4-1复数项级数与幂级数
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复数项级数
n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
复数项级数与幂级数
∞
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
复变函数的级数
n0
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
通信工程专业函授(业余)本科教学大纲
（二）参考书目
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
n
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
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• 称为这级数的部分和.
21
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(z0
)
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2, )为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
18
例2 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
20
四. 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z) (1)
n1
称为复变函数项级数. 最前面n项的和
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
第一节 复数项级数与幂级数
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、幂级数 五、小结与思考
一、复数列的极限
1.定义 设 {n } (n 1,2, ) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
(定理二)
实数项级数的审敛问题
9
课堂练习 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
10
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
n1 n! 解 因为 (8i)n 8n ,
n! n! 所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
19
例3
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
利用极限
lim
n
sn
s.
6
例如, 级数 zn :
n0
sn
1 z z2
zn-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
7
2.复数项级数收敛的条件
定理二 级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件
说明 由
an2 bn2 an bn ,
n
n
n
知
ak2 bk2 ak bk ,
k 1
k 1
k 1
16
所以 an与bn绝对收敛时,
n1
n1
n也绝对收敛 .
n1
综上:
n绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n1
n1
n1
17
三、典型例题
例1 级数 1 i2n1 是否收敛？
n1 n 解 级数满足必要条件, 即 li
当fn(z)=cn1(za)n1或fn(z)=cn1zn1时, 就得到函数项级 数的特殊情形:
cn (z a)n c0 c1(z a) c2 (z a)2
n0
cn(z a)n (2)
或 cnzn c0 c1z c2z2 cnzn (3)
那末 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
2
2.复数列收敛的条件
复数列{n} (n 1,2, ) 收敛于 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似， 故省略.
n1
n1
an 和 bn 都收敛.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
8
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
说明 复数项级数的审敛问题
n1
lim
n
n
0
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
11
例如,级数 ein :
n1
因为lim n
n
lim ein
n
0,
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
12
3. 绝对收敛与条件收敛
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
14
由定理二可得 n 是收敛的.
n1
又由
n
n
k k ,
k 1
k 1
可知
n
n
lim
n
k
1
k
lim
n
k 1
k
或 k k .
k 1
k 1
[证毕]
15
定义
如果 n 收敛, 那末称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
定理三
如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n1
n1
且不等式 n n 成立.
n1
n1
注意
n 的各项都是非负的实数,
n1
应用正项级数的审敛法则判定.
13
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
部分和 其最前面 n 项的和
sn 1 2 n 称为级数的部分和.
5
收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那末级数 n收敛,
n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛,
那末级数 n发散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是:
21
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(z0
)
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2, )为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
18
例2 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
20
四. 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z) (1)
n1
称为复变函数项级数. 最前面n项的和
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
第一节 复数项级数与幂级数
一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、幂级数 五、小结与思考
一、复数列的极限
1.定义 设 {n } (n 1,2, ) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
(定理二)
实数项级数的审敛问题
9
课堂练习 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
10
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
n1 n! 解 因为 (8i)n 8n ,
n! n! 所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
19
例3
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
利用极限
lim
n
sn
s.
6
例如, 级数 zn :
n0
sn
1 z z2
zn-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
7
2.复数项级数收敛的条件
定理二 级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件
说明 由
an2 bn2 an bn ,
n
n
n
知
ak2 bk2 ak bk ,
k 1
k 1
k 1
16
所以 an与bn绝对收敛时,
n1
n1
n也绝对收敛 .
n1
综上:
n绝对收敛 an与 bn绝对收敛.
n1
n1
n1
17
三、典型例题
例1 级数 1 i2n1 是否收敛？
n1 n 解 级数满足必要条件, 即 li
当fn(z)=cn1(za)n1或fn(z)=cn1zn1时, 就得到函数项级 数的特殊情形:
cn (z a)n c0 c1(z a) c2 (z a)2
n0
cn(z a)n (2)
或 cnzn c0 c1z c2z2 cnzn (3)
那末 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
2
2.复数列收敛的条件
复数列{n} (n 1,2, ) 收敛于 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似， 故省略.
n1
n1
an 和 bn 都收敛.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
8
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
说明 复数项级数的审敛问题
n1
lim
n
n
0
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
11
例如,级数 ein :
n1
因为lim n
n
lim ein
n
0,
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
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3. 绝对收敛与条件收敛
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
14
由定理二可得 n 是收敛的.
n1
又由
n
n
k k ,
k 1
k 1
可知
n
n
lim
n
k
1
k
lim
n
k 1
k
或 k k .
k 1
k 1
[证毕]
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定义
如果 n 收敛, 那末称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
定理三
如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n1
n1
且不等式 n n 成立.
n1
n1
注意
n 的各项都是非负的实数,
n1
应用正项级数的审敛法则判定.
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证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
部分和 其最前面 n 项的和
sn 1 2 n 称为级数的部分和.
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收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那末级数 n收敛,
n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛,
那末级数 n发散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: