人教版高二第一学期数学期末考试试题(理)含答案

2014学年第一学期高二数学期末考试

数学试题

命题:刘登久 审核: 高二数学备课组

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分,共６０分。在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。)

1.△A ＢC 中,AB ＝５，ＢＣ=６,A Ｃ=8,则△ＡBC 的形状是（＊ ＊ *）

Ａ．锐角三角形? B.直角三角形? C.钝角三角形 ? Ｄ．非钝角三角形 2． 命题5:>x p ，命题3:>x q ，则p 是q 的 （ ＊ ＊ * ) A.必要不充分条件

?

Ｂ.充分不必要条件

C ．充要条件?

?

D.既不充分也不必要条件

3．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影

为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于(* * *）

A.13? B ．3 ? C ．23

? Ｄ. 3

4.抛物线ｘ＝a ｙ2

的准线方程是x =2,则a 的值是（* * ＊)

?Ａ．1

8

-?

B. 18

?Ｃ.－8? ?Ｄ.8

5． 已知等差数列{a n }满足10,45342=+=+a a a a ，则它的前１0项和S １0=（* ＊ *)

A ．２3 ?

B ．95

Ｃ.13５ ?? ? D.１38

6．过点(2,4)M 作直线l ，与抛物线2

8y x =只有一个公共点,满足条件的直线有( )条(* ＊ ＊)

A ．0条 ?B.1条 C.2条 D.3条 7、命题p ：,x Z ?∈则2

40x ->;与命题q :,x Z ?∈使2

40x ->，下列结论正确的是（* * ＊）

A ．p q 真假 ??B.p q 假真 ?Ｃ.p q ∧为真

D ．p q ∨为假

8、如果22

2

=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（* * ＊） ?A ．()+∞,0

B ．()2,0

? C ．()+∞,1 ?D.()1,0

9、对一切实数x ,不等式022

<--ax ax 恒成立,则实数a 的取值范围是（＊ * *）

A.[]0,8-???

B.)0,8(- ?

C.]0,8(-?? Ｄ.[)8,0

10、已知x , ｙ满足约束条件,11??

?

??-≥≤+≤y y x x

y y x z +=2则的最大值为 ?（* * *)

A.3?

B ．-３ ??

C.1?? D ．

2

3

11.已知椭圆Ｃ的中心在原点,左焦点F 1，右焦点Ｆ2均在ｘ轴上,A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴的端点，Ｐ是椭圆上一点，且P Ｆ1⊥x 轴,PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于(* * *)

A.1

2

?? ?B

．2

? Ｃ.

1

3

?

Ｄ．5

二、填空题：(本大题共5小题，每小题５分，共25分.把答案填在题中横线上.） 1３、命题“0123

,0>+-∈?x

x R x ”的否定为 ×××××××.

14.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2

213

x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在ＢC 边上,则△ABC 的周长是×××××××.

15、已知数列{an}，a １＝2,an ＝２ａn-1+3,则数列的通项公式为×××××××

三、解答题：本大题共6小题,共7５分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. １7.（本小题满分12分)

如图,在四边形A ＢCD 中，A Ｃ平分∠DA Ｂ,∠A ＢC =60°，A Ｃ＝6,ＡD ＝5,Ｓ△AD Ｃ=15

2

,求AB 的长.

１8.( 本小题满分１2分)

在数列{}n a 中,11a =，122n

n n a a +=+．

(Ⅰ)设1

2n

n n a b -=

．证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ．

19、（本小题满分12分)

某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的

3

2

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.４万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得０.6万元的利润,该公司正确提财投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为多少？

2０、(本小题满分1２分)

命题p:实数x 满足x 2

-４ax ＋3a 2

<０,其中a ＜0,命题q ：实数ｘ满足x 2

-ｘ－6≤0,且q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围.

21、(本小题满分13分）

如图，在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为１的60°

D

C

B

A

形,4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点

(Ⅰ)证明：直线MN OCD

平面‖；

(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ)求点B 到平面OCD 的距离。

?高二期末考试试题 数学（理科)参考答案

一、选择题:ABDCB CBDCA ＢA

二、１3.012

3,0≤+-∈?x x R x １4. 15.5

4

16.①②, 1７、

18.在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+. (Ⅰ）设1

2

n

n n a b -=

.证明：数列{}n b 是等差数列； (Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 解：(１)122n n n a a +=+,

11122n n

n n a a +-=+, 11n n b b +=+,

则n b 为等差数列，11b =,

n b n =，12n n a n -=．

(2）1221022)1(232221--?+?-++?+?+?=n n n n n S

n n n n n S 22)1(23222121321?+?-++?+?+?=-

两式相减，得

1222222121210+-?=----?-?=-n n n n n n n S

１9、

20解:设A ={ｘ|x 2

－4ａx ＋3a 2

<0(ａ<0)｝={x |3a ＜x ＜ａ},

B ＝{x ｜ｘ2-ｘ－６≤0或x 2+2x -8＜０}

=｛x |x 2

－ｘ－6＜０｝∪{x ｜ｘ2

＋2x -８＞0} ={x |-2≤x ≤3｝.

因为 ｑ是 p 的必要不充分条件,

所以｛x |－４≤x ＜－2} {x |x ≤3a 或x ≥a }，

320a a -??

?≥<或4

0a a -???

≤< 即－＼f(２，3）≤a ＜０或ａ≤－4.

21，如图,在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

，

OA ABCD ⊥底面， 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC （Ⅰ)证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线ＡＢ与MD 所成角的大小；

(Ⅲ）求点B 到平面ＯCD 的距离。

方法一（综合法)

（1)取OB 中点E,连接ME,ＮE

ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖

又

,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖

（2）

CD ‖AB,

MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角(或其补角) 作,AP CD P ⊥于连接MP

⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP

,4

2

ADP π

∠=

∵∴DP =

?MD ==1cos ,23

DP MDP MDC MDP MD π

∠=

=∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为

3

π

(3)AB 平面∵∴‖OCD,

点Ａ和点Ｂ到平面OCD 的距离相等，连接OP ,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴

又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段A Ｑ的长就是点A 到平面O ＣD 的距

离

?OP ===

=∵

2

AP DP ==

2

2

22332

2

OA AP AQ OP ===∴,所以点Ｂ到平面O ＣＤ的距离为23 方法二（向量法)

作AP CD ⊥

于点P ，如图，分别以A Ｂ，A Ｐ

,AO 所在直线为,,x

y z 轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N ,

(1)2222(1,,1),(0,,2),(2)MN OP OD =-

-=-=--

设平面OCD 的法向量为(

,,)n x y

z =,则0,0n OP n OD ==

即 2

022022

y z

x y z -=????-+-=??

取z =

解得(0,n =

22

(1,,1)(0,4,2)044

MN n

=--

=∵

MN OCD ∴平面‖

（2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22

AB MD ==-

-∵ 1cos ,2

3AB MD

AB MD π

θθ=

==

?∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π

(3)设点B 到平面ＯＣD 的距离为d ，则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值,

由 (1,0,2)OB =-， 得23OB n d n

?=

=

．所以点B 到平面ＯCD 的距离为2

3

2２.(１)法一：由已知)0,1(-M 设),(11y x A ，则|1|1||12++=x k AM ， |1|4)1()1(||11212

121+=+-=+-=

x x x y x AF ,

由||5||4AF AM =得,5142=+k ,

解得43

±

=k

法二：记Ａ点到准线距离为d ，直线l 的倾斜角为α,

由抛物线的定义知d AM 4

5

||=

，∴54||cos ±=±

=AM d α, ∴4

3

tan ±

==αk (2）设),(00y x Q ，),(11y x A ，),(22y x B 由???+==)1(42x k y x y 得0442=+-k y ky ,首先由???>-≠0

16160

2

k k 得11<<-k 且0≠k

102

1201010104

4

4y y y

y y y x x y y k QA +=--=--=

，同理204y y k QB += 由QB QA ⊥得

14

42

010-=+?+y y y y ，

即:16)(212102

0-=+++y y y y y y ， ∴020402

0=++

y k y ,

080)4

(2≥-=?k ，得5555≤≤-k 且0≠k ， 由11<<-k 且0≠k 得，

k 的取值范围为??

?

????????

?

-

55,00,55