第2讲 直线、圆与线性规划
(完整版)直线与圆知识归纳
直线与圆◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值两直线位置关系 两条直线的位置关系设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；③当0121=+k k 或02121=+B B A A o直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
《线性规划》课件
线性规划在计算和科学 中的作用
线性规划与其他数学方 法的关系
线性规划为其他计算学科和科 学领域提供了一种有用的工具， 包括操作研究、管理科学、计 算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如 图论、随机优化和动态编程， 经常在更复杂的问题中一起使 用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应 用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最 大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的 许多领域都有着广泛的应用， 未来的不断发展将使其能够应 用于更多领域。
线性规划PPT课件
本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技 能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要 作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预 测趋势、优化资源和改进生产 效率。
线性规划的基本概念和 术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使 其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。
线性规化圆的方程
【本讲教育信息】一. 教学内容：线性规化；圆的方程二. 本周教学重、难点：1. 了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义，并会简单地应用。
2. 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念（2006年理科考试大纲新增加），理解圆的参数方程。
（2006年文科考试大纲新增加）。
【典型例题】[例1] 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目。
由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+008.11.03.010y x y x y x目标函数y x z 5.0+=上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。
作直线0l ：05.0=+y x ，并作平行于直线0l 的一组直线z y x =+5.0，R z ∈。
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x 和8.11.03.0=+y x 的交点。
解方程组⎩⎨⎧=+=+8.11.03.010y x y x 得4=x ，6=y此时765.041=⨯+⨯=z （万元）∵ 07> ∴ 当6,4==y x 时z 取得最大值答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。
a[例3] 实系数方程02)(2=++=b ax x x f 的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域； （2）22)2()1(-+-b a 的值域； （3）3-+b a 的值域。
解：由题意⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>⇒⎪⎩⎪⎨⎧><>0201200)2(0)1(0)0(b a b a b f f f如图所示，A （1,3-）、B （0,2-）、C （0,1-） 又由所要求的量的几何意义知其值域分别为（1）（1,41）；（2）（8，17）；（3）（4,5--）解：设点P 、Q 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，由OP ⊥OQ ，得02121=+y y x x ①由⎩⎨⎧=+-++=-+0603222m y x y x y x 消去y 并整理，得02741052=-++m x x∵ 5274,22121-=-=+m x x x x ② 又 ∵ P 、Q 在直线032=-+y x 上 ∴ )3(21)3(212121x x y y -⋅-=])(39[412121x x x x ++-= 512+=m ③故62)(min --=-x y（3）22y x +是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C '，则347)32()(22max 22+=+='=+C O y x ，347)32()(22min 22-=-==+OBy x 。
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
第2讲直线与圆的位置关系复习课件人教新课标
知识网络
要点归纳
题型研修
题型三 函数方程思想
在直线与圆的位置关系中，涉及很多数量关系， 既有角的大小，也有线段的长度，在求它们的大 小时，有时不太方便，这时我们可以利用类似三 角形或有关定理建立以欲求量为未知数的函数或 方程，通过求函数的最值或解方程求出所要求的 量，这种函数方程的思想在直线与圆的位置关系 中有广泛的应用.
知识网络
要点归纳
题型研修
3.圆的切线的性质与判定 (1)圆的切线的性质 定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. (2)圆的切线的判定 定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线. (3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等. 推论 经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点 向圆所作的两条切线所夹的角.
知识网络
要点归纳
题型研修
规律方法 本题综合性较强，在(1)的证明中，把 证明AF＝DF的问题转化为证明AE＝DE的问题， 进而又转化为证明∠DAE＝∠ADE的问题；在(2) 的解答中，通过作辅助线，把求sin∠AED的问题 转化为求sin∠AEG的问题，进而转化为求AG， AE的问题；在(3)的解答中，把求S△ABC的问题转 化为求BC与AG的问题，如此等等，每一步都体 现着转化与化归的思想方法.
24 ∴sin∠AED＝AAGE＝ 55xx＝2245.
知识网络
要点归纳
题型研修
(3)解 ∵∠B＝∠CAE，∠AEC＝∠BEA， ∴△AEC∽△BEA. ∴AE2＝EC·EB， ∴BE＝AEEC2＝255x2＝10x.
2x ∴BD＝5x，∴5x＝10，∴x＝2. 从而 AG＝254x＝458. ∴S△ABC＝12BC·AG＝125x＋52x×254x＝72.
十一、线性规划、直线与圆的方程2(必修二)
卜一、线性规划、直线与圆的方程（必修二）第一部分线性规划1.已知点（x, y ）所在的可行域如图 2所示•若要使目标函数z =ax ■ y 取得最大值的最优解有无数多个，则1 5 A • 4 B • - C • - D432x — y —2 兰02.若实数x, y 满足不等式组’则2x - y 的最大值是（B ）x 30, y -0-A . 5B . 6C . 7D . 8"x - y + 8 K 03.设一元二次不等式组2x y -14乞0所表示的平面区域为 M,使函数y =a x 的图象过x 2y -19 _0区域M 的a 取值范围是(D ) A. [2,.10] B . [ ..10, 9] C . (2, 9)4.在“家电下乡”活动中，某厂要将 100台洗衣机运往邻近的乡镇•现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用•每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 （B ）a 的值为（D ）3 5DxA.2000 元B.2200 元C.2400 元D.2800 元y 沁x y _26.已知点P （x, y ）满足约束条件 y- 3x -6，则z = x - 2y 的最大值是（2y ■ x 的最小值为（D ）x - y 2 丄 010 .如果实数x, y 满足条件 y • 2 _ 0 ，那么z =2x - y 的最小值为 _______________ 。
答案：-6。
x y 2 岂 0x_2,y _1, 所表示的平面区域为 M 若曲线 x 2y -6 _0经过区域M 则实数m 的取值范围是（D ）3「33A. （-口） B .15,：：C .,15） D. [—,15]5 •设二元一次不等式组x 2 「my 2 二 1 总(A ) -3(B ) -2(C) -1(D ) 27.如果实数 A. 2x - y 1 _0x 、y 满足条件 y • 1 _ 0 ，那么2x - y 的最大值为（x y 1 乞 0C.-3&在平面直角坐标系中，不等式组（一；为常数）表示的平面区域的面积是 4,则A . 2B . -2 C.-4x _09.设x, y 满足约束条件 y _ x，则4x 3y 叮2x 2y 3 x 1取值范围是（D ）A.[1,5]B.[2,6]C. [3,10]D.[3,11]x y 2 亠 011.设x, y 满足约束条件 』x+2y+1兰0，贝V z=(x+1)2+(y- 2)2的最小值是 ________________y >016答案：1653x —y —6 辽0,12.设x , y 满足约束条件 x 「y ^2_0,若目标函数z=ax+by(a . 0 , b 0 )的最大值为 x 亠0, y 丄0. 1 312,则丄的最小值为a 2b第二部分直线与圆的方程:•，且 sin ：：£ 亠 cos, - 0，则 a, b 满足(D )2.经过抛物线y 2 =4x 的焦点，且方向向量为 a =（1厂2）的直线I 的方程是（B ）A. x-2y-1=0 B . 2x y-2=0 C. x 2y_1=0D. 2x-y-2=03 .直线x - y • m =0与圆x 2 • y 2 -2x -1 = 0有两个不同交点的一个充分不必要条件是 （C ） A . -3 m ：： 1 B . -4 m ：： 2 C . 0 :: m :: 1 D . m 14.若圆x 2 + y 2— 4x —4y — 10= 0上至少有三个不同的点到直线 则直线l 的倾斜角的范围是(B )5.已知直线l 与直线x-y-1 = 0垂直，则I 的倾斜角〉=—. 1352 26.与直线x - y - 4 =0和圆x y • 2x -2y =0都相切的半径最小的圆的方程是 _________ .答案：(x-1)2+(y+1)2=2答案:25 121.设直线ax by • c = 0的倾斜角为 A . a b =1 Bab=0 D . a-b = 0l : ax + by = 0的距离为2 2 ,A .[二-]B12 4-益 52] C- F 7D . [0,-]27.已知圆C ： x 2 y 2 Dx Ey • 3 = 0 ,圆C 关于直线x • y ―仁0对称，圆心在第二象限， 半径为.2 .⑴求圆C 的方程；⑵已知不过原点的直线I 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线 I 的方程。
直线与圆知识点总结
直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
《直线和圆方程》课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
直线和圆的方程复习课PPT课件
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．
3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
返回
7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
网络课程内部讲义
直线、圆与线性规划教师：苗金利
“在线名师”→ 资料室 免费资料任你下载
直线、圆与线性规划
知识要点：
1、曲线与方程
2、线性规划
例题分析
例1、若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（A ）
73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34
例2、画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥−≥−+5
3006x y y x y x 表示的平面区域
例3、已知直线0ax by c ++=与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，且||3AB =，则OA OB ⋅=uuu r uuu r .
“在线名师”→ 答疑室 随时随地提问互动
例4、等腰直角三角形一条直角边所在直线方程为2y x =，斜边中点坐标为(4,2)，求另两条边所在
直线方程。
例5、直线,0382:=−−−m y mx l 圆020126:2
2=++−+y x y x C
（1）证明l R m ,∈与C 恒相交；
（2）m 取何值，l 被C 截得的弦最短，求此弦长。
例6、求与直线20x y −−=关于直线330x y −+=对称的直线方程.
例7、ABC Δ的一个顶点为(4,2)A −，两条中线所在直线方程为3220x y −+=和3512x y +−=0，
求直线BC 的方程.
例8、直线l 左移2个单位，在向上平移3个单位，恰好与原直线l 重合，求l 的斜率。
“在线名师”→ 资料室 免费资料任你下载
例9、原点O 和点(1，2)分别在直线03=+−m y x 的两侧，求实数m 的取值范围。
例10、直线12++=k kx y 与直线22
1+−
=x y 交点恒在第一象限内，求实数k 的取值范围。
例11、已知△ABC 中，顶点A （4，－1），其两个内角平分线方程分别为01=−−y x 和1=x ，求BC 边所在直线方程。
例12、直线过点P （2，3），被两平行线0743=−+y x 和0843=++y x 截得线段长为23，求此直线方程。
例13、直线过点P （2，1），与x, y 轴正半轴交于A, B 两点，O 为原点, 求满足下列条件的直线l 方程；
(1)△ABC 面积最小； (2)OB OA +最小； (3)PB PA ⋅最小； (4)AB 最小.
“在线名师”→ 答疑室 随时随地提问互动
例14、点A （1，4）发出的光线1l 射到直线2l ：02=−+y x 上被反射，反射线恰与圆2
1)1()3(22=
−+−y x 相切，求1l 方程.
例15、圆心在直线20x y −=上，与直线250x y ++=相切，并且截直线10x y −−= 所得弦长为2的圆的方程。
例16、圆1O 与圆2O 的半径都等于1，124O O =，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得2PM =
，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程。
例17、已知圆22(4)(3)5x y −+−=及点P （7，4），由点P 向该圆引两条切线，M ，N 为切点，(,)Q x y 是该圆上任一点。
（1）求
11y x +−的取值范围；（2）求2x y −的取值范围。
（3）求MN 所在直线的方程。