误差理论与测量平差习题01
误差理论与测量平差习题编写葛永慧付培义胡海峰
太原理工大学测绘科学与技术系
第一章 绪论习题..................................................... 2 第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题............................... 3 第三章 条件平差习题................................................. 4 第四章 间接平差习题................................................. 7 第五章附有限制条件的条件平差习题.................................... 2 第六章 误差椭圆习题................................................. 4 第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题......................... 6 第八章 近代平差理论习题 (7)
第一章 绪论习题
1.1 举出系统误差和偶然误差的例子各5个。
1.2 已知独立观测值1L 、2L 的中误差分别为1m 、2m ，求下列函数的中误差：
（1） 2132L L x -=； （2）
2
12
132
L L L x -=
； （3）
)cos(sin 211
L L L x +=
1.3 已知观测值L 及其协方差阵LL D ，组成函数AL X =和BX Y =，A 、B 为常数阵，求协方差阵XL D 、YL D 和XY D 。
1.4 若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于mm 0.5±，欲使平差后线路中点高程中误差不大于mm 0.10±，问该路线长度最多可达几公里？ 1.5 有一角度测20测回，得中误差24.0''±，问再增加多少测回，其中误差为8
2.0''±？ 1.6 设对某量进行了n 次独立观测，得观测值i L ，权为),,2,1(n i p i =，试求加权平均值
[]
[]p pL x =
的权x p 。
1.7 取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，求长度为D 的直线之丈量结果的权。 1.8 设有函数y f x f F 21+=，其中
??
?+++=+++=n n n n L L L y L L L x βββααα (22112211)
i α、i β是无误差的常数，i L 的权为i p ，)(0j i p ij ≠=。求函数F 的权倒数F p 1
。
1.9 已知观测值向量L ，其协因数阵为单位阵。有如下方程：
L BX V -=，0=-L B BX B T
T ，L B B B X T
T
1
)
(-=，V L L
+=? 式中：B 为已知的系数阵，B B T
为可逆矩阵。求（1）协因数阵XX Q 、
L L Q ?
?；（2）证明V 与
X 和L
?均互不相关。 1.10 设分5段测定A 、B 两水准点间的高差，每段各测两次，高差观测值和距离如下：
试求：(1)每公里观测高差的中误差；(2)第二段观测高差的中误差；(3)第二段高差的平均值的中误差；(4)全长一次(往测或返测)观测高差的中误差；(5)全长高差平均值的中误差。
第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题
2.1在图2.1中，A ，B 点为已知水准点，P 1，P 2，P 3，P 4为待定水准点，观测高差向量为
[]
T
h h h L 8211
,8~,~,~ =，试列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之间的关系式）。
2.2 为确定某航摄像片中一块梯形的面积，用卡规量得上底边长为1l ，下底边长为2l ，高为h ，并用求积仪量得面积为S （见图2.2），若设梯形面积为未知参数X ~
，试按附有参数的条件平差法列出平差函数模型。
2.3 在如图 2.3的水准网中，A 为已知水准点，321P P P ，，为待定点，观测高差向量为T h h h h h L ]~~~~~[~54321，，，，=，现选取321
P P P ，，点高程为未知参数T
X X X X ]~~~[~321，，=，试列出间接平差的函数模型。
2.4 在图2.4的水准网中，A ，B 点为已知水准点，P 1，P 2点为待定水准点，观测高差为321,,h h h 和4h 。若设三段高差为未知参数，[]
T
X X X X 3
211
,3~,~,~~=如图所示，试按附有限制条件的间接
平差列出平差函数模型。
2.5 在图 2.5的水准网中，A ，B 点为已知点，321P P P ，，点为待定点，观测高差为()6,5,4,3,2,1=i h i ，若选AP 1，P 1P 2及P 2B 路线的三段高差为未知参数，
[]
T
X X X X 3
211,3~,~,~~=试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和限制条件。
第三章 条件平差习题
3.1 如图3.1所示水准网，A 、B 两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。用条件平差法计算求知点的高程平差值及p 2和p 3之间平差后高差值7?
h 的中误差。
表3.1
图3.1
3.2图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及CD边长平差后的相对中误差。
表3.2
3.3如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为±3″，测边标称精度为±(5+5D)mm，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。
表3.3
3.4 设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：
试求：（1 ，
[]p bf
/
3.5 i L （i =1E LL =，已知方位角BC a 无误差，试求平差后BE a 的权倒数。
3.6 试按条件平差法求证在单一水准路线（如图3.6）中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
3.7 已知条件式为0=+W AV ,其中AL W =，观测值协因数阵为1
-=P
Q LL ，现有函数式
)(V L f
F T
+=，
（1） 试求：FF Q ；
（2） 试证： V 和F 是互不相关的。
3.8 有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于表3.8。试按条件平差法求出改正数i
S V 以及
边长平差值。（已知E Q S =）。
表3.8
第四章 间接平差习题
一、 公式汇编与示例
（一）、公式汇编
附有限制条件的间接平差法的数学模型
,?1
,1
,,1
,n u u n n l x
B V -= （4-5-4） ,0?1
,1
,,=-s x u u s W x
C
（4-5-5） .
,1
20
,20
,n
n n
n n
n P
Q D -==σ
σ
（4-5-6）
其中 ).(),(0
X ΦW X F L l x -=-= 法方程
,0?1
,1
,1
,,1
,,u u s s s u T u u
u bb W K C x
N =-+ （4-5-13） .0?1
,1
,1
,,s s x u u s W x
C =-
（4-5-14） 式中 .,Pl B W PB B N T
T bb ==
（4-5-12）
其解为
x
cc T bb bb
cc T bb bb u W N C N W CN
N C N N x 1
11
1
111
,)(?------+-=
,1
1??x cc T bb X X W N C N W Q --+=
（4-5-19） ).
(11
1
,x bb
cc s s W W CN
N K -=--
（4-5-18） 式中 .1T
bb
cc C CN
N -=
（4-5-16）
观测值和参数的平差值
,?1
,V L L
n += （4-5-20） .??0
1
,x
X X
u +=
（4-5-21）
单位权方差的估值
,
?2
s u n PV
V r
PV V T
T
+-=
=
σ
（4-5-22） .?s T x T
T
T
K W x W
Pl l PV V --=
（4-5-23）
协因数阵见表4-10。参数平差值函数：
).?(?X Φ=?
（4-5-24）
平差值函数的权函数式
.??X d F d T =?
（4-5-25）
式中
.???21
,1??????
????????=u
u
T
X
ΦX
Φ
X Φ
F
（4-5-26）
平差值函数的协因数
.????F Q F Q X X T
=??
（4-5-27）
平差值函数的中误差
.???0????σ
σQ = （4-5-28）
（二）、示例
例[4-6] 在图4-11的三角网中，A 、B 为已知点，CD 为基线边，又已知B-E 的方位角BE α，观测了全部角度值列于表4-12，试求各待定点坐标的平差值和F 点点位中误差。
解：
（1）绘制平差略图（图4-11）。 （2）编制起算数据表（表4-11）。
（3）计算近似坐标（计算过程略，近似坐标列于表4-13）。 （4）计算近似边长和近似方位角（计算过程略，结果列于表4-14）。
（5）计算a 、b 系数，例中x
?、y ?以cm 为单位，故a 、b 系数按下列计算： .
)
(cos 06265
.2,)
(sin 06265.20
km S b km S a ik ik
ik ik ik
ik αα-
==
计算结果见表4-14。
起 算 数 据 表 表4-11
角 度 观 测 值 表4-12
待定点近似坐标与最后坐标 表4-13 图4-11
a，b系数的计算表4-14
（6）编制误差方程系数和常数项表（表4-15），其中
).
(0
ij ik i i L l αα--=
（7）列立条件方程。由于选取了全部待定点坐标为参数，所以在基线边的两端点的参
数C x
?、C y ?、D x ?、D y ?之间存在着一个基线条件，而在已知点坐标B X 、B Y 与参数E x ?、E y ?之间存在一个方位角条件。 基线条件为
2
22)??()??(C
D C D
CD Y Y X X
S -+-=，
方位角条件为
.
??arctan
B
E
B E BE X X Y Y --=α
它们线性化后的形式为
,0?sin ?cos ?sin ?cos 0
000=-++--s D CD D CD C CD C CD w y
x y x αααα
.0??=-+αωE EB E EB y b x
a
式中，,
)
()(0
2
00200CD CD C D C D
CD s
S S Y Y X X
S -=-+--
=ω
.
arctan
00
BE BE B
E
B E BE X
X
Y Y αααωα-=---=。EB a 与EB b 的计算与误差方程系数相同。
（8）组成法方程并进行解算。结果为
,]206.0195.0122.0099.0308.0155.0273.0142.0349.0002.0[?cm x
T = .]040.0010.0[T
s K -=
（9）将坐标改正数列入表4-13，计算平差后坐标。
（10）计算观测角改正数（表4-15）和平差后的角值（略）。 （11）精度评定。 单位权中误差
.
02.110
4067.14?0''==
+-=s
u n PV V T
σ
F
点的纵横坐标的协因数、中误差和点位中误差为
,
9436.9,8513.10?
?
??
==E
F F
F
Y Y X X Q Q
,95.38513.1020.1??cm F
X ==σ,78.39436.920.1??cm F
Y
==σ.47.578
.395.3?2
2
cm F =+=σ
二、习 题
4.1 在直角多边形中（如图4.1），测得三边之长为21L L 、及3L ，试列出该图的误差方程式。
4.2 在图4.2中所示的水准网中，各路线的观测高差如下：
m h 100.11+=；m h 398.22+=；m h 200.03+= m h 000.14+=；m h 404.35+=；m h 452.36+=
已知m H A 000.5=，m H B 953.3=，m H C 650.7=，若选择1
1
x H
P =，
2
2
x H
P =，
3
3
x H
P =，试列出误差方程式。
图4.2
4.3 图4.3中,C B A 、、是已知点, 21P P 、为待定点,网中观测了12个角度和6条边长。已知测角中误差为
5.1''±，边长测量中误差为0.2±cm ，起算数据及观测值分别列表于表4.1和表4.2。
表4.2
4.4 是否可以将误差方程式看作附有未知数的条件式？试按附有未知数的条件平差导出普通间接平差的基础方程。
4.5 在附有未知数的条件平差当中，试证明：
（1） 未知数向量X 与改正数向量V 是互不相关的；
（2） 平差值函数0?
f X f L f T
X T
++=φ与改正数向量V 是互不相关的。
4.6 试证明：在附有条件的间接平差法中，
（1） 改正数向量V 与平差值向量L
?是互不相关的； （2） 联系数向量K 与未知数的函数0f X f
T
+=φ也是互不相关的。
4.7 设有误差方程i
i L x v -=?，已知观测值i L （i=1，2，…，n ），精度相同，且权1=i P ，
按间接平差法求得参数x 的估值为
∑
=-=n
i i
T
T n
L l B B B x
1
1)()(?
试证：（1）未知参数估值x
?具有无偏性；
（2）无偏估值x
?的方差最小。
4.8 设未知数321,,x x x 间互相误差独立，试求未知数函数 332211x f x f x f F ++=的权倒数F p /1。
第五章附有限制条件的条件平差习题
5.1 在图5.1的单一附合水准路线中，已知A ，B 点高程为H A =10.258m ，H B =15.127m ，P 1，P 2点为待定点，观测高差及路线长度为：
154.21=h m ， 21=S km 678.12=h m ， 32=S km
031.13=h m ， 43=S km
若选P 1点高程及AP 1路线上高差平差值为未知参数1X 和2X
，试按附有限制条件的条件平
差：
（1） 试列出条件方程和未知数间的限制条件；
（2） 试求待定点P 1及P 2点的高差平差值及各路线上的高差平差值。
5.2 如图5.2的水准网，A 点为已知点，B ，C ，D ，E 点为待定点，已知B ，E 两点间的高差m H BE 000.1=?，各水准路线的观测高差及距离如下表：
现选B ，E 两点的高程为未知参数，其近似值设为： 201.300
1=X m ， 208.300
2=X m 试按附有限制条件的条件平差：
（1） 列出条件方程和限制条件（令权P i =1/S i ）； （2） 列出法方程；
（3） 求协因数阵L V X x
,,,；
（4） 求协因数阵X Q
和V Q 。
5.3 在图5.3的水准网中，A ，B ，C ，D 点为已知点，P 1，P 2点为待定点，已知点高程为000.5=A
H
m ，500.6=B H m ，000.8=C H m ，000.9=D H m 。高差观测值为：
[]
T
s h 003.2006.1750.0245.0250.11
,---=，，，，m
号权阵P为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
2
1
1
1
1
2
1
P
现选取AP1，BP1路线上高差的最或是值为未知参数1
X
和2
X
，其近似值为：
250
.1
1
1
=
=h
X m，245
.0
2
2
-
=
=h
X m
试按附有限制条件的条件平差：
（1）列出条件方程和限制条件方程；
（2）试求高差平差值及P1，P2点的高差平差值；
（3）试求未知数X
x
,及其协因数阵
X
Q 。
5.4在图5.4的测角网中，A，B，C点为已知点，P点为待定点，已知数据为：
117
.
4001
=
AB
S m，443
.
7734
=
BC
S m″′
=
AB
T14o00′35.77″,
BC
T=123o10′57.97″
角度观测值为：
现选取∠2和∠4为未知参数1X 和1X ，其近似值设为201L X =，40
2L X =试按附有限制条
件的条件平差：
（1） 列出条件方程和限制条件； （2） 列出法方程。
第六章 误差椭圆习题
6.1 某一控制网只有一个待定点，设待定点的坐标为未知数，进行间接平差，其法方程为
0394.0534.0762.1411
.0411.0287.1=??
????-+??????????
??y x （系数阵的单位是22dm 秒
）
且已知4''=Pl l T
。试求出待定点误差椭圆的三个参数并绘出误差椭圆，并用图解法和计算法求出待定点的点位中误差。
6.2 如图6-18 所示21P P 、两点间为一山头，某条铁路专用线在此经过，要在21P P 、两点间开掘隧道，要求在贯通方向和贯通重要方向上的误差不超过m 5.0±和m 25.0±。根据实地勘察，在地形图上设计的专用贯通测量控制网，B A 、为已知点，21P P 、为待定点，根据原有测量资料知B A 、两点的坐标以及在地形图上根据坐标格网量得21P P 、两点的近似坐标见表6-5，设计按三等控制网要求进行观测所有的9个角度，试估算设计的此控制网能
否达到要求，并绘出两点的点位误差椭圆和相对误差椭圆。
表6-5 控制网各点（近似）坐标表
点名 A
B
1P 2P
x
8986.687 13737.375 6642.27 10122.12 y
5705.036
10507.928
14711.75
10312.47
6.3 如图6-19所示的控制网为一测边网，B A 、为已知点，E D C 、、为待定点，设待定点的坐标为未知数，进行间接平差，平差后各点的坐标见表6-6，单位权中误差
dm 4.0?0±=σ，法方程系数阵的逆阵也已求出如下，
表6-6 控制网各点坐标表
点号 A
B
C D E
x
2108.278 2623.764 2814.225 2385.122 1966.521 y
1000.000
1000.000
1945.370
1698.484
1361.445
??
?
??
?
?
?
??
??
???
??
?
?
?------------=0467.15328
.00877
.07812
.03071
.08398.05328.01546.11009.08995.03536.09669.00877.01009.05580.02379.00307.00840.07812.08995.02379.00744.27155.09546.13071
.03536.00307.07155.05402.19622.18398.09669.00840.09564.19622.10714
.4XX
Q
试绘出E D C 、、三点的点位误差椭圆及E D 、两点的相对误差椭圆； 用计算法和图解法求出DE 边的边长相对中误差和DB 边的方位角中误差。
第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题
误差理论试卷及问题详解
《误差理论与数据处理》试卷一 一．某待测量约为 80m，要求测量误差不超过 3％，现有 1.0 级 0－300m 和 2.0 级 0－100m 的两种测微仪，问选择哪一种测微仪符合测量要求？ （本题 10 分） 二．有三台不同的测角仪，其单次测量标准差分别为： 1＝0.8′， 2＝1.0′， 3＝0.5′。若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量 4 次，并根据上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少？ （本题 10 分） 三．测某一温度值 15 次，测得值如下：（单位：℃） 20.53, 20.52, 20.50, 20.52, 20.53, 20.53, 20.50, 20.49, 20.49, 20.51, 20.53, 20.52, 20.49, 20.40, 20.50 已知温度计的系统误差为-0.05℃,除此以外不再含有其它的系统误差，试判 断该测量列是否含有粗大误差。要求置信概率 P=99.73%，求温度的测量结 果。（本题 18 分） 四．已知三个量块的尺寸及标准差分别为： l 1 1 (10.000 0.0004) mm; l 2 2 (1.010 0.0003) mm; l 3 3 (1.001 0.0001) mm 求由这三个量块研合后的量块组的尺寸及其标准差（ ij 0 ）。（本题 10 分）五．某位移传感器的位移 x与输出电压 y的一组观测值如下：（单位略） x y 1 0.1051 5 0.5262 10 1.0521 15 1.5775 20 2.1031 25 2.6287 设 x无误差，求 y对 x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F0。10(1，4)=4.54，F0。05(1，4)=7.71，F0。01(1，4)=21.2）（本题 15 分） 六．已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有： ①仪器示值误差不超过 0.15v，按均匀分布，其相对标准差为 25%； ②电流测量的重复性，经 9 次测量，其平均值的标准差为 0.05 v; ③仪器分辨率为 0.10v，按均匀分布，其相对标准差为 15% 。
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案 2006～2007第一学期 测绘工程系 2006年9月
课程名称:误差理论与测量平差基础 英文名称: 课程编号：?? 适用专业：测绘工程 总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时 总学分：4学分 ◆内容简介 《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。 本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。 ◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程 本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。 课程性质为必修课、考试课。 本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。 ◆主要内容重点及深度 考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。 测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。 平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。 计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。 平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
测量误差理论的基本知识习题参考答案
5 测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次,由观测结果算得观测值中误差为± 20″, 则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200, 则该线段中误差为__9.4 mm___。 12、设观测一个角度的中误差为± 8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856 ″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为± 3mm，若1km观测了15 个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面 综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K 是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测是指观测条件不同的各次观测。 5、权是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 3、衡量精度高低的标准有（ABC）。 A、中误差 B、相对误差 C、容许误差 D、绝对误差
误差理论与数据处理答案
《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试 问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论 一、中误差估值（也称中误差）： Δi （i=1，2，…，n ） （6-8） 【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为： 第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。 解："2 2222219.28 41243133±=+++++++±=m "222223.38 1 3046151±=+++++++±=m 由于m 1 5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原 因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差 ___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于 1 的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为 112.329m，则相对误差为 1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次, 由观测结果算得观测值中误差为±20″, 则该角的算术平均值中误差为 ___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为 1/3200, 则该线段中误差为 __9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±″ 。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测 15 个测站，则1km 了 的高差观测中误差为11.6mm，1 公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件 ----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏， 通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差 K---- 是误差 m的绝对值与相应观测值 D 的比值。它是一个不名数， 常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测 ----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测 ----是指观测条件不同的各次观测。 《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案) 一、名词解释（每题2分，共10分） 1、偶然误差 ——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。 2、函数模型线性化 ——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。 3、点位误差椭圆 ——以点位差的极大值方向为横轴X 轴方向，以位差的极值F E 、分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。 4、协方差传播律 ——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。如 0K KL Z +=，若观测向量的协方差阵为LL D ，则按协方差传播律，应有T LL ZZ K KD D =。 5、权 ——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，220 i i P σσ=。 二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分） 参考答案：X √X √X X X √√X 三、选择题（每题3分，共15分） 参考答案：CCDCC 四．填空题（每空3分，共15分） 参考答案：1. 6个 2. 13个 3.1/n 4. 0.4 5. 0) () () () (432 00 2 0=''+?+?+-''+ -''- W y S X X x S Y Y C AC A C C AC A C ρρ,其中 AB A C A C X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan 五、问答题（每题4分，共12分） 1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？ 答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分） ⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数， 测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？ 《误差理论与数据处理》(第六版)完整版 第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。 其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=±=mm m I μ %008.0150123±=±=mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高 误差理论与数据处理 误差习题 第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。 其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=±=mm m I μ %008.0150123±=±=mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高 长沙理工大学考试试卷 …………………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 范志勇 系主任签名 …………………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 误差理论与测量平差基础 课程代号 0809021 专 业 测绘工程 层次（本、专） 本 考试方式（开、闭卷） 闭 一、 正误判断（正确“T ”，错误“F ”每题1分，共10 分）。 1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m ±4.5cm 与218.268m ±4.5cm ，则其真误差与精度均相同（ ）。 2．如果X 与Y 的协方差0xy σ=，则其不相关（ ）。 3．水准测量中，按公式i i c p s = （i s 为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（ ）。 4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（ ）。 5．在某一平差问题中，观测数为n ，必要观测数为t ，参数个数u ＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。（ ）。 6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（ ）。 7．根据公式() 222220 cos sin 0360E F θσθθθ=+≤≤得到的曲线就是误差椭圆（ ）。 8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（ ）。 9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数0σ，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（ ）。 10．设观测值向量,1 n L 彼此不独立，其权为() 1,2 ,,i P i n = ，12(,,,)n Z f L L L = ，则有 2 221122111 1Z n n f f f P L P L P L P ?????????=+++ ? ? ?????????? （ ）。 二、填空题（每空2分，共24分）。 1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒，则测角中误差为 秒。 2、某平差问题函数模型)(I Q =为?? ?????=-=--=+-+=--0?0306051 54431 2 1x v v v v v v v v ，则该函数模型为 平差方法的模型；=n ，=t ，=r ，=c ，=u 。 第七章间接平差 §7-1间接平差原理 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关误差方程和法方程的个数是多少 在某平差问题中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为什么 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗 在图7-1所示的闭合水准网中，A 为已知点（H A =，P 1，P 2为高程未知点，测得离差及水准路线长度为： h 1= ,S 1=2km ，h 2 =，S 2 = 2km,h 3 = - ,S 3 = lkm 。 试用间接平差法求各髙差的平差值。 在三角形(图7-2)中，以不等精度测得 α=78o23′12"，P α=1; β= 85o30 '06 "，P ? =2; γ=16o06'32"，P γ =1; δ=343o53'24", P δ=1； 试用间接平差法求各内角的平差值。 7. 设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B 两点高程为H A ，H B ，路线长为 S 1，S 2，观测高差为h 1 h 2，试用间接平差法写出P 点高程平差值的公式。 7. 在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值: L 1=32o25'18", L 2 =61o14'36", L 3=94o09'40",L 4 172010'17" L 5=93o39'48", L 6=155o24'20" 已知A 方向方位角αA =21o10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。 §7-2误差方程 在间接平差中，为什么所选参数的个数应等于必要观测数，而且参数之间要函 数独立 能否说选取了足够的参数，每一个观侧值都能表示成参数的函数 . 10在平面控制网中，应如何选取参数 《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到 更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经 济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由2122 4() h h g T π+=，得 21802000180' '=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 《误差理论与数据处理》(第七版) 习题及参考答案 第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、 、、。 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为，问该砝码的实际质量是________。 5g 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和_________来表示。 标准差极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为Ω,标准偏差为Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 sqrt(15),3*sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝ V ，标准差σ（U ）＝ ，按99%（置信因子 k = ）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 V* 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ ，则两 电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150 )(16.0) 100150(100)(2 2 2212 1 22 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R= 264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R 14. 用两种方法测量长度为50mm 的被测件，分别测得50.005mm ；50.003mm 。则 _______________测量精度高。 第二种方法 15. 用某电压表测量电压，电压表的示值为226V ，查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附近的误差为5V ，则被测电压的修正值为_______________ ，修正后的测量结果 _______________为。 －5V ，226+(－5V )=221V 16. 检定一只级、量程为100V 的电压表，发现在50V 处误差最大，其值为2V ，而其他刻度处的误差均小于2V ，问这只电压表是否合格_______________。 合格 17. 电工仪表的准确度等级按_____分级，计算公式为 ___ 答案：引用误差，引用误差=最大绝对误差/量程 18.二等活塞压力计测量压力值为，该测量点用高一等级的压力计测得值为 Pa ，则此二等活塞压力计在该测量点的测量误差为________。 答案： 5 测量误差的基本知识 一、填空题: 1真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因 产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差_来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为_误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m,返测为112.329m,则相对误差为1/7488。 10、用经纬仪对某角观测4次,由观测结果算得观测值中误差为土20〃,则该角的算术 平均值中误差为10〃? 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为9.4 mm 。 12、设观测一个角度的中误差为土8〃，则三角形内角和的中误差应为土13.856 〃。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为土3mm若1km观测了15个测站，则1km 的高差观测中误差为11.6mm 1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示。 3、等精度观测----是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测----是指观测条件不同的各次观测。 5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC ）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD ）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 第五章条件平差 §5-1条件平差原理 条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得 5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少? 5. 1.03 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。 图5-1 5. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为H a= 12.123 m , H b=11. 123m,观测高差和线路长度为: 图5-2 S1=2km,S2=Ikm,S3=0.5krn,h1 =-2.003m,h2=-1.005 m,h3=-0.501 m，求改正 数条件方程和各段离差的平差值。 在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程H A=10.000m,观测了5条路线的高差: h1=1.628m， h2=0. 821 m， h3=0.715m， h4=1.502m， h5=-2.331 m。 各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差 值。 有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测 量，测得高差及水准路线长度为 h1 =1 .335 m，S1=2 km; h2=1.055 m，S2=2 km; h3=-2.396 m，S3=3km。试按条件平差法求各高差的平差值。 如图5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″； L3=301°45′42″，=10″. (1)列出改正数条件方程; (2)试用条件平差法求∠C的平差值(注:∠C是指内角)。 5-2条件方程 5. 2.08 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一? 列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关? 5.2. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点，h i表 示观测高差)。 (a) (b) 图5-6 测量误差理论的基本知识答案 第13题答案：90°±3.6″ 第15题答案： 1.258±0.0036 第16题答案： S S1S2S342.74148.3684.75275.85 m mS mS1mS2mS3254 6.7 cm 第17题答案： 该二点间的实地距离为L：L=500×I=500×0.0234=11.70 m L的中误差为：mL5000.2100 mm0.1 m 实地距离最后结果为：11.70.1 m 第18题答案： 水平距离为：d=S×cosa=247.50×cos(10o34)=243.303 m 水平距离的中误差为： 222222 m2md(cosa)2mS(S sina)2a3438 2223[cos(1034)]0.005[247.50sin(1034)]3438 4.0 cm22 第19题答案： 该角度的最或然值为： [L]452954.0452955.0452955.7452955.4 452955.02 x n4 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=1.02, v2=x-L2=0.02, v3=x-L3=-0.68, v4=x-L4=-0.38 角度观测中误差为：m[vv]0.74 n 1 m0.37 n该角度最或然值的中误差为：mx 第20题答案： 该距离的算术平均值（最或然值）为： x[L]346.535346.548346.520346.546346.550346.573346.545 m n6 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=+0.0103, v2=x-L2=-0.0027, v3=x-L3=+0.0253, v4=x-L4=-0.0007 v5=x-L5=-0.0047, v6=x-L6=-0.0277 距离观测中误差为：m[vv] 1.8 cm n 1 m n7.3 mm 该距离最或然值的中误差为：mx 第23题答案：10mm 第24题答案：20mm 第一章绪论 1、误差理论与测量平差基础是一门专业、基础、理论、核心课程。 2、测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关信息的数据。 3、任何观测数据总是包含信息和干扰两部分（有效信息和干扰信息）。采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差。 4、观测数据总是不可避免带有误差。 5、误差即测量值与真值之差。 6、当对某个量进行重复观测时就会发现，这些观测值之间往往存在差异，这是由于观测值中包含有观测误差。 7、误差来源于观测条件，观测条件包括测量仪器、观测者、外界条件。 8、偶然误差即总是假定含粗差的观测值已被剔除；含系统误差的观测值已经过适当改正。在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。 9、在测量中产生误差是不可避免的。 10、根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为偶然误差（Δ）、系统误差和粗差（） 三类。【】 11、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而然，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。（如估读不准确） 12、系统误差包括常差、规律差、随机性系统误差。 13、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在个过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。（如视准轴与水准管轴不平行、仪器下沉、水准尺下沉、水准尺竖立不垂直） 14、系统误差的存在必然影响观测结果，具有一定的累加性，是影响巨大的。 15、粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所能出现的最大误差还要大的误差。（误差=错误，消除粗差的方法：多余观测进行发现、剔除粗差。测量数据中一旦发现粗差，需要舍弃或重测） 16、属于经典测量平差范畴。 17、如何处理由于多余观测引起观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度是测量平差的基本任务（研究路线）。 18、偶然误差概率统计理论包括偶然误差的分布、评定精度的指标、误差的传播规律、误差检验和误差分析等。 19、测量平差的基本定义是依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。 20、测量平差即测量数据调整的意思。 21、P10 公式2-2-5 22、方差和协方差数字特征 23、测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最佳估值，并评定测量成果的精度。 24、正态分布中没有一个比其他的变量占有绝对优势 25、当观测量仅含有偶然误差时，其数学期望也就是它的真值，真误差=真值—观测值=期望测量误差理论的基本知识习题答案.doc
《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
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