反比例函数中的面积问题

而 由四边形OEBF的面积为2得
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
∴∣PM∣＝
（2）①证明：连结MF，NE． 利用同底等高的三角形面积相等，可知
∴S△EFM ＝S△EF N 由（1）中的结论可知：MN∥EF． ②如图所示， MN∥EF． 评注：本题综合性较强，难度较大。既考查分析问题的能力，又考查转 化能力，知识与能力的考查融合的恰当。 例9．（2009年济南）已知：如图，正比例函数 的图象与反比例函数
的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3） 是反比例函数图象上的一动点，其中 过点 作直线
轴，交 轴于点 ；过点 作直线 轴交 轴于点 ，交直线 于点 ．当四边形 的面积为6时，请判断线段 与 的大小关系，并说明理由． 分析：（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得
S=
=13π-26
例7（2009年济宁市）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心 B都在反比例函数
的图象上，则图中阴影部分的面积等于
.
分析：因为圆心A中的非阴影部分与圆B中的阴影部分为对称图形，圆A 中的阴影部分与圆B中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面 积的和等于圆的面积。
设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=y ∵A点在反比例函数
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的 对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|
1．已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）
例1（1）(2008广东省深圳市)如图，直线OA与 反比例函数
，对于C：S=4，对于D：S=4 故选（B） （2）(2009年牡丹江市)如图，点 、 是双曲线
上的点，分别经过 、 两点向 轴、 轴作垂线段，若 则
．
分析：由结论知 ，∴S1+1=S2+1=3 ∴S1=S2=2 S1+S2=4 评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求 解，过程简单。 二、利用点的坐标及面积公式求面积 例4（2008四川省南充市）如图，已知 ， 是一次函数 的图像和反比例函数
k=6,a=
，正比例函数为 ,反比例函数为
(2)0<x<3 (3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（
由四边形OADM的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4 故点M为（
D点为（3，4） 从而M点为BD中点，BM=DM 评注：第①小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第②小 问考查分析图形的能力，第③小问考查反比例函数中的面积的计算问 题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目。
∴S=
=12
评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由 条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算 面积。难度属中档题。
三、利用对称性求反比例函数有关的面积问题 例6（（2009年福州）已知, A、B、C、D、E是反比例函数
（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向
的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 与 轴的交点 的坐标及三角形 的面积． 解：（1） 在
上 ． 反比例函数的解析式为：
． 点 在
上
经过 ， ，
解之得
一次函数的解析式为： （2） 是直线 与 轴的交点 当 时，
点
例5(2009年达州)如图，直线 与反比例函数 （ ＜0）的图象相交于点A、点B，
反比例函数中的面积问题 由于反比例函数解析式
及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考 察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又 能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可 以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的 问题的四种类型归纳如下：
一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线
上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则 两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y| ×|x|=|xy|
∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k|
① 如图2，点M，N在反比例函数 （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别 为E，F． 试证明：MN∥EF．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行。
解：（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，
垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°． ∴ CG∥DH． ∵ △ABC与△ABD的面积相等， ∴ CG＝DH． ∴ 四边形CGHD为平行四边形． ∴ AB∥CD．
，即∣m－2∣＝
，∴
或
， 评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过 解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。
2． 已知反比例函数解析式，求图形的面积 例3（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函数
的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ B ）
A．
B．
C．
D．
分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面 积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相 等，故S=
横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆
周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄
榄形的面积总和是
（用含π的代数式表示）
分析：∵x,y为正整数，∴x=1,2,4,8,16
即A、B、C、D、E五个点的坐标为
(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有
的图象在第一象限交 于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2， 则k＝ ． 分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得
∴ k=4
（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知 双曲线 （ ）经过矩形 的边 的中点 ，且四边形 的面积为2，则
．
分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点 ∴