复数项级数汇总.
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复数项级数
n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
复变函数-级数
则∑ fn ( z ) = f1 ( z ) + f2 ( z ) + L + fn ( z ) + L为函数项级数
n=1
sn ( z ) = ∑ fk ( z ) —部分和函数
n
若 z 0 ∈ D , 有 lim sn ( z 0 ) = s ( z 0 ) ,
n→ ∞
k =1
收敛
称 ∑ f n ( z )在 z 0 点 收 敛 ， 且 ∑ f n ( z 0 ) = s ( z 0 )
∞ ∞ k
( −1) nπ 1 ∑ ln n sin 2 = ∑ ln ( 2k + 1) 条件收敛 n =2 k =1
∞ ∞ k
∴ 原级数条件收敛 .
第二节 幂级数
第 二 节 幂 级 数
1. 幂级数的概念
1) 函数项级 数： 设 { fn ( z )}
∞
( n = 1, 2 ,L) 为一复变函
数序列， z ∈ D
n n= 0
∞
∞
z < 1 q = z0
n= 0
2o 反证法
第 二 节 幂 级 数
综上得结论：幂级数 ( 2 ) 的收敛情况有三种
(1) 在复平面上处处收敛,
( 2 ) 只在z = 0收敛,
( 3) ∃R > 0 , 在圆C R：z
而 z = R上不定,
R = +∞
R=0
z = R内绝对收敛， > R 内发散，
n
( 2 ) ∑ ( cos in ) z n
n=0
c n +1 解： lim Q = lim n→∞ c n→∞ n
e n +1 + e − n −1 ) (
n=1
sn ( z ) = ∑ fk ( z ) —部分和函数
n
若 z 0 ∈ D , 有 lim sn ( z 0 ) = s ( z 0 ) ,
n→ ∞
k =1
收敛
称 ∑ f n ( z )在 z 0 点 收 敛 ， 且 ∑ f n ( z 0 ) = s ( z 0 )
∞ ∞ k
( −1) nπ 1 ∑ ln n sin 2 = ∑ ln ( 2k + 1) 条件收敛 n =2 k =1
∞ ∞ k
∴ 原级数条件收敛 .
第二节 幂级数
第 二 节 幂 级 数
1. 幂级数的概念
1) 函数项级 数： 设 { fn ( z )}
∞
( n = 1, 2 ,L) 为一复变函
数序列， z ∈ D
n n= 0
∞
∞
z < 1 q = z0
n= 0
2o 反证法
第 二 节 幂 级 数
综上得结论：幂级数 ( 2 ) 的收敛情况有三种
(1) 在复平面上处处收敛,
( 2 ) 只在z = 0收敛,
( 3) ∃R > 0 , 在圆C R：z
而 z = R上不定,
R = +∞
R=0
z = R内绝对收敛， > R 内发散，
n
( 2 ) ∑ ( cos in ) z n
n=0
c n +1 解： lim Q = lim n→∞ c n→∞ n
e n +1 + e − n −1 ) (
复数项级数
(an a) i(bn b) an a bn b ,
所以
lim
n
n
.
[证毕]
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
收敛.
所以原级 数发散.
(2)级数
1 n2
n1
(1
i) n
是否收敛？
因为
an
n1
1 n2
n1
收敛;
所以原级
1
bn
n1
n1
n3
收敛 .
数收敛.
定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要 条件为:对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为 任何正整数时
|n+1+ n+2+…+ n+p|<ε.
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
例3 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n! 解 因为 (8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例4
级数
[(1)n n1 n
4.1.2复数项级数
1.定义 设{n } {an ibn } (n 1, 2, )为一复数列,
4.1复数项数列、复数项级数
级数收敛的必要条件
n =1
n =1
定理3：级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数
n =1
n
收敛，则 级数
a
n =1
n
和 bn 都收敛；
n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时， n 也绝对收敛.
2
同时有 an n ，bn n ，所以当 n 绝对收敛时，
a
n =1
n
n =1
与 bn 也绝对收敛.
推论：
n =1
n =1
n
n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节 复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列，其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0，相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时，不等式 − <
→∞
当n > 时，有 n − α < ，即 (n + ) − ( + ) < 成立，
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ，
复变函数的级数
n0
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
复变函数 复数项级数和序列
幂级数的形式
∑ c (z − z )
n =0 n 0
∞
n
= c0 + c1 ( z − z0 ) + c2 ( z − z0 ) +
2
作变量替换 w=z-z0，只需讨论幂级数
∑c z
n =0 n
∞
n
= c0 + c1 z + c2 z +
2
Abel定理： 若幂级数
∑c z
n =0 ∞ n
∞
n
在点 z0≠0 收敛，则它在
∑a z
n
n
=
n
f 在|z|<R可积， f ( z ) dz =
C
∫
∑∫
n =0
C
an z dz
习题：
P 87-88
T 2（1，2） T 4（1，3） T 7（1，3，6）
n →∞
性质2 Cauchy收敛准则 znöz0ñ任意ε
> 0，存在N，使得m，n>N时，
| zm − zn |< ε
对于复数列{zn}={z1，z2，…，zn，…}，称
∑z
n =1
∞
n
= z1 + z2 +
+ zn +
为复数项级数。 部分和记为 S n =
∑z
k =1
n
k
= z1 + z2 +
+ zn
复数列即有序的复数集 {zn}={z1，z2，…，zn，…} 称{zn}收敛于z0，若
lim | zn − z0 |= 0
n →∞
记作
lim zn = z0
n →∞
复数项级数
所以
lim n
n
例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.
1
1 [解] 因为 n an ibn 1 cos i sin n n n 1 lim a n li m 1 cos 1 ,
2 2 [证] 由于 an 或 bn an bn n
根据比较判别法:实数正项级数
n 1
cn 和 d n
n 1
满足cndn,
级 数 d n收 敛, 则 级 数 cn收 敛; 级 数 cn发 散, 则 级 数 d n发 散.
n 1 n 1 n 1 n 1
级 数
n 0
8i n
n! 所以原级数绝对收敛,当然原级数收敛.
8n n! n 0 n!
8n 1
n
lim
8n
n 1 !
8 lim 01. n n 1
3
1n 1 n 2n n 1
i
[解] 莱布尼茨定理: 交错级数
[证](必要性) 如果 lim n ， 那末 0, N 0
当n N时 ， n
由于 an a
或 bn b an a i bn b
an a i bn b
故 an a ，
n
bn b ,
§2 幂级数
§3 泰勒级数
§4 洛朗级数
§1 复数项级数 1.复数列的极限
设有一个复数列 n n 1,2,，其中 n an ibn ,
又 设 a ib为 一 确 定 的 复 数 ，
lim n
n
例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.
1
1 [解] 因为 n an ibn 1 cos i sin n n n 1 lim a n li m 1 cos 1 ,
2 2 [证] 由于 an 或 bn an bn n
根据比较判别法:实数正项级数
n 1
cn 和 d n
n 1
满足cndn,
级 数 d n收 敛, 则 级 数 cn收 敛; 级 数 cn发 散, 则 级 数 d n发 散.
n 1 n 1 n 1 n 1
级 数
n 0
8i n
n! 所以原级数绝对收敛,当然原级数收敛.
8n n! n 0 n!
8n 1
n
lim
8n
n 1 !
8 lim 01. n n 1
3
1n 1 n 2n n 1
i
[解] 莱布尼茨定理: 交错级数
[证](必要性) 如果 lim n ， 那末 0, N 0
当n N时 ， n
由于 an a
或 bn b an a i bn b
an a i bn b
故 an a ，
n
bn b ,
§2 幂级数
§3 泰勒级数
§4 洛朗级数
§1 复数项级数 1.复数列的极限
设有一个复数列 n n 1,2,，其中 n an ibn ,
又 设 a ib为 一 确 定 的 复 数 ，
复数项级数
5
必要条件
复数项级数 n收敛的必要条件是
n 1
lim n 0
n
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n1
6
3. 绝对收敛与条件收敛 定理三 如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n1 n1
且不等式 n n 成立.
n1 n1
注意
, n 的各项都是非负的实数 n1
应用正项级数的审敛法则判定.
7
定义
如果 n 收敛, 那末称级数
n 1
n为绝对收敛.
n 1
Байду номын сангаас
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 说明 由
知
2 2 an bn an bn ,
k 1
n
2 2 ak bk ak bk , k 1 k 1
第一节
1.定义
复数项级数
一、复数列的极限
设 { n } (n 1,2,) 为一复数列 其中 ,
n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数 ,
如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正 数
N ( ), 使 n 在 n N 时成立,
那末 称为复数列{ n } 当 n 时的极限,
记作
lim n .
n
此时也称复数列{ n } 收敛于 .
1
2.复数列收敛的条件 定理一 复数列{ n } (n 1, 2 ,) 收敛于 的充要条件是
lim an a ,
n
lim bn b .
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n p
3.有关一致收敛的三个性质。 (1)若在D上一致收敛的复变项级数的每一项都是D上的连续函数，则级数的 和也是D上的连续函数。 在一致收敛时，极限运im wk(z) lim w(z)=w(z0 )= wk(z0 ) lim wk(z)
k 1 z z0 k 1 k 1 z z0
（2）若在曲线l上一致收敛的复变项级数的每一项都是曲线l上的连续函数， 则级数的和也是曲线l上的连续函数，且级数可沿l逐项积分。 说明在一致收敛条件下，定积分运算与无限求和运算可交换次序：
w( z)dz w ( z)dz,
p1q1 ( p1q2 p2 q1 ) ( p1q3 p2 q2 p3q1 ) ...也是收敛的。且它的和 就等于原两级数的和之积。
3.复变项级数
w (z) w(z) w (z) ...w (z) ...组成级数的每一项都是z的函数。
k 1 k 1 2 k
有用公式：
(n 1) 2 i dz l包含a。 l ( z a) n 0 (n 1的整数)
复变函数论
第三章 幂级数展开
复习：级数的敛散性
复习：级数的敛散性
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
• • • • • • • • • • • • •
3.1 复数项级数
• 教学重点：级数收敛的概念与收敛判据 • 教学过程：请同学们回忆实数项级数的相关内容，泰勒级数公式
1.复常数项级数
设有复数项的无穷级数
w
k 1
k
w1 w2 ...wk ...组成级数的每一项为复常数 wk uk ivk
2.柯西收敛判据：
w (z)在D(或l )上收敛的充分必要条件是：在D(或l )上各点z,对 0,
k 1 k
必某N (z), 当n N ( z )时,有 | 在D(或l )上一致收敛。
k n 1
w ( z) | 成立， 若N与z无关，则称 w (z)
k k 1 k
k 1 k
: C上介于z0 z部分
即
w (z)dz w ( z )dz
k n 1
w
n p
k
| 成立 （p 任意正整数）
绝对收敛。若 wk 绝对收敛，则它必收敛。收敛而非绝对收敛的级数
k 1
称为条件收敛。绝对收敛级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。
（3）绝对收敛的两复数项级数 pk 与 qk 逐项相乘后，
k 1 k 1
n
n
的敛散性。且实数项级数的许多性质和规律可移用于复数项级数。
复数项级数收敛的定义：
若 wk的部分和sn w1 w2 ...wn 在n 时有有限极限s，
k 1
则称级数 wk 收敛，并称s为它的和，记为s= wk
k 1 k 1
记rn s sn wn 1 wn 2 ...级数的余和 设s＝ ＋i , 则 wk 收敛于s的充分必要条件是 uk、 vk 分别收敛
| w( z ) Sn (z)|< 成立，Sn (z)＝ wk ( z )
k 1 n
表示：rn(z)=w( z ) Sn (z)余和， lim rn(z)＝0
n
若N与z无关，则称 wk ( z )在D上一致收敛于w( z )。
k 1
复变项级数收敛的判断： 1.若在区域D或曲线l上每一点上述级数都收敛，则称级数收敛于区域D或曲线l.
k 1 k 1 k 1
于 与。
2.复数项级数收敛的判断
（1）柯西收敛判据
w 收敛的充分必要条件：对于 0, 必N ,当n N时有
k 1 k
|
（2） wk 各项模组成的级数 | wk | u v 收敛，则称 wk
k 1 k 1 k 1 2 k 2 k k 1
n n n
则前n项的和： wk uk i vk
k 1 k 1 k 1
lim wk lim uk i lim vk
n k 1 n k 1 n k 1
n
n
n
则复数项级数的敛散性问题可归结为研究两个实数项级数 uk 和 vk
k 1 k 1
知识点回顾
单通、复通区域柯西定理：
柯西公式：
f ( z) 1 f ( ) d l 2 i z
f ( ) l z d 2 if ( z) 2 if ( ) | z
柯西导数公式： f ( n ) (z)
n! f ( ) d n 1 l 2 i ( z ) f ( ) 2 i ( n ) d ＝ f (z) l ( z)n1 n ！
法、罗朗级数展开法。难点在于罗朗级数展开，孤立奇点类型判断。 第一节 复数项级数 1．复常数项级数 2．复常数项级数收敛的判断（柯西收敛判据）。 3．复变函数项级数及收敛的判断 第二节 幂级数 1．幂级数定义 2．幂级数敛散性判别法 3．收敛圆与收敛半径定义及求解 第三节 泰勒级数 1．泰勒级数展开定理 2．泰勒级数展开举例 第四节 解析延拓* 第五节 罗朗级数展开 1．罗朗级数展开定理 2．罗朗级数展开举例 第六节 孤立奇点的分类 1．可去奇点 2．极点 3．本性奇点 4．无限远点
收敛的定义：若 wk ( z )各项均在D有定义，对D上的每一点z，
k 1
级数 wk ( z )均收敛，那么它的和就是定义在D上的一个函数w( z )，
k 1
称为级数 wk ( z )的和函数。记作：w( z )＝ wk ( z )
k 1 k 1
－N语言描述：对于给定的z D， 0, N N ( , z ), 当n N时，