数学建模_微分方程的解

函数的
初值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算 法
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
y(xi1 ) y(xi )
xi 1 xi
f
(t,
y(t))dt

xi1 2
xi
[f
(xi , y(xi ))
f
(xi1 ,
y(xi1 ))]
故有公式：

yi1

yi

h 2
[
f
(
xi (xi1 , yi1 )]
y0 y(x0 )
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
To Matlab（ff2）
结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）
例 3 求微分方程组的通解.

dx
dt dy
dt dz

2x 4x 4x

3y 5y 4y

3z 3z 2z
dt
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；
To Matlab（ff3）
结 果 为： x =C2*exp(-t)+C3*exp(2*t) y =C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z =C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1
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（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 函数 量值 值
ode45 ode23 ode11 3ode1 5sode
23s(用 这些代 替
solver)
由待解 方程写 成的m文件名
ts=[t0，tf]，
t0、t f为自 变量的初 值和终值
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
故有公式：
y'(x) y(x h) y(x) h

yi1 yi y0 y(x0 )
hf
(
xi
,
yi
)
i 0,1,2,, n -1
此即欧拉法。
2、使用数值积分
对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：
y) ，其数值解是指由初始点x y0
0
开始
的若干离散的x值处，即对x0 x1 x2 xn，求出准确值y(x1),
y(
x2
),,
y(
xn
)
的相应近似值y1
,
y
2
,,
y
。
n
（二）建立数值解法的一些途径
设 xi1 xi h, i 0,1,2,n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
注意:
1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解 方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶
微分方程组.
例4

d2x dt 2
1000(1

x2
)
dx dt

x

0
x(0) 2; x'(0) 0
第八讲 微分方程的解
微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程 d 2 y 0 应表达为：D2y=0.
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微分方程的数值解
（一）常微分方程数值解的定义
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而 在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近 似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。
因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
对常微分方程：yy(' x0f)(x,
然后继续下一步 yi2 的计算。
此即改进的欧拉法。
3、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。
4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h
为步长），称它是一个k阶公式。
k越大，则数值公式的精度越高。
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 •龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 •线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。
dx 2 例 1 求 du 1 u 2 的通解.
dt 解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结 果：u = tg(t-c)
To Matlab（ff1）
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y 4 dy 29 y 0 dx2 dx y(0) 0, y' (0) 15
解: 令 y1=x，y2=y1’
则微分方程变为一阶微分方程组：

y1' y2

y2
'

1000(1

y12
)
y2

y1
2 1.5
1
y1(0) 2, y2 (0) 0
0.5 0
1、建立m-文件vdp1000.m如下：
-0.5
-1
function dy=vdp1000(t,y)
-1.5

y
(0) i 1

yi
hf
(xi ,
yi )

y
(k 1) i 1

yi

h[ f 2
(xi , yi )
f
(
xi1
,
y (k ) i 1
)]
k 0,1,2,
对于已给的精确度
，当满足
y (k 1) i 1

y (k ) i 1
时，取 yi1
y（ik11），
dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2);
-2 -2.5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
2、取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')