第2章(2) 控制系统的状态空间表达式

2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式
系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。

要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：
第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。

第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数
dt
dx i。

第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。

根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。

例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。

解：
该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。

对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。

图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。

我们取每个积分器的输出端
信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x
和2x 。

图2-6 系统方块图
从图可得系统状态方程： ()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+--=-+-==u
T K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 11211131131121222
2111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =
写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：
[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 010********
例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。

解：图2-7(a)中第一个环节
21++s s 可以分解为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-211s ，即分解为两个通道。

第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图2-7(b)
右侧点划线所框部分。

进一步，我们可以得到图2-7(C)所示的由标准积分器组成的等效方块图。

图2-7（a ）系统方框图
依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量1x 、2x 、3x 、4x 。

由图2-7（c ）可得系统状态方程：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+--=+---=+-=+-=u x x x
u x x x x x x x
x x x 41443133
1221123648 由图可知，系统输出1x y =
写成矢量形式，得到系统的状态空间表达式：
[]⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=x
y u x x 00
01110020
11301010640018
2-4 由系统的微分方程或传递函数求其状态空间表达式
从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：
()()()()()()u b u b u b u b y a y a y a y m m m m n n n 0111101111++++=++++---- 其传递函数就是输出信号()t y 的Laplace 变换()s Y 与输入信号()t u 的Laplace 变换()s U 之比，其形式为如下s 的有理分式：
()()()0
11
10
111a s a s a s b s b s b s b s U s Y s G n n n
m m m m ++++++++==---- 以上两式表示同一系统，只不过前者在时间域t 上表示，后者在复域s 上表示。

上式中，m<n 时称系统为严格正常型；m=n 时为正常型；m>n 时称非正常型，这是不能实现的系统，所以我们一般假定m ≤n 。

由系统的传递函数求其状态空间表达式的过程称为系统的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。

系统的实现是非唯一的。

系统的实现一般有直接法，串联法和并联法三种。

2-4-1 系统实现的直接分解法 不失一般性，我们假设m=n,则
()()()0
11
1'
0'12'21'1a s a s a s b s b s b s b b s U s Y s G n n n n n n n n +++++++++==------ 其中：i n i i a b b b -=' (1,,1,0-=n i ) 令：()()s U a s a s a s s Y n n n 0
11111
++++=
--
则：()()()
()s Y b s b s
b s b s U b s Y n n n n n 1'
0'12'21'1+++++=----
将上述式子作拉氏反变换，得：
()()()()1'
011'121'211'1y b y b y b y b u b t y n n n n n +++++=----
选择状态变量如下：
()
()
()⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=======--1112213111211n n n x y x x
y x x y x y x 即：
()⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧====n n y x
x x x x x x 1433221 关于n x
，由式()()s U a s a s a s s Y n n n 0
11111
++++=-- 可得：
()()()()()t u x a x a x a t u y a y a y a y x
n n n n n n +----=+----==---12110111111101
所以得系统状态方程为：
()⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧+----=====---t u x a x a x a x
x x x x
x x x x n n n n n 1121101433221
至于系统的输出y ，由式子
()()()()1'011'121
'211'1y b y b y b y b u b t y n n n n n +++++=----
可得：n n n x b x b x b u b y '
12'11'0-++++=
写成矢量形式，得系统的状态空间表达式：
[
]
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=---u
b x b b b y u
x a a a a x n n n 1'
1'1'
0121
0100010
0001000010
上式所代表的系统实现的结构图如图2-8所示。

这种系统的实现称作可控
型（I 型）实现，关于可控型我们将在后续章节介绍。

注意：当n m <时，0=n b ，()m i b b i i ,,1,0' ==，这时直接可以从传递函数的分子、分母多项式的系数写出。

当m=0，即系统没有零点时，上述实现方法中，系统状态变量就是输出变量的各阶导数()()()110,,,-n y y y 。

在通常的低阶物理系统中，上述各状态变量的物理意义非常明确，如位移、速度、加速度。

图2-8 传递函数的直接分解法实现
例2-7 试利用直接分解法，建立下列传递函数的状态空间表达式。

（1）()2546223++++=
s s s s s G （2）()2
548
2
3+++=s s s s G （3）()2
541
322
323++++++=s s s s s s s G （1）解: ()()()2
546
22
3
++++==
s s s s s U s Y s G ()()s U s s s s s Y 2546223++++=⇒ 令()()s U s s s s Y 2
541
2
31+++=
()()()s Y s s Y 162+=⇒ 对上述二式分别取拉氏反变换，得
1162y y
y += u y y y y =+++1111254 选取状态变量为
()
()
⎪⎩⎪⎨⎧=====2
21311121
1x
y x x
y x y x 即 ()
⎪⎩⎪
⎨⎧---====3
213133221452x x x u y x x x x x 输出方程为21112662x x y y y +=+= 写成矩阵方程 []⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x
y u x x 02
6
10045
210001。