函数增长速度比较总结
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
1200
对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算 器满,足可1以.0知02道x0=在5,由区于间它(80在5,区80间6)[内10有,1一00个0]上点递x0 增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合 要求;
5
4 3y=㏒7x2100
500
1000
当x比较大时，y=2x比y=x2增长得更快。
5、在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足 够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来 越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
因此,总会存在一个x0， 使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.
练习
2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x 的增长情况. y=x4 y y=4x
y=log4x
x
小结 比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
O (1,0)
x
幂函数
3.当x＞0，n＞0时，幂函数y=xn是增函数， 并且对于x＞1，当n越大时，其函数值的 增长就越快。
y=x2 y y=x4
6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
y 3x
y 2x
y
O (1,0)
y=log2x y=log3x y=log5x
x
y=x2 y y=x4
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
高中数学(人教B版)必修第二册：增长速度的比较【精品课件】
(3)
1
1 2 1 4 1 2
, 2 , 4 可分别视为函数()
4
1
2
= ,() =
1
,ℎ()
2
在同一坐标系内分别作出这三个函数的图象,由图象易知
1
4
1
= 2,当 = 4时的函数值,
>
1
4
>ℎ
1
4
1
,即
1 4
2
1
>
1 2
4
>
1 2
.
4
反思
感悟
反思感悟
1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数
4
81
64
1.261
5
243
125
1.465
其中符合指数函数变化的函数是
6
729
216
1.630
1
7
2 187
343
1.771
8
6 561
512
1.892
…Hale Waihona Puke ……….
解析 (1)在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数 = 5 ,故选D.
(2)通过观察、猜想、归纳,函数1符合指数函数的变化.
4.55 < 5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型 = 7 + 1奖励时,奖金是否超过利润的25%,即当∈[10,1 000]时,利用计算器或
计算机作() = 7 + 1 − 0.25的图象(图略),由图象可知()在[10,1 000]上是减少的,因此
解析 由于指数函数增长迅速,而对数型函数增长缓慢,因此满足先上升后下降再上升的是() =
函数增长级别
函数增长级别1、阶乘函数阶乘是比指数函数快的函数中增长最慢的。
因为指数函数的增长一直都是以底数的倍数，而阶乘函数的增长是以自然数列为倍数。
0！=1,1！=1,2！=2,3！=6,……n！=n(n-1)！必有3x！>2^x。
2、幂指函数幂指函数就是y=x^x，增长稍快于阶乘，阶乘要从1出发，而幂指直接以底的底次方增长，显然快于阶乘函数。
但是3x！>x^x，而x^x>x！3、幂函数指数函数指y=x^x^n，增长比幂指函数快，其中指数以幂函数的速度增长，而指数函数的指数只是以自然数列增长，说明该函数增长比幂函数快的多。
上面那三个增长率还是菜鸟，还是看下面的。
4、超乘方函数指的是y=x↑↑n，也就是y=x^x^x^x^……^x(n个x相乘方)，其增长速度比幂函数指数函数快。
当n=4,x>3时，该函数值用计算机算不出来。
5、超指数函数指的是y=a↑↑x(a>=2)，x=2时。
y=a^a,x=3时，y=a^a^a,以此下去，超指数函数速度比超乘方要快，y=2↑↑x,x>6,计算机算不出来，而且2↑↑6>1000↑↑3。
6、阶幂函数。
n！(上标)=n^(n-1)^(n-2)^……^2^1，n！=n^(n-1)！阶幂函数的增长率实际上跟超指数是一个等级。
但是3↑↑x已经可以盖往阶幂，而2↑↑x比不过阶幂。
7、阿克曼函数和高德纳函数。
阿克曼函数就是A(m,n)，增长率高，A(4,3)计算机算不出来，实际上阿克曼函数A(m,n)=2(第m级运算)(n+3)-3=2↑(m-2)(n+3)-3，当然，A(a,x)的增长率显然远远不及A(x,a)。
最新湘教版高中数学《几种函数增长快慢的比较》教学课件
一 几种函数增长快慢的比较
当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数y=logax都是增函数；我们早已熟 悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0时是［0，+∞) 上的增函数. 这些函数的函数值y都随着自变量x的增长而增长．
增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长．同为增长， 但增长的快慢可能不同．这好比赛跑，有冠军亚军，也有排不上名次的．
一 几种函数增长快慢的比较
可见，当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大， 只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多.
类似地，C组的函数总比D组增长得快． 总之，指数增长最快，对数增长最慢．
在区间(0，＋∞)上，a>1， a>0，总会存在一个x0，当x> x0时，就有logax<xa<ax.
一 几种函数增长快慢的比较
同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓． 从图4.5-2(1)看出，A组内，a越大跑得越快；E组内，a越小跑得越快． 从图4.5-2(2)看出，B组和D组一起比赛，都是α越大跑得越快．
图4.5-2
一 几种函数增长快慢的比较
现在来看C组，一次函数y＝kx＋b (k>0). 如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常 数．起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变．从图象上看，是两条平行直 线． 如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的跑得就快．不管起跑时落后 有多少，系数大的总能后来居上，而且将遥遥领先．在方格纸上画几个一次函数的 图象便能看出这个规律. 小组选拔赛的情形一目了然．组与组之间的比赛呢？ 上面已经对B，D两组做了比较．
几种函数增长快慢的比较正式版.pdf
x在
4
[0 ， +∞）上的图象，说明
在不同区间内， 函数增长的
师：增函数的共同特点是函数值 y 随自变量 x 的增长而增长， 但不同 函数在同一区间内的增长快慢是 否相同？
快慢情况 .
师 生 合作 观 察 研究 函 数
提出问题 引入课题
在同一坐标中函数图象如
下 y
x y
4
y yx
结论O ：若 0＜ x＜1166 则 x
较它们的增长情况： （ 1）y=0.1ex–100,x∈ [1,10] ； （ 2）y=20ln x+100, x∈ [1,10] ； （ 3） y=20x, x∈ [1,10].
由图象可以看到， 函数（ 1）以“爆
进一步熟悉 函数增长快 慢的比较方 法及步骤 .
炸”式的速度增长；函数（ 2）增
长缓慢，并渐渐趋于稳定； 函数（ 3） 以稳定的速率增加 .
x x
4
若 x＞ 16 则 x x 4
x y 与y
4
x 的增长快慢 .
① x∈ (0，16)时， y x 的图象在
x y 图象上方
4 可知 y x 增长较快
② x (16, ) 时， y x 的图在 x
y 图象下方， 4
由问题 引入课题， 激 发学习兴趣 .
可知 y
x 增长较快
4
幂、指对函 数增 长快 慢比 较形 成比 较方 法.
②作图
logax (a＞1) 的增长速度则会 越来越慢 . 因此，总会存在
一个 x0，当 x＞ x0 时，就有
log
ax
＜
xn＜
a
x
.
③结论 x∈(0，2)时 2x＞ x2，x∈ (2， 4)时， 2x＜ x2，x∈ (4, ) 时 2x＞ x2
不同函数的增长速度
在更大范围内观察 y 2x , y x2 的增长情况。
列表：
x 01 2 3 4 5 6 7 8…
y 2 x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y x 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 …
点击观察图象
观察数据表
y 1.13E+15
y 2x
1.10E+12
由图象可以看到，函数（1）以爆炸式的速度 增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定； 函数（3）以稳定的速率增加。
讨论函数： (以a 1 , n 2为例.)
2 y a x (0 a 1), y log a x(0 a 1), y xn (n 0)
在区间（0，+∞）上的衰减情况。
a x 因此总存在一个
loga x < n
x0，当X>
< x.
x0时，就会有
练习：在同一个直角坐标系内作出下列函数的图象，
并比较它们的增长情况：
⑴y 0.1ex 100, x [1,10]; ⑵y 20 lnx 100, x [1,10]; ⑶y 20x, x [1,10].
观看三个函数的图象
y x2
o
50
100
X
一般地，对于指数函数 y ax（a >1)
和幂函数 y xn (n >0)，可以发现，在
区间（0，+ ）上，无论n比a大多少，
尽管在x的一定范围内， 会a小x 于 ， 但由xn于 的增长a快x 于 的增长xn，因此
总存在一个 ，当X>x0 时，就会x0有
> 。a x、对数函数的增长差异性
2、数学思想与方法： ①注意信息技术的使用 ②培养类比联想能力
幂函数对数函数指数函数增长速度比较
幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。
这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。
下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。
一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。
当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。
幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。
例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。
另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。
二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。
对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。
例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。
三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。
指数函数随着x的增大而快速增加。
例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。
比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。
2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。
例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。
3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。
例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。
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函数增长速度比较总结
函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的关系和规律。
而函数的增长速度则是衡量函数增长的快慢以及趋势的指标。
在数学和计算机科学领域，我们常常需要比较不同函数的增长速度，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将总结几种常见的函数增长速度，并进行比较和讨论。
一、常数函数
常数函数是指函数的输出在任何输入下都保持不变。
它的增长速度非常稳定，不论输入的大小如何，输出都保持不变。
因此，常数函数的增长速度是最慢的，即O(1)。
二、线性函数
线性函数是指函数的输出与输入之间存在着一种简单的一比一的关系。
线性函数的增长速度随着输入的增加而线性增长，所以它的增长速度为O(n)，其中n表示输入的大小。
三、对数函数
对数函数是指函数的输入与输出之间存在着一种指数关系，即x = log(base, y)。
对数函数的增长速度比线性函数慢，但比常数函数快。
通常来说，对数函数的增长速度被称为次线性增长，记作O(log n)。
四、指数函数
指数函数是指函数的输出与输入之间存在着一种指数级别的关系，即y = base^x，其中base是底数。
指数函数的增长速度非常快，随着输入值的增加，输出呈指数级别的增长。
因此，指数函数的增长速度
被称为指数增长，记作O(base^n)。
五、多项式函数
多项式函数是指由多个项构成的函数，每个项包含一个系数和一
个指数幂。
多项式函数的增长速度是根据指数幂的大小来确定的。
在
多项式函数中，我们通常关注最高次项，因为它决定了函数的增长趋势。
多项式函数的增长速度随着最高次项的指数增加而增加，因此它
的增长速度被称为多项式增长，记作O(n^k)，其中n表示输入的大小，k表示最高次项的指数。
尽管上述函数增长速度有明显的差异，但在实际应用中，它们往
往都被用来分析算法的复杂度或者描述问题的规模。
常数函数和线性
函数的增长速度相对较慢，适用于处理规模较小的问题。
对数函数的
增长速度次于线性函数，适用于处理规模稍大的问题。
指数函数更适
用于处理非常大规模的问题，但由于其增长速度太快，常常无法应用
于实际场景。
多项式函数则可以根据最高次项的指数来评估问题的规
模和算法的效率，因此也被广泛应用于实际问题的分析和解决。
综上所述，函数的增长速度是衡量函数增长快慢的重要指标。
从
常数函数到多项式函数再到指数函数，不同函数的增长速度有着明显
的差异，可以用于分析和比较函数的特性。
了解函数的增长速度有助
于我们更好地理解和分析数学和计算机科学中的问题，并找到相应的
解决方案。
有时间可以进一步研究更多类型的函数增长速度，以应对
更加复杂的问题和挑战。