模糊逻辑

3. “if一then"规则
另外两种模糊条件语句的句型有：
② if x is A then y is B else z is C 也记为： “若 x是 A则 y是B否则 z是 C”
③ if x is A and y is B then z is C
也记为： “若 x是 A且 y是 B则 z是 C”
模糊集合与模糊逻辑
例： “接近10的实数”的精确集合与模糊集合 取 “ 8 到 12 之间的实数”，是一个精确集合 C ， C={ 实数r | 8≤r≤12}，用特征函数 C(r)表示。
1 ， C ( r ) 0 ， 8 r 12 其它
“接近10的实数”以用一个模糊集合F＝{ r| 接近10的 实数}，用“隶属度(Membership)” F(r)作为特征函数 来描述元素属于集合的程度。
1. Zadeh表示法
2. 序对表示法
例：在考核中，学生的绩点为[0 ,5] 区间上的实数。 按照常识，绩点在 3 以下显然不属于 “优秀”, 绩 点在 4. 5 以上则显然属于“优秀” 。这是没有问题 的。
然而，绩点为4.4 时该怎么算呢?这个成绩很接 近 4.5 ，如果和绩点为 3 一样，都不属于“优秀” 未免对绩点为 4. 4 的同学太不公平。有了模糊集合 这个工具，在 3~4. 5 之间就可以认为是一个“灰色 地带”，其间的成绩在一定程度上属于"优秀"这个 模糊集。假设各绩点对"优秀"的隶属度可以用如图 所示的曲线表示:
65
70
论域U(岁)
表示年龄的语言变量
体重
语言变量 N
X1
瘦
X2
中等
X5
语法规则 G
胖
语言值集合T(N) 语义规则 M
0
40 45
50
55
65
80
100 120
论域U(kg)
表示体重的语言变量
2. 语言算子
常用“可能”、“大约”、“比较”、“很”等语气词， 表示可能性、近似性的程度。语言算子的概念被引人，用 于对模糊集进行修饰。 若有模糊集合 C ，语气算子 H ，则 HC 代表施加了语气 算子后的模糊集合。语气算子的一种较常用的定义为:
模糊逻辑简介
隶属度是对命题的模糊评价概念，用隶属度值 表示一个 命题为真的程度，是一种较客观的评价方法。隶属度的 取值区间是[0, 1]，隶属度越大表示真的程度越高；隶属 度越小表示真的程度越低。隶属度取值的模糊逻辑关系 如图：
完全假 完全真
模糊逻辑简介
20 世纪 20 年代，波兰数学家 Lukasiewicz 提出了多值逻辑 (many-valued logic) 1937 年，Max Black 提出了不明确集合 (vague set) 1965年，Zadeh 教授提出了模糊集合 (fuzzy sets) 1973 年, Zadeh 教授又提出了模糊逻辑 。 1974 年，第一个模糊控蒸汽引擎系统 第一个模糊交通指挥系统 1980 年 ，丹麦开始使用模糊控制 操水泥旋转窑 1987 年，模糊控制 应用于仙台市地铁的自动驾驶
略老(60)=[老 (60)]0.5＝(0.8)0.5＝0.89
稍微老(60)=[老 (60)]0.25＝(0.8)0.25＝0.946
3. “if一then"规则
模糊条件陈述语句
if x is A then y is B
也记为：“若 x是 A则 y是B”
其中，A 与 B 均是语言变量 的具体取值，即模糊集合。 x 与 y 是变量名。规则中的 x is A 又称前件， y is B 又 称后件。
B ( y ) ∨ A ( x ) ∧ AB ( x, y )
结论 ： 那么y是B＇
结论B＇可利用输入中的模糊集合 A＇与模糊蕴含关系 R=A→B 的合成，计算得到结论。
模糊推理的两种重要推理规则：
② 否定式 （ 广义后向推理法 Generalize Modus Tollens） 大前提：如果x是A，则y是B
小前提：y是B＇
结论 ： 那么x是A＇
否定式则根据模糊蕴含关系 R=A→B 和模糊集合 B„ 的合 成计算得到结论 A'
第 3 章
模糊逻辑
理解模糊集合与模糊隶属度的主要 特点和关系，掌握模糊语言描述和模糊 关系的运算规则，熟练掌握模糊逻辑的 推理计算过程，并能了解模糊理论的各 种实际应用。
模糊逻辑简介
加州大学伯克利分校的 L. Zadeh 教授曾提出过一 个不相容原理: “当系统的复杂性增加时，人们对 系统特性作出精确而有效的描述的能力就相应降 低，直到达到一个阔值。 一旦超过这个值，精确 性 和有效性 将变成两个相互排斥的特性。" 也就是说，当系统的复杂性达到一定程度时，就 不能同时对系统进行既精确又有效的描述。描述 的精确性会损害有效性，而有效性要牺牲精确性。 系统越复杂，这一现象越明显。
例 L. A. Zadeh在论域U=[0,100岁]内给出了年龄的 语言变量值“老“的模糊子集隶属度函数为
x 50 0， 1 ， x 50 老 ( x) 2 x 50 1 5
其中修饰词的隶属度函数为：极A= A4 ， 非常A = 2 ， 1.25 ， 0.75 ， 0.5 ， = = = A 相当A A 比较A A 略A A 稍微A= A0.25 。
在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代表这个模糊
集合的单值 的过程就称为解模糊或模糊判决 (defuzzification)。 模糊判决可以采用不同的方法，用不同的方法所得到的 结果也是不同的。最简单的方法是最大隶属度方法，这
种方法取所有模糊集合或者隶属函数中隶属度最大的那
个值作为输出，但是这种方法未考虑其他隶属度较小的 值的影响，代表性不好，所以它往往用于比较简单的系 统。介于这两者之间的还有几种平均法：如加权平均法、 隶属度限幅(α-cut)元素平均法等。
在这里， v 表示对所有Y 取最大值， ×是二项积算子，可 以定义为取最小值或者代数积等。 在模糊推理系统中，最常用的合成运算是最大一最小合成， 其计算公式为:
模糊逻辑推理
模糊逻辑推理是建立在模糊逻辑基础上的，它是一种不 确定性推理方法，是通过模糊规则将给定输入转化为输 出的过程。 模糊推理就是将输入的模糊集通过模糊逻辑方法对应到 特定输出模糊集的计算过程。模糊规则就是在进行模糊 推理时依赖的规则，通常可以用自然语言表述。 通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合或者隶属函数， 但在实际使用中，特别是在模糊逻辑控制中，必须用一 个确定的值才能去控制伺服机构。
② 否定式 （ 广义后向推理法 Generalize Modus Tollens）
大前提：如果x是A，则y是B 小前提：y是B＇ 结论 ： 那么x是A＇
模糊推理的两种重要推理规则：
① 肯定式 （ 广义前向推理法 Generalize Modus Ponens） 大前提：如果x是A，则y是B
小前提：x是A＇
1993 年，L.Zadeh教授提出了软计算(Soft Compllting)
模糊集合与模糊逻辑
1965年，Zadeh发表了一篇名为“模糊集合”的文章， 对传统的集合理论进行了推广，开创了模糊集理论。模 糊集合中的每个元素都是以一定程度属于某个集合，甚 至可以不同程度地同时属于几个集合。 在经典的集合理论中，一个元素或者属于一个集合，或 者不属于一个集合。论域内的任意元素与集合 A 的关 系可以用一个特征函数表达
模糊逻辑简介
真实世界是非常复杂的，传统数学方法与人的思维 采用不同的方式描述复杂的世界: 传统的数学方法 常常试图进行精确定义 ，而人关于真实世界中事物 的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义 。 在处理一些复杂问题时，精确性和有效性形成了矛 盾。诉诸精确性的传统数学方法变得无效，而具有 模糊性的人类思维却能轻易解决。 例如人脸识别问题，这一问题对于擅长精确计算的 计算机来说十分棘手，然而对人类的幼儿来说却并 不困难。
C （r）
1
F （r）
1
0.75 0.275
0
8
12
r
8 9 11 12
r
(a)
(b)
精确集合与模糊集合的对比
对于模糊集合来说，隶属度函数非常重要。一个模糊集 合可以被其隶属度函数唯一定义。常用隶属度函数的形 式有很多种：三角形函数、梯形函数、sigmoid 函数等。
当隶属度函数有若干点取值为1，其余点取值为0时， 该函数对应的模糊集合可以看作一个经典集合。
模糊蕴含关系 R=A→B表示由A到B进行模糊推理的关系 或条件，即模糊规则“如果 x 是 A，那么 y是 B”的简化表 示方法。其隶属度函数被定义为： 合成算子“◦”表示模糊关系的合成运算，如何实现合成 运算，有各种不同的方法，这决定于对蕴含运算的定义。 最大一最小合成B„=A‟ ◦R的隶属度函数为：
1. 语言变量
语言变量用一个有五个元素的集合 ( Ｎ ,T(N),U,G,M) 来 表征，其中 (1)Ｎ是语言变量的名称，如年龄、体重等； (2)U为语言变量N的论域； (3)T( Ｎ ) 为语言变量的取值集合 Ｘ ，其中每个 Ｘ 都是 论域U上的模糊集合，如
T(Ｎ)＝T(年龄)=“很年轻”+“年轻”+“中年”+“较老”+“很 老”
Hale Waihona Puke Baidu
依此可以计算出任一成绩对于优秀的隶属度。

1 0.75 0.5 0.25 0 20
A
B
C
30
40
50
60
70
80
u
“年轻”、“中年”、“老年”的隶属度函数

1
A
A∩B
B

1
A
A∪B
B

1
A
A
_
0
r
(a)A和B的交； (b)A和B的并；
r
(c)A的补
r
模糊集合的三种运算
模糊关系是模糊集合上的一种映射。像经典关系一样, 模 糊关系上也定义了映射特有的合成运算。设 X, Y, Z 为论 域, R 是 X×Y上的模糊关系, S 是 Y×Z 上的模糊关系, T 是 R 到S 的合成，记为 T=R◦S, 其隶属度函数定义如下:
②模糊化算子，如“大概”、“近乎”、“差不多” 等；
③判定化算子，如“偏向”、“多半是”、“倾向 于”等。
年龄
语言变量N
X1
很年轻
0 .25 0 .5
X2
1 .0
0 .2
年轻
X5
语法规则G
很老
9 0 .8
语言值集合T( N) 语义规则M
0 .6 4 0 .81
1. 0
0. 5
0
20 25
30
35
60
现以60岁为例，通过隶属度函数分别计算它属 于“极老”、“非常老”、“相当老”、“比较 老”、“略老”、“稍微老”的程度为
极老(60)=[老 (60)]4＝(0.8)4＝0.41 非常老(60)=[老 (60)]2＝(0.8)2＝0.64 相当老(60)=[老 (60)]1.25＝(0.8)1.25＝0.757 比较老(60)=[老 (60)]0.75＝(0.8)0.75＝0.845
人脸识别问题
模糊逻辑简介
模糊逻辑(Fuzzy Logic , FL)是一种使用隶属度 代替 布尔真值的逻辑。与经典的二值逻辑 不同，它并不使 用截然不同的二值来表达所有命题，而是使用隶属度 来表达，更适合描述实际生活中陈述的不精确性。 模糊理论的基本出发点就是取消二值之间非此即彼 的 对立，用隶属度表示二值间的过渡状态 。这为进行不 精确而有效的描述提供了便利，也为将符合人类思维 习惯的模糊推理、模糊决策移植到计算机中提供了理 论工具。经典二值逻辑中，通常用 1表示“真” ，用 0表示“假”，一个命题非真即假。
常规推理
大前提 ：所有的猫都有尾巴。
推理依据
小前提：花猫是猫
结论 ：花猫有尾巴。
输入
输出
前 提
推理依据
结论
模糊推理
输 入
模糊规则
输出
模糊推理的两种重要推理规则：
① 肯定式 （ 广义前向推理法 Generalize Modus Ponens） 大前提：如果x是A，则y是B
小前提：x是A＇
结论 ： 那么y是B＇
=Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3+X4+X5
(4) G为语法规则，用于产生语言变量N的值Ｘ的名 称，研究单词构成合成词后词义的变化，并求取其隶属 度函数。其中，用“或”、“与”、“非”作连接词构 成的合成词，可以按模糊逻辑运算；带修饰词算子的合 成词，可以根据经验公式计算出来。常用的算子有以下 几种： ①语气算子，如“很”、“略”、“相当”等；