《一次函数的应用》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第2课时
一次函数的应用(第2 课时) 教学设计
一次函数的应用（第2课时）
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解一次函数与一元-次方程的关系；2.会用函数的方法求解一元一次方程.
(二)过程与方法：经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系的过程，体会数形结合的数学思想.
(三)情感态度与价值观：通过教学活动，让学生学会从不同角度认识事物本质的方法，建立自信心，提高学生自主合作探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，让学生体验数学的价值.
二、教学重点、难点
重点：1.对一次函数与一元-次方程的关系的理解；2.应用函数求解一元一次方程.
难点：对一次函数与一元一次方程的关系的理解.
三、教学过程。
《 一次函数的图象》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第2课时
第四章一次函数4.3 一次函数的图象第2课时教学设计一、教学目标1．经历一次函数图象的画图过程，初步了解画函数图象的一般步骤；经历一次函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力.2．能熟练画出一次函数的图象；掌握一次函数及其图象的简单性质.二、教学重点及难点重点：用“两点法”画出一次函数图象是研究一次函数的性质的基础．难点：直线y=kx+b(k、b是常数，k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响．三、教学用具多媒体课件.四、相关资源《正比例函数y=－2x+1的图象的画法》动画或图片，《两点法画图象》的动画，《一次函数y=2x+3，y=－x，y=－x+3和y=5x－2的图象的画法》动画或图片.五、教学过程【复习导入】师：1．什么叫函数?在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．2．函数的表示方法有哪几种?（1）解析法（2）列表法（3）图象法3．同学们，上节课我们学习了正比例函数的图象，请画出正比例函数y=－2x的图象。
【探究新知】1．师：正比例函数y=－2x的图象是过原点的一条直线，那你们知道一次函数y=－2x+1 的图象是什么形状吗?那就让我们一起做一做，看一看，如何作出一次函数？要回答这个问题，必须弄清楚以下几点：（1）函数的图象是由无数个点构成的．（2）这些点在坐标系中是一对一对的有序实数．（3）此解析式实际上是一个二元一次方程，它的一对一对的x、y值可看作是图象上的点的坐标．（4）要找出它的某个点，实际上就是求出这个二元一次方程的一组解．（5）把x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标．（6）把函数作图问题转化为求方程的解的问题．例画出一次函数y =－2x +1的图象。
解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出对应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=－2x+1的图象，它是一条直线。
4.4 一次函数的应用 北师大版八年级数学上册教案
4 一次函数的应用第1课时 一次函数的应用(1)教学目标【知识与技能】会用待定系数法求一次函数的表达式，并能运用一次函数知识解决简单的实际问题．【过程与方法】通过运用一次函数知识解决实际问题，进一步加深理解并掌握所学知识．【情感、态度与价值观】体会数形结合的思想，了解数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的数学应用意识．教学重难点【重点】用待定系数法求一次函数的表达式，并能解决简单的实际问题．【难点】灵活运用所学知识解决实际问题．教学过程一、复习引入1．提问：(1)什么是一次函数？(2)一次函数的图象是什么？(3)一次函数的相关性质．2．做一做．(1)直线y＝3x＋1经过点(1， )，与y轴的交点是( ， )，与x轴的交点是( ， )．(2)点(－2，7)是否在直线y＝－5x－3上？3．引入．在前面学习一次函数时，我们根据函数关系式知道它的图象，知道图象上相应的点的坐标满足关系式，那么反过来，我们是否能根据图象、点的坐标等信息确定函数关系式呢？这就是我们今天要学习的内容——待定系数法求函数关系式．二、讲授新课师：下面我们来看几个例题．【例1】在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．某弹簧不挂物体时长14.5 cm，当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度．【解】设y＝kx＋b，根据题意，得14．5＝b，①16＝3k＋b.②将①代入②，得k＝0.5，所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5.当x＝4时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5(cm)．即物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.师：在这个例题中，我们首先根据题意设出一次函数的表达式，再利用待定系数法将已知数据代入表达式中，求得了一次函数的表达式，从而进一步解决了实际问题．【例2】某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：(1)油箱最多可储油多少升？(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？(3)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油？(4)油箱中的剩余油量小于1 L时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警？【解】观察图象，得(1)当x＝0时，y＝10.因此，油箱最多可储油10 L.(2)当y＝0时，x＝500.因此，一箱汽油可供摩托车行驶500 km.(3)x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油．(4)当y＝1时，x＝450.因此，行驶450 km后，摩托车将自动报警．师：请同学们思考教材P92的“做一做”．学生观察并思考．生：(1)从图象中可以看出，当y＝0时，x＝－2；(2)这个函数的表达式为y＝x＋2.师：很好！那么你们知道方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1之间有什么联系吗？学生思考并讨论．教师总结：一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解．三、课堂小结师：通过本节课的学习，同学们有什么收获？与同伴交流一下．学生发言，教师予以点评．第2课时 一次函数的应用(2)教学目标【知识与技能】会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系，处理一些较为复杂的问题，领会数形结合的思想．【过程与方法】经历对实际问题建立数学模型的过程，体验数形结合的作用和一次函数模型的价值．【情感、态度与价值观】1．通过让学生经历用一次函数知识来建立实际问题的函数模型、解决实际问题的过程，使它们感受到数学的用途和数学与生活的紧密联系．2．让学生参与到教学活动中来，提高学习数学、应用数学的积极性．教学重难点【重点】用一次函数知识解决实际问题．【难点】获取一次函数图象中的信息，领会数形结合的思想．教学过程一、共同探究，获取新知问题1：某公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．(注：销售提成是销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用)．设销售商品的数量x(件)，销售人员的月工资y(元)，如图所示，y1为方案一的函数图象，y2为方案二的函数图象．从图中信息解答如下问题：(1)求y1的函数关系式；(2)求点A的坐标，并说出A点的实际意义；(3)请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？分析：(1)因为该函数图象过点(0，0)，(30，720)，所以该函数是正比例函数，利用待定系数法即可求解．(2)利用(1)中表达式，即可得出A 点坐标．(3)把图象上点的坐标代入，即可求出b 的值，从而求出答案．【解】(1)设y 1的函数表达式为y ＝kx(x≥0)．∵y 1经过点(30，720)，∴30k ＝720.∴k ＝24.∴y 1的函数表达式为y 1＝24x(x≥0)．(2)根据图象可知x ＝50，把x ＝50代入y 1＝24x 得：y 1＝24×50＝1 200，∴A(50，1 200)当销售量为50件时两种方案工资相同，都是1 200元．(3)设y 2的函数表达式为y 2＝ax ＋b(x≥0)，经过点(30，960)，(50，1 200)∴{960＝30a ＋b 1 200＝50a ＋b ，解得：{a ＝12b ＝600，∴b ＝600，即方案二中每月付给销售人员的底薪为600元．问题2：一家公司招聘销售员，给出以下两种薪金方案供求职人员选择，方案甲：每月的底薪为1500元，再加每月销售额的10%；方案乙：每月的底薪为750元，再加每月销售额的20%，如果你是应聘人员，你认为应该选择怎样的薪金方案？【解】设月薪y(元)，月销售额为x(元)．方案甲：y ＝1 500＋110x(x≥0)方案乙：y ＝750＋15x(x≥0)当y 甲＝y 乙时，1 500＋110x ＝750＋15x ，解得x ＝7 500.求得y 甲＝y 乙＝2 250即销售额为7 500元时，这两种方案所定的月薪相同．在同一坐标系中画出两种方案中y 关于x 的函数图象．由图象可知：当0≤x＜7 500，y甲＞y乙，x＞7 500时，y甲＜y乙．提问：说一说用图象的方法解决问题有哪些优点？二、例题讲解【例】 我边防局接到情报，近海外有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶(图①)．图②中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系．根据图象回答下列问题：(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？(2)A，B哪个速度快？(3)15 min内B能否追上A?(4)如果一直追下去，那么B能否追上A?(5)当A逃到离海岸12n mile的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？(6)l1与l2对应的两个一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？【解】(1)当t＝0时，B距海岸0 n mile，即s＝0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系．(2)t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5，即10 min，A行驶了2n mile，B行驶了5n mile，所以B的速度快．(3)延长l1，l2(图③)，可以看出，当t＝15时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，15 min时B尚未追上A.(4)如图③，l1，l2相交于点P.因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A.(5)图③中，l1与l2交点P的纵坐标小于12，这说明，在A逃入公海前，B能够追上A.(6)k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度．可疑船只A的速度是0.2nmile/min，快艇B的速度是0.5n mile/min.三、练习新知教师多媒体出示课件：小明步行离开家去上学，开始的速度是0.6 m/s，10分钟后发现快迟到了，加快了速度，以1.2m/s的速度用5分钟走完了剩余的路程到达学校．1．求小明家离学校的大致距离和小明走路的平均速度．2．请用函数图象描述小明走路的过程．教师引导学生思考交流，然后找一生板演，其余同学在下面做，订正得到：距离应为0.6×10×60＋1.2×5×60＝360＋360＝720(m)，平均速度为720÷[(10＋5)×60]＝720÷900＝0.8(m/s)．教师多媒体出示图象：其中x表示小明离开家的时间，y表示小明离开家的距离．四、课堂小结师：本节我们学习了什么内容？生：对于实际问题，初步了解如何根据函数表达式和图象描出它的现实意义．。
北师大版八年级数学上册：4.4《一次函数的应用》教学设计2
北师大版八年级数学上册：4.4《一次函数的应用》教学设计2一. 教材分析《一次函数的应用》是北师大版八年级数学上册第4章“一次函数”的第4节内容。
本节课主要通过实例让学生了解一次函数在实际生活中的应用，学会用一次函数解决实际问题，培养学生的应用意识。
教材通过丰富的情境素材，引导学生探究一次函数的应用，从而提高学生分析和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了的一次函数的定义、性质和图象。
但解决实际问题的能力还不够强，因此，在教学过程中，教师要注重引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解一次函数在实际生活中的应用，学会用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的应用意识。
四. 教学重难点1.重点：一次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为一次函数问题，并求解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解一次函数的应用。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引导学生探究一次函数的应用。
2.准备PPT，展示一次函数的图象和实际问题。
3.准备练习题，巩固学生对一次函数应用的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入本节课的主题，如：“小明每天骑自行车上学，他的速度保持不变。
一天，他从家出发，8分钟到达学校。
如果他想要在7分钟内到达学校，他需要以多少千米/小时的速度骑车？”让学生思考并回答问题。
2.呈现（15分钟）教师展示一次函数的图象，如y=2x+1，并解释图象的含义。
然后，教师再呈现一些实际问题，如：“一家工厂生产的产品，每增加1小时工作时间，产量增加20件。
北师版数学八年级上册第2课时 一个一次函数的应用教案与反思牛老师
第2课时一个一次函数的应用前事不忘，后事之师。
《战国策·赵策》圣哲学校蔡雨欣【知识与技能】1.能利用一次函数解决简单的实际问题.2.了解一次函数与一元一次方程之间的关系.【过程与方法】通过生活的实例结合一次函数的图象解决问题，继续体会数形结合的思想所起的重要作用.【情感与态度】让学生深刻体会到数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活的实际.【教学重点】利用一次函数解决简单的实际问题.【教学难点】根据一次函数图象去分析解决问题.一、创设情境，导入新课教材第91页例2上面的内容【教学说明】从生活中的实际问题出发，采用提问引发思考的方式引入，激发学生探求知识的兴趣.二、思考探究，获取新知简单的一次函数的实际应用教师引导学生完成教材第91页例2.【教学说明】让学生体会利用一次函数的图象解决实际问题的方法.如果从图象上不能很明显得出结论，还需要求出一次函数的表达式在进行求解.做一做：教材第92页“做一做”.【教学说明】巩固加深根据一次函数图象求直线表达式，同时体会当函数值为零时自变量的取值，为下面学习一元一次方程与一次函数的关系打下了基础.讨论：一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？【教学说明】充分体会一元一次方程与一次函数之间的转化关系，帮助学生从数形结合的角度进一步认识一次函数与一元一次方程的密切联系.【归纳结论】一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.三、运用新知，深化理解1.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是 .2.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所有的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）.A.12分钟B.15分钟C.25分钟D.27分钟3.某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料产M、N 两种型号的时装80套.已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元.若设生产N型号的时装套数x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为y元.（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？【教学说明】让学生独立完成，加深对新学知识的理解和检验学生掌握情况，便于教师查漏补缺，及解决学生的疑难问题.【答案】1.4；2.B；3.解：（1）y=5x+3600（40≤x≤44）；（2）当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你会利用一次函数图象解决有关问题吗？你有哪些收获？请与大家共同分享.【教学说明】教师引导学生回顾所学知识点，对知识不断归纳整理，特别有时需要利用图象求出关系式再去解决问题更准.1.布置作业：习题4.6中的第1、2题.2.完成练习册中本课时相应练习..本节课从实际生活背景发，利用一次函数及图象解决问题，让学生体会一次函数的应用价值和一次函数与一元一次方程的密切关系，体验应用知识的成就感和学习教学更加热爱生活.【素材积累】从诞生的那一刻起，我们旧像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。
《一次函数的应用》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第2课时
第四章一次函数4.4一次函数的应用第2课时教学设计一、教学目标1．经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。
2．进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。
3．利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观。
4．初步体会函数与方程的联系。
二、教学重点及难点重点：一次函数图象的应用．难点：正确地根据图象获取信息．三、教学用具多媒体课件四、相关资源《水库水量减少》动画，《摩托车行驶中油箱油量变化》动画。
五、教学过程【情境导入】由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万米3)的关系如下图所示，回答下列问题：(1)水库干旱前的蓄水量是多少？(2)干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？［师］请大家根据图象回答问题，有困难的请大家互相交流．［生甲］答：(1)水库干旱前的蓄水量是1200万米3［生乙］(1)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．当t=10时，V约为1000万米3．同理可知当t为23天时，V约为750万米3．［生丙］(2)当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V等于400万米3时，求所对应的t的值．当V等于400万米3时，所对应的t的值约为40天．［生丁］水库干涸也就是V为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天．设计意图：培养学生的识图能力，只须分别观察出t=0,10,23时对应的V值（约1200,1000,750）和V=400,0时对应的t值（约40,60）即可。
问题意在增进对一次函数中b 的实际意义的理解。
【典例精讲】某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：(1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？(2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？(3)油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？分析：(1)函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程．(2)x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为消耗的数量．(3)当y小于1时，摩托车将自动报警．［生］答：(1)观察图象，得当y=0时，x=500因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米．(2)x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油．(3)当y=1时，x=450因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警．设计意图：有多种解法。
《一次函数的应用》 示范公开课教学PPT课件【北师大版八年级数学上册】第2课时
分析：函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长 路程．
解：观察图象，得：当y=0时，x=500，因此一箱汽油可供 摩托车行驶500千米．
典例精讲
（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？
分析：x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为 消耗的数量．
解：x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托 车每行驶100千米消耗2升汽油．
典例精讲
（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行 驶多少千米后，摩托车将自动报警？
分析：当y小于1时，摩托车将自动报警．
解：当y=1时，x=450，因此行驶了450千米后，摩托车将自 动报警．
课堂练习
4．函数y＝－3x－6中，当自变量x增加1时，函数值y就（ C ）． A．增加3 B．增加1 C．减少3 D．减少1
5．某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返 回，若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚距离h，那么下列四个图中反 映全程h与t的关系图是（ D ）．
课堂练习
6．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步
课堂练习
（1）如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠 面积将增加多少万千米2？
解：如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面 积将新增加10万千米2．
课堂练习
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在 开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
解：从图象可知，每年的土地面积减少2万千米2，现有土 地面积100万千米2，100÷2=50，故从现在开始，第50年底后， 该地区将丧失土地资源．
北师大版 八年级上册 一次函数的应用教学设计
北师大版八年级上册一次函数的应用教学设计一. 教材分析北师大版八年级上册一次函数的应用教学设计，主要涵盖了一次函数的概念、性质、图像及其在实际问题中的应用。
本节课的内容是学生学习一次函数的重要环节，通过本节课的学习，使学生掌握一次函数的基本知识，能够解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了代数基础知识，对代数式、方程、不等式有一定的了解。
但是，对于一次函数的概念、性质及其图像的认识还有待提高。
此外，学生对于数学在实际生活中的应用还比较陌生，需要通过本节课的学习，培养学生的数学应用意识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一次函数的概念、性质、图像，能够解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生发现和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识。
四. 教学重难点1.一次函数的概念和性质。
2.一次函数图像的特点及其绘制方法。
3.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现数学问题，激发学生的学习兴趣。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现一次函数的性质和图像特点。
3.案例教学法：通过具体案例，使学生学会如何将一次函数应用于实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的概念、性质、图像及其应用的教学课件。
2.教学案例：准备一些实际问题，作为教学案例。
3.教学素材：准备一些与一次函数相关的图片、视频等素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，引导学生发现数学问题，激发学生的学习兴趣。
例如，通过分析出租车行驶的路程与时间的关系，引出一次函数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现一次函数的概念、性质、图像，让学生初步了解一次函数的基本知识。
3.操练（10分钟）让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现一次函数的性质和图像特点。
例如，让学生观察一次函数的图像，分析其斜率和截距的含义。
八年级数学上册 4.4 一次函数的应用(第2课时)教案 (新版)北师大版
课题：一次函数的应用（第二课时）●教学目标：知识与技能目标：进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；过程与方法目标：在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．情感与态度目标在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．●重点：一次函数图象的应用●难点：从函数图象中正确读取信息●教学流程：一、课前回顾二、指出下列格式中的k和b:注意：一次函数书写一般写成(1) y=0.5x+ 3 (2) y= - 0.18x+10求一次函数的表达式的详细步骤１.设——一次函数表达式 y=kx+b或者y=kx；２.代——将点的坐标代入y=kx+b中,列出关于K、b的方程３.解——解方程求出K、b值；４.定——把求出的k、b值代回到表达式中即可.解答实际情景函数图象信息问题的方法：法一:图象观察法法二:关系式计算法三、情境引入探究1：反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， L2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：(1)当销售量为2吨时，销售收入＝_2000____元l1 反映了公司产品的销售收入与销售量的关系。
l1对应的函数表达式是y=1000xl2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：（2）当销售量为2吨时，销售成本=__ 3000________元l2 反映了公司产品的销售成本与销售量的关系。
l2对应的函数表达式是y=500x+2000。
（3）当销售量为6吨时，销售收入＝6000元，销售成本＝5000元，利润＝1000 元。
（4）当销售量为4吨时，销售收入等于销售成本。
（4）当销售量大于4吨时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量小于4吨时，该公司亏损(收入小于成本)；练习1：甲、乙两地相距40 km，小明8:00 点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小红10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小明所用的时间为x（h），小明与甲地的距离为y1（km），小红离甲地的距离为y2（km）.（1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；（2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.（1）解小明所用时间为x h，由“路程=速度×时间”可知y1 = 8x，自变量x 的取值范围是0≤x≤5由于小红比小明晚出发2 h，因此小红所用时间为（x- 2）h. 从而y2= 40（x- 2），自变量x 的取值范围是2≤x≤3.（2）解将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，过点M（0，40）作射线l 与x轴平行，它先与射线y2 = 40（x - 2）相交，这表明小红先到达乙地.四、自主思考探究2：我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶。
《一次函数的应用第2课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第四章一次函数4. 4 一次函数的应用第 2 课时教学设计本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第2课时，主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维.1.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.2.通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识和数学阅读能力，发展形象思维；通过具体问题的解决，发展学生的数学应用能力；引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式.3.在解决实际问题中，使学生认识到数学与生活是密不可分的，培养学生学习数学的兴趣，进而更好的解决实际问题.【教学重点】一次函数图象的应用.【教学难点】从函数图象正确读取信息，解决实际问题.学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆教师准备课件，图片.一、复习回顾从一次函数图象可获得哪些信息?1. 由一次函数的图象可确定 k 和 b 的符号；2. 由一次函数的图象可估计函数的变化趋势；3. 可直接观察出: x 与 y 的对应值；4. 由一次函数的图象与 y 轴的交点的坐标可确定 b 值，从而确定一次函数的图象的表达式.内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解.怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容.首先，想一想一次函数具有什么性质？在一次函数y kx b =+中当0k >时，y 随x 的增大而增大，当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限；当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限.当0<k 时，y 随x 的增大而减小，当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、四象限；当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过二、三、四象限.目的：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k 、b 的正负对图象的影响.通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.效果：学生通过知识回顾，再次明确一次函数图象和性质，为学习本节课在知识上作好准备.◆教学过程二、合作交流，探究新知（一）一次函数图像的应用内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V (万米3) 与干旱持续时间t (天)的关系如下图所示，回答下列问题：（1）水库干旱前的蓄水量是多少？（2）干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？（3）蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报？（4）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？（根据图象回答问题，有困难的可以互相交流.）答案：（1）当0x =，1200y =，水库干旱前的蓄水量是1200万米3.（2）求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t 等于10时所对应的V 的值.当10t =时，V 约为1000万米3.同理可知当t 为23天时，V 约为750万米3.（3）当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V 等于400万米3时，求所对应的t 的值.当V 等于400万米3时，所对应的t 的值约为40天.（4）水库干涸也就是V 为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当V 为0时，所对应的t 的值约为60天.目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力. 效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育.（二）一次函数与一元一次方程一元一次方程0.510x +=与一次函数0.51y x =+有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答.）答案： 一元一次方程0.510x +=的解为2x =-，一次函数0.51y x =+包括许多点.因此0.510x +=是0.51y x =+的特殊情况.当一次函数0.51y x =+的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.510x +=的解. 函数0.51y x =+与x 轴交点的横坐标即为方程0.510x +=的解.练一练1. 直线 y = 2x + 20与 x 轴交点坐标为（____，_____）这说明方程 2x ＋20＝0的解是x =_____.2. 若方程kx ＋b ＝0的解是x =5，则直线y =kx ＋b 与x 轴交点坐标为（____，_____）. 一次函数与一元一次方程的关系目的：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从“数”的角度看，当一次函数0.51y x =+的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.510x +=的解；从“形”的角度看，函数0.51y x =+与x 轴交点的横坐标即为方程0.510x +=的解.效果：通过练习，学生明晰了函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数.三、运用新知例1 某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量 y (升)与摩托车行驶路程 x (千米)之间的关系如图所示：(1)油箱最多可储油多少升？(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？(3)摩托车每行驶 100 千米消耗多少升？(4)油箱中的剩余油量小于1 升时将自动报警.行驶多少千米后，摩托车将自动报警?如何解答实际情景函数图象的信息？1. 理解横纵坐标分别表示的的实际意义；2. 分析已知条件，通过作x 轴或y 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；3. 利用数形结合的思想：将“数”转化为“形” 由“形”定“数”.例2 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx＋b＝0的解为()A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3四、巩固新知1. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y 元与行李质量x 千克的关系如图：(1)旅客最多可免费携带多少千克行李？(2)超过30千克后，每千克需付多少元？2. 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万千米2，沙漠面积200万千米2，土地沙漠化的变化情况如下图所示.(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2.解：（1）如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米2.（2）从图象可知，每年的土地面积减少2万千米2，现有土地面积100万千米2，÷，故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源.1002=50（3）如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米2沙漠，每年沙化2万-÷=，故到第12年底，该地区千米2，实际每年改造面积2万千米2，由于(200176)212的沙漠面积能减少到176万千米2.目的：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题；同时，通过土地沙漠化的问题情景引导学生关注自己身边的生存环境.效果：通过对较复杂的问题的探究，培养了学生分析问题和解决问题的能力，并渗透德育教育.3. 近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0 ≤ x ≤ 50 和x > 50时y 与x 的函数表达式.⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50 度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50 度时，收费标准是多少？五、归纳小结1. 能通过函数图象获取信息.2. 能利用函数图象解决简单的实际问题.3. 初步体会方程与函数的关系.目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.效果：学生畅所欲言，相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用.略.◆教学反思。
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第四章一次函数
4.4一次函数的应用
第2课时教学设计
一、教学目标
1．经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。
2．进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。
3．利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观。
4．初步体会函数与方程的联系。
二、教学重点及难点
重点：一次函数图象的应用．
难点：正确地根据图象获取信息．
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资源
《水库水量减少》动画，《摩托车行驶中油箱油量变化》动画。
五、教学过程
【情境导入】
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万米3)的关系如下图所示，回答下列问题：
(1)水库干旱前的蓄水量是多少？
(2)干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？
(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
［师］请大家根据图象回答问题，有困难的请大家互相交流．
［生甲］答：(1)水库干旱前的蓄水量是1200万米3
［生乙］(1)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．当t=10时，V约为1000万米3．
同理可知当t为23天时，V约为750万米3．
［生丙］(2)当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V等于400万米3时，求所对应的t的值．
当V等于400万米3时，所对应的t的值约为40天．
［生丁］水库干涸也就是V为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天．
设计意图：培养学生的识图能力，只须分别观察出t=0,10,23时对应的V值（约1200,1000,750）和V=400,0时对应的t值（约40,60）即可。
问题意在增进对一次函数中b 的实际意义的理解。
【典例精讲】
某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
(1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
(2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？
(3)油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
分析：(1)函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程．
(2)x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为消耗的数量．
(3)当y小于1时，摩托车将自动报警．
［生］答：(1)观察图象，得
当y=0时，x=500
因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米．
(2)x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油．
(3)当y=1时，x=450
因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警．
设计意图：有多种解法。
可以用例题中的解法，也可以由图看出答案，还可以根据图象写出直线所对应的函数表达式进而获得答案。
这里鼓励解法的多样性，但重点要培养学生利用图象分析问题、解决问题的能力，发展几何直观，有利于学生增进对一次函数中b 的实际意义的理解。
做一做：
如图，是某一次函数的图象，根据图象填空：
(1)当y=0时，x=________________；
(2)这个函数的表达式是________________．
解：(1)观察图象可知当y=0时，x=－2；
(2)直线过(－2，0)和(0，1)
设表达式为y=kx+b，得
－2k+b=0 ①
b=1 ②
把②代入①得k=0.5
∴直线对应的函数表达式是y=0.5x+1
设计意图：为下面的“议一议”做铺垫.
议一议
一元一次方程0 .5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？
［师］请大家根据刚做的练习来进行解答．
［生］一元一次方程0.5x+1=0的解为x=－2，一次函数y=0.5x+1包括许多点．因此0.5x+1=0是y=0.5x+1的特殊情况．
［师］当一次函数y =0.5x +1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x +1=0的解．
函数y =0.5x +1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x +1=0的解．
小结：一般地，当一次函数y =kx +b 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx +b =0的解．从图象上看，一次函数y =kx +b 与x 轴交点的横坐标即为方程kx +b =0的解．
设计意图：通过议一议，发现结论，反映了一般的函数与方程的关系。
【课堂练习】
1．已知下列各点的坐标：M （－3，4），N （3，－2），P （1，－5），Q （2，－1），其中在直线y ＝－x ＋1的图象上的点有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
设计意图：考查如何判断一个点是否在函数图象上．
2．有一游泳池已注满水，使用一段时间后把水排完清洗，然后再注满水使用，则池中存水量Q 随时间t 变化的大致图象是（ ）．
设计意图：考查如何利用函数图象表现函数的增减性以及变化规律．
3．下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）．
设计意图：考查函数的概念．
4．函数y ＝－3x －6中，当自变量x 增加1时，函数值y 就（ ）．
A ．增加3
B ．增加1
C ．减少3
D ．减少1
设计意图：考查如何利用函数解析式表现函数的增减性以及变化规律．
5．某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t ，纵轴表示与山脚距离h ，那么下列四个图中反映全程h 与t 的关系图是（ ）． D C B A Q O
t Q
O Q O O Q t D C B A O y
x x y x y x y O O O
设计意图：考查如何利用函数图象表现函数的增减性以及变化规律．
6．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：
①a =8；②b =92；③c =123，其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ． 仅有①②
C ．仅有①③
D ． 仅有②③
7．全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万千米2，沙漠面积200万千米2，土地沙漠化的变化情况如下图所示．
(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2沙漠，那么到第几年底，该h
h h h t t t O
O O t O A B C D b
O 8
a 100t （秒）
y （米）
地区的沙漠面积能减少到176万千米2．
【答案】
1．C．2．B．3．D．4．C．5．D
6．A 【解析】∵乙出发时甲行了2秒，相距8m，∴甲的速度为8÷2＝4m/s．∵100秒后乙开始休息，∴乙的速度是500÷100＝5m/ s，∵a秒后甲乙相遇，∴a＝8÷(5－4)＝8，即①正确；100秒后乙到达终点，甲走了，4×(100＋2)＝408米∴b＝500－408＝92米即②正确
甲走到终点一共需耗时500÷4＝125(秒)，∴c＝125－2＝123，即③正确．故选A．7．解：(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米2．
(2)从图象可知，每年的土地面积减少2万千米2，现有土地面积100万千米2，100÷2=50，故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源．
(3)如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米2沙漠，每年沙化2万千米2，实际每年改造面积2万千米2，由于(200－176)÷2=12，故到第12年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2．
六、课堂小结
1．通过函数图象获取信息．
2．利用函数图象解决简单的实际问题．
3．初步体会方程与函数的关系．
七、板书设计
4.4一次函数的应用（2）
1．一次函数图象的应用。