好用菱形

求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。
已知:如图四边形ABCD是菱形 D 求证: (1)AB=BC=CD=DA O (2)AC⊥BD A C AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC B 证明(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴DA=DC(菱形的定义) ∴DB⊥AC， ∵DA=BC,AB=DC DB平分∠ADC（三线合一） ∴AB=BC=DC=DA 同理： DB平分∠ABC； (2)在△DAC中,又∵AO=CO AC平分∠DAB和∠DCB
正方形的对边平行. 正方形的四边相等. 正方形的四角相等. 正方形的每一条对角线平分一组对角.
对角线 正方形的对角线相等、互相垂直且平分. 对称性 正方形是轴对称图形。
正方形的判定定理：
四条边相等，四个角都是直角的四边形是正
方形。
A
D O
58页例5题
B
C
随堂练习
1. 下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形（ √ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形（ √ ） ③对角线垂直且相等的四边形是正方形（ √ ） ④四条边都相等的四边形是正方形（ × ） ⑤四个角相等的四边形是正方形（ × ）
2. 正方形的四条边______ 相等 ，四个角_______ 相等 ，两条 对角线______________________ . 相等且互相垂直
3. 根据图形所具有的性质,在下表相应的 空格中打 ”√”
平行四边形 对边平行且相等 矩形 菱形 正方形
√
√ √ √ √
四边都相等
四个角都是直角
√ √ √
2、菱形有几条对称轴？ 3、对称轴之间有什么关系？ 4、你能看出图中哪些线段和角相等？
A
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC 相等的线段：
5 6
1 2
7 8
D
O
3
4
OA=OC
OB=OD
B
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角： ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4
猜想：有四条边相等的四边形是菱形。
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D 证明： ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
A C
又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形
B
判定方法3：
四条边都相等的四边形是菱形.
情景二
A
矩形ABCD
矩形ABCD
D
A
正方形
D
B
C
B
C
问题:
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
当CD移动到CD位置，此时AD ＝AB，四边形 ABCD还是矩形吗？
正方形是特殊的矩形
因此，正方形既是矩形，又是菱形。它
既有矩形的性质，又有菱形的性质。
知识要点
正方形的性质 边 角
D
O
A B C
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角；
活动四：做一做
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别 是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
分析： S 菱形 ABCD 4 S AOB D
1 A 4 OA OB 2
从角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形的性质
一般性质：
具备平行四边形所有的性质
特殊性质：
矩形的四个角都判定定理：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。
猜想：
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在
ABCD 中，AC ⊥ BD B
A
∟
求证： ABCD 是菱形
证明：
O C
D
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC 又∵AC⊥BD;
∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
判定方法2：
A
D AC⊥BD B C B C A D
对角线互相平分
对角线互相垂直 对角线相等
√
√ √ √ √ √ √
√
课后题
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD Rt△DOA
1、菱形的四条边相等
2、菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平分 一组对角。 菱形是轴对称图形。
解：∵四边形ABCD是菱形A ∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD B ∴OB=3cm ∴BD=2OB=6cm AC=2OA=8cm O C
∵Rt△AOB中OB2+OA2=AB2 AB=5cm，AO=4cm
1个定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 2个公式
：S菱形=底×高 S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
探究菱形的判定定理
根据菱形的定义,可得菱形的第 一个判定的方法
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
A D
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
B
O
C
还有其他么方法吗?
探究一
用一长一短两根细木条,在它们的中点 处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字, 四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动 木条,这个四边形什么时候变成菱形?
四条边相等+ =
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5 5 4 3 3 4
3
3
┍
4
4
5 5
5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形．
O
C
1 1 1 4 AC BD B 2 2 2 1 你有什么发现？ S菱形 ABCD AC BD 2
24
（重点抄下来）
D O
E B
S菱形ABCD AB DE
C
A
S菱形ABCD
1 AC BD 2
1 AB DE AC BD 2
2、如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛 的面积（分别精确到0.01m和0.1m2 ）
D
∟
（╳ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√ ） （ ╳） （
╳
A
C
D
）
A
C
B
B
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 （2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
矩 形； 矩
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
D
形；
C
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
活动五：
1.菱形的定义: 是菱形 2.菱形的性质:①菱形的四条边 ， ②菱形的对角线 ，并且每一条对角 线 一组对角. 3.下列说法不正确的有 (填番号) ①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分 ③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直. ⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相 等. 4.菱形的面积公式:① ② . 5.菱形是 图形。
特殊的平行四边形
菱形
金起点学校
1、什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、我们学习了平行四边形的哪些性质？ 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分。 A
O
D
B
C
平行四边形的判定方法（记住）
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 从边来判定 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
O
C
解： 花坛ABCD是菱形 1 1 AC BD， ABO ABC 60 0 30 0 2 2 1 1 在RtOAB中，AO AB 20 10 m 2 2 BO AB 2 AO 2 20 2 10 2 300 m 花坛的两条小路长 AC 2 AO 20 m BD 2 BO 34 .64 花坛的面积 S菱形 ABCD 1 AC BD 346 .4m 2 2
活动二：
在平行四边形中，如果内角大小保持不 变仅改变边的长度，能否得到一个特殊 的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
有一组 邻边相等 的平行四边形叫做菱形
A D C
∵四边形ABCD 是平行四边形 AB=BC ∴四边形ABCD 是菱形
B
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
5、一边长为5cm平行四边形的两条对角 线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边 形为 菱形，其面积为 24㎝² 。
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.