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值是频率。
某个组的频数与样本容量的比值也叫做这个组的频率。
有了频数（或频率）就可以知道数的分布情况。
在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。
用频率估计概率-九年级数学上册精讲与精练高分突破(人教版)
25.3 用频率估计概率考点一：在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。
一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率nm稳定于某一个常数P ，那么事件A 发生的频率P （A ）=p 。
题型一：频率与概率的关系1．（2022·河南平顶山·二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况．图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（ ） A ．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次B ．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48C ．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5D ．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.52．（2022·浙江·九年级单元测试）投掷一枚质地均匀的硬币m 次，正面向上n 次，下列表达正确的是（ ） A ．n m的值一定是12 B ．n m的值一定不是12 C ．m 越大，n m 的值越接近12 D ．随着m 的增加，n m的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性3．（2022·江西吉安·九年级期末）下列说法正确的是（ ） A ．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等题型二：求某事件的频率4．（2021·浙江·舟山市定海区第六中学九年级阶段练习）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（）A．2 B．3 C．5 D．85．（2022·全国·九年级课时练习）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）．类型健康亚健康不健康数据（人）32 7 1A．32 B．7 C．710D．456．（2022·全国·九年级专题练习）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30题型三：频率和概率的综合7．（2022·全国·九年级专题练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 …摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 …摸到白球的频率0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 …(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？8．（2022·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据：摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498摸到白球的频率mn0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249(1)摸到白球的概率的估计值是多少？请说明理由．（精确到0.01）(2)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是（填序号）．①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．9．（2022·全国·九年级单元测试）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到黑球的频率会接近（精确到0.1）；(2)若袋子中白球有4个，①估算一下袋中两种颜色球共有个；②若小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，摸出黑球的概率估计值是多少？（用含a的式子表示）．一、单选题10．（2022·浙江温州·九年级期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为2900cm的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（）A．2360cm C．2540cm300cm B．2450cm D．211．（2022·陕西师大附中九年级期中）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（）A．3 B．5 C．10 D．1212．（2022·全国·九年级专题练习）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃13．（2022·吉林·长春市第一〇八学校九年级期中）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100 1000 5000 8000 10000 15000 20000幼树移植成活数（棵）87 893 4485 7224 8983 13443 18044幼树移植成活的频率0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是（）（结果精确到0.1）A．0.902 B．0.90C．0.89 D．0.914．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球的个数约为（）A．8 B．14 C．17 D．2015．（2022·广东·九年级单元测试）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个16．（2022·全国·九年级专题练习）某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块C．布袋中有1个红球和2个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是417．（2022·浙江金华·九年级期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．抽取件数（件）100 150 200 500 800 1000合格频数a141 176 445 720 900合格频率0.88 0.94 0.88 0.89 0.90 b(1)求,a b的值；(2)估计这批衬衣的合格概率；(3)若出售1200件衬衣，其中次品大约有多少件？一：选择题18．（2022·全国·九年级专题练习）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（）A．12B．9C．8D．619．（2022·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的红、白两种颜色的球共5个.某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色.再把它放回袋中.不断重复，下表是活动中的一组统计数据：摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000摸到白球的次数m 54 98 174 295 484 602摸到白球的频率mn0.540.650.580.590.6030.602(1)请估计，当n很大时，摸到白球的概率接近（结果精确到0.1）.(2)试估算口袋中白球的个数.(3)在一次摸球游戏中，小明发现先后摸两次球（第一次放回），第一次摸到白球的概率为35，第二次摸到白球的概率也为35，那么两次都摸到白球的概率为339=5525，根据以上信息，求事件A（第一次摸到红球，第二次摸到白球）的概率.20．（2022·全国·九年级专题练习）以下说法正确的是（）A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是3 10B．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上C．某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖D．在一次课堂进行的抛硬币试验中，同学们估计硬币落地后正面朝上的概率为0.5121．（2022·全国·九年级专题练习）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率22．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（）抛掷次数100 200 300 400 500正面朝上的频数53 98 156 202 244A．200 B．300 C．500 D．80023．（2022·浙江·九年级单元测试）小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（）A．4cm2B．3.5 cm2C．4.5 cm2D．5 cm224．（2022·全国·九年级专题练习）某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是P＝nm，下列说法中正确的是（）A．P一定等于12B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在12附近C．多抛掷一次，P更接近12D．硬币正面朝上的概率是n m25．（2022·全国·九年级课时练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表所示，根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是()A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84二、填空题26．（2022·云南楚雄·九年级期中）一副扑克牌去掉大小王后，只剩下52张牌，从中任取一张，记下花色，随着试验次数的增加，出现红桃花色的频率将稳定在___________左右．27．（2022·广东·深圳市南山外国语学校九年级期中）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小天共摸了200次，其中有40次摸到白球．因此小天估计口袋中的红球大约有______．28．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校九年级阶段练习）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和2个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为__________．29．（2022·全国·九年级单元测试）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g501.5g～之间的概率约为________．30．（2022·广东·九年级单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）．31．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）在一个不透明的盒子中，装有除颜色不同外其余均相同的6个小球，进行摸球实验，实验数据如下表，则可估计盒子中红球有_________个．摸球的次数50 100 150摸到红球的次数20 33 4732．（2022·湖南·株洲景炎学校九年级期中）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数～这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是部分位数的增加，096的概率为______．33．（2022·陕西·无九年级阶段练习）一个不透明的袋中装有若干个红球和10个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为_________个．三、解答题34．（2022·浙江·余姚市兰江中学九年级阶段练习）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000(1)完成上表；(2)“摸到红球”的概率的估计值．（精确到0.1）(3)试估算袋子中红球的个数．35．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）食品安全问题已经严重影响到我们的健康．某执法部门最近就食品安全抽样调查某一家超市，从中随机抽样选取20种包装食品，并列出下表：请你根据以上信息解答下列问题：(1)这次抽样调查中，“食品质量为合格以上（含合格）”的频率为多少？(2)若这家超市经销的包装食品共有1300种，请你估计大约有多少种包装食品是“有害或有毒”的？36．（2022·广东·九年级单元测试）牛牛元旦那天和爸爸、妈妈一起回老家看望爷爷、奶奶．因为期末考试将至，他把书包也带了去，准备抽空看看书．书包内有语文、数学、英语、物理四本课本．他想通过实验的方法了解从书包中任意取出一本书，刚好是数学课本的机会有多大．于是他把四本课本的顺序打乱后，闭上眼睛从书包中任取一本书，记录结果后将书放回书包后，再重复上面的做法，得到了下表中的数据(1)请根据表中提供的数据，求出取中数学课本的频率（精确到0.001)；(2)根据统计表在图中画出折线统计图；(3)从统计图中你发现了什么？(4)你还能用别的替代物进行模拟实验吗？请说出一种方法．37．（2022·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个．小亮做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：(1)请估计：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）(2)假如你摸球一次，摸到白球的概率P（摸到白球）＝______，摸到黑球的概率P（摸到黑球）＝______；(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？38．（2022·全国·九年级课时练习）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在38．(1)估计摸到黑球的概率是_______；(2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？(3)在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在34，估计n的值．39．（2022·全国·九年级期中）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：(1)上表中a＝，b＝；(2)请估计，当n很大时，频率将会接近；(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？请简要说明理由；(4)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多少棵？40．（2022·全国·九年级单元测试）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：a________；b=________；(1)按表格数据，表中的=(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0.1）；(3)试估算：这一个不透明的口袋中红球有多少个？1．C【分析】根据由频率估计概率的意义逐项判断即可．【详解】根据图象可知当抛掷的次数为300次时，正面朝上的频率为0.5，A.∴此次试验正面朝上的次数为300×0.5=150（次）<200次，故A错误；B.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故B错误；C.根据在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率，故C正确；D.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故D错误；故选C．【点睛】本题考查由频率估计概率．掌握在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率是解题关键．2．D【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是12，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，nm是它的频率，随着m的增加，nm的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性；故选：D【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的时间．3．B【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，根据选项一一判断即可．【详解】某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，A错；某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是3080.616 500，B正确；当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，C错；试验得到的频率与概率有可能相等，D错．故选：B【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．4．B【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近，∴60.6 61n=++解得 n=3故选：B．【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．5．D【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是324 405=故选：D．【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解．6．B【分析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．【详解】由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15=100（人）选择“5G时代”的人数为：30人∴选择“5G时代”的频率是：30=0.3 100故选：B．【点睛】本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．7．(1)0.6(2)0.6，0.4(3)12个【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【详解】（1）解：根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；故答案为：0.60；（2）解：因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；所以摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是0.4；故答案为：0.6，0.4；（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是300.618⨯=个，黑球是300.412⨯=个．【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．8．(1)0.25，理由见解析(2)②【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.25，由此得出答案；（2）根据概率公式求出各自的概率，然后与（1）比较，即可得出答案．（1）解：摸到白球的概率的估计值是0.25；理由：大量重复实验下，摸到白球的频率稳定在0.25附近，0.25即概率的估计值；（2）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是12；②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率是14＝0.25；③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”的概率是26＝13；综上所述，符合（1）中结果的试验最有可能的是②，故答案为：②．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是解决问题的关键．9．(1)0.5(2)①8；②48 aa+ +【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即可求解；（2）①摸到黑球的频率接近0.5知摸到白球的频率约为0.5，用白球个数除以其对应频率可得球的总个数的估计值．（1）摸到黑球的频率会接近0.5，故答案为：0.5．（2）①∵摸到黑球的频率接近0.5，∴白球的频率约为0.5，则估算袋中两种颜色球共有4÷0.5=8（个）；故答案为：8．②小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，则袋中球的总个数约为（a+8）个，其中黑球的个数为（a+4）个，当重复大量试验后，摸出黑球的概率估计值是48aa++．【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．10．D【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为29000.6540(cm)⨯=，故选：D．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．11．C【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.3，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.3，∴30.3m=，∴10m=，经检验10m=是原方程的解．故选：C．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解分式方程，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．12．B【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率0.17P≈，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13，故本选项不符合题意；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为10.176≈，故本选项符合题意；C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为13，故本选项不符合题意；D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是131524=；故本选项不符合题意．。
利用频率估计概率
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利用频率估计概率疑难分析：1.当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.2.利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P.3.利用频率估计出的概率是近似值.例题选讲例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n 8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率;(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少?解答：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7;(2)0.75.评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值.例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1) 计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000落在铅笔的次数m 68 111 136 345 546 701落在铅笔的频率(2) 请估计，当很大时，频率将会接近多少?(3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少?(4) 在该转盘中，标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1)解答：(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701;(2)0.69;(3)0.69;(4)0.69360248.评注：(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小;(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率.基础训练一、选一选(请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内)1.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )A. 90个B.24个C.70个D.32个2.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为( ).A. B. C. D.3.下列说法正确的是( ).A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大;B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行;C.彩票中奖的机会是1%，买100张一定会中奖;D.中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100%，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论.4.小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1.从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是( ).A. 、B. 、C. 、D. 、5.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有( ).A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒6.某校男生中，若随机抽取若干名同学做是否喜欢足球的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是( ).A.只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷;B.在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8;C.在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的 ;D.在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球.7.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是( ).A.口袋中装入10个小球，其中只有两个红球;B.装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球;C.装入红球5个，白球13个，黑球2个;D.装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个.8.某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来(单位：元)：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是( ).A. 2元B.5元C.6元D.0元二、填一填9. 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为2个正面、1个正面和没有正面这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：结果第一组第二组第三组第四组第五组第六组两个正面 3 3 5 1 4 2一个正面 6 5 5 5 5 7没有正面 1 2 0 4 1 1由上表结果，计算得出现2个正面、1个正面和没有正面这3种结果的频率分别是___________________.当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________.10.红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上组别频数频率46 _ 50 4051 _ 55 8056 _ 60 16061 _ 65 8066 _ 70 3071_ 75 10从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是_____________.11.为配和新课程的实施，某市举行了应用与创新知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛(满分100分，得分全为整数)。
第七讲 用频率估计概率-【暑假衔接】2021年新九年级数学暑假精品知识点(北师大版)(原卷版)
第七讲用频率估计概率【学习目标】能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部.所蕴涵的客观规律一频率的稳定性、知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.【基础知识】1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
【考点剖析】考点一：求事件的频率例1．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；（3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）；（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．考点二：由频率估计概率例2．勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中m＝，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是度；（4）若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率．考点三：用频率估计概率的综合应用例3．如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）（1）用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：转盘总次数20 30 50 100 150 180 240 330 450“和为7”出现的频数7 10 16 30 46 59 81 110 150“和为7”出现的频率0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值．【真题演练】1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（）A．23B．12C．13D．162．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．303．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（）A．抽出的是“朝”字B．抽出的是“长”字C．抽出的是独体字D．抽出的是带“氵”的字4．某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频率是_______，在这300个灯泡中估计有_______个为不合格产品．5．“新冠病毒”的英语“NewCoronavirus”中，字母“o”出现的频率是______．6．“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是_______．7．某农场引进一批新菜种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取一定数量的种子进行实验．实验结果如下表所示：实验的菜种数200 500 1000 2000 10000发芽的菜种数193 487 983 1942 9734发芽率0.965 0.974 0.983 0.971 0.973_________．（精确到0.01 ）8．同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．抛掷次数500 1000 1500 2000 3000 4000 5000盖面朝上次数275 558 807 1054 1587 2124 2650①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558；其中合理的推断的序号是：________．9．在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有_____个白球．10．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是（精确到0.01），黄球有个；（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．所示：（2）该校初一年级有690名学生，估计该校初一年级近视的学生数．12．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．【过关检测】1．某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t （单位：C ︒）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表： 最高气温t （单位：C ︒）天数每天销售量（瓶）20t <15 240 2025t ≤< 30 300 25t ≥45500（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率； （2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润．2．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有______名学生； （2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为______°． （4）若全校有1830名学生，请计算出“其他”部分的学生人数．3．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次参与调查的共有人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为°；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果我国有6亿人在使用手机；①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？4．某儿童娱乐场有一种游戏，规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为50000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；（2）估计袋中白球接近的个数．5．一个不透明的袋子中有12个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的数量．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回袋子中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜……小明重复上述过程，共摸了200次，其中有120次摸到白球，请回答：（1）估计袋子中的白球有多少个？（2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，如果彩球池里共有6000个球，那么需准备多少个红球？6．新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．0~20%20%~50%50%~80%80%~100%录播 5 18 14 13直播 2 15 21 12（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于50%的概率；（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为3:5，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在20%以下的共有多少人？7．一个不透明的布袋中装有2个黄球、4个红球和n（n＞0）个蓝球，每个球除颜色外都相同．（1）将布袋中的球搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到蓝球的频率稳定于0.8附近，那么n的值是；（2）甲乙丙三人利用该布袋和球进行摸球游戏，约定由甲从中摸出一个球，摸到黄球甲胜，摸到红球乙胜，摸到蓝球丙胜，已知此游戏对乙最有利，对甲最不利，那么n的值是；（3）若将n个蓝球从布袋中取出，只剩下2个黄球和4个红球，搅匀后任意摸出两个球，用列表或画树状图的方法求两次摸到球的颜色相同的概率．8．某个盒中装有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：）；（2）若盒中有1枚黑棋与3枚白棋，某同学一次摸出两枚棋，请利用画树状图法或列表法求这两枚棋子颜色不同的概率．9．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．（2）估计任意抽一件衬衣是合格品的概率．（3）估计出售1200件衬衣，其中次品大约有几件．10．一个不透明的布袋中装有2个黄球、4个红球和n（n 0）个蓝球，每个球除颜色外都相同．（1）将布袋中的球搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到蓝球的频率稳定于0.8附近，那么n=；（2）若从布袋中取出一些球，只剩下2个黄球和2个红球，搅匀后任意摸出两个球，用列表或画树状图的方法求两次摸到球的颜色相同的概率．11．问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有‘二正、一正一反、二反’三种情况，所以P（一正一反)13=”小颖反驳道：“这里的‘一正一反’实际上含有‘一正一反，一反一正’这两种情况，所以P（一正一反）1. 2 =”（1）________的说法是正确的．（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？12．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：很大时，摸到黑球的频率将会接近（结果精确到）；试估计口袋中白球有只；（2）在（1）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率．13．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．14．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的组统计数据：（2）估算盒子里约有白球__________个；（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其它完全相同的球，这x个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少？。
频率与概率的关系公式
频率与概率的关系公式
在概率论中，频率与概率之间的关系可以通过大数定律来解释。
大数
定律指出，当重复进行一些随机实验时，频率会逐渐趋近概率。
也就是说，随着实验的次数增加，事件发生的频率会越来越接近其概率。
假设事件A发生的次数为n，总实验次数为N。
频率可以表示为
f(A)=n/N
而概率可以表示为
P(A) = lim(N -> ∞) n/N
这里的lim表示当N趋近于无穷大时，n/N的极限值。
也就是说，当
实验次数足够多时，事件A发生的频率会逐渐趋近于事件A发生的概率。
除了大数定律，还有一些其他的关系公式可以描述频率与概率之间的
关系。
1.绝对频率与相对频率：
绝对频率是指事件发生的实际次数，而相对频率是指事件发生的次数
与总次数的比值。
绝对频率可以表示为
f(A)=n
相对频率可以表示为
f(A)=n/N
2.概率与频率的关系：
当实验次数足够大时，频率会逐渐趋近于概率。
也就是说，频率可以作为概率的估计值。
这可以表示为
P(A)≈f(A)
这个公式说明了频率可以用来估计概率，但是只有当实验次数足够多时才能得到比较准确的结果。
3.几何概率与频率的关系：
在几何概率中，事件的概率可以通过对事件发生的次数进行标准化得到。
这里的标准化是指将事件发生的次数除以总次数。
所以，事件的几何概率可以表示为
P(A)=f(A)/N
这个公式说明了几何概率与频率之间的关系，几何概率可以通过频率来计算。
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25.3 利用频率估计概率
学习目标
知道频率与概率的关系，并根据此估计概率的值， 从而解决问题。
我们从抛硬币这个简单问题说起。
观发是他察生否随归们：的意抛着纳历的可味一抛：史试能着稳枚掷一上验性抛定质次般，结相掷于地数地有果等一某均的，些如，枚个匀增在人表这硬常的加大曾格两币数硬，量做所个1币“重0过示随0时正，复成次：机，面那试千，事向么“验上就件上事正中万会发”件面，次有生的A向如抛5的发0频上果硬次概生率”事币“率的变和件的正都概化“A试面是率发趋反验向0P生势面.，上5（的。有向”A频这何上）和率规”= 律mn ？
1、（2017甘肃兰州）“兰州市明天降水概率是30%”，
对此消息下列说法中正确的是（ C ）
A．兰州市明天将有30%的地区降水
B．兰州市明天将有30%的时间降水
C．兰州市明天降水的可能性较小
D．兰州市明天肯定不降水
2、(15年大连）图表1记录了一名球员在罚球线上投篮的结果。
那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是__0_._5___（精确到0.1）。
估计移植成活率 是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.
某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率,应
采用什么具体做法?
书145页
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率 (
m n
)
10
8
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
400
369
0.923
向林业部门购买约__5_5__6__棵.
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
共同练习
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克
51.54
0.103
司频希率某望根估水这据计果些频出公柑率来司橘稳的以能定概够2性率元获定要/得千理比利克，数润的在据5成要表本0求中0新0精的元进度最,了那不后1么是一0在很行00出高频0售千的率柑克情保橘柑况留(橘下的已,，数去如通位掉果常要损公用少。 坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘损坏的频率（
m n
）
50
5.50
0.110
100
10.5
0.105
150
15.150.10120为0 简单起见，我们19能.42否直接把表中的0.097
50205千0 克柑橘对应的柑24橘.25损坏的频率看作0柑.097
橘3损00坏的概率？
350
30.93 35.32
0.103 0.101
成活数（m）
成活的频率 (
m n
)
10
8
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0.＿90＿左右摆动，
400
39.24
0.098
450
44.57
0.099
500
51.54
0.103
某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克柑橘,如果公 司希望这些柑橘能够获得利润5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损 坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?
共同练习
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘损坏的频率（
m n
）
50
5.50
0.110
100
10.5
0.105
150
15.15
0.101
200
19.42
0.097
250
24.25
0.097
300
30.93
0.103
350
35.32
0.101
400
39.24
0.098
450
44.57
0.099
500
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.（精确到0.01）
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.9＿＿．（精确到0.1）
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率 (
m n
)
10
8
0.8
1.林业50部门种植了该幼树410700棵,估计能成活_0_.99_04_0___棵.
270
235
0.870
2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少
Ｘ≈２．８
答：出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元。
升华提高
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的 频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频 率来估计这一事件发生的概率.
某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克柑橘,如果公 司希望这些柑橘能够获得利润5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损 坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?
解：大量的重复试验，频率接近于概率，估计损坏的概率为0.1。 完好柑橘的质量为10000 × 0.9=9000千克
设售价X元/千克 9000X - 2 ×１０００0＝５０００
50次“反面向上”呢？不妨用试验进行检验。
试验者 抛掷次数 “正面向上”次 “正面向上”频
（n）
数 （m） 率 m n
棣莫弗 2048
1061
0.518
布丰
4040
2048
0.5069
费勒 10000
4979
0.4979
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
思考： 对于一个随机事件A，用频率估计的概率
P(A)可能小于0吗？可能大于1吗？
需注意，概率是针对大量重复试验而言的，大量试验反映 的规律并非在每一次试验中一定存在。
在大量重复试验中，频率可作为概率的估计值
则估计油菜籽发芽的概率为＿＿0＿.9（结果精确到0.1)
练习144页第1题
中考链接
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0.＿9 ＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.9＿＿．
移植总数（n）