2014-2015年河南省南阳市高二上学期期中数学试卷及解析(理科)
2014-2015高二上学期期中数学理科试卷(有答案)
2014-2015高二上学期期中数学理科试卷（有答案）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线与直线的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．异面2．下列命题中正确的是()A．一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行．B．平行于同一直线的两个平面平行．C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面．D．两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行．3．若直线过圆的圆心,则实数的值为（）A．1B.1C.3D.34．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．D．5．点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则的最小值为（）A．2B．C．D．6．正方体的外接球与其内切球的体积之比为（）A.B.C.D.7．已知坐标原点O在圆x2+y2-x+y+m=0外，则m的取值范围是() A．008．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④9．过点（，0）引直线与曲线交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于（）A．B．C．D．10．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E 从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为()A．B．C．D．二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分）11．点关于直线的对称点Q的坐标为12．若A(3，-2)，B(-9，4)，C(x，0)三点共线，则x=13．把直线x－y＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是14．是锐二面角的内一点,于点到的距离为，则二面角的平面角大小为15．过点A(0，73)，B(7,0)的直线l1与过(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为________．16．如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为______。
2014-2015学年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x ﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1 D．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．（5分）函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平个单位长度B．向右平个单位长度C．向左平个单位长度D．向左平个单位长度9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．611．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈R且a≠0，a≠﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC 的．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得＞b n成立．对任意n∈N*，都有b n+121．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．2．（5分）复数z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i（i为虚数单位），则z2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=3+i，z2满足z1•z2=4﹣2i，∴z2====1﹣i所对应的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故选：B．4．（5分）已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若向量的坐标为（4，2），则•=4﹣2×2=4﹣4=0，此时⊥，即充分性成立．若⊥，设=（x，y），则x﹣2y=0，即x=2y，∵向量的模为2，∴x2+y2=20，由，解得或，即=（4，2）或（﹣4，﹣2），即必要性不成立，故p是q的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x ﹣2y+3=0平行，若a n=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=bsinx，∴f′（x）=bcosx，则f′（）=bcos=，∵图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，∴切线斜率k==，解得b=1．∴a n=n2+bn=a n=n2+n=n（n+1），则==﹣，∴数列{}的前2014项和S2014的值为1﹣=1﹣，故选：D．6．（5分）已知（x，y）满足，则k=的最大值等于（）A．B．C．1 D．【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k=，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在R上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：由解析式可知，当x≤0时，f（x）=cosx，为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，是二次函数的一部分，∴函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，对于D，当x≤0时，值域为[﹣1，1]，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为[﹣1，+∞）．故选：D．8．（5分）函f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平个单位长度B．向右平个单位长度C．向左平个单位长度D．向左平个单位长度【解答】解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象，可得=﹣=，得T=π，由=π，可得ω=2．∵A＞0，函数的最小值为﹣1，∴A=1．函数表达式为f（x）=sin（2x+φ），又∵当x=时，函数有最小值，∴2+φ=﹣（k∈Z），解之得φ=﹣（k∈Z），∵|φ|＜，∴取k=1，得φ=，因此，函数的表达式为f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，由此可得函数g（x）=sin2x=f（x﹣），∴将函数f（x）的图象右移个单位，即可得到g（x）=sin2x的图象．故选：A．9．（5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0∴[]′＞0∴g（x）=在（1，+∞）上单调增∵∴g（）＜g（2）＜g（3）∴∴∴c＜a＜b故选：A．10．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：由于正数x，y满足+=5，则3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2+2×=5，当且仅当=，即y=2x，即+=，∴x=，y=时取等号．故3x+4y的最小值是5，故选：C．11．（5分）已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选：A．12．（5分）已知曲线方程f（x）=sin2x+2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈R且a≠0，a≠﹣1【解答】解：∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f'（x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．【解答】解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．14．（5分）O为△ABC所在平面内的一点，若，则O必是△ABC 的重心．（填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一）【解答】解：取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE 是平行四边形，∵=，又，∴==2，∴A，O，D，E四点共线，即AD是中线，同理延长BO交AC于F，则F也为中点，∴O是重心．故答案为：重心15．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=，（n≥2），则a6=．【解答】解：∵a1=1，a2=，（n≥2），∴﹣=﹣，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差d=﹣=4﹣1=3，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∵{a n}正项数列，∴a6=，故答案为：16．（5分）给出下列四个命题：①∀x∈R，e x≥ex；②∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立；③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l3＞a3+b3+c3；其中正确命题的序号是①②③④．【解答】解：①，令f（x）=e x﹣ex，则f′（x）=e x﹣e，当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）=e x﹣ex在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）=e x﹣ex在（﹣∞，1）上单调递减；∴当x=1时，f（x）=e x﹣ex取得极小值，也是最小值，又f（1）=e1﹣e=0，∴∀x∈R，e x≥ex，①正确；②，∵（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0，∴e x0==，当＜x＜2时，＞0，即∃x0∈（1，2），使得（x02﹣3x0+2）e x0+3x0﹣4=0成立，②正确；③，在△ABC中，∵tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，∴tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，∴△ABC是锐角三角形，③正确；④，∵l3﹣a3﹣b3﹣c3=（a2+b2+c2）•l﹣a3﹣b3﹣c3=a2（l﹣a）+b2（l﹣b）+c2（l﹣c）＞0，∴l3＞a3+b3+c3，④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．（Ⅱ）若sinα+f（α）=，求的值．【解答】解：（I）∵f（x）为偶函数∴sin（﹣ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ）即2sinωxcosϕ=0恒成立∴cosϕ=0，又∵0≤ϕ≤π，∴（3分）又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1∴f（x）=cosx（6分）（II）∵原式=（10分）又∵，∴（11分）即，故原式=（12分）18．（12分）设曲线f（x）=x2+1和g（x）=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．【解答】解：由，得x3﹣x2+x﹣1=0，即（x﹣1）（x2+1）=0，∴x=1，∴交点为（1，2）．又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在交点处的切线l1的方程为y﹣2=2（x﹣1），即y=2x，又g'（x）=3x2+1．∴g'（1）=4．∴曲线y=g（x）在交点处的切线l2的方程为y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2．取切线l 1的方向向量为，切线l2的方向向量为，则．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（6分）（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）20．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a n2=2S n﹣a n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n＞b n成立．+1【解答】解：（Ⅰ）∵n∈N*时，，…①当n≥2时，，…②…（2分）由①﹣②得，即，＞0，∵a n+a n﹣1∴a n﹣a n=1（n≥2），…（4分）﹣1由已知得，当n=1时，，∴a1=1．…（5分）故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．∴．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴=2×3n﹣3λ•（﹣1）n﹣1•2n．＞b n恒成立，要使得b n+1只须．…（8分）（1）当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）（2）当n为偶数时，即恒成立．又的最大值为，∴…（10分）∴由（1），（2）得，又λ≠0且λ为整数，…（11分）＞b n成立．…（12分）∴λ=﹣1对所有的n∈N*，都有b n+121．（12分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．22．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）=+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a=﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为。
2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题(word版)
2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试题一．填空题（每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++=”的否定是 ▲ .2. 过点()4,3P --，倾斜角为135°的直线的方程为 ▲ .3. ()43,7M xoy -点，关于平面的对称点的坐标为 ▲ .4. 直线240x y +-=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ .5. 已知一个球的体积为336cm π，则这个球的表面积为 ▲ .6. 直线()230215x y +-=-被圆心为，的圆截得的弦长为，则圆的方程为 ▲ 7. “1a =”是“01ax y x ay +=+=直线与直线平行”的 ▲ 条件 （填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 8. ()()(),00,2,1,1P m A B 点到定点距离之和的最小值是 ▲9. 在过点()2,3的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线的方程为▲10. ,,_______a b c αβγ设为不同的直线，，，为不同的平面，则下面命题正确的个数为 ①,a c b c a b ⊥⊥若则 ②,a b b a a ααα⊂若则或 ③,a a b b αα⊥⊥若则 ④,αγβγαβ⊥⊥若则11. 若圆222424030x y k x y k k k x y ++-+-=-+=关于直线对称，则实数的值为▲12. 若命题“[)()21,3,220x x a x ∃∈+--≥是不等式”是假命题，则实数a 的值为▲13. 在2,1,ABC BC AB AC ABC ∆==∆中，已知则面积的最大值是▲14. 圆()()2220x a y a a x y a -+-=+=上恰有两点到直线的取值范围是 ▲二、解答题（共6小题，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 15.（本小题满分14分）[)()22:11:4240""""p y x mx q x m x p q p q m =++-+∞--+=已知命题二次函数在，上单调递增；命题方程没有实数根。
2014-2015年河南省南阳市高一上学期数学期中试卷和解析(理科)
2014-2015学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x| 4．（5分）若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）B中的任一元素在A中必须有像．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）6．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．3 B．2 C．1 D．08．（5分）函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）=2x，则当x∈（﹣3，﹣2）时，f（x）等于（）A．2x B．﹣2x C．2x+2D．﹣2﹣（x+2）10．（5分）若a∈R，且log a（2a+1）＜log a（3a）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）11．（5分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增加的，又f（3）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时f（x）=（x﹣1）2，若当x∈[﹣2，﹣]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f （1）=．14．（5分）已知函数，且对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），则x0=．15．（5分）若函数f（x）=lg|x﹣1|﹣m有两个零点x1和x2，则x1+x2=．16．（5分）函数y=f（x）是定义在a，b上的增函数，其中a，b∈R且0＜b＜﹣a，已知y=f（x）无零点，设函数F（x）=f2（x）+f2（﹣x），则对于F（x）有以下四个说法：①定义域是[﹣b，b]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的有（填入你认为正确的所有序号）三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）求值：（1）；（2）．18．（12分）已知集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜﹣5或x＞1}，C={x|m﹣1＜x＜m+1}．（1）求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若B∩C=∅，求实数m的取值范围．19．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20．（12分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=3，f（1）=﹣1（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在[a﹣1，a+1]上有最小值﹣1，最大值f（a+1），求a的取值范围．21．（12分）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．（1）证明函数y=f（x）在R上的单调性；（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；（3）若f（x2﹣2）+f（x）＜0，求x的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．2．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，∴x≥﹣1且x≠1，故函数的定义域是为：{x|x≥﹣1且x≠1}．故选：D．3．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|【解答】解：∵f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2﹣3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=﹣在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=﹣|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选：C．4．（5分）若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）B中的任一元素在A中必须有像．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：根据映射的定义：给出A，B两个非空集合及一个对应关系f，在对应关系f的作用下，对集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的像与之相对应．若f：A→B能构成映射，那么，A中的任一元素在B中必须有像且唯一，故结论（1）正确，结论（3）不正确；A中的多个元素可以在B中有相同的像，故结论（2）正确．B中的元素未必有原像，结论（4）不正确．故选：B．5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）=﹣1＞0f（）=﹣2=﹣＜0∵f（）•f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A．6．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．7．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：函数f（x）=，则f（2）==1．f（f（2））=f（1）=2×11﹣1=2．故选：B．8．（5分）函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（A．B．C．D．【解答】解：∵y=f（x）的有两个零点，并且g（x）没有零点；∴函数y=f（x）•g（x）也有两个零点M，N，又∵x=0时，函数值不存在∴y在x=0的函数值也不存在当x∈（﹣∞，M）时，y＜0；当x∈（M，0）时，y＞0；当x∈（0，N）时，y＜0；当x∈（N，+∞）时，y＞0；只有A中的图象符合要求故选：A．9．（5分）已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）=2x，则当x∈（﹣3，﹣2）时，f（x）等于（）A．2x B．﹣2x C．2x+2D．﹣2﹣（x+2）【解答】解：令x∈（﹣3，﹣2），则x+2∈（﹣1，0），∵当x∈（﹣1，0）时，有f（x）=2x，∴f（x+2）=2x+2，∵f（x+2）=f（x），∴f（x+2）=f（x）=2x+2，x∈（﹣3，﹣2）．故选：C．10．（5分）若a∈R，且log a（2a+1）＜log a（3a）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）【解答】解：∵2a+1＞0，3a＞0，当a＞1时，2a+1＜3a＜1，解得：a∈∅；当0＜a＜1时，原不等式可转化为：2a+1＞3a＞1，解得：＜a＜1．故选：D．11．（5分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增加的，又f（3）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【解答】解：由已知条件知f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（3）=f（﹣3）=0；∴由原不等式得，所以：（1），或（2）；∵f（x）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上都是增函数；∴解不等式（1）（2）得﹣3＜x＜0或0＜x＜3；∴原不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3）．故选：B．12．（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时f（x）=（x﹣1）2，若当x∈[﹣2，﹣]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，有f（﹣x）=（﹣x﹣1）2=（x+1）2，原函数是偶函数，故有f（x）=f（﹣x）=（x+1）2，即x＜0时，f（x）=（x+1）2．该函数在[﹣2，﹣]上的最大值为1，最小值为0，依题意n≤f（x）≤m恒成立，∴n≤0，m≥1，即m﹣n≥1．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f （1）=﹣3．【解答】解：∵f（﹣1）=2+1=3∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣1）=﹣f（1）∴f（1）=﹣3故答案为：﹣3．14．（5分）已知函数，且对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），则x0=0．【解答】解：∵，∴f′（x）=2x•2•ln2，令f′（x）=2x•2•ln2=0，得x=0．列表，讨论x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓极小值↑∴函数在x=0处取得极小值f（0）=2．∵函数只有一个极小值，故这个极小值就是函数的最小值．∵函数对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），∴f（x）≥f（x）min=f（0），∴x0=0．故答案为：0．15．（5分）若函数f（x）=lg|x﹣1|﹣m有两个零点x1和x2，则x1+x2=2．【解答】解：令g（x）=lg|x﹣1|，画出函数g（x）的图象，如图示：，显然：图象关于直线x=1对称，∴=1，即x1+x2=2，故答案为：2．16．（5分）函数y=f（x）是定义在a，b上的增函数，其中a，b∈R且0＜b＜﹣a，已知y=f（x）无零点，设函数F（x）=f2（x）+f2（﹣x），则对于F（x）有以下四个说法：①定义域是[﹣b，b]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的有①②（填入你认为正确的所有序号）【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）+f2（﹣x），有a≤x≤b，a≤﹣x≤b，而又由0＜b＜﹣a，则F（x）=f2（x）+f2（﹣x）中，x的取值范围是﹣b≤x≤b，即其定义域是[﹣b，b]，则①正确；对于②，F（﹣x）=f2（﹣x）+f2（x）=F（x），且其定义域为[﹣b，b]，关于原点对称，则F（x）为偶函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x+2﹣2x=22x+≥2，其最小值为2，故③错误；对于④，由于F（x）是偶函数，则F（x）在[﹣b，0]上与[0，b]上的单调性相反，故F（x）在其定义域内不会单调递增，④错误；故答案为①②．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式=﹣+（×=﹣+25×=﹣+2=（2）原式=lg（2lg+lg5）+（1﹣lg）（8分）=lg lg10+1﹣lg=1 （10分）18．（12分）已知集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜﹣5或x＞1}，C={x|m﹣1＜x＜m+1}．（1）求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若B∩C=∅，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜﹣5或x＞1}，∴A∪B={x|x＜﹣5，或x＞﹣4}，又∵∁R B={x|﹣5≤x≤1}，…（4分）∴A∩（∁U B）={x|﹣4＜x≤1}；…（6分）（2）∵B={x|x＜﹣5或x＞1}，C={x|m﹣1＜x＜m+1}，若B∩C=∅，则需，解得，…（10分）故实数m的取值范围为[﹣4，0]．…（12分）19．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．20．（12分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=3，f（1）=﹣1（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在[a﹣1，a+1]上有最小值﹣1，最大值f（a+1），求a的取值范围．【解答】解（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（﹣1）=f（3）=3，f（1）=﹣1，∴，解之得：a=1，b=﹣2，c=0，∴f（x）=x2﹣2x；（Ⅱ）∵f（x）在[a﹣1，a+1]上有最小值﹣1，最大值f（a+1），f（1）=﹣1，∴函数f（x）的对称轴在区间[a﹣1，a+1]上，a+1离对称轴远，∴，解之得：1≤a≤2，∴a的取值范围为[1，2]．21．（12分）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．（1）证明函数y=f（x）在R上的单调性；（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；（3）若f（x2﹣2）+f（x）＜0，求x的取值范围．【解答】（1）证明：设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）∴f（x1）﹣f（x2）=f（（x1﹣x2）+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2），又当x＞0时，f（x）＜0恒成立，∴f（x1）＜f（x2），∴函数y=f（x）是R上的减函数；（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）=f（0），而f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），即函数y=f（x）是奇函数．（3）（方法一）由f（x2﹣2）+f（x）＜0，得f（x2﹣2）＜﹣f（x），又y=f（x）是奇函数，即f（x2﹣2）＜f（﹣x），又y=f（x）在R上是减函数，∴x2﹣2＞﹣x解得x＞1或x＜﹣2．（方法二））由f（x2﹣2）+f（x）＜0且f（0）=0，得f（x2﹣2+x）＜f（0），又y=f（x）在R上是减函数，∴x2﹣2+x＞0，解得x＞1或x＜﹣2．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）由题意得f（﹣x）=f（x），即，化简得，…（2分）从而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，∴…（6分）（II）由题意，原方程化为且a•2x﹣a＞0即：令2x=t＞0…（8分）函数y=（1﹣a）t2+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a＞1，即二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），…（10分）当二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a＜1且△=0，即也满足不等式（2）综上：a＞1或…（12分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa+b45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa+ba45°ABE挖掘图形特征：a+bb x-aa 45°D Ba+b45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
河南省南阳市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m 6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3D．47．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．48．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．40012．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=．14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式即，等价转化为，由此求得它的解集．解答：解：不等式≤1，即，即，解得﹣1＜x≤2，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．解答：解：已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入得：sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC ﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，则△ABC为等腰三角形．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1=3，S3=21得3（1+q+q2）=21，解得：q=2．由=48，得2n﹣1=16，即n=5．故选：B．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心C的轨迹．解答：解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，∵圆M与圆C1：（x+4）2+y2=4外切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=1内切，∴|CC1|=2+r，|CC2|=r﹣1，∴|CC1|﹣|CC2|=3＜8，由双曲线的定义，C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，故选：D．点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义，正确运用两圆的位置关系是关键．5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．解答：解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．点评：此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：因为f（x）在x=﹣1时取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣1）=0，解出求出a 即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，f（x）在x=﹣1时取得极值，∴f′（﹣1）=6﹣2a=0∴a=3．故选：C．点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．4考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式和条件化简已知的式子，即可得到答案．解答：解：∵在等差数列{a n}，有a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，∴（a1+2d）+a1+（m﹣1）d﹣（a1+6d）=a1+（n﹣1）d+a1+d﹣（a1+4d），即（m﹣5）d=（n﹣4）d，∵公差d≠0，∴m﹣n=1，故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据逆否命题的定义进行判断；②根据特称命题的否定是全称命题进行判断；③根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；故①正确，②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；故②正确，③点（4，4）在曲线y2=4x上，但点M的坐标为（1，2）不正确，故③“点M在曲线y2=4x 上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件，故③正确，故选：D．点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间的关系，含有量词的命题的否定，以及充分条件和必要条件的定义．9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（3，3），则z═×3﹣3=﹣，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），从而可得F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，从而可判断出f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；从而求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，故F（x）=f（x）﹣g（x）在定义域上为减函数，故F（1）＜F（0），故f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；故f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，中档题．11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．400考点：等差数列的性质；基本不等式．专题：新定义．分析：由已知数列为调和数列可得{b n}为等差数列，由等差数列的性质及已知可求b4+b6，利用基本不等式可求b4•b6的最大值解答：解：由已知数列为调和数列可得b n+1﹣b n=d（d为常数）∴{b n}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又b n＞0，∴．故选B点评：本题以新定义为载体在，注意考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．解答：解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=﹣．考点：对数的运算性质．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，先求导，再代入值计算解答：解：f（x）=，∴f′（x）==，∴f′（e）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．解答：解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．点评：本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣4的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．直线y=x﹣4的斜率等于1，y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣令y′=1，解得x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣4的距离d=，故点P到直线y=x﹣4的最小距离为d==2，故答案为：2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，根据AB的中点（﹣，﹣+b）在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=•求得结果．解答：解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得 x2 +x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB 的中点为（﹣，﹣+b）．根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故 x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣2，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；从而求得f′（1）=3，f（1）=2；从而写出切线方程．（2）求导f′（x）=3x2+2ax﹣4；从而由f（x）在区间（1，2）上单调递减可得f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；从而可得a≤﹣x，令h（x）=﹣x，从而化为最值问题．解答：解：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；故f′（1）=3，f（1）=2；故所求切线方程为y=3（x﹣1）+2，即3x﹣y﹣1=0．（2）∵f（x）=x3=ax2﹣4x+3，∴f′（x）=3x2+2ax﹣4；∵f（x）在区间（1，2）上单调递减，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；即3x2+2ax﹣4≤0，即a≤﹣x，令h（x）=﹣x，又由h min（x）=h（2）=﹣2；故a≤﹣2；故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式及两角和的正弦公式，化简整理，即可得到A；（2）运用余弦定理，配方整理，计算即可得到b+c的值．解答：解：（1）由acosB+bsinA=c，运用正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinBsinA=cosAsinB，所以tanA=，由于A为三角形的内角，则A=；（2）a=1，bc=2﹣，由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣bc（2+）即有1=（b+c）2﹣（2﹣）（2+），即有（b+c）2=2，可得b+c=．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角的基本关系式和两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减 2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．考点：平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1•x2=1，且 y1y2=﹣4．结合求得k的值．（2）根据 y1＞0，tan∠ATF===，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，﹣2），此时，，这与矛盾．故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x的方程化简可得 k2 x2﹣（2k2+4）x+k2=0．∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．∴=16x1•x2=16，∴y1y2=﹣4…②．由可得（x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．把①②代入可得 k2=4，∴k=±2．（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．考点：数列与函数的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系，判断数列为等比数列，求出公比即可求a n和S n．（2）求出b n=log2a n+1的表达式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式．解答：解：（1）由f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx知f′（x）=a n•a n+2﹣a2n+1sinx，∵f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴，∴f′（）=0，即a n•a n+2﹣a2n+1sin=a n•a n+2﹣a2n+1=0，即a n•a n+2=a2n+1，∴{a n}是等比数列，公比q=，∴a n=a1q n﹣1=2n﹣1，=2n﹣1，（2）由（1）知a n+1=2n，∴b n=log2a n+1=log22n=n．∴=﹣．∴T n=﹣=1﹣＜1，点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到|F1M|+|F2N|，利用|F1M|+|F2N|最大时，即可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．…（6分）设坐标原点到动直线L的距离为d，则2d=|F1M|+|F2N|=2…（8分）=2，∵k2≤1，∴k2=1时，|F1M|+|F2N|最大此时m=．故所求直线方程为y=﹣x+或y=x+…（12分）点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．。
2014-2015年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．222．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a25．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．1811．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为．14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为海里/时．16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选：C．2．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）【解答】解∵三角形ABC有两解，∴ABsin30°＜BC＜4，∴2＜BC＜4，故选：B．3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：因为不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），所以a=b＞0，所以等价于（x+1）（x﹣2）＞0，所以x＜﹣1或x＞2故选：A．4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D 不正确故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°【解答】解：∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，∴absinC=abcosC，整理得：sinC=cosC，即tanC=1，则∠C=45°，故选：A．6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=3n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．9．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）【解答】解：x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，即a=﹣x在在区间（1，+∞）上有解令y=﹣x，则y′=﹣﹣1＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∴y=﹣x在（1，+∞）上是递减函数故y＜y（1）=1，故函数的值域为：（﹣∞，1），故a的取值范围是：（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D．12．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1=s1=3，当n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，故a n=．∴b n=（﹣1）n a n =，∴数列{b n}的前50项和为（﹣3+4）+（﹣6+8）+（﹣10+12）+…（﹣98+100）=1+24×2=49，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为（1，0]∪[2，3）．【解答】解：不等式组解不等式①得1＜x＜3，解不等式②得x≤0，或x≥2，故不等式组的解集为（1，0]∪[2，3），故答案为；（1，0]∪[2，3），14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．【解答】解：∵3是9m与3n的等比中项，∴9m•3n=（3）2，即32m+n=33，即2m+n=3，∴+=（+）（2m+n）=（3+）≥，当且仅当n=m时取等号∴+的最小值为．故答案为：．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为20（﹣）海里/时．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得，解得：MN=10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v==20（﹣）海里/小时．故答案为：20（﹣）16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=n2n．【解答】解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）=2a n+2×2n∴a n+1∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．∴2x2+bx+c=0的两根为0，5∴∴b=﹣10，c=0∴f（x）=2x2﹣10x；（2）要使对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max ≤2﹣t即可∵f（x）=2x2﹣10x=2，x∈[﹣1，1]，∴f（x）max=f（﹣1）=12∴12≤2﹣t∴t≤﹣1019．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．【解答】解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，又△ABC的面积为，∴acsin60°=，即ac=4，∵ac=22，∴a、2、c成等比数列；（2）在△ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴b≥2，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b，当且仅当a=c时，等号成立，∴L≥4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC周长的最小值为6，∵a=c，B=60°，∴此时△ABC为等边三角形．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？【解答】解：由题意得，，∵30≤v1≤100，4≤v2≤20∴由题设中的限制条件得9≤x+y≤14于是得约束条件目标函数p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y（6分）做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p最小．所以当x=10，y=4，即v1=30，v2=12.5时，p min=93元（12分）（没有图扣2分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+na n=所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1﹣1分）两式相减得na n=所以=3（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2•3n﹣2（n≥2）﹣﹣﹣﹣（3分）故a n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n•3n﹣2当n≥2时，T n=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴3T n=3+4•31+…+2（n﹣1）•3n﹣2+2n•3n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减得（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又∵T1=a1=1也满足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以T n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）a n≥（n+1）λ等价于λ≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由（1）可知当n≥2时，设f（n）=，则f （n +1）﹣f （n ）=＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴，又及，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴所求实数λ的取值范围为λ≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
河南省南阳市部分示范高中高二上学期期中考试数学(理)试题(扫描版).pdf
南阳市2013年秋期高二期中考试 数学试题（理）答案 一、选择题 二、填空题 .13.7 14. 15.（1,2） 16.4 三、解答题 17. 解：(1) 时，原不等式即 不等式的解集为：.——————————5分 (2)由题，对于任意的实数，不等式恒成立， 解得 实数的取值范围为：.——————————10分 18. 解：（1），。
所以是以1为首项，为公比的等比数列。
，————6分 （2）设的公差为d。
由 得。
两式相减得即，所以，得——————————12分 19．解：（1）由正弦定理，得 因为 由则——————————5分 （2） 由（1）知， 于是=这样的三角形不存在。
——————————12分 20. 解：（１），所以 在△ABC中得, 故有． 时，角B取最大值且为.—————5分 (2）得 又从而且两等号同时成立 ，即． 21. 解：设该车间每小时净收益为z元，生产的产品为每小时x公斤，直接排入河流的污水量为每小时y立方米。
则该车间每小时产生污水量为0.3x; 污水处理量为0.3x－y,经污水处理厂处理后的污水排放量为(1－0.85)(0.3 x－y),车间产品成本为27x,车间收入为50x,车间应交纳排污费用17.6[(1－0.85)(0.3 x－y)+y],车间应交纳污水处理费5(0.3x－y),于是z=50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15 (0.3x－y)+y]=20.708x－9.96y. 依题意 ——————————5分 作出可行域，由图中可以看出直线 在两条直线 和的交点处达到最大值，其交点坐标为，此时 故该车间应每小时生产3.3公斤产品,直接排入河流的污水量为每小时0.09立方米,这样净收益最大.——————————12分 22. 解：（1）证明： 即，为等差数列. ，，又由题知. ——————————4分 （2）解：， ，两式相减得 ——————————8分 （3）解：，， ， .即数列为递减数列，则要使恒成立，只需， 存在最小的正整数，使对任意，有成立. ——————————12分。
河南南阳市14-15学年高二下学期期中质量评估数学(理)试题 (扫描版含答案)
2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(xf x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分） 由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分） 而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ， 221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a 而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--， 设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分） 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分） 令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题
高二数学（理）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．[)2,3 14. 13+15. 16. 2nn • 17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ． 因为3660a a =-=，， 所以112650.a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-=，．所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． ------------5分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为21231248b a a a b =++=-=-，，所以824q -=-，即3q =．所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--．-----------10分18. 解：（Ⅰ）2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以220x bx c ++<的解集是()0,5， 所以05和是方程220x bx c ++=的两个根， 由韦达定理知，5,0,10,0,22b cb c -==∴=-= 2()210f x x x =-. ------------5分（Ⅱ）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,设2()2102g x x x t =-+-，则()g x 的最大值小于或等于0则由二次函数的图象可知2102)(2-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，所以t g x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. -----------12分19. 解:（Ⅰ）证明：∵A、B 、C 成等差数列，∴B=600，又∆ABC 的面积为3，∴360sin ac 210=，∴ac=4 ∴a、2、c 成等比数列 --------------------------4分 （Ⅱ）在∆ABC 中，根据余弦定理，得 b 2=a 2+c 2-2accos600=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac=4，∴b≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ----------------8分 ∴∆ABC 的周长L =a+b+c≥b ac 2+=4b +.当且仅当a=c 时，等号成立 ∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，因为a=c ，B=600，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 20.解：由题意得，1300v x =，250v y =∵1230100,,420v v ≤≤≤≤ ∴525310,22x y ≤≤≤≤由题设中的限制条件得149≤+≤y x于是得约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤22525103149y x y x目标函数y x y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分 做出可行域（如图），（没有图扣２分） 当223,23zx y y x z +-=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小.所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分 21．（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，解得tan C =3C π=． ……… 4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得2sinsin(2)3sin 233A A ππ+-=，12sin 23sin 22A A A ++=．5cos 2)sin 22A A +=25sin cos A A A = ……… 8分若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，3b =，ABC ∆的面积12S bc ==．若cos 0A ≠5sin A A =，cos 14A A ==由正弦定理，得1a =．sin sin()14B AC =+=， ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．综上，ABC ∆的面积为6或4． ……… 12分解法二：由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，3b =，ABC ∆的面积12S bc ==．……… 8分若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==．综上，ABC ∆ ……… 12分22. （Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=，n N *∈① 123123(1)2n n na a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②①-②：1122n n n n n na a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=， ……… 2分 即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又由①得n=1时，121a a ==222a ∴=，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅， ∴当1n =时，11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又11T =也满足 111()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ ……… 8分（Ⅲ）()11nn a a n n λλ≤+⇔≥+，由（Ⅰ）可知： 当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2231n f n n n -⋅=+，则()()()()()1211233112232n n f n n n nf n n n n --++⋅=⋅=>++⋅+， 又()0f n >，∴()()1f n f n +>∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()123f = 而1n =时，11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是13∴13λ≥，即λ的最小值是13 ……… 12分。
河南省南阳市2014-2015学年高二上期期末质量评估数学(理)试题(word版)
2014年秋期期终质量评估高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.不等式2x-1≤1x+1的解集为 A. (-∞⎤⎦,2 B. ()(,11,2-∞--⎤⎦ C. 1,2-⎡⎤⎣⎦ D.(1,2-⎤⎦ 2.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b 2ccosA,c 2bcosA ==,则△ABC 的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.已知圆C 1：()2244x y ++=，圆C 2：()2241x y -+=,若动圆C 与圆C 1相外切且与圆C 2相内切，则圆心C 的轨迹是A ．椭圆B ．椭圆在y 轴上及其右侧部分C ．双曲线D ．双曲线右支4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B 两点,从A,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B 两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为B.(30+15错误！未找到引用源。
)mC.(15+30错误！未找到引用源。
)mD.(15+15错误！未找到引用源。
)m5.已知等比数列{a n }的公比为q,前n 项和为S n ,且396S ,S ,S 成等差数列,则3q 等于 A.-1或错误！未找到引用源。
B.1或-错误！未找到引用源。
C.1D.-错误！未找到引用源。
6.已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积是B.2C. 4D. 87.双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C 的标准方程为A ．2214x y -=B ．22221144x x y y -=-=或 C ．22221144y x x y -=-=或 D ．2214x y -= 8.下面命题中，正确命题的个数为①命题：“若2230x x --=,则3x =”的逆否命题为:“若3x ≠,则2230x x --≠”; ②命题：,2lg x R x x ∈->“存在使”的否定是,2lg x R x x ∈-≤“任意”; ③“点M 在曲线24y x =上”是“点M的坐标满足方程y =-”的必要不充分条件; ④设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充要条件;A.1个B.2个C.3个D.4个9.若,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,当且仅当3x y ==时,z ax y =-取最小值,则实数a 的取值范围是A ．32,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,45⎛⎫ ⎪⎝⎭10.已知直二面角l αβ--,A ,AC C l α∈⊥点于，B ,BD D l β∈⊥于.若2AB ＝，1AC ＝BD ＝，则D 到平面ABC 的距离等于D.111.若数列{a n }满足111(n N*,d )n nd a a +-=∈为常数,则称数列{a n }为“调和数列”.已知正项数列错误！未找到引用源。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．222．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a25．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．1811．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为．14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为海里/时．16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选：C．2．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）【解答】解∵三角形ABC有两解，∴ABsin30°＜BC＜4，∴2＜BC＜4，故选：B．3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：因为不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），所以a=b＞0，所以等价于（x+1）（x﹣2）＞0，所以x＜﹣1或x＞2故选：A．4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D 不正确故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°【解答】解：∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，∴absinC=abcosC，整理得：sinC=cosC，即tanC=1，则∠C=45°，故选：A．6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=3n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．9．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）【解答】解：x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，即a=﹣x在在区间（1，+∞）上有解令y=﹣x，则y′=﹣﹣1＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∴y=﹣x在（1，+∞）上是递减函数故y＜y（1）=1，故函数的值域为：（﹣∞，1），故a的取值范围是：（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D．12．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1=s1=3，当n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，故a n=．∴b n=（﹣1）n a n =，∴数列{b n}的前50项和为（﹣3+4）+（﹣6+8）+（﹣10+12）+…（﹣98+100）=1+24×2=49，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为（1，0]∪[2，3）．【解答】解：不等式组解不等式①得1＜x＜3，解不等式②得x≤0，或x≥2，故不等式组的解集为（1，0]∪[2，3），故答案为；（1，0]∪[2，3），14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．【解答】解：∵3是9m与3n的等比中项，∴9m•3n=（3）2，即32m+n=33，即2m+n=3，∴+=（+）（2m+n）=（3+）≥，当且仅当n=m时取等号∴+的最小值为．故答案为：．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为20（﹣）海里/时．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得，解得：MN=10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v==20（﹣）海里/小时．故答案为：20（﹣）16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=n2n．【解答】解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）=2a n+2×2n∴a n+1∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a 1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．∴2x2+bx+c=0的两根为0，5∴∴b=﹣10，c=0∴f（x）=2x2﹣10x；（2）要使对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max ≤2﹣t即可∵f（x）=2x2﹣10x=2，x∈[﹣1，1]，∴f（x）max=f（﹣1）=12∴12≤2﹣t∴t≤﹣1019．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．【解答】解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，又△ABC的面积为，∴acsin60°=，即ac=4，∵ac=22，∴a、2、c成等比数列；（2）在△ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴b≥2，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b，当且仅当a=c时，等号成立，∴L≥4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC周长的最小值为6，∵a=c，B=60°，∴此时△ABC为等边三角形．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？【解答】解：由题意得，，∵30≤v1≤100，4≤v2≤20∴由题设中的限制条件得9≤x+y≤14于是得约束条件目标函数p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y（6分）做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p最小．所以当x=10，y=4，即v1=30，v2=12.5时，p min=93元（12分）（没有图扣2分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+na n=所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1﹣1分）两式相减得na n=所以=3（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2•3n﹣2（n≥2）﹣﹣﹣﹣（3分）故a n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n•3n﹣2当n≥2时，T n=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴3T n=3+4•31+…+2（n﹣1）•3n﹣2+2n•3n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减得（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又∵T1=a1=1也满足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以T n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）a n≥（n+1）λ等价于λ≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由（1）可知当n≥2时，设f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴，又及，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴所求实数λ的取值范围为λ≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。