数学九 (1)
苏科版九年级数学上册第一单元《图形与证明》(1)小结+测试题
数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。
1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1：矩形的4个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1：菱形的4边都相等。
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
判定：1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3 三角形一边的平行线判定定理 教案
三角形一边的平行线判定定理教材分析本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。
第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。
如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。
首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。
以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。
然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。
这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。
学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。
同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。
证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X 型图”或“A 型图”或“分割三角形”，形成证明思路。
2025年秋季人教版九年级数学上册《解直角三角形及其应用》教学设计
10.总结本节课的重点和难点，提供课后作业，包括综合练习和应用题，以巩固所学知识并准备下一节课的内容。
教学内容（续）：
11.通过实际操作，让学生动手制作直角三角形模型，加深对直角三角形各部分关系的直观理解。
16.课堂总结，回顾本节课所学内容，强调直角三角形解法在实际问题解决中的重要性。
17.布置课后拓展练习，鼓励学生探索直角三角形解法的更多应用，如利用三角函数解决物理中的运动问题。
教学内容（续）：
18.在下一节课之前，布置预习任务，要求学生收集与直角三角形相关的实际应用案例，准备在课堂上进行分享。
19.设计一个开放性问题，如“如何利用直角三角形解决城市绿化中的树木种植问题”，激发学生的创新思维。
2025年秋季人教版九年级数学上册《解直角三角形及其应用》教学设计
教学内容：
教材章节：人教版九年级数学上册《解直角三角形及其应用》
内容：
本节课主要围绕直角ห้องสมุดไป่ตู้角形的性质和解题方法展开。包括：
1.直角三角形的判定和性质，如勾股定理及其逆定理；
2.解直角三角形的常用方法，如正弦、余弦、正切函数在解直角三角形中的应用；
教学内容（续）：
6.介绍直角三角形的解法在实际测量中的应用，如土地面积计算、建筑高度估算等，让学生体会数学与生活的紧密联系。
7.讨论解直角三角形时的常见错误，如角度和边长的混淆，以及如何避免这些错误。
8.通过练习题的逐步深化，引入一些复杂的直角三角形问题，如多边形内角和的计算，以及如何通过直角三角形来简化问题。
2.探讨直角三角形中角度和边长的关系，通过绘制图形和计算，让学生理解正弦、余弦、正切函数在直角三角形中的角色。
鲁教版九年级数学上册-第1章-反比例函数-1.1-反比例函数-课件(共20张PPT)
5．已知一个面积为 60 的平行四边形，设它的其中一边长为 x，这边上的高为 y，试写出 y 与 x 之间的函
数表达式，并判断它是什么函数．
y＝6x0(x＞0)
新知讲授
会根据实际问题列反比例函数表达式
例 5 教材补充例题 王师傅家离工厂 1000 m，每天王师傅往返 在两地之间，有时步行，有时骑自行车．假设王师傅每天上班时的 平均速度为 v(m/min)，所用的时间为 t(min)．
(1)求变量 v 和 t 之间的函数表达式； (2)星期二他步行上班用了 25 min，星期三他骑自行车上班用了 8 min，那么他星期三上班时的平均速度比星期二快多少？
总结反思
一知般识点地一，如反果比两例个函数变的量概y念与x的关系可以表示成___y＝__kx__(k_为_常__数_，_k_≠_0)___ 的形式，那么称y是x的反比例函数．
知识点二 利用待定系数法求反比例函数的表达式
反比例函数的表达式 y＝k(k≠0)中，只有一个待定系数 k，确定 x
了 k 的值，也就确定了反比例函数的表达式，因而一般只需给出 一组 x，y 的对应值，代入 y＝k中即可求出 k 的值，从而确定反
2A．．函y＝数xy＋3＝1－4xB的．比y＝例2系x数是C．( By＝)2x
D．y＝x 2
A．4 B．－4 C.14 D．－14
3．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/时的平均速度行驶，结果用了 4 个小时到达乙地，
当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v(千米/时)与时间 t(时)的函数关系式是( B )
举一反三
练习 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝8 时，y＝-3. (1)写出 y 与 x 之间的函数表达式； (2)求当 x＝4 时 y 的值．
部编人教版四年级数学下册 习题课件(九)1.安全知识竞赛【新版】
安全知识竞赛
四学生的安全意识，提高学生安全防范 的知识和技能。育才小学组织五、六年级开展安全 知识竞赛，竞赛采用笔试和现场抢答等方式进行。
1．五(1)班的张老师为了使同学们在竞赛中取得好成绩， 在班上举行了5次模拟测试，婷婷前4次的平均成绩 是89分，第5次模拟考试得了94分，请问婷婷5次模 拟考试的平均成绩是多少分？
(89×4＋94)÷5＝90(分) 答：婷婷5次模拟考试的平均成绩是90分。
2．在这次安全知识竞赛中，五、六年级的参赛人数和 平均分如下表：
这次竞赛五六年级所有参赛人的平均分是多少分？ (84×12＋87×24)÷(12＋24)＝86(分) 答：这次竞赛五六年级所有参赛人的平均分是86分。
3．这次安全知识竞赛抢答比赛环节的计分标准是：答 对1题得10分，答错一题扣5分。
(3)五(3)班代表队共抢答15道题，最后得分75分，五(3) 班代表队答对几道题？
(15×10－75)÷(10＋5)＝5(道) 15－5＝10(道) 答：五(3)班代表队答对10道题。
4．五六年级共有36名选手参加抢答赛，共坐了8张大小 不等的桌子。其中大桌子每张坐5人，小桌子每张坐 3人，每张桌子都坐满了。请问大小桌子各有几张？
(1)五(1)班代表队共抢答6道题，最后得分45分，五(1) 班代表队答对几道题？ (6×10－45)÷(10＋5)＝1(道) 6－1＝5(道) 答：五(1)班代表队答对5道题。
(2)五(2)班代表队共抢答9道题，最后得分60分，五(2) 班代表队答错几道题？
(9×10－60)÷(10＋5)＝2(道) 答：五(2)班代表队答错2道题。
小桌：(8×5－36)÷(5－3)＝2(张) 大桌：8－2＝6(张) 答：大桌子有2张，小桌子有6张。
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
湘教版数学九年级上册课件：第1课时 因式分解法解一元二次方程
解得
x1
1 2
， x2 1 .
（2） 5x(x+2)= 4x+8 ，
解 原方程可以写成
5x(x+2)-4(x+2)= 0，
把方程左边因式分解，得
(5x-4)(x+2)=0.
由此得出 5x-4 = 0 或 x+2 = 0.
解得
x1
4 5
， x2 2 .
（1） x(x-5)=3x
解: 原方程可以写成
x(x-5)-3x = 0.
把方程左边因式分解，得 x(x-5-3)= 0.
由此得出 x =0 或 x-5-3 = 0.
解得 x1=0 ，x2= 8.
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
两个一元一次方程
即方程①有两个解， (35-2x)2-900 = 0． ①
通常把它们记成
x1=32.5，x2=2.5.
结论
像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方 法叫做因式分解法.
利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个 一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
例题讲解
例 用因式分解法解下列方程： （1）x(x-5)=3x； （2）2x(5x-1)=3(5x-1).
解得
x1 0，
x2
5 3
.
2.解下列方程：
（1）2x(x-1)= 1-x； （2）5x(x+2) = 4x+8.
人教版初中数学九年级上册《课本习题参考答案》第四页1-10
人教版数学九年级上册课后答案第21章第4页练习第1题答案解：（1）5x2-4x-1=0，二次相系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1（2）4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81（3）4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25（4）3x2-7x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1【规律方法：化为一般形式即把所有的项都移到方程的左边，右边化为0的行驶，在确定二次项系数，一次项系数和常数项时，要特别注意各项系数及常数项均包含前面的符号。
】第4页练习第2题答案解：（1）4x2=25，4x2-25=0（2）x（x-2）=100，x2-2x-100=0（3）x∙1=（1-x）2-3x+1=0习题21.1第1题答案（1）3x2-6x+1=0，二次项系数为3，一次项系数-6，常数项为1（2）4x2+5x-81=0，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为-81（3）x2+5x=0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0（4）x2-2x+1=0，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为1（5）x2+10=0，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10（6）x2+2x-2=0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2习题21.1第2题答案（1）设这个圆的半径为Rm，由圆的面积公式得πR2=6.28，∴πR2-6.28=0（2）设这个直角三角形较长的直角边长为x cm，由直角三角形的面积公式，得1/2x（x-3）=9，∴x2-3x-18=0习题21.1第3题答案方程x2+x-12=0的根是-4,3习题21.1第4题答案设矩形的宽为x cm，则矩形的长为（x+1）cm，由矩形的面积公式，得x∙（x+1）=132，∴x2+x-132=0习题21.1第5题答案解：设矩形的长为x m，则矩形的宽为（0.5-x）m，由矩形的面积公式得：（0.5-x）=0.06∴x2-0.5x+0.06=0习题21.1第6题答案解：设有n人参加聚会，根据题意可知：（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=10，即(n(n-1))/2=10，n2-n-20=0习题21.2第1题答案（1）36x2-1=0，移项，得36x2=1，直接开平方，得6x=±1，,6x=1或6x=-1，∴原方程的解是x1=1/6，x2=-1/6（2）4x2=81，直接开平方，得2=±9，,2x=9或2x=-9，∴原方程的解是x1=9/2，x2=-9/2（3）（x+5）2=25，直接开平方，得x+5=±5，∴+5=5或x+5=-5，∴原方程的解是x1=0，x2=-10（4）x2+2x+1=4，原方程化为（x+1）2=4，直接开平方，得x+1=±2，∴x+1=2或x+1=-2，∴原方程的解是x1=1，x2=-3习题21.2第2题答案（1）9；3（2）1/4；1/2（3）1；1（4）1/25；1/5习题21.2第3题答案（1）x2+10x+16=0，移项，得x2+10x=-16，配方，得x2+10x+52=-16+52，即（x+5）2=9，开平方，得x+5=±3，∴+5=3或x+5=-3，∴原方程的解为x1=-2，x2=-8（2）x2-x-3/4=0，移项，得x2-x=3/4，配方，得x2-x=3/4，配方，得x2-x+1/4=3/4+1/4，即（x-1/2）2=1，开平方，得x- 1/2=±1，∴原方程的解为x1=3/2，x2=-1/2（3）3x2+6x-5=0,二次项系数化为1，得x2+2x-5/3=0，移项，得x2+2x=5/3，配方，得x2+2x+1=5/3+1，即（x+1）2=8/3，（4）4x2-x-9=0，二次项系数化为1，得x2-1/4x-9/4=0，移项，得x2-1/4 x= 9/4，配方，得x2-1/4x+1/64=9/4+1/64，即（x-1/8）2=145/64，习题21.2第4题答案（1）因为△=（-3）2-4×2×（-3/2）=21>0，所以原方程有两个不相等的实数根（2）因为△=（-24）2-4×16×9=0，所以与原方程有两个相等的实数根（3）因为△=-4×1×9=-4<0，因为△=（-8）2-4×10=24>0，所以原方程有两个不相等的实数根习题21.2第5题答案（1）x2+x-12=0，∵a=1，b=1，c=-12，∴b2-4ac=1-4×1×（-12）=49>0，∴原方程的根为x1=-4，x2=3.∴b2-4ac=2-4×1×（-1/4）=3>0，（3）x2+4x+8=2x+11，原方程化为x2+2x-3=0，∵a=1，b=2，c=-3，∴b2-4ac=22-4×1×（-3）=16>0，∴原方程的根为x1=-3，x2=1.（4）x（x-4）=2-8x，原方程化为x2+4x-2=0，∵a=1，b=4，c=-2，∴b2-4ac=42-4×1×（-2）=24>0，（5）x2+2x=0，∵a=1，b=2，c=0，∴b2-4ac=22-4×1×0=4>0，∴原方程的根为x1=0，x2=-2.（6）x2+2x+10=0，∵a=1，b=2，c=10，∴b2-4ac=（2）2-4×1×10=-20<0，∴原方程无实数根习题21.2第6题答案（1）3x2-12x=-12，原方程可化为x2-4x+4=0，即（x-2）2=0，∴原方程的根为x1=x2=2（2）4x2-144=0，原方程可化为4（x+6）（x-6），∴x+6=0或x-6=0，∴原方程的根为x1=-6，x2=6.（3）3x（x-1）=2（x-1），原方程可化为（x-1）∙（3x-2）=0∴x-1=0或3x-2=0∴原方程的根为x1=1，x2=2/3（4）（2x-1）2=（3-x）2，原方程可化为[（2x-1）+（3-x）][（2x-1）-（3-x）]=0，即（x+2）（3x-4）=0，∴x+2=0或3x-4=0∴原方程的根为x1=-2，x2=4/3习题21.2第7题答案设原方程的两根分别为x1，x2（1）原方程可化为x2-3x-8=0，所以x1+x2=3，x1∙x2=-8（2）x1+x2=-1/5，x1∙x2=-1（3）原方程可化为x2-4x-6=0，所以x1+x2=4，x1∙x2=-6（4）原方程可化为7x2-x-13=0，所以x1+x2=1/7，x1∙x2=-13/7习题21.2第8题答案解：设这个直角三角形的较短直角边长为x cm，则较长直角边长为（x+5）cm，根据题意得：1/2 x（x+5）=7，所以x2+5x-14=0，解得x1=-7，x2=2，因为直角三角形的边长为：答：这个直角三角形斜边的长为cm习题21.2第9题答案解：设共有x家公司参加商品交易会，由题意可知：（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+3+2+1=45，即x（x-1）/2=45，∴x2-x-90=0，即（x-10）（x+9）=0，∴x-10=0或x+9=0，∴x1=10，x2=-9，∵x必须是正整数，∴x=-9不符合题意，舍去∴x=10答：共有10家公司参加商品交易会习题21.2第10题答案解法1：（公式法）原方程可化为3x2-14x+16=0，∵a=3，b=-14，c=16，∴b2-4ac=（-14）2-4×3×16=4>0，∴x=[-（-14）±]/(2×3)=(14±2)/6，∴原方程的根为x1=2，x2=8/3解法2：（因式分解法）原方程可化为[（x-3）+（5-2x）][（x-3）-（5-2x）]=0，即（2-x）（3x-8）=0，∴2-x=0或3x-8=0，∴原方程的根为x1=2，x2=8/3习题21.2第11题答案解：设这个矩形的一边长为x m，则与其相邻的一边长为（20/2-x）m，根据题意得：x（20/2-x）=24，整理，得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6.当x=4时，20/2-x=10-4=6当x=6时，20/2-x=10-6=4.故这个矩形相邻两边的长分别为4m和6m，即可围城一个面积为24 m2的矩形习题21.2第12题答案解设：这个凸多边形的边数为n，由题意可知：1/2n（n-3）=20解得n=8或n=-5因为凸多边形的变数不能为负数所以n=-5不合题意，舍去所以n=8所以这个凸多边形是八边形假设存在有18条对角线的多边形，设其边数为x，由题意得：1/2 x（x-3）=18 解得x=(3±)/2因为x的值必须是正整数所以这个方程不存在符合题意的解故不存在有18条对角线的凸多边形习题21.2第13题答案解：无论p取何值，方程（x-3）（x-2）-p2=0总有两个不相等的实数根，理由如下：原方程可以化为：x2-5x+6-p2=0△=b2-4ac=（-5）2-4×1×（6-p2）=25-24+4p2=1+4p2∵p2≥0，,1+4p2>0∴△=1+4p2>0∴无论P取何值，原方程总有两个不相等的实数根习题21.3第1题答案（1）x2+10x+21=0，原方程化为（x+3）（x+7）=0，或x+7=0，∴x1=-3，x2=-7.（2）x2-x-1=0∵a=1，b=-1，c=-1，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5>0，（3）3x2+6x-4=0，∵a=3，b=6，c=-4，b2-4ac=62-4×4×3×（-4）=84>0，（4）3x（x+1）=3x+3，原方程化为x2=1，直接开平方，得x=±1，∴x1=1，x2=-1（5）4x2-4x+1=x2+6x+9，原方程化为（2x-1）2=（x+3）2，∴[（2x-1）+（x+3）][（2x-1）-（x+3）]=0，即（3x+2）（x-4）=0，,3x+2=0或x-4=0，∴x1=-2/3，x2=4∴a=7，b=-，c=-5，b2-4ac=（-）2-4×7×（-5）=146>0∴x= [-（-）±]/(2×7)=(±)/14，∴x1=(+)/14，x2=(-)/14习题21.3第2题答案解：设相邻两个偶数中较小的一个是x，则另一个是（x+2）.根据题意，得x（x+2）=168∴x2+2x-168=0∴x1=-14，x2=12.当x=-14时，x+2=-12当x=12时，x+2=14答：这两个偶数是-14，-12或12,14习题21.3第3题答案解：设直角三角形的一条直角边长为xcm，由题意可知1/2x（14-x）=24，∴x2-14x+48=0∴x1=6，x2=8当x=6时，14-x=8当x=8时，14-x=6∴这个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm，8cm习题21.3第4题答案解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2=91整理得x2+x-90=0，（x-9）∙（x+10）=0解得x1=9，x2=-10（舍）答：每个支干长出来9个小分支习题21.3第5题答案解：设菱形的一条对角线长为x cm，则另一条对角线长为（10-x）cm，由菱形的性质可知：1/2 x∙（10-x）=12，整理，的x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6.当x=4时，10-x=6当x=6时，10-x=4所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm.由菱形的性质和勾股定理，得棱长的边长为：所以菱形的周长是4cm习题21.3第6题答案解：设共有x个队参加比赛，由题意可知（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+3+2+1=90/2，即1/2x（x-1）=45整理，得x2-x-90=0解得x1=10，x2=-9因为x=-9不符合题意，舍去所以x=10答：共有10个队参加比赛习题21.3第7题答案解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则7200（1+x）2=8450解得x1=1/12，x2=-25/12因为x=- 25/12 不符合题意，舍去所以x= 1/12≈0.083=8.3%答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.3%习题21.3第8题答案解：设镜框边的宽度应是x cm，根据题意得：（29+2x）（22+2x）-22×29=1/4×29×22整理，得8x2+204x-319=0解得x= [-204±]/16所以x1=[-204+)]/16，x2=[-204-)]/16因为x= [-204-)]/16<0不合题意，舍去所以x= [-204+)]/16≈1.5答：镜框边的宽度约1.5cm习题21.3第9题答案解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽为2x cm.根据题意得：30×20×1/4=30×20-（30-4x）（20-6x），整理，得12x2-130x+75=0解得x1=[65+5)]/12，x2=(65-5)/12因为30-4x>0，且20-6x>0所以x<10/3所以x= (65+5)/12不符合题意，舍去所以x=(65-5)/12≈0.6所以3x≈1.8,2x≈1.2答：设计横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm习题21.3第10题答案（1）设线段AC的长度为x，则x2=（1-x）×1，解得x1=(-1+)/2，x2=(-1-)/2（舍），∴AC=(-1+)/2（2）设线段AD的长度为x，则x2=（(-1+)/2-x）∙(1+)/2，解得x1=(3-)/2，x2=-1（舍），∴AD=(3-)/2（3）设线段AE的长度为x，则x2=（(3-)/2-x）∙(3-)/2，解得x1=-2+，x2=(1-)/2 （舍）∴AE=-2+【规律方法：若C为线段AB上一点，且满足AC2=BC∙AB,则AC/AB=(-1)/2∙(-1)/2也叫作黄金比，C点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点.】第6页练习答案练习题答案复习题21第1题答案（1）196x2-1=0，移项，得196x2=1，直接开平方，得14x=±1，x=±1/14，∴原方程的解为x1=1/14，x2=-1/14（2）4x2+12x+9=81，原方程化为x2+3x-18=0∵a=1，b=3，c=-18，b2-4ac=32-4×1×（-18）=81>0∴x1=-6，x2=3（3）x2-7x-1=0∵a=1，b=-7，c=-1，b2-4ac=（-7）2-4×1×（-1）=53>0，（4）2x2+3x=3，原方程化为2x2+3x-3=0，∵a=2，b=3,b=-3,b2-4ac=32-4×2×（-3）=33>0，∴x= (-3± )/(2×2)=(-3±)/4，∴x1=(-3+)/4，x2=(-3-)/4（5）x2-2x+1=25，原方程化为x2-2x-24=0，因式分解，得（x-6）（x+4）=0，∴x-6=0或x+4=0，∴x1=6，x2=-4（6）x（2x-5）=4x-10，原方程化为（2x-5）（x-2）=0，,2x-5=0或x-2=0，∴x1=5/2，x2=2（7）x2+5x+7=3x+11，原方程化为x2+2x-4=0，∵a=1，b=2，c=-4，b2-4ac=22-4×1×（-4）=20>0∴x= (-2±)/(2×1)=(-2±2)/2=-1±∴x1=-1+，x2=-1-（8）1-8x+16x2=2-8x，原方程化为（1-4x）（-1-4x）=0，1-4x=0或-1-4x=0，∴x1=1/4，x2=-1/4复习题21第2题答案解：设其中一个数为（8-x），根据题意，得x（8-x）=9.75，整理，得x2-8x+9.75=0，解得x1=6.5，x2=1.5当x=6.5时，8-x=1.5当x=1.5时，8-x=6.5答：这两个数是6.5和1.5复习题21第3题答案解：设矩形的宽为x cm，则长为（x+3）cm由矩形面积公式可得x（x+3）=4整理，得x2+3x-4=0解得x1=-4整理，得x2+3x-4=0解得x1=-4，x2=1因为矩形的边长是正数，所以x=-4不符合题意，舍去所以x=1所以x+3=1+3=4答：矩形的长是4cm，宽是1cm复习题21第4题答案解：设方程的两根分别为x1，x2（1）x1+x2=5，x1∙x2=-10（2）x1+x2=-7/2，x1∙x2=1/2（3）原方程化为3x2-2x-6=0，∴x1+x2=2/3，x1∙x2=-2（4）原方程化为x2-4x-7=0，∴x1+x2=4，x1∙x2=-7复习题21第5题答案解：设梯形的伤低长为x cm ，则下底长为（x+2）cm，高为（x-1）cm，根据题意，得1/2 [x+（x+2）]∙（x-1）=8，整理，得x2=9，解得x1=3，x2=-3.因为梯形的低边长不能为负数，所以x=-3不符合题意，舍去，所以x=3，所以x+2=5，x-1=2.画出这个直角梯形如下图所示：复习题21第6题答案解：设这个长方体的长为5x cm，则宽为2 x cm，根据题意，得2x2+7-4=0，解得x1=1/2，x2=-4.因为长方体的棱长不能为负数，所以x=-4不合题意，舍去，所以x= 1/2.所以这个长方体的长为5x=1/2×5=2.5（cm），宽为2x=1（cm）.画这个长方体的一个展开图如下图所示.（注意：长方体的展开图不唯一）复习题21第7题答案解:设应邀请x个球队参加比赛，由题意可知：（x-1）+（x-2）+…+3+2+1=15，即1/2 x（x-1）=15解得x1=6，x2=-5因为球队的个数不能为负数所以x=-5不符合题意，应舍去所以x=6答：应邀请6个球队参加比赛复习题21第8题答案解：设与墙垂直的篱笆长为x m，则与墙平行的篱笆为（20-2x）m根据题意，得x（20-2x）=50整理，得x2-10x+25=0解得x1=x2=5所以20-2x=10（m）答：用20m长的篱笆围城一个长为10m，宽为5m的矩形场地.（其中一边长为10m，另两边均为5m）复习题21第9题答案解：设平均每次降息的百分率变为x，根据题意得：2.25%（1-x）2=1.98%整理，得（1-x）2=0.88解得x1=1 -x2=1+因为降息的百分率不能大于1所以x=1+不合题意，舍去所以x=1-≈0.0619=6.19%答：平均每次降息的百分率约是6.19%复习题21第10题答案解：设人均收入的年平均增长率为x，由题意可知：12000（x+1）2=14520，解这个方程，得x+1=±x=-1或x=--1又∵x=--1不合题意，舍去∴x=（-1）×100%=10%答：人均收入的年平均增长率是10%。
二年级数学上册教学设计《表内除法(练习九1)》苏教版
二年级数学上册教学设计《表内除法（练习九1）》苏教版一. 教材分析《表内除法（练习九1）》是苏教版二年级数学上册的一章内容，主要让学生掌握除法的基本概念和运算方法，能够进行简单的除法计算。
本章内容包括除法的定义、除法算式的组成、除法的运算规则等。
通过本章的学习，学生能够理解除法与乘法的关系，掌握除法的基本运算方法，能够运用除法解决实际问题。
二. 学情分析二年级的学生已经学习了乘法的基本概念和运算方法，对数学运算有一定的认识和基础。
但是，学生对除法的理解可能还存在一定的困难，需要通过大量的练习来巩固和提高。
此外，学生的学习习惯和注意力集中程度也有所不同，需要教师进行个别指导和关注。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解除法的基本概念和运算方法，能够进行简单的除法计算。
2.过程与方法目标：学生能够通过练习和操作活动，掌握除法算式的组成和运算规则，提高除法运算的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极主动参与除法的学习和练习，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解除法的基本概念和运算方法，能够进行简单的除法计算。
2.难点：学生能够理解除法与乘法的关系，掌握除法算式的组成和运算规则。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解和示范，向学生传授除法的基本概念和运算方法。
2.实践操作法：学生通过实际的操作和练习，掌握除法算式的组成和运算规则。
3.小组合作法：学生分组进行讨论和合作，共同解决除法问题，培养学生的合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：教师需要准备相关的教学PPT，包括除法的基本概念、运算方法、练习题目等内容。
2.练习题：教师需要准备一些除法的练习题目，用于学生的练习和巩固。
3.教学工具：教师需要准备一些教学工具，如黑板、粉笔、练习本等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过讲解和示范，向学生介绍除法的基本概念和运算方法。
引导学生回顾乘法的基本概念和运算方法，引导学生理解除法与乘法的关系。
2024届吉林省数学九年级第一学期期末经典试题含解析
2024届吉林省数学九年级第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是A．B．C．D．2．已知点A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，分别以A、D为圆心，AE和DF长为半径画圆弧交于点P．以下说法正确的是( )①∠PAD=∠PDA=60º；②△PAO≌△ADE；③PO=2r；④AO∶OP∶PA=1∶2∶3.A．①④B．②③C．③④D．①③④3．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（）A．14B．13C．512D．124．下列命题错误．．的是( )A．经过三个点一定可以作圆B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等5．sin60tan45︒+︒的值等于（）A ．2B ．322+ C ．3D ．16．如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则ABE ∆与ABCD 的面积比值为（ ）A ．1:8B ．1:4C ．3:8D ．3:47．下列事件是必然事件的是（ ） A ．打开电视机，正在播放篮球比赛 B ．守株待兔C ．明天是晴天D ．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球.8．抛物线y =2 x 2＋3与两坐标轴．．．．的公共点个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，那么AB 的长为( ) A ．5sin AB ．5cos AC ．D ．10．下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣2x ﹣3＝0 B ．（x ﹣5）（x +2）＝0 C ．x 2﹣x +1＝0D ．x 2＝1二、填空题(每小题3分,共24分)11．在二次函数中2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表： x ...... -1 0 1 2 3 4 ...... y......-7-2mn-2-7......则m 、n 的大小关系为m _______n ．（填“>”,“=”或“<”） 12．正五边形的中心角的度数是_____．13．一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是_____． 14．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．15．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个．16．计算：2sin30°+tan45°＝_____．17．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为_____． 18．已知方程x 2﹣3x ﹣5=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=_________． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F （1）试判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由．（2）若3BD =，1BF =，求阴影部分的面积（结果保留π）20．（6分）如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线上在x 轴下方的动点，过M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；（3）E 是抛物线对称轴上一点，F 是抛物线上一点，是否存在以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a 的值和图象的顶点坐标。
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吉林省实验中学繁荣校2014---2015学年度下学期毕业班
第九次月考（数学）试题
一、选择题（每小题3分，共24分）.
1.下列各数中最小的数是 ( ) A. 0 B.
13 C.1
3
- D.3- 2. 病理学家研究发现，甲型H 7N 9病毒的直径约为0.00015毫米，0.00015用科学记数法
表示为( ) A. 4
1.510-⨯ B.5
1510-⨯ C.3
0.1510-⨯ D. 3
1.510-⨯ 3．右图所示的几何体的俯视图是 ( )
A B C D
4．1
3+n x
可以写成 ( )
A ．13)(+n x
B ．x x n
+3 C ．n x x 3⋅ D ．n n x x 216÷+
5.不等式组4310x x +>⎧⎨-≤⎩
的解集在数轴上可表示为
( )
6. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的心，∠AOC =108°，点D 在AB 的延长线上，BD =BC ，则∠D = ( )
A ．54°
B ．36°
C ．27°
D ．72°
（6题） （7题） （8题）
7.如图，正六边形ABCDEF 的边CD 与等腰三角形GCD 的直角边CD 重合，
90GCD ∠= ，点G 在正六边形的内部，则EDG ∠的度数为 ( )
A ．90°
B ．85°
C ．65°
D ．75°
8. 如图,在平面直角坐标系中,若点(2,3)A 在直线1
2
y x b =-
+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部，则b 的值可能是 ( )
A ．3-
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算:
= .
10. 购买m 千克苹果花费p 元，则按同样的价格购买n 千克苹果，需花费 元．
11.如图,在四边形ABCD 中, 90A ∠=
, BD CD ⊥, ADB C ∠=∠.若4AB =,
2AD =,则BC 的长为 .
12.如图，在正方形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径作 MN .若12∠=∠,2AB =,
则 MN
的长为 .
（11题） （12题）
13.如图,在MON ∠的两边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =.分别以点A 、B 为圆心，
OA 长为半径作弧，两弧交于点C ;连结AC 、BC 、AB 、OC .若2AB cm =,四边形
OBCA 的面积为42cm .则OC 的长为 cm .
（13题） （14题）
14．如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数k
y x
=
的图象上，1OA =，6OC =，则正方形ADEF 的边长为_________．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15.(6分)先化简，再求值：224()
(2)1
x x x x -+--，其中x .
16.(6分) 某校为美化校园，计划对某一区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为4002
m 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2
m ？
17.(6分)2015年3月省实验中学初二年级要从一位男生甲和两位女生乙、丙中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果,并求恰好选派一男一女两同学参赛的概率．
18.(7分)已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，DA 平分EDC ∠，且E B ∠=∠，
DE DC =，求证：AB AC =．
19.(7分) 将一盒足量的牛奶按如图（1）所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图（2）是它的平面示意图，请根据图中的信息
解答下列问题．
（1）填空：AP = cm ，BP = cm . （2）求出容器中牛奶的高度CF ．（结果精确到0.1cm ）
(参考数据:
1.41≈ 1.73≈)
20.(7分) 为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查．问卷如下：
以下是根据调查结果的相关数据绘制的统计图的一部分．
2014—2015学年度第一学期 大学生参加公益活动统计图
2014—2015学年度第一学期 大学生参加公益活动分布统计图
请回答以下问题：
（1）此次调查对象共__________人，扇形统计图中m 的值为__________； （2）请补全条形统计图并在图上标出数据；
（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请根据上述调查结果估计这所大学2014
—2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有多少人?
21.(8分) 周末，甲从家出发前往与家相距100千米的旅游，以10千米/时的速度步行1小时后，改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发，乙在甲前面40千米处，在甲出发3小时后开车追盐赶甲，两人同时到达目的地。
设甲、乙两人离甲家的距离
y （千米）与甲出发的时间x (小时)之间的函数关系如图所示.
(1)求乙的速度;
(2)求甲出发多长时间后两人第一次相遇; (3)求甲出发几小时后两人相距12千米.
2014—2015学年度第一学期你参加过几次公益活动？ A ．没有参加过公益活动 B ．参加过一次公益活动 C ．参加过二次至四次公益活动 D ．参加过五次或五次以上公益活动
ME
23.(10分)如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，(5,0)B 两点，直线
3
34
y x =-+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．点P 是第一象限内抛物线上一动点，
过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交直线CD 于点E ．设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；
（2）写出线段CE 的长（用含有m 的代数式表示）； （3）若5PE EF =，求m 的值；
（4）在y 轴上是否存在点G ，使四边形CEPG 为菱形？若存在，请求出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
24. (12分)如图，在ABC 中，45BAC ∠=
，AB =，12AC cm =.点E 从点A
出发沿AC 方向以1cm /s 的速度运动到点C 停止.作EF AC ⊥交折线AB BC -于点F .以EF 为边向右作矩形EFNM .使2EM EF =.设点E 的运动时间为(s)t . (1)用含t 的代数式表示线段EF 的长. (2)求当N 落在边BC 上时，t 的值.
(3)设矩形EFNM 与ABC 重叠部分的面积为2()S cm ,求S 与t 的函数关系式.
(4)在点E 运动过程中,当点F 在AB 边上时，若点A 关于直线EF 的对称点为1A ,点C 关于直线MN 的对称点为1C ,以11AC 为边作正方形,使它与矩形
EFNM 在AC 同侧,直接．．写出这个正方形与矩形重叠部分图形的面积为2
1cm 时,t 的值.
C
A。