复变解析函数与调和函数的关系复级数的概念幂级数
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
第六讲_解析函数与调和函数的关系
2
2
又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域 内的调和
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级 数 非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的 敛 散 性 。
分
22
法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
又解 v2xy v2x yy2(x)
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系1. 引言调和函数和解析函数是数学中两个重要的函数类别，在分析学和复变函数研究中具有广泛的应用。
两者有着密切的联系，本文将对两者的定义、性质、用途和工作方式等进行详细解释。
2. 调和函数的定义调和函数是指定义在欧几里德空间中的函数，满足拉普拉斯方程，即：Δf=∂2f∂x12+∂2f∂x22+⋯+∂2f∂x n2=0其中Δ是拉普拉斯算子，f是调和函数。
对于二维空间中的调和函数，即n=2的情况，拉普拉斯方程可以简化为：Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2=0调和函数的定义可以扩展到更高维空间，由此可见，调和函数的概念是多维的。
3. 解析函数的定义解析函数是指定义在复平面上的函数，满足柯西－黎曼方程，即：∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x其中u(x,y)是解析函数的实部，v(x,y)是解析函数的虚部。
柯西－黎曼方程表明解析函数是复可微的，它可以展开成幂级数的形式，具有无穷次可导的性质。
4. 调和函数和解析函数的联系调和函数和解析函数在某些条件下是可以联系起来的。
具体而言，二维空间中的调和函数可以通过某个复数函数的实部或虚部来表示。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个解析函数，其中z=x+iy，u和v分别是f的实部和虚部。
由柯西－黎曼方程可知，∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x可以求出u和v的偏导数。
进一步，可以验证u和v满足拉普拉斯方程：∂2u ∂x2+∂2u∂y2=∂2v∂y2−∂2v∂x2=0∂2v ∂x2+∂2v∂y2=−∂2u∂y2−∂2u∂x2=0因此，u和v分别是调和函数。
这就是调和函数和解析函数的联系。
5. 调和函数和解析函数的性质调和函数和解析函数具有一些重要的性质，这些性质使得它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
5.1 调和函数的性质•调和函数的线性组合仍然是调和函数。
即如果f1(x,y),f2(x,y),…,f n(x,y)都是调和函数，那么对于任意实数c1,c2,…,c n，函数g(x,y)=c1f1(x,y)+c2f2(x,y)+⋯+c n f n(x,y)也是调和函数。
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系调和函数和解析函数在数学中都是非常重要的概念，它们之间的关系也是我们需要深入了解的。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，而解析函数则是指在某个区域内可以展开成幂级数的函数。
在实际应用中，我们常常需要研究调和函数和解析函数之间的联系，以便更好地理解它们的性质和特点。
我们可以从数学定义上来看调和函数和解析函数的关系。
调和函数满足拉普拉斯方程，而解析函数则有复变函数的性质。
在某些情况下，调和函数可以通过某些方法转化为解析函数，比如通过傅里叶变换或者柯西积分公式等。
这种转化的过程可以帮助我们更好地理解两者之间的联系，并且在实际问题中起到重要作用。
我们可以从几何意义上来理解调和函数和解析函数的关系。
调和函数在物理学中有很多应用，比如电场、热场等问题都可以通过调和函数来描述。
而解析函数则在复平面上有很好的几何性质，比如保角映射等。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地理解数学和物理之间的联系，以及复平面上的几何性质。
调和函数和解析函数在实际问题中也有很多应用。
比如在工程领域中，我们常常需要研究电场、热场等问题，这些都可以通过调和函数来描述。
而在信号处理领域中，解析函数则有很多应用，比如在频域分析中可以通过解析函数来描述信号的频谱特性。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地解决实际问题，提高工程和技术的应用水平。
总的来说，调和函数和解析函数之间的关系是非常密切的，它们在数学、物理和工程等领域都有重要的应用。
通过深入研究两者之间的联系，我们可以更好地理解它们的性质和特点，从而更好地解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对调和函数和解析函数有更深入的了解，并且在实际问题中能够灵活运用这些概念，提高问题的解决效率和准确性。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
3 初等函数。
基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
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证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
由C ? R方 程 ?u ? ?v ?u ? ? ?v ?x ?y ?y ?x
从而有
? 2u ? 2v ?x 2 ? ?y?x
? 2u
? 2v
?y2 ? ? ?x?y
由 解 析 函 数 高 阶 导 数 理定 ? u( x , y), v( x , y)
（? f (z) ? u ? iv ? ( x ? y) ? i( x ? y)在z平面上
处处不解析 u x ? 1 ? v y u y ? 1 ? ? v x )
要想使 u ? iv在D内解析 , u 及v还必须满足 C ? R 方程，即 v必须是 u 的共轭调和函数 .由此，
已知一个解析函数的实 部u( x , y), 利用C ? R方 (虚部v( x, y))
具 有 任 意 阶 的 连 续 导 .数 ?
? 2v ?
? 2v
?x?y ?y?x
故在D内有
? 2u ?x 2
?
? 2u ?y2
?
0,
同理有
? 2v ?x 2
?
? 2v ?y2
?
0
即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
? u ? 0,
?v? 0
其中 ?
?
?2 ?x 2
?
?2 ?y2
? u ? u( x, y)，v ? v(x, y)是D内的调和函数。
?v ?x
dx
?
?v
dy
C
?
R方程
??
?y
u ydx
?
u x dy
然后两端积分。
由 du
?
?v
dx
?
?v
dy
C?
R 方程
?
?v dx
?
?v dy
?x
?y
?y ?x
类似地， 然后两端积分得，
( x , y)
? u( x , y ) ? v dx ( x 0 , y0 ) y ? v x dy ? c (? ?)
2
? c ? 1 f (z) ? (1 ? i )z 2 ? i
2
22
? x ? 1 (z ? z), y ? 1 (z ? z)
2
2i
又解 ? dv ? ? v dx ? ? v dy
?x
?y
凑
? ( 2 y ? x )dx ? (2 x ? y )dy
全
? 2 ydx ? 2 xdy ? xdx ? ydy
x2
y2
? ? ? 2 xy ? ? c
2
2
曲线积分法
故 f (z) ? ( x 2 ? y2 ? xy) ? i(? 1 x 2 ? 2xy ? 1 y2 ? c)
2
2
? ( x ? iy)2 ? i ( x ? iy)2 ? ic ? (1 ? 1 i)z2 ? ic
2
2
? f (i) ? ? 1 ? i 代 入 上 式 得(，1 ? i )i 2 ? ic ? ? 1 ? i
在D内满足 C ? R方程 : u x ? v y , u y ? ? v x的两个 调和函数 u, v, v必为 u的共轭调和函数 . 现在研究反过来的问题：若u, v是任意选取的在 区域D内的两个调和函数 ,则u ? iv在D内就不 一定解析 .
如 v ? x ? y不是 u ? x ? y的共轭调和函数 .
微
x 2 y2
分
? 2dxy ? d (? ? )
程可求得它的虚部 v( x , y),从而构成解析函数
u ? iv.
(实部u( x, y))
设D一单连通区域 , u( x , y)是区域D内的调和
函数
,
则
? ?
2u x2
?
? 2u ?y2
?
0
即, ? ? u 、? u 在 D内有连续一阶偏导数 ?y ?x
且
? (? ?u ) ? ? ( ?u )
?y ?y ?x ?x
?v ?v
?u
?u
?v
dx ? dy ? ? dx ? dy
?x
?y
?y
?x
? dv ( x , y )
(x,y) ?u
?u
? v( x , y) ?
? dx ? dy ? c (?)
? y ( x 0 , y0 )
?x
? ? v ? ? ? u ? v ? ? u 满 足C ? R 方 程. ?x ?y ?y ?x
?
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解
析函数的关系。
例1 由下列条件求解析函数 f ( z ) ? u ? iv
u ? x 2 ? xy ? y 2
f (i) ? ?1 ? i
解? ?v ? ?u ? 2x ? y ? ?v ? ?u ? ?2 y ? x
第六讲 解析函数与调和函数的关系
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内容简介
在§3.6我们证明了在 D内的解析函数 ,其导数 仍为解析函数 ,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。
定义 若 二 元 实 变 函 数? ( x , y)在D内 具 有 二 阶 连
? u ? iv在 D内 解 析.
定理 设u( x , y)在单连通 D内调和函数 , 则(?)式所确定的 v( x , y), 使得 f (z) ? u ? iv在D内解析 .
? 公式不用强 其 共 轭 调 和 函 数v( x , y) :
由dv
?
?y ?x
?x ?y
? dv ? ?v dx ? ?v dy ? (2 y ? x )dx ? (2 x ? y)dy
?x ?y
( x ,y)
? v( x , y) ?
(2 y ? x )dx ? (2 x ? y)dy ? c
(0,0)
x
y
? ?o ? xdx ? ?0 (2 x ? y)dy ? c
定义 设u( x , y)为D内的调和函数 , 称使得 u ? iv 在D内构成解析函数的调和 函数v( x , y)为u( x , y) 的共轭调和函数 .
上面定理说明：
D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 .
即, f (z) ? u( x , y ) ? iv ( x , y )在D内解析 ? 在D内v( x , y)必为 u ? u( x , y)的共轭调和函数 . 由解析的概念得：
续 偏 导 数 且 满 足Laplace 方 程:
? 2? ? 2?
?x2 ? ?y2 ? 0
即 （? ? ? 0)
则 称? ( x , y)为D内 的 调 和 函 数.
定理 若f (z) ? u( x, y) ? iv( x, y)在区域D内解析 ? u ? u( x , y)，v ? v( x, y)是D内的调和函数。