高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题-学生版

高中数学-空间直角坐标系与空间向量

一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则：

遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法：

充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下：

（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠

A 为直角，A

B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D

C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦

值．

（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系

例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于

C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =

，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝

3

π

．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．

（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系

例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ；

（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．

（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

例4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．

（1）求∠DEB的余弦值；

（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．

（五）利用图形中的对称关系建立坐标系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．

例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．

（1）证明：PQ⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AQ与PB所成的角；

（3）求点P到面QAD的距离．

二、向量法解立体几何 （一）知识点

向量的数量积和坐标运算

b a ρ

ρ,是两个非零向量，

它们的夹角为θ，则数θcos |||??b 叫做与的数量积（或内积），记作?，即.cos ||||θ??=?b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若),,(),,,(222111z y x z y x ==，则

①212121z z y y x x b a ++=?ρ

ρ；

②2

22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=

；

③212121z z y y x x b a ++=?ρ

ρ

④2

2

2

22

22

12

12

12

12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++?++++>=

<

题型：求角度相关

1. 异面直线n m ,所成的角

分别在直线n m ,上取定向量,,b a ρ

ρ则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ρρ,所成的角或其

补角（如图1所示），

则.|

||||

|cos b a b a ρρ

ρρ??=θ 2. 直线L 与平面α所成的角

在L 上取定AB ，求平面α的法向量n （如图2所示），再求cos =

θ

，

则θπ

β-=

2

为所求的角.

3． 二面角

方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方

向，如图3所示），则 ①

若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量

图1

图

图3甲

21n n 、的夹角的补角，即|

|||cos 2121n n ?=θ

② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即|

|||cos 2121n n ?=

θ.

方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、

内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示），则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 |

|||cos 2121n n ?=θ

题型：求距离相关

1. 异面直线n m 、的距离

分别在直线n m 、上取定向量,,b a ρ

ρ求与向量b a ρρ、都垂直的向量，分别在

n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的

射影长，即d

=

.

证明：设CD 为公垂线段，取b DB a CA ρρ

==,

|

|||)(n AB n CD ?=?∴?++=?∴++= ||CD d =

=∴设直线n m ,所成的角为θ，显然.|

||||

|cos b a b a ρρ

ρρ??=θ 2. 平面外一点

p 到平面α的距离

求平面α的法向量n ，在面内任取一定点A ，点p 到平面α的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即

|

|n d =

.

图

图4

图1

三、法向量 例题解析

题型：求空间角

1、运用法向量求直线和平面所成角

设平面α的法向量为n r

=（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为

sin θ

= cos(

2

π

-θ) = |cos| = AB AB n

n

??u u u r r

u u u r r

2、运用法向量求二面角

设二面角的两个面的法向量为12,n n u r u u r ，则<12,n n u r u u r >或π-<12,n n u r u u r

>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为

锐角还是钝角，来决定<12,n n u r u u r >是所求，还是π-<12,n n u r u u r

>是所求角。

题型：求空间距离

1、求两条异面直线间的距离

设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =r

，在a 、b 上任取一点A 、B ，则 异面直线a 、b 的距离：d =AB ·cos ∠BAA ＇=||||

AB n n ?u u u r r r

略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段， a ＇为过F 与a 平行的直线， 在a 、b 上任取一点A 、B ， 过A 作AA ＇//EF ，交a ＇于A ＇，

则?ˉ

//AA n u u u u r r ，

所以∠BAA ＇

=<,BA n u u u r r

>（或其补角）

∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇=||||

AB n n ?u u u r r r * 其中，n r

的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b r r （或图中的,AE BF u u u r u u u r ），及n r 的定义得

0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=???

?r r r r r r r r

① 解方程组可得n r 。

2、求点到面的距离

求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =r

，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离： d =||||

AB n n ?u u u r r r ， n r 的坐标由n r

与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则

法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y =r

，下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离

求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =r

，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一

点B ，则直线a 到平面α的距离：

d = ||||

AB n n ?u u u r r r 4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =r

，在平面α、β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β

的距离：

d = ||||

AB n n ?u u u r r r 三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n u r u u r

，则

1a//a n α?⊥u r 1a a//n α⊥?u u r

12////n n αβ?u r u u r 12n n αβ⊥?⊥u r u u r