《金融数量分析 》第16章 分形技术———移动平均Hurst指数
《金融数量分析 》第16章 分形技术———移动平均Hurst指数
16.3.3 移动平均Hurst计算
使用上证指数199199至2008108上证综指时间序列数据，计算其给定移动平均 长度的Hurst指数。编写MoveHurst.m函数，其中cyclength为计算周期，用户可根据 需求进行修改。
例如计算120个交易日的Husrt指数，使用的数据为［t-119,t］的价格数据，移 动平均的意思为根据t的向前移动，计算指数的数据为［t-119,t］的价格数据，同时 根据t进行移动。
使用方法如下图所示。
16.3.2 Hurst指数计算
时间序列Hurst指数计算函数语法如下： HurstExponent=HurstCompute(Xtimes) 输入参数： ➢ Xtimes：时间序列数据。 输出参数： ➢ HurstExponent：为二元向量，第一元素为时间序列的Hurst指数, 第二
元素为回归分析常数项。 注：回归模型log((R/S)n)=log1 Hurst指数
基于重标极差(R/S)分析方法基础上的Hurst（赫斯特）指数(H)研究是由英 国水文专家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关 系时，发现用有偏的随机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期贮存能 力，并在此基础上提出了用重标极差(R/S)分析方法来建立Hurst指数，作为判断 时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。
Hurst指数是分形技术在金融量化分析中的典型应用。分形是以非整数维形 式充填空间的形态特征。分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。1973年， 曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何 的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支 离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由 于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何 学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理 论上，而且在实用上都具有重要价值。
Hurst指数以及MF-DFA
Hurst指数以及MF-DFA写在前⾯9⽉的时候说想把arch包加进去，昨⼉发现优矿已经加好了，由于优矿暂时没有开放历史⾼频接⼝，我索性就分享⼀个冷冷的⼩知识：分形市场假说（FMH），分析中玩的是低频数据（⽇线，或者分钟线）。
所谓分形市场假说，就是⼈们发现有效市场假说的种种不合理后，提出的⼀种假说，我曾经有仔细关注过这⼀块，因为这个假说真是太「中国特⾊」了：它有⼏个主要论点：1. 当市场是由各种投资期限的投资者组成时，市场是稳定的（长期投资者和短期投资者），当投资者单⼀时，则市场会出流动性问题； 2. 信息集对基本分析和技术分析来讲短期影响⽐长期影响要⼤； 3. 当某⼀事件的出现使得基础分析的有效性值得怀疑时，长期投资者或者停⽌⼊市操作或者基于短期信息进⾏买卖； 4. 价格是短期技术分析和长期基础分析的综合反应； 5. 如果某种证券与经济周期⽆关，那么它本⾝就不存在长期趋势。
此时，交易⾏为、市场流动性和短期信息将占主导地位。
总之就是⼀个具有「正反馈、⾮线性、分形、混沌、耗散」等等很⽜逼的概念，深深吸引着曾经学过物理学的我。
关于Hurst指数以及MF-DFA现在对于分形市场假说的主要⽅法论就是 Hurst指数，通过MF-DFA（Multifractal detrended fluctuation analysis）来计算，具体的可以维基百科⼀下，⼤体就是当hurst>0.5时时间序列是⼀个persistent的过程，当hurst>0.5时时间序列是⼀个anti-persistent的过程，当hurst=0.5时间序列是⼀个不存在记忆的随机游⾛过程。
⽽在实际计算中，不会以理论值0.5作为标准（⼀般会略⼤于0.5）写在最后这份⼯作来⾃于LADISLAV KRISTOUFEK这位教授在12年的⼯作，论⽂名叫做RACTAL MARKETS HYPOTHESIS AND THE GLOBAL FINANCIAL CRISIS: SCALING, INVESTMENT HORIZONS AND LIQUIDITY这位教授后来在13年把这项⼯作强化了⼀下（加了点⼩波的⽅法），把论⽂的图画得美美哒，竟然发表在了Nature的⼦刊Scientific Report上。
中国产出缺口的持续性特征分析
中国产出缺口的持续性特征分析申树斌【摘要】来自中国1978-2013年的国内生产总值和居民消费价格数据的分形和经济计量证据表明:中国产出缺口呈现显著的持续性特征.产出缺口的持续性源自需求引导、供给跟随的经济增长路经和粘性经济增长目标的政策偏好.赫斯特(Hurst)指数与过度需求变量—均衡通货膨胀率与平均通货膨胀率之差成正比.赫斯特(Hurst)指数还受融资约束和消费支出冲击等因素的影响,即宏观经济政策对过度投资需求或过度消费需求的约束越松(越紧),产出缺口的持续程度越高(越低).【期刊名称】《沈阳理工大学学报》【年(卷),期】2015(034)006【总页数】9页(P83-91)【关键词】产出缺口;持续性;Hurst指数;通货膨胀;经济增长【作者】申树斌【作者单位】东北财经大学数学学院,辽宁大连116025【正文语种】中文【中图分类】TP274+.5近来的一些研究强调宏观经济运行和调控中货币和结构因素影响共存的现象。
Sudipta Dutta Roy等［1］在结构向量自回归框架中研究发现除货币因素，结构因素在印度通货膨胀和经济波动的产生和持续过程中扮演重要的角色。
印度经济具有较大的、不经常的与成本/价格相关的因素扰动的特征。
货币/信贷供给增加在短期提高产出和价格，在长期提高价格。
而非扩张的货币政策即使以实际产出降低为代价也不能有效控制通货膨胀。
价格行为存在相对的刚性。
货币当局通过改变货币供给的数量和结构应对不同的价格扰动。
Richard Clarida等［2］发现美国货币政策立场从Volcker以前时期(1960－1979)到 Volcker－Greenspan时期(1979－1996)存在从消极货币政策向积极货币政策的转变。
申树斌［3－4］的理论分析表明货币政策立场的转变依赖货币政策有效性的实现条件和路径，与经济和金融结构的变化有关。
谢平等［5］对中国货币政策利率规则的研究结果表明:中国1992年第1季度至2001年第4季度的货币政策持消极立场。
赫斯特指数
Hurst 指数的计算方法
由原始数据计算 R (T) /S (T) ，T= 2，3，⋯，
R T mX a t,x T mX itn ,T
1 t T
1 t T
STT1tT1ξtξT21/2
然后在 ln(R /S) - lnT 坐标系中用直线拟合观 测点。
该直线斜率即为H 指数的值。
在完全有效的资本市场上，证券价格完全 能够反映信息蕴涵的价值。收益率的波动 不能用过去的收益率来预测。股票的收益 率此时是随机游走，服从布朗运动模型、 正态分布。
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目前世界上大多数国家股票市场的实践都证 明股票收益率分布具有尖峰肥尾以及存在长 期记忆效应等特征，传统的有效市场理论显 然已经不合时宜。
此时，时间序列有混沌性。过去的增量与未 来的增量是正相关的，序列在下一时刻极有 可能仍将保持原方向不变。因此，一定范围 的记录会持续相当长的时期，从而形成一个 个大的循环。但是这些循环没有固定的周 期，难以依靠过去的数据预测未来的变化。
H = 1：完全预测。此时, 时间序列为一条直
线。未来完全可以用现在进行预测。
学者们在非线性分析思维的启示下，提出了 与有效市场理论相对应的分形市场理论，其 代表人物有Mandelbrot 和Edgar E. Peters 。
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Mandelbrot(1964) 对资本市场的统计特性进 行了开创性的探索，创立了分形几何学， 提出了分形理论；
Peters( 1994) 在Mandelbrot 的基础上进一步 对资本市场统计特性进行了研究，提出了 分形市场假说( FMH) 。
而东方明珠(600832) 的收益率是Antipersistent 的。这表明它们的收益率趋向于返回过去的 记录，收益率变化的增量发散较慢。
资本市场的hurst指数估计
叶建萍：资本市场的Hurst 指数估计计，并得出这两种方法偏差. 我们可以通过数值模拟得出多尺度的估计方法得到的H 值更准确偏差更小，在实证部分中我们更倾向用多尺度的方法去估计广义的赫斯特指数. 本文实证部分以及数据处理主要使用R 2.5.0 和Excell 完成.本文可能的新颖之处有以下几点：1. 模拟分数布朗运动的程序.2. 数据选取不同. 从数据的类型来看，以往研究股市长记忆性时，大多以股票综合指数作为研究对象，本文研究的对象是股票市场上的金融板块，另外外汇的交换率的中间值是人民币.3. 方法的改进，本文利用多尺度方法改进了经典的R/S 分析方法，减少了偏差，估计Hurst 指数更加准确.本文一共分五章：第一章是引言部分；第二章模拟分数布朗运动和Hurst 指数的定义以及分数布朗运动与Hurst 指数之间的关系；第三章介绍了经典的R/S 估计和多尺度的广义赫斯特指数估计方法；第四章是本文的重点实证分析，分析了我国股票市场的金融板块和人民币对其他国家的外汇交换率；第五章是结论和展望.2 C H (t, s ) = E [B H (t ), B H (s )] = [|t|2H + |s|2H − |t − s|2H ]广西师范大学硕士学位论文第二章模拟分数布朗运动和 Hurst 指数的定义§2.1 模拟分数布朗运动1. 我们首先给出分数布朗运动的定义. Kolmogorov and Rozanov(1991, [1]) 给出如下概念定义 2.1. 称随机过程 B H (t ) 是分数布朗运动，若其连续且满足 P (B H (0) = 0) = 1,B H (t ) − B H (s )N (0, |t − s|2H )，其中 t,s 为两个不同时间点，H 为 Hurst 指数，且H ∈(0,1).B H (t ) 的分布可以表示为P (B H (t ) ≤ x ) = √1 2πt 2Hx −u 2 e 2t 2H du, 当 H=0.5 即为普通的布朗运动, 分数布朗运动以长期相关和统计自相似为特点，具 有循环和趋势双重特征.布朗运动与分数布朗运动之间的区别为布朗运动的增量是独立的而分数布朗 运动中的增量是不独立的，考虑零时刻过去增量 {B H (0) − B H (−t )} 和未来增量 {B H (t ) − B H (0)} 的相关系数 C(t). 有：C (t ) ==E{[B H (0) − B H (−t )][B H (t ) − B H (0)]}E [B H (t ) − B H (0)]2−E [B H (−t )B H (t )]E [B H (t )]2== − −1 E{[B H (−t )]2 + [B H (t )]2 − [B H (−t ) − B H (t )]2} 2 E [B H (t )]2 1 (−t )2H + t 2H − (−2t )2H 2 t 2H =2H −1 − 1分数布朗运动具有自相似性和长期相依性，应该更能切合实际地反映金融市场的变 化特性. 并且实证研究发现，许多金融市场的 Hurst 参数 H=1/2; H 的不同取值范围对 应相关系数 C(t) 的不同取值，同时也给出了序列的 3 种运动形式：当 H=0.5 时，相 关系数为 0，序列独立；当 0<H <0.5 时，相关系数为负相关；当 0.5<H <1 时，相关 系数为正，序列为正相关. 由此可见，分数布朗运动的参数 H 是度量序列相关性的. 分数布朗运动的自相关函数是：122. 模拟分数布朗运动的步骤：(1) 假设 {X t } ∼ B H (t ), 记 Cov (X ) = V , 利用 chol 分解 V ，令 C = chol (V ) (2) 产生 n 个正态随机变量 Z = (Z 1, · · · , Z n ) ∼ N n (0, I ) (3) 令 Y=C*Z ，则 Y 就是分数布朗运动，Y=X.5 −20 −15 −10 −5y100 20 40 60 80 100 120 140y0 −80 −60 −40 −20y20 2 r−3 −2 −10 1 3叶建萍：资本市场的 Hurst 指数估计持久性时间序列，其定义为 0.5<H <1 的，因为它们也可以用分数布朗运动来描 述.Hurst 指数描述了两个相邻事件发生的可能性，如果 H=0.7，那么基本上可以说， 要是上一个移动是正的，下一个移动也是正的概率更高，这不是一种真正的概率： 它仅仅是” 偏倚” 的一个度量. 下面给定 H=0.50,0.72 和 0.90 的模拟序列，随着 H 越 来越接近 1，序列变得噪声越来越小，具有相同符号的观测值越来越多。
特雷诺指数
特雷诺指数简介：特雷诺指数是一种用于衡量股票市场平均回报率的指标。
它由诺曼·特雷诺于1990年提出，主要用于投资评估和风险管理。
特雷诺指数根据股票市场的历史数据计算得出，可以帮助投资者了解投资组合的表现，并与市场的整体表现做对比。
特雷诺指数的计算方法：特雷诺指数的计算方法比较简单。
首先，需要收集一段时间内的股票市场表现数据，通常是一年或一季度的数据。
然后，计算投资组合的平均回报率和市场的平均回报率。
特雷诺指数等于投资组合的平均回报率减去市场的平均回报率，再除以投资组合的波动率。
特雷诺指数的意义：特雷诺指数的主要意义是帮助投资者评估自己的投资组合相对于整个市场的表现。
如果特雷诺指数为正数，表示投资组合的回报率高于市场平均水平，反之则表示表现不佳。
特雷诺指数还可以用于比较不同投资组合之间的表现，有助于投资者选择最合适的投资策略。
特雷诺指数的优点：1. 提供了一个直观的评估投资组合表现的指标，可以方便地比较不同投资策略的优劣。
2. 将投资组合的回报率与市场整体表现做对比，有助于判断投资者的投资决策是否超越了市场的预期。
3. 可以帮助投资者了解投资组合的风险水平，从而更好地进行风险管理和资产配置。
特雷诺指数的局限性：1. 特雷诺指数只考虑了投资组合的回报率和波动率，没有考虑其他因素，如市场的流动性、操作成本等，因此可能不能全面反映投资组合的表现。
2. 特雷诺指数是基于历史数据计算得出的，不能预测未来的投资回报率和市场表现。
3. 特雷诺指数只适用于衡量股票市场的平均回报率，对其他资产类别的投资表现无法进行评估。
总结：特雷诺指数是一种用于衡量投资组合表现的指标，可以帮助投资者了解自己的投资策略相对于市场的表现，并进行风险管理和资产配置。
尽管特雷诺指数有一定的局限性，但在投资评估和决策中仍然具有一定的参考价值。
投资者在使用特雷诺指数时应该注意其局限性，并结合其他指标和因素进行综合分析。
基于加权平均值的时变hurst指数估计方法研究
和 ｑ 阶矩概念ꎬ通过窗口大小、指数权重和 ｑ 阶矩三
时间序列在不同时间段的自相似参数是动态变化
个参数对估计结果进行调整ꎬ估计结果得到明显改
的ꎬ即这些随机信号局部自相似特性是时变的
[５ － ６]
ꎮ
为了有效估计随机信号的这种时变局部自相似特
性ꎬ学者提出了时变 Ｈｕｒｓｔ 指数的概念ꎬ并进行深入
研究 [７ － ８] ꎮ 现有时变 Ｈｕｒｓｔ 指数估计算法基本都是
收稿日期: ２０１９ － ０６ － ２８
基金项目: 辽宁省博士启动基金(２０１７０５２０２１５)
作者简介: 刘兆羽(１９９１ － ) ꎬ女ꎬ硕士研究生ꎬ研究方向为随机信号
处理ꎮ 通讯作者:盛虎ꎮ
— １ —
Δｔ －１
ｗ ｓ ｆ( ห้องสมุดไป่ตู้ ｔ －ｓ )
∑
ｓ ＝０
(５)
‹ Ｓ( ｔ ＋ τ) － Ｓ ( ｔ) ｑ ｗ( ｔ) ›
１ 基于加权平均值时变 Ｈｕｒｓｔ 指数估
计算法原理
Ｈｕｒｓｔ 参数与某个时间序列 Ｓ( ｔ) 的长期统计相
关性有关ꎬ令时间序列为 ｔ ＝ (１ꎬ２ꎬꎬΔｔ) ꎬ 定义具
有单一时间步长的时间窗口 Δｔꎮ 作为自相似性的度
量ꎬ它必然与基本统计量有关ꎬ基本统计量最终变为
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ￣ｖａｒｙｉｎｇ Ｈｕｒｓｔ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｉｔｈ ｌｏｃａｌ ｓｅｌｆ￣
ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ. Ｉｎ ｔｈｉｓ ｒｅｓｅａｒｃｈꎬｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｓｅｌｆ￣ｓｉｍｉｌａｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｃａｎ ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ
基于Hurst指数的量化投资策略研究
基于Hurst指数的量化投资策略研究作者：***来源：《现代信息科技》2023年第22期收稿日期：2023-04-18基金项目：湛江市非资助科技攻关计划项目（2021B01494）DOI：10.19850/ki.2096-4706.2023.22.018摘要：自尤金·法玛1970年提出有效市场假说后，部分学者认为股票市场具有长期记忆性，不符合该假说，用分形理论来刻画股票价格运动更为合理。
首先应用配分函数法（Partition Function， PF），通过沪深300股指数据验证了A股市场的分形特征，然后选取了Hurst指数这一指标来衡量股票价格变动的长期记忆性，构建量化交易策略池，并通过均线策略进行择时，最后通过夏普比率最大化完成投资组合优化，发现该投资策略能获得明显高于被动投资沪深300指数的投资收益，说明基于Hurst指数构建量化交易策略具有一定的实用性。
关键词：Hurst指数；分形市场；均线策略；投资组合优化；量化交易中图分类号：TP39；F832.48 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2023）22-0083-06Research on Quantitative Investment Strategies Based on Hurst IndexLI Minghui（Zhanjiang Preschool Education College， Zhanjiang 524084， China）Abstract： Since Eugene Fama proposed the Efficient Market Hypothesis in 1970， some scholars believe that the stock market has long-term memory and does not conform to this hypothesis. It is more reasonable to use fractal theory to describe stock price movements. Firstly， the Partition Function （PF） method is applied to validate the fractal characteristics of the A-share market through the Shanghai and Shenzhen 300 stock index data. Then， the Hurst index is selected as an indicator to measure the long-term memory of stock price changes， and a quantitative trading strategy pool is constructed. The time is selected through the moving average strategy. Finally， the investment portfolio is optimized by maximizing the Sharpe ratio， it is found that this investment strategy can achieve significantly higher investment returns than passive investment in the Shanghai and Shenzhen 300 Index， indicating the practicality of constructing a quantitative trading strategy based on the Hurst Index.Keywords： Hurst index; fractal market; moving average strategy; portfolio optimization; quantitative trading0 引言金融市场中的股票价格特征研究一直是学术界和业界的重点关注对象。
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赫斯特指数预测股票市值走势的三种形式： ① 如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述。股市未来方向（上涨或者下 跌）无法确定，市场处于震荡行情中。 ② 如果0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性)，即暗示长期记忆的时间序列。股市将保持 原有方向，若时间周期序列长度为120，当最近半年市场上涨（横盘、下跌）， 则 市场很可能将继续上涨（横盘、下跌），H值越大市场保持原有趋势的惯性越大。 ③ 如果0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性)，即均值回复过程。股市将改变原有方 向，若时间周期序列长度为120，当最近半年市场上涨（横盘、下跌）， 则市场很 可能将继续下跌或者横盘（上涨或下跌、横盘或上涨），H值越小市场改变原有趋 势的可能性越大。
16.2 R/S方法计算Hurst指数
R/S分析方法的基本内容是：对于一个时间序列(例如指数的价格序列){xt}，把 它分为A个长度为n的等长子区间，对于每一个子区间，比如第a个子区间 （a=1,2,…,A），若时间序列长度为240，A=［4,6,…］，n=［60,40,…］等。假设
式中：Ma为第a个区间内xu,a的平均值。Xt,a为第a个区间内第t个元素的累计离差，令 极差
16.3.3 移动平均Hurst计算
使用上证指数199199至2008108上证综指时间序列数据，计算其给定移动平均 长度的Hurst指数。编写MoveHurst.m函数，其中cyclength为计算周期，用户可根据 需求进行修改。
例如计算120个交易日的Husrt指数，使用的数据为［t-119,t］的价格数据，移 动平均的意思为根据t的向前移动，计算指数的数据为［t-119,t］的价格数据，同时 根据t进行移动。
使用方法如下图所示。
时间序列分段函数（除因子2外，例如240分为2与120或者120与2，因 数据段数太少或者子区间长度太短将影响回归效果）语法如下： ［FactorMatrix,FactorNum］=HurstFactorization(x) 输入参数： ➢ x：时间序列长度。 输出参数： ➢ FactorMatrix：时间序列分段方案； ➢ FactorNum：时间序列分段方案数量。
为了使计算操作简易化，使用MATLAB的GUI方法编写用户使用界面，如下图 所示。
使用方法将时间序列放在Excel文件中，如附带文件中shindex.xls的格式，时间 序列使用时间格式“199199”，数据使用数值格式“189.24”。
注意：Excel文件中数据无需标题行，请不要在文件中出现汉字，MATLAB在读取 时候可能会不识别汉字。
因此对log n和log(R/S)n进行最小二乘法回归分析便可以计算出H的近似值。 注：在MATLAB中，log与ln等价。
16.3 移动平均Hurst指数计算程序
16.3.1 时间序列分段
子区间长度n是可变的，如果回归分析需要将时间序列进行分段，例如 若时间序列长度为240，则其可以分解成4段长度为60的等长子区间，或者6 段长度为40t指数计算
时间序列Hurst指数计算函数语法如下： HurstExponent=HurstCompute(Xtimes) 输入参数： ➢ Xtimes：时间序列数据。 输出参数： ➢ HurstExponent：为二元向量，第一元素为时间序列的Hurst指数, 第二
元素为回归分析常数项。 注：回归模型log((R/S)n)=log(K)+Hlog(n)。
Hurst指数是分形技术在金融量化分析中的典型应用。分形是以非整数维形 式充填空间的形态特征。分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。1973年， 曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何 的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支 离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由 于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何 学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理 论上，而且在实用上都具有重要价值。
16.1 Hurst指数
基于重标极差(R/S)分析方法基础上的Hurst（赫斯特）指数(H)研究是由英 国水文专家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关 系时，发现用有偏的随机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期贮存能 力，并在此基础上提出了用重标极差(R/S)分析方法来建立Hurst指数，作为判断 时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。
若以Sa表示第a个区间的样本标准差，则可定义重标极差Ra /Sa，把所有A个这 样的重标极差平均计算得到均值
而子区间长度n是可变的，不同的分段情况对应着不同的(R/S)n，Hurst通过对 尼罗河水文数据长时间的实践总结，建立了如下关系：
式中K为常数，H即为相应的Hurst指数。将上式两边取对数得到
Hurst指数有三种形式： ① 如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述； ② 如果0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性),即暗示长期记忆的时间序列； ③ 如果0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性),即均值回复过程。 也就是说，只要H≠0.5，就可以用有偏的布朗运动(分形布朗运动)来描述该 时间序列数据。