第1课时 完全平方公式
人教八年级数学上册《完全平方公式 第1课时：完全平方公式推导和计算》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(1) (p1)2=p21 (2) (m2)2=m22m+4 (3) (x+y)2=x2+y2 (4) (x+y)2=x2+2xy+y2 (5) (2x+y)2=x2+2xy+y2 (6) (m2n)2=m24mn+4n2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳 完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
猜想
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
多项式乘法法则 合并同类项
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
解： ∵ x2+kx+25=(x5)2 ∴ x2+kx+52=x210x+52 ∴ k=10
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
完
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
14.2.2完全平方公式(第一课时)
: “练”公式，学以致用
随堂练习：我自信 我成功
1. (4m+ n ) 2
2. (-4m - n )23.(源自2a+-1
2
)
2
4. (2a - 0.5)2
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
利用完全平方公式计算
(1) 1022
(2)992
中考链接
( 1 ) （ 3 x + 2 y ) 2 = 99x22 + 1 2 x y + 4 y 2 ( 2 ) ( 5 m - 4 n ) 2 = 2 5 m 2 - 4 0 m n ++1166nn22 (3) (4a+3b) 2=16a2 ++2244aabb +9b2 ( 4 ) ( 2 x - 8 y ) 2 = 4 x 2 --3322xxyy + 6 4 y 2
判断正误
判断下列各题是否正确，若错误加以改正：
(1) (2a+1)2＝4a2 +1+4a 千万不要漏项哦！
(2) (2a−1)2＝（2a）2−4a+1 此时记得加括号
（3）(3x−y)2＝9x2−y2
(a-b)2≠a2-b2
（4）(3x+2)2＝9x2+12x+4
“练”公式，学以致用
在阴影部分填一个式子，使等式成立：
图形验证公式
计算下图中红色部分的面积
b
b
a a
ab
b a
“说”公式，提炼提升
(a+b)2 =a 2+2ab+b2 (a- b)2 =a2-2ab+b2
人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(第一课时)
(2)理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b，它们可以 表示具体的数，也可表示单项式；
(3)运用完全平方公式的口诀为：首平方、尾平方，首尾 2倍在中央，中间符号看首尾．
2．利用完全平方公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab． 3．计算一些大数的平方时，关键是把已知数的底数拆成
(6)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2．
解：原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-(2y)2 =-4y2．
9．先化简，再求值： (1)(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a=-1，b=2；
解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2 =4ab+5b2． 当a=-1，b=2时， 原式=4×(-1)×2+5×22=12．
(3)(2x-y)2(2x+y)2； 解：原式=[(2x-y)(2x+y)]2 =(4x2-y2)2 =16x4-8x2y2+y4；
(4)9x(x+1)-(3x-1)2；
解：原式=9x2+9x-9x2+6x-1 =15x-1；
(5)(2x-4y)2+(4y-2x)2； 解：原式=(4x2-16xy+16y2)+(16y2-16xy+4x2) =8x2-32xy+32y2；
11． (1)若(a-b)2=9，ab=2，则(a+b)2= 17 ;
(2)若(x+y)2=11，(x-y)2=7，则xy的值为 1 ;
14.2.2第1课时完全平方公式 课件 2024-—2025学年人教版数学八年级上册
课堂训练
4.（2021•台湾）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ C ）
A．2482+248×52+522=3002 B．2482-248×48-482=2002 C．2482+2×248×52+522=3002 D．2482-2×248×48-482=2002
课堂训练
5.（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2=4x2-2（m-1）xy+16y2，则m的值 为 -7 ． 【解析】（2x+4y）2=4x2+16xy+16y2，∴-2（m-1）=16，解得m=-7.故
2
解：原式=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2
=-2x.
当x=
1 2
时，原式=-2×（
1 2
）=1．
课堂训练
8.利用乘法公式计算：982-101×99.
解：原式=(100-2)2-(100+1)(100-1) =1002-400+4-1002+1 =-395.
课堂训练
9.(1)已知x+y=8，xy=12，求x2-xy+y2的值． 解：∵x+y=8，xy=12，x2-xy+y2=（x+y）2-3xy ∴x2-xy+y2=82-3×12=64-36=28．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式及其结构特征.（重点） 2.理解完全平方公式的探索及推导过程，灵活应用完全平方公 式进行计算和解决实际问题.（难点）
1.6第1课时完全平方公式的认识(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握完全平方公式的结构特点及其应用。
（2）运用完全平方公式进行代数式的化简和求值。
（3）将实际问题转化为数学问题，运用完全平方公式求解。
举例：
-重点1：完全平方公式（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2的结构特点，强调“首平方、尾平方、二倍中间放”的记忆方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解完全平方公式的概念。完全平方公式是指(a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2的结构，它在代数运算中具有重要的地位，可以帮助我们简化计算和解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个矩形的面积，我们展示完全平方公式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索完全平方公式的推导过程，学会运用严密的数学逻辑进行推理和验证。
2.提高学生的数学建模能力，能够将实际问题转化为数学问题，运用完全平方公式进行求解。
3.增强学生的数学运算能力，熟练运用完全平方公式进行代数式的化简和求值。
4.培养学生的数据分析能力，通过解决实际问题和课后练习，学会分析数据，发现规律，提高解决问题的策略。
在教学过程中，教师要针对这些重点和难点进行深入讲解和示范，通过多种教学方法和手段，帮助学生透彻理解完全平方公式的本质和应用，从而突破学习难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“完全平方公式”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决二次方程的问题？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
北师大数学七下课件第1课时完全平方公式的推导及简单应用
第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究问题二 完全平方公式的拓展与应用
例 3 [高频考题] 还记得完全平方公式(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 吗？当 a，b＞0 时，完全平方公式可以用图①来 说明． (1)对图②进行适当的分割，猜想出(a＋b＋c)2 的展开形式，并 给出其推导过程； (2)通过求解本题，你有哪些收获？
重难互动探究
探究问题一 完全平方公式 例 1 [高频考题] 计算：(1)(3a＋2b)2； (2)(mn－n2)2.
第a＋2b)2 ＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2 ＝9a2＋12ab＋4b2. (2)(mn－n2)2 ＝(mn)2－2·mn·n2＋(n2)2 ＝m2n2－2mn3＋n4.
[归纳总结]用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分 的面积之和表示．这是求解与探究数学问题中常用的思路．
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究新知
► 活动1 知识准备
计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2_＋__2_p_q_＋__q_2_____； (2)(m＋2)(m＋2)＝__m_2_＋__4_m_＋__4_________； (3)(x－y)(x－y)＝___x_2－__2_x_y_＋__y_2___________．
图中正方形的边长为a＋b＋c， 那么面积可表示为(a＋b＋c)2， 各部分的面积之和表示为a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (2)任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们 两两乘积的2倍．
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
14.2.2 第1课时 完全平方公式
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝a2ຫໍສະໝຸດ 2ab＋b2②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
总结反思
知识点 完全平方公式 公式：(1)(a＋b)2＝__a_2＋__2a_b_＋_b_2___； (2)(a－b)2＝__a_2－__2a_b_＋_b_2___． 文字表述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的____2____倍．
图14－2－2 (1)大正方形的边长是__a＋__b__，大正方形的面积是 (a＋b)2 ________．
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
(2)阴影部分的正方形的边长是____a____，它的面积是 a2
________；另一个小正方形的b 边长是________，它b的2 面积是
________；另外两个小长方形a 的长都是_______b _，宽都是
(2)9.82.
解：(2)9.82 ＝(10－0.2)2 ＝102－2×10×0.2＋0.22 ＝100－4＋0.04 ＝96.04.
【归纳总结】利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是 把底数拆成两数和或两数差的形式．
目标三 理解完全平方公式的几何背景
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
例 3 教材例 4 针对训练 计算：
(1)(60610)2；
(2)9.82.
[解析] (1)中 60610可写成 60＋610；(2)中 9.8 可写成 10－0.2.
(1)(60610)2；
解：(1)606102 ＝60＋6102 ＝602＋2×60×610＋6102 ＝3600＋2＋36100 ＝360236100.
完全平方公式与平方差公式(第1课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的 符号，避免漏解．
二 完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2－ 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它 们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符号 看前方.
【例2】用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；
（2） (2x－7y)2； （3） (－2a－5)2.
用语言叙述为：两项和的平方,等于这两个项的平 方和加上它们的积的2倍.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
议一议
【例1】计算：(a－b)2．
解：(a－b)2 ＝ [a+(－b)]2
＝ a 2 + 2 a (－b) + (－b) 2 ＝a2－ 2ab＋ b2.
(a－b)2=a2－2ab＋b2
也称为完全平方公式.
公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
想一想: 你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗?ba ab 图1b ab a 图2
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
15.2.2完全平方公式(第1课时).doc
§15.2.2完全平方公式主备人许冬荣预习自测：1.两数和（或差）的平方，等于它们的加（或减）它们的 .2.()2-= .a b+= . ()2a b3. ()23y-= .x+= . ()254.()21--= . ()2a+= .4m n5.x2+4x+ =（x+2）2. 9x2+ +49y2=（3x-7y）2..一、学习目标: 经历探索完全平方公式的推导过程；会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的运算；培养自己的思维条理性和表达能力．重点：完全平方公式的灵活应用。
难点：完全平方公式的推导过程、结构特点.二、预习提纲：1.根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 =__________________.2.思考并完成P153的探究⑴（p+1）2=（p+1）（p+1）=___________；⑵（m+2）2=__________；⑶（p-1）2=（p-1）（p-1）=____________；⑷（m-2）2=__________.结果中有两个数的________，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数____的______,计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___你发现了：_____________________________________________________ .用公式表示为：_____________________ ,这个公式叫做______________.3.完成P154的思考______________________________________________.4.细读P154的例3、4，完成P155的练习1解：⑴___________________________⑵_____________________________________________________ ___________________________⑶__________________________⑷_____________________________________________________ __________________________5.完成P155的思考，完成P155的练习2解：⑴__________________________⑵_____________________________________________________ __________________________三、讨论与交流要求：以小组为单位对预习提纲的内容展开交流，并准备展示内容.四、展示与点评要求：以小组为单位对预习提纲的内容进行展示，其他小组进行质疑、点评，教师做适当补充.五、当堂检测：A 组：1.下列计算正确的是（ ）A ．（m-1）2=m 2-1B ．（x+1）（x+1）=x 2+x+1C ．（12x-y ）2=14x 2-xy-y 2 D ．（x+y ）（x-y ）（x 2-y 2）=x 4-y 42.（1）（-3x+4y ）2=_________（2）x 2-4xy+________=（x-2y ）2．3.将正方形的边长由acm 增加6cm ，则正方形的面积增加了（ ）A ．36cm 2B ．12acm 2C ．（36+12a ）cm 2D ．以上都不对4.（1）（-2a-b ）2=_________ （2）a 2+b 2=（a+b ）2+_________． （3）-x 5( ）2= 4210y xy +-.B 组：5.运用完全平方公式计算：⑴ 2)4(y x - ⑵ （y-12）2 ⑶2)1(x x +⑷ )3)(3(b a b a --+ ⑸2104 ⑹299.996.计算 （1）（x+3）2-x 2 （2）（x+5）2 -（x-2）（x-3）C 组：7.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？224139y xy x +-，442+-x x ,2161a +，12-x , 22y xy x ++8.如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？六、小结：你学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨论交流。