chap2相似原理

求相似判据步骤： 求相似判据步骤：
1、去除微分符号： 、去除微分符号：
x x M 2 + S + Kx = P (t ) t t 2、用任一项除以全式各项 （使等式两边的量纲变为1）： 、 ：
M 1 P (t ) +S +1 = 2 Kt Kt Kx
或
St Kt 2 P (t ) ⋅ t 2 1+ + = M M Mx
3、所得各项均为相似判据，即令： 、所得各项均为相似判据，即令：
M = π1 2 Kt
S = π2 Kt
P (t ) = π3 Kx
St = π4 M
Kt 2 = π5 M
P (t ) ⋅ t 2 = π6 Mx
可以发现： 可以发现：
π2 π4 = π1
π5 =
1
π1
π3 π6 = π1
只有三个独立的相似判据
力学试验技术
t' = Ct t1
F1' F2' Fi ' Fn' = =L= =L= = CF F1 F2 Fi Fn
' ' l1' l2 li' ln = = L = = L = = Cl l1 l2 li ln
则该两物理现象（质点系）是相似的， 则该两物理现象（质点系）是相似的， 而CM，CF，Ct，Cl―――相似常数 相似常数
π定理（相似第二定理） 定理（相似第二定理） 定理
力学试验技术
一个物理现象可用n个物理量构成的物理方程描述，其中 一个物理现象可用 个物理量构成的物理方程描述，其中k 个物理量构成的物理方程描述 个独立物理量，即有k个基本物理量 可选k个基本单位 个基本物理量， 个基本单位， 个独立物理量，即有 个基本物理量，可选 个基本单位， 则该物理现象也可用这些物理量组成的(n-k)个无量纲解的 则该物理现象也可用这些物理量组成的 个无量纲解的 关系式描述。 推导从略） 关系式描述。（推导从略）
质量： 质量： M 1 , M 2 , M 3 ,L , M i ,L M n
' ' ' M 1' , M 2 , M 3 , L , M i' , L M n
外力： 外力：
F1 , F2 , F3 , L , Fi , L Fn
F1' , F2' , F3' , L , Fi ' , L Fn'
T
α1
L* =
L
α2
T* =
α3
Q* =
1
α α α
p 1 q 2
r 3
Q
对于 [ M 0 ⋅ L0 ⋅ T 0 ] ――无量纲量 ――变更基本单位后无量纲量数值不变 常数
物理方程的量纲均匀性和齐次性
若将物理方程中各项的量纲用基本量纲[L] [M] [T]表达，各项量纲应相同，同名物理量用统一 度量单位 ――物理方程量纲的均匀性 物理方程量纲的均匀性 当变更基本单位时，各量的数值均按其量纲公 式变化，因此在变更度量单位时，物理方程形式 不变 ――物理方程量纲的齐次性 物理方程量纲的齐次性
结论： 结论：
●由n个物理量（其中 个基本物理量）构成的物理方程变 个物理量（ 个基本物理量） 个物理量 其中k个基本物理量 换成(n-k)个无量纲解的关系式，这(n-k)个无量纲量解 个无量纲解的关系式， 换成 个无量纲解的关系式 个无量纲量解 即为相似判据； 即为相似判据； ●相似判据为无量纲，反之，无量纲解均为相似判据； 相似判据为无量纲，反之，无量纲解均为相似判据； ●由n个物理量（k个基本量）构成的物理方程所描述的物 个物理量（ 个基本量 个基本量） 个物理量 理现象有(n-k)个独立的相似判据 理现象有 个独立的相似判据
b hx X X l Y
弹性模量： 弹性模量：
E' = CE = 1 E
材料密度： 材料密度： ρ '
ρ
= Cρ = 1
f1' = 48Hz ， 由模型试验测出模型梁的一次自振频率， 由模型试验测出模型梁的一次自振频率，
试求原型梁的一次频率。 试求原型梁的一次频率。
§ 2－3 量纲分析和相似第二定理 －
P
E l2 π2 = P
π3 = µ
则有: 则有 π 1 = F (π 2 , π 3 ) ―非线性弹性力学静力问题的判据方程 非线性弹性力学静力问题的判据方程
π 2 , π 3 ――决定判据 决定判据
' 设计模型试验时，应满足相似条件， 设计模型试验时，应满足相似条件，使 π 2 = π 2 ， 3 = π 3 π'
模型实验需解决下面问题
●合理选择模型材料、尺寸、载荷及试验方法； 合理选择模型材料、尺寸、载荷及试验方法； ●由模型测试结果推知真实物体上，解决试验问题， 由模型测试结果推知真实物体上，解决试验问题， 即寻找模型与原型二者应力应变之间的换算关系 即寻找模型与原型二者应力应变之间的换算关系
建立相似条件的方法
相似关系
根据牛顿第二定律
d 2 li 质点系1 质点系1： Fi = M i dt 2
力学试验技术
质点系2 质点系2：
Fi ' = M i'
d 2li' dt '
2
利用相似常数： M ' = C M F ' = C F t ' = C t ' 利用相似常数： l i = C i li i M i i F i t 得： 2
E l2 c [ ]=[ ] ⋅ [ µ ]d P P
写成函数形式: 写成函数形式
E l2 ( ) = F( , µ) P P
σ l2
的无量纲化关系式, 上式为 σ = f ( P, l , E , µ ) 的无量纲化关系式
一、非线性弹性力学问题（续） 非线性弹性力学问题（
令: π 1 =
σ l2
y = f ( P, l , E , µ )
[ y ] = [ P ]a ⋅ [l ]b ⋅ [ E ]c ⋅ [ µ ]d
[ L] = [ L]
其中： 、 、 、 其中： a、b、c、d――未知指数 未知指数 具体化为： 具体化为： [σ ] = [ ML−1T −2 ]
[ E ] = [ ML−1T −2 ]
CP =1 2 Cσ Cl
Cq Cσ Cl
=1
l/2
P
A l
b q h
将物理量代入后， 将物理量代入后，得
P'
l'/2 A' l'
b' q' h'
P = 2 2 ' ' σl σl P
2 P ' = Cσ C L P = 1 ⋅
'
q = σ 'l' σ l q
1 P P= 20 2 400
'
'
q q = Cσ C L q = 20
当求不出物理方程时， 当求不出物理方程时，用量纲分析 ――>找出独立相似判据 找出独立相似判据
● 基本单位和导出单位 ● 量纲与量纲公式 任意物理量的量纲为 [F]=[MLT-2]
[Q ] = [ M p ⋅ Lq ⋅ T r ]
量纲分析
任意物理量的量纲为
M* = M
力学试验技术
[Q ] = [ M p ⋅ Lq ⋅ T r ]
Part.2 相似理论和 模型设计基础
王正道
北京交通大学工程力学所
相似实例
力学试验技术
如图所示桥梁设计承受均布载荷P， 如图所示桥梁设计承受均布载荷 ，集中载 荷F，模型尺寸按 ，模型尺寸按1:10，试给出模型加载实 ， 验方案。 验方案。
实验应力分析常用模型的主要原因
●有些方法必须用模型，如光弹性实验（透明）； 有些方法必须用模型，如光弹性实验（透明）； ●某些新设计或正在设计的结构，实物尚未加工出来, 某些新设计或正在设计的结构，实物尚未加工出来, 而模型加工比实物容易、省钱， 而模型加工比实物容易、省钱，则可通过模型实验 来比较设计方案及校核设计 ； ●对特殊结构不能在原型上进行测试 如：MEMs, 风洞实验等
物理方程已知
Pl ql σA = + 4W 8W
' ' ' A
力学试验技术
2
P
l/2 A l
b q h
Pl ql σ = + ' 4W 8W '
' '2
P'
l'/2 A' l'
b' q' h'
根据相似关系定义
P = CP P σ' = Cσ σ
'
q' = Cq q
l h b = = = Cl l h b
时间t t’时刻的分 时间t，t’时刻的分 别变形量: 别变形量:
l1 , l2 , l3 ,L , li , L ln
' ' ' l1' , l2 , l3 , L , li' , L ln
相似条件
同名物理量有固定的比例常数
' ' M 1' M 2 M i' Mn = =L= =L= = CM M1 M 2 Mi Mn
[ P] = [ ML T −2 ]
[ µ ] = [ M 0 L0T 0 ]
一、非线性弹性力学问题（续） 非线性弹性力学问题（
[M T ]=[M T ] ⋅[b] ⋅[M T ] ⋅[MLT ] =[M] ⋅[L] L L L
b 0 0 0d −1 −2 −1 −2 a −1 −2 c a+c a+b−c