复数项级数
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4.1复数项数列、复数项级数
级数收敛的必要条件
n =1
n =1
定理3：级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数
n =1
n
收敛，则 级数
a
n =1
n
和 bn 都收敛；
n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时， n 也绝对收敛.
2
同时有 an n ，bn n ，所以当 n 绝对收敛时，
a
n =1
n
n =1
与 bn 也绝对收敛.
推论：
n =1
n =1
n
n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节 复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列，其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0，相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时，不等式 − <
→∞
当n > 时，有 n − α < ，即 (n + ) − ( + ) < 成立，
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ，
复数项级数
n→∞ n
∑ ∑ 但 ∞ 1 + i2n+1 = ∞ 1 + (−1)n i
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ = (1 + 1 + 1 + ") − i(1 − 1 + 1 − ")= ∞ 1 + i ∞ (−1)n 1
23
23
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ 因为 级数 ∞ 1 发散, 虽 ∞ (−1)n 1收敛,
α
n
=α.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
5
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
=
1 1
+ −
ni ni
;
(2)
zn
=
(−1)n
+
n
i +
; 1
(3)
zn
=
1
e
−
nπi 2
.
n
6
二、级数的概念
1.定义 设{α n } = {an + bn } (n = 1,2,")为一复数列 ,
=
(1 +
1
)e
i
π n
;
n
(2) αn = ncos in .
解
(1) 因为αn
=
(1
+
1
)e
i
π n
=
n
(1
+
1 )(cos n
π n
+
i
sin
π ),
n
∑ ∑ 但 ∞ 1 + i2n+1 = ∞ 1 + (−1)n i
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ = (1 + 1 + 1 + ") − i(1 − 1 + 1 − ")= ∞ 1 + i ∞ (−1)n 1
23
23
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ 因为 级数 ∞ 1 发散, 虽 ∞ (−1)n 1收敛,
α
n
=α.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
5
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
=
1 1
+ −
ni ni
;
(2)
zn
=
(−1)n
+
n
i +
; 1
(3)
zn
=
1
e
−
nπi 2
.
n
6
二、级数的概念
1.定义 设{α n } = {an + bn } (n = 1,2,")为一复数列 ,
=
(1 +
1
)e
i
π n
;
n
(2) αn = ncos in .
解
(1) 因为αn
=
(1
+
1
)e
i
π n
=
n
(1
+
1 )(cos n
π n
+
i
sin
π ),
n
复数项级数与幂级数
∞
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
复数项级数
所以
lim n
n
例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.
1
1 [解] 因为 n an ibn 1 cos i sin n n n 1 lim a n li m 1 cos 1 ,
2 2 [证] 由于 an 或 bn an bn n
根据比较判别法:实数正项级数
n 1
cn 和 d n
n 1
满足cndn,
级 数 d n收 敛, 则 级 数 cn收 敛; 级 数 cn发 散, 则 级 数 d n发 散.
n 1 n 1 n 1 n 1
级 数
n 0
8i n
n! 所以原级数绝对收敛,当然原级数收敛.
8n n! n 0 n!
8n 1
n
lim
8n
n 1 !
8 lim 01. n n 1
3
1n 1 n 2n n 1
i
[解] 莱布尼茨定理: 交错级数
[证](必要性) 如果 lim n ， 那末 0, N 0
当n N时 ， n
由于 an a
或 bn b an a i bn b
an a i bn b
故 an a ，
n
bn b ,
§2 幂级数
§3 泰勒级数
§4 洛朗级数
§1 复数项级数 1.复数列的极限
设有一个复数列 n n 1,2,，其中 n an ibn ,
又 设 a ib为 一 确 定 的 复 数 ，
lim n
n
例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.
1
1 [解] 因为 n an ibn 1 cos i sin n n n 1 lim a n li m 1 cos 1 ,
2 2 [证] 由于 an 或 bn an bn n
根据比较判别法:实数正项级数
n 1
cn 和 d n
n 1
满足cndn,
级 数 d n收 敛, 则 级 数 cn收 敛; 级 数 cn发 散, 则 级 数 d n发 散.
n 1 n 1 n 1 n 1
级 数
n 0
8i n
n! 所以原级数绝对收敛,当然原级数收敛.
8n n! n 0 n!
8n 1
n
lim
8n
n 1 !
8 lim 01. n n 1
3
1n 1 n 2n n 1
i
[解] 莱布尼茨定理: 交错级数
[证](必要性) 如果 lim n ， 那末 0, N 0
当n N时 ， n
由于 an a
或 bn b an a i bn b
an a i bn b
故 an a ，
n
bn b ,
§2 幂级数
§3 泰勒级数
§4 洛朗级数
§1 复数项级数 1.复数列的极限
设有一个复数列 n n 1,2,，其中 n an ibn ,
又 设 a ib为 一 确 定 的 复 数 ，
复数项级数
有用公式：
(n 1) 2 i dz l包含a。 l ( z a) n 0 (n 1的整数)
复变函数论
第三章 幂级数展开
复习：级数的敛散性
复习：级数的敛散性
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
| w( z ) Sn (z)|< 成立，Sn (z)＝ wk ( z )
k 1 n
表示：rn(z)=w( z ) Sn (z)余和， lim rn(z)＝0
n
若N与z无关，则称 wk ( z )在D上一致收敛于w( z )。
k 1
复变项级数收敛的判断： 1.若在区域D或曲线l上每一点上述级数都收敛，则称级数收敛于区域D或曲线l.
法、罗朗级数展开法。难点在于罗朗级数展开，孤立奇点类型判断。 第一节 复数项级数 1．复常数项级数 2．复常数项级数收敛的判断（柯西收敛判据）。 3．复变函数项级数及收敛的判断 第二节 幂级数 1．幂级数定义 2．幂级数敛散性判别法 3．收敛圆与收敛半径定义及求解 第三节 泰勒级数 1．泰勒级数展开定理 2．泰勒级数展开举例 第四节 解析延拓* 第五节 罗朗级数展开 1．罗朗级数展开定理 2．罗朗级数展开举例 第六节 孤立奇点的分类 1．可去奇点 2．极点 3．本性奇点 4．无限远点
k 1
称 mk 为 wk的强级数。
k 1 k 1
n p
3.有关一致收敛的三个性质。 (1)若在D上一致收敛的复变项级数的每一项都是D上的连续函数，则级数的 和也是D上的连续函数。 在一致收敛时，极限运算与无限求和运算可以交换次序
复数项级数汇总.
n p
3.有关一致收敛的三个性质。 (1)若在D上一致收敛的复变项级数的每一项都是D上的连续函数，则级数的 和也是D上的连续函数。 在一致收敛时，极限运im wk(z) lim w(z)=w(z0 )= wk(z0 ) lim wk(z)
k 1 z z0 k 1 k 1 z z0
（2）若在曲线l上一致收敛的复变项级数的每一项都是曲线l上的连续函数， 则级数的和也是曲线l上的连续函数，且级数可沿l逐项积分。 说明在一致收敛条件下，定积分运算与无限求和运算可交换次序：
w( z)dz w ( z)dz,
p1q1 ( p1q2 p2 q1 ) ( p1q3 p2 q2 p3q1 ) ...也是收敛的。且它的和 就等于原两级数的和之积。
3.复变项级数
w (z) w(z) w (z) ...w (z) ...组成级数的每一项都是z的函数。
k 1 k 1 2 k
有用公式：
(n 1) 2 i dz l包含a。 l ( z a) n 0 (n 1的整数)
复变函数论
第三章 幂级数展开
复习：级数的敛散性
复习：级数的敛散性
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
• • • • • • • • • • • • •
3.1 复数项级数
• 教学重点：级数收敛的概念与收敛判据 • 教学过程：请同学们回忆实数项级数的相关内容，泰勒级数公式
1.复常数项级数
设有复数项的无穷级数
w
k 1
k
4-1复数项级数和幂级数
则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!
复变函数论第4章
n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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结束
铃
例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in
cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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结束
铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃
补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn
a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn
lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )
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n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
8n 收敛,
n1 n!
∴原级数收敛, 且为绝对收敛.
例5
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
二 、复变函数项级数
n1 n
n1
n
1 i (1)n 1
n1 n
n1
n
Q 级数 1 发散, n1 n
虽然 (1)n 1收敛,
n1
n
原级数仍发散.
（2 ）
n1
1 n2
(1
i n
)
Q
xn
n1
1 n2
n1
收敛;
n1
yn
1 n3
n1
收敛.
∴原级数收敛
5）级数收敛的必要条件
因为实数项级数 xn和 yn收敛的必要条件是
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
zn
?
0
lim 如 果 n
zn
0,
级数发散;
lim
n
zn
0,
应进一步判断.
6) 绝对收敛与条件收敛
ⅰ）定义 如果 zn 收敛, 那么称级数 zn 为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
ⅱ）定理 如果级数 zn 收敛, 那么 zn 也收敛.
n1
n1
ⅲ）定理 zn绝对收敛 xn与 yn绝对收敛.
n1
n1
n1
注： zn 的各项都是非负实数, 可用正项级数的审敛法.
n1
例4 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n!
解∵
(8i)n 8n ,
n! n!
由正项级数的比值判别法知:
lim
n
zn1 zn
8n1 n!
lim
n
(n
1)!
8n
s.
4)复数项级数收敛的条件
定理 级数 zn ( xn iyn ) 收敛的充要条件是
n1
n1
xn 和 yn 都收敛.
n1
n1
说明
复数项级数的审敛问题
(定理)
实数项级数的审敛问题
例2 判断下列级数是否收敛？
（1） 1 i2n1
n1 n
（2 ）
1 (1 i )
n2
n1
n
解：（1） 1 i2n1 1 (1)n i
且有 1 1 z z2 zn . 1 z
2. 幂级数
函数项级数的特殊情形， 当fn (z) cn1(z z0 )n1时，
定义幂级数：
n 1, 2,L
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) c2 (z z0 )2 L cn (z z0 )n L
n0
z0为幂级数的中心.
称为这级数的部分和.
3）和函数
如果对于
D
内的某一点 z0,
极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(
z0
)存在,
那么称级数 fn (z) 在 z0 收敛, s(z0 )称为它的和. n1
如果级数在区域D内处处收敛, 那么它的和一定
是 z 的一个函数 s(z) :
s(z) f1(z) f2(z) fn(z)
当z0 =0时，幂级数的形式为： cn zn n0
3、幂级数的敛散性
1）收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
如果级数 cn (z z0 )n在z z1处收敛, n0 则对满足 z-z0 z1 z0 的点z对应的级数一定绝对收敛；
如果级数 cn (z z0 )n在z z2处发散, n0
称为级数的部分和.
3）级数收敛与发散的定义
如果部分和数列{sn } 收敛, 那 么 级 数 zn收 敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那 么 级 数 zn发 散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是:
利用极限
lim
n
sn
§4.1 复数项级数
一 、复数项级数
二 、复变函数项级数
一 、复数项级数
1、复数列的极限
1)定义 设{zn} (n 1,2, )为一复数列, 其中
zn xn iyn , 又设 z0 x0 iy0 为一确定的复数,
若 0, 自然数N ,当n N 时，有zn z0 .
则称复数列{zn}收敛于 z0 , 或称{zn }以z0为极限.
n1
n1
lim
n
xn
0
和
lim
n
yn
0.
所以复数项级数 zn收敛的必要条件是
lim
n
zn
0
n1
重要结论:
lim
n
zn
0
级数
n1
zn发散.
例3 判断级数 ein是否收敛？ n1
解：Q
lim
n
zn
lim ein n
lim(cos n i sin n) 0, n
不满足级数收敛的必要条件,
∴原级数发散.
1 、复变函数项级数
1）定义 设 { fn(z)} (n 1,2, ) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
2）部分和 级数最前面n项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为该级数在区域D上的和函数.
例6 求级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
z
sn
1
1
z z2 zn1
lim
n
sn
1 1
z
1 zn
1 z 级数
, (z 1)
zn 收敛,
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
n0
收敛范围为一单位圆域 z 1,