不等式与不等式组小结—教学设计及点评 (1)

基于核心素养的《不等式与不等式组》单元教学设计一、基于核心素养的单元目标分析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.本单元通过梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，可以帮助学生通过类比来理解等式与不等式的共性与差异.根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版）》中课程内容的安排、学生的实际学情、数学建模素养、数学运算素养等的达成要求，将本单元的教学目标制定如下：1.了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型.2.通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法.3.了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为x>a或x<a的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴含的化归思想.4.了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集.上述目标的关键是要使学生经历建立一元一次不等式这样的数学模型并应用其解决实际问题的过程，体会不等式的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，这是本单元的中心任务.二、内容分析（一）数学视角分析1.初中《不等式与不等式组》的主要内容及其地位本单元的主要内容包括：不等式及其解集，不等式的性质，一元一次不等式（组）及其相关概念，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式分析与解决实际问题.其中，以不等式为工具分析问题、解决问题是重点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能.本单元注重体现列不等式中蕴含的建模思想和解不等式中蕴含的化归思想.以下框架图可以将本单元课程的主要内容系统地展示出来.为明确教学内容的结构特征，了解学生的学习特征，能更准确地达成知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个维度，根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版）》中课程内容的安排，结合本单元的教学目标，将本单元的教学“四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）”分类如下：在知识技能方面，结合“四基”分类，在进行本单元学习时，体验从具体情境中抽象出不等式的过程，理解不等式；掌握必要的运算技能；探索具体问题中的数量关系，掌握用不等式进行表述的方法.在数学思考方面，要鼓励学生的创新思考，学习用不等式表述数量关系的过程，体会数学模型化思想，建立符号意识；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.在问题解决方面，要加强学生的数学实践，初步学会在具体的情境中以数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法分析、解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论；能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.在情感态度方面，要培养学生的理性精神，利用学生的好奇心和求知欲，感受成功解决不等式问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心；运用不等式表述和解决问题，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值；敢于发表自己的想法，勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度，体现“数学育人”.不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础.本单元在学生学习了一元一次方程、二元一次方程（组）的基础上，开始研究简单的不等关系.通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的，面对大量的同类量，最容易使人想到的就是它们有大小之分.在此之前，学生已初步经历了建立方程模型解决一些简单的实际问题的“数学化”过程，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验，以此为基础展开不等式的学习，顺理成章.2.教学策略分析《普通高中数学课程标准（实验）》提出：学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、预阅读自学等都是学习数学的重要方式.调查发现，学生的学习方式呈现多样化，学生逐渐接受了自主、探究、合作交流的学习方式，接受式学习、自主学习、探究学习、合作交流等是学生经常采用的学习方式.根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版）》中课程目标，课程内容的安排，结合本单元的教学目标，对本单元的教学方式做以下分析：首先，数学教学活动重心应从关注教转到关注学.教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，教师教学方式运用的落脚点最终是提高学生的自主学习能力，使学生学会学习，自觉地发展数学学科核心素养.其次，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式.教师要善于根据不同的内容和学习任务采用不同的教学方式以及多元化的学习形式组合，以优化教学，增强学习实效.本单元中涉及大量实际情境，抽离出所蕴含的不等关系既是重点又是难点，根据不同情境，要采用不同的教学方式，如：阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等.最后，要加强“学法”指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯.初中数学学习除了预习、复习、练习等方法外，还应包括在特定学习任务情境中观察、阅读、提问、纠错、反思、梳理、总结、表达、交流等方法.此外，教师还应根据自身教学经历和学生学习的个性特点，引导学生总结出一些具有针对性和个性特点的学习方式，根据不同学生的特点给予方法指导.3.不等式知识贯穿于学生学习的各个阶段在学习了一元一次方程、二元一次方程组之后，本单元又学习了一元一次不等式（组），学生对这些以线性运算为基础的数学模型有了较为完整的认识，他们有足够的知识储备和认知能力来探讨这些模型之间的关系，为学生学习一次函数打好基础.使学生能认识到一次函数图象与x轴交点的意义，并能用图象法求一元一次不等式的解集，体会模型转化的过程.从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用对学生在数与代数部分的学习有重要意义.4.不等式的数学教育价值4.1有利于数学思想方法的渗透不等式的学习中蕴含着丰富的数学思想，有类比思想、分类讨论思想、化归思想、数学模型化思想、数形结合思想、交集思想等.4.2有利于学生体会数学与生活的关系本单元的教学过程中提供了丰富的实际情境，将实际问题作为大背景贯穿始终，这些都为学生探索实际问题中的不等关系提供了生动、丰富的背景.通过研究这些问题，可以发展学生的符号意识，由实际问题抽象为不等式并表示出来，既培养了学生的动手实践能力，又有助于学生数学学习兴趣的培养.进一步提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，使学生更加深刻地体会到“数学来源于生活，又服务于生活”的数学观.（二）不同版本教材对比分析结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》，将人教社版七年级下册《第九章不等式与不等式组》与北师大版八年级下册《第二章一元一次不等式与一元一次不等式组》进行对比分析.1.从单元课程目标来看，两个版本的教材都是基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，既注重知识的前后联系，又强调通过比较来认识新事物.人教社版七年级下册《第九章不等式与不等式组》课程安排：9.1 不等式9.2 一元一次不等式9.3 一元一次不等式组数学活动小结北师大版八年级下册《第二章一元一次不等式与一元一次不等式组》课程安排：1 不等关系2 不等式的基本性质3 不等式的解集4 一元一次不等式5 一元一次不等式与一次函数6 一元一次不等式组回顾与思考2.从教材编排的整体结构来看，两个版本的教材有区别.人教社版本单元内容安排在七年级下册，在学生学习过一元一次方程、二元一次方程组之后进行，注重类比，做好从方程到不等式的迁移.将不等式与函数之间的联系放在了一次函数（八年级下册）的单元学习中.北师大版本单元内容安排在八年级下册，在学生学习过一元一次方程、二元一次方程组、一次函数之后进行，通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系，让学生初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.三、学习者分析学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三，知道不等式的概念；第四，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力和合情推理能力等.学生认知的主要障碍是：第一，探索不等式性质2、3时，由于学生思维的片面性，会产生考虑不到不等式两边乘或除以同一个负数的情况；第二，学生对化归思想有所体会，但理解还不够深刻，对于把形式较复杂的一元一次不等式转化为x>a或x<a的形式，还有一定的难度；第三，如何从简单的实际情境中出发，抽象出隐含在简单的实际情境中的数量关系之间的不等关系，来列一元一次不等式（组）.对于刚进入初中的学生，形象思维能力要强于逻辑思维能力，合情推理能力要胜于演绎推理能力，数学语言的使用能力较弱，针对此情况，主要解决策略是：第一，在认识一次方程（组）的基础上，通过类比的方式接受新知识——一元一次不等式（组），充分发挥心理学所说的正向迁移的作用，可以起到很好的温故而知新的效果；第二，要充分关注本单元的基本知识和基本技能，在内容安排时，采用了“概念——解法——应用”的结构，对基础知识安排必要的、适量的练习以发展基本能力，对于理解和掌握后续知识的学习有很大的帮助；第三，对于学生的认知障碍，在教学难点的突破上要有侧重.例如：对于不等式性质3的探索及其理解过程中，可以对比不等式性质2进行；对于一元一次不等式的解法，可以类比解一元一次方程，获得解不等式的步骤；对于解决实际问题，需要正确地理解问题情境，分析其中的不等关系，对比用方程思想表示数学模型和解决实际问题的步骤，体会用不等式解决实际问题的过程等.四、重点分析了解不等式的意义，探索不等式的基本性质，了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为x>a或x<a的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集，能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的问题.五、难点分析1.不等式的解与不等式的解集之间的关系；2.不等式的性质2与性质3的探索与理解；3.解一元一次不等式步骤的确立，在数轴上表示其解集；一元一次不等式组解集与一元一次不等式解集的联系，如何借助数轴确定一元一次不等式组的解集；4.如何从实际问题抽象出不等关系，建立不等式模型进行求解.六、《不等式与不等式组》单元教学学习活动设计（以义务教育数学课程标准（2011年版）人教社版《义务教育教科书·数学》为例）基于上述分析，教学中可以设计适宜的问题情境，激发学生学习的兴趣；通过类比方程中的等量关系，更好地理解不等式中的不等关系；类比解一元一次方程的步骤，总结解一元一次不等式的步骤，并利用数轴，通过数形结合，得出不等式和不等式组的解集；也要注重信息技术，使用计算机辅助教学；还可加强社会实践活动，培养学生应用意识和创新意识.本单元的教学课时计划：本单元学习活动：七、典型课堂教学设计案例展示（以义务教育数学课程标准（2011年版）人教社版《义务教育教科书·数学》为例）《第九章不等式与不等式组 (复习1)》教学设计及说明（甘肃省嘉峪关市实验中学李鹏飞）课题第九章不等式与不等式组（复习1）教材版本人民教育出版社义务教育教科书数学七年级下册授课类型单元知识梳理整合课课时安排2课时第一课时 (45分钟)教学方法教法：教师引导启发式教学学法：学生自主探究、合作交流、评价反思学习教学用具多媒体课件、课堂任务单课标解读1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 教学理念在教学的建构中，以教师为主导，以学生为主体，充分调动学生的积极性，发挥学生的创造性和主观能动性，让学生“自主、合作、探究、创新”地学习，我的课程将以“面向全体学生，培养学生数学素养”的宗旨实施，体现新的学生观和学习观.我将结合学情，预设目标，并体现学生的差异性，期望更多的课堂生成，及时评价，引导学生的互评，更关注对学生的发展性评价，构建动态的课堂，师生、生生在合作中相互学习，引发智慧和思维的碰撞，在碰撞中实践，在实践中反思，在反思中达成，在达成中分享，在分享中成长，最终实现“有效、高效、魅力”的课堂.教材分析本章位于人教版《数学》七年级下册P113——133，主要内容包括：不等式及其解集，不等式的性质，一元一次不等式（组）及其相关概念，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式分析与解决实际问题.其中，以不等式为工具分析问题、解决问题是重点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能.本章注重体现列不等式中蕴含的数学模型化思想和解不等式中蕴含的化归思想.学情分析七年级的学生生理和心理上都处于迅速成长期，精力旺盛，接受新知识和独立学习能力有所增强，但数学学习能力还尚待培养，因此在教学中需注重趣味性与学科严谨性、科学性相融合，因此在本课学习中，主要通过教师引导、自主探究、小组合作、互动交流的模式，来让学生观察、类比、分析、归纳、总结第九章所学的数学知识和数学思想.教学目标1.了解不等式及其解集；2.理解不等式的性质；3.掌握一元一次不等式（组）及其相关概念，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示；4.利用一元一次不等式分析与解决实际问题.在本章注重体现从实际情境中抽离出不等关系，列不等式中蕴含的数学模型化思想；解不等式中蕴含的化归思想；利用数轴确定和表示一元一次不等式（组）的解集，体现了数形结合思想；在解决简单的实际问题中，针对方案选择问题时，用分类讨论思想得以解决.本章以不等式为工具分析问题、解决问题是重点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，通过解决实际问题，让学生们体会协作式学习的好处，培养学生乐于了解数学，应用数学的态度，在与学习伙伴的交流中增加自信，体现数学“育人”.教学重点不等式解与解集之间的关系，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示.根据这一阶段学生认知能力，对比方程的解，能类比理解不等式的解的概念，但是在理解所有的解组成了不等式的解集这一概念上会有困惑，从而确立为教学重点；对比等式的性质，学生不能很好地理解不等式的性质3，所以设置为教学重点；解一元一次不等式（组）是本单元的技能目标，所以设置为教学重点. 教学难点一元一次不等式的解法及其解集的几何表示；一元一次不等式组的解法，如何利用数轴确定其解集；利用一元一次不等式分析与解决实际问题.从学生的认知层面分析，利用数轴表示一元一次不等式的解集，将几个一元一次不等式解集的公共部分确定一元一次不等式组的解集，学生在理解上有难度，所以确立为教学难点；如何从实际问题出发，抽象出隐含在实际问题中的数量关系之间的不等关系，来列一元一次不等式（组）是这一阶段学生的学习障碍，所以设立为教学难点，让学生对数学模型化思想的流程更加熟悉.教学过程活动一梳理本章知识结构教师以知识树的形式展示本章知识结构，引出课题.学生通过观察知识树，对本章所学知识有了直观的回顾.（设计意图：设计本章内容的知识树，旨在调动学生回忆已经学习的相关概念，达到对本章知识复习回顾的目的，为学生梳理章节知识结构提供了一种思路，也为课后巩固1的安排做了铺垫.）活动二复习不等式、不等式性质、一元一次不等式提问相关概念.学生可以通过回顾所学、课件展示、课堂任务单回答相关概念.题目1的判断.1.下列各式哪些是不等式？(1)−4<0 (2)3x+5y<0 (3)y+y2 (4)y=3 (5)m2>4 (6)1−x3−x+36<1一列学生快速回答.（设计意图：设计本环节活动，借助多媒体课件、课堂任务单以提问方式复习梳理不等式的相关概念，避免要逐一书写介绍的繁琐.）题目2的判断（在题目1的基础上追问）.2.下列各式哪些是一元一次不等式？(1)−4<0 (2)3x+5y<0 (5)m2>4 (6)1−x3−x+36<1请一位学生回答（同时复习一元一次不等式的概念）.题目3的判断（在题目1、2的基础上追问）.3.解这个一元一次不等式.(6)1−x3−x+36<1学生回忆解题步骤，自主探究完成解答.请同学展示解题过程，并自述解题的过程中要注意些什么，其他同学思考并评价.（设计意图：以问题串的形式既复习了概念，又呈现出知识之间的联系；解题过程的对错既是技能目标达成的检测，又是自我评价的契机.）依据题目3的解题过程，复习不等式的性质，找到关键步骤的解题依据（展示不等式的性质）.题目4（不等式的性质应用）.4.已知不等式a>b，用“>”或“<”填空.(1)3+2a3+2b(2)−4a−4b学生自主思考，合作交流，分享答案.题目5（应用不等式的性质），请学生分析解题的突破点.5.若将不等式mx>m的两边同除以m，得到x<1，则m满足的条件是 .学生自主思考，合作交流，分享答案，总结题目的突破点.变式训练（在总结题目5的突破点后，尝试应用）.变式训练解不等式(a−1)x>a−1，得到x>1, 则a的取值范围是 .（设计意图：根据题目3，复习了不等式的性质；题目4简单应用不等式的性质，过渡到题目5，总结解题突破点既是变式训练的解题依据，同时达成知识技能目标，又是数学思考的升华.）活动三复习一元一次不等式组情境呈现（体验从实际问题中抽离出数学知识）.情境呈现七年级（9）班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：假如我把63本书分给各个小组,若每组7本,还有剩余;若每组9本,却又不够.你知道该分几个小组吗?学生自主思考，合作交流，分享答案.题目6（梳理解一元一次不等式组的步骤，明确数轴在确定解集时的作用）.6.解不等式组{4x+5≤3(x+2),x−15<x3.并求出这个不等式组的整数解.学生自主思考，合作交流，分享答案，感受数轴在确定解集时的直观体现.题目7（借助数轴解决含有字母参数的问题，提高问题解决的能力）.7.如果不等式组{x <3 ,x >m无解，那么m 的取值范围是( ) A.m >3 B.m ≥3 C.m <3 D.m ≤3学生自主思考，合作交流，分享答案（可能会有不同答案，此时教师操作数轴教具，让学生感受数轴在确定解集时的直观体现）.变式训练（让学生体验数轴教具，直观感受数形结合带来的便捷性）.变式训练 如果不等式组{x >3 x >m的解集是x >3，m 的取值范围是( ) A.m >3 B.m ≥3 C.m <3 D.m ≤3学生类比题目7，自主思考，合作交流，分享答案（可以选择让有困惑的学生操作数轴教具，感受数轴在解决含有字母参数问题时的直观性）.（设计意图：结合情境呈现，经历从实际情境抽离出不等式（组）解决实际问题的过程，感受数学模型化思想；通过解一元一次不等式组的题目练习，达成技能目标；含参量问题是难点，学生的意见不统一时，选择用数轴教具帮助学生分析并感受临界点的选择，体验数形结合思想，再通过变式训练，让学生加深感受，达成问题解决目标.）活动四 优化方案选择，学以致用优化方案（选择与生活息息相关的实际情境，让学生感受数学源于生活，同时通过问题解决的过程，让学生明白数学可以服务于生活）.优化方案 “双11”到来，某商场推出两种优惠方案：第一种：办理会员，缴纳卡费200元，消费任意金额打7折；第二种：不办理会员，消费任意金额打9折；请问：如何选择能更加优惠？。