角度制与弧度制

任意角和弧度制

知识点

1.角的分类：

（1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角

（2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角

（3）零角：一条射线不做旋转

2．象限角的概念：

（1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。

（3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．

注意：∈ k∈Z

∈ α是任一角；

∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；

∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例如： 第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα?<

终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z o ；

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z o o ； 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z o

. 3.由角α所在象限判断α所在象限：

4.弧度制：

（1）角度制：规定把周角的360

1作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；

在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．

（3）弧度制的性质：

∈ 半圆所对的圆心角为;ππ=r r

∈ 整圆所对的圆心角为.22ππ=r

r ∈ 正角的弧度数是一个正数． ∈ 负角的弧度数是一个负数． ∈ 零角的弧度数是零． ∈ 角α的弧度数的绝对值|α|=. r l

注：角度制是60进制，弧度制是十进制：

5．角度与弧度之间的转换：

∈ 将角度化为弧度：

π2360=?； π=?180；rad 01745.01801≈=

?π；rad n n 180

π=?． ∈ 将弧度化为角度： 2360p =?；180p =?；ο)180(rad π

αα= 6．常规写法：

∈ 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ∈ 弧度与角度不能混用．要不用弧度制，要不统一角度制。

7．特殊角的弧度

R l r

l αα=?=，其中α的单位是弧度。 扇形面积公式：lR R S 21212==

α 角度制表示弧长和面积：

R n l π2360

?= 2360

R n S π= 题型一：表示终边相同的角

【例1】试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.

【例2】已知角α＝2 010°.

(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.

【例3】已知，如图所示，

(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

【过关练习】

1..终边与坐标轴重合的角α的集合是( )

(A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}

(C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}

2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

3.如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________．

4.集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝________________.

5.如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．

题型二：象限角的判定

【例1】已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．

【例2】若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边在( )

A ．第一或第三象限

B ．第二或第三象限

C ．第二或第四象限

D ．第三或第四象限

【过关练习】

1.若θ为第三象限角，求2θ、3θ

所在象限，并在平面直角坐标系表示出来．

2.已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )

A ．第一或第二象限

B ．第二或第三象限

C ．第一或第三象限

D ．第二或第四象限

3.已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在______．(填写所有正确的序号)

①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限

4.－361°的终边落在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

题型三：角度弧度的换算

【例1】(1)把112°30′化成弧度；

(2)把－7π12

化为角度．

【例2】把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式是( )

A ．－6π－π4

B ．－6π＋7π4

C ．－8π－π4

D ．－8π＋7π4

【过关练习】

1. 将下列各角度与弧度互化．

(1)512π；(2)－76

π；(3)－157°30′

2.已知α＝1 690°.

①把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式；

②求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．

题型四：弧长扇形公式的应用

【例1】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .

(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

【例2】时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )

A.143π B ．－143π C.718π D ．－718

π

【过关练习】

1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )

A.403π

B.203π

C.2003π

D.4003

π

2.已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

3.一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

课后练习

【补救练习】

1.将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．

2.与－1 692°终边相同的最大负角是________．

3.与－460°角终边相同的角的集合是( )

A ．{α|α＝k ·360°＋460°，k ∈Z }

B ．{α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z }

C ．{α|α＝k ·360°＋260°，k ∈Z }

D ．{α|α＝k ·360°－260°，k ∈Z }

4.下列与9π4

的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z )

B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )

C ．k ·360°－315°(k ∈Z )

D ．k π＋5π4

(k ∈Z ) 【巩固练习】

1.已知角45α=o ，在区间[720,0]-o o

内找出所有与角α有相同终边的角β=_____. 2．若α是第四象限角，则180°－α是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

3.以下命题正确的是( )

A ．第二象限角比第一象限角大

B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则A B

C ．若k ·360°<α

D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z )

4.把－114

π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－34

π B ．－2π C ．π D ．－π 5.如图是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( ) A.12

(2－sin 1 cos 1)R 2 B.12

R 2sin 1cos 1 C.12

R 2 D ．(1－sin 1cos 1)R 2

6.用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．

【拔高练习】

1.集合M ＝???

?

??x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为 。 2.若扇形圆心角为π3

，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9

3.如果一扇形的弧长变为原来的32

倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．