四年级奥数巧数长正方形的个数
数正方形的规律口诀
数正方形的规律口诀
稿子一
嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊数正方形的规律口诀哟！
你知道吗，数正方形这事儿啊，其实挺有趣的。
咱们先看看小的正方形，一个一个的，那数起来简单。
可要是好多正方形堆在一起，就得有点小窍门啦。
比如说，先看最小的那种正方形，一个一个地数清楚。
然后呢，再看看由几个小正方形组成的大一点的正方形。
这时候可别着急，眼睛得放亮。
还有哦，要是图形再复杂点，咱们就一层一层地来。
从里往外，或者从外往里，都可以试试。
其实啊，数正方形就像玩游戏，只要耐心点，多观察，就能找到规律。
比如说，横竖格子数一样的时候，那正方形的总数就有个特别的算法。
总之呢，数正方形别怕麻烦，多练几次，你就会发现其中的乐趣啦！怎么样，是不是觉得没那么难啦？
稿子二
嘿，朋友们！咱们来唠唠数正方形的规律口诀呀！
数正方形，刚开始可能会觉得有点晕乎，但是别慌！咱们慢慢来。
你瞧，如果是一个简单的小方格图，那就从最小的开始数呗。
一个一个，可认真啦。
要是遇到那种大一点的方格图，咱们可以先分分类。
比如说，先数单独的小正方形，再数两个小正方形拼成的，然后三个、四个……
有时候啊，你可以想象自己是个探险家，在这个方格的世界里寻找正方形的宝藏。
而且哦，你还可以边数边做记号，这样就不会乱啦。
还有一个小妙招，要是横竖的格子数量一样，那总数就可以通过一个简单的公式算出来。
是不是很神奇？
反正啊，数正方形就是要细心、耐心，多琢磨琢磨，你肯定能数得又快又准！加油哟，相信你没问题的！。
正方形个数计算方法
正方形个数计算方法人们常常在学习或工作中会遇到计算正方形个数的问题，众所周知，正方形是一种具有特殊角的四边形，由四条相等的边构成，四个角都为直角，每条边上的角相互垂直，有时我们需要求出正方形的个数，那么如何计算出正方形的个数呢？本文将带领大家全面了解和掌握正方形个数计算方法。
首先，假如有N个点，要求求出存在N个点构成的正方形的个数，这个问题也是常见的数学概念。
首先，我们需要确定是否存在四点确定一个正方形，即四点要满足以下关系：A（x1，y1）B（x2，y2）C （x3，y3）D（x4，y4），若其中任意三点不共线，且斜率 ABC、BCD、CDA、DAB相等，则满足四点确定一个正方形的条件，且边长是：- AB=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2）BC=√((x2-x3)^2+(y2-y3)^2）CD=√((x3-x4)^2+(y3-y4)^2）DA=√((x4-x1)^2+(y4-y1)^2）其次，求出正方形的个数，可以采用枚举法，即从 N 个点中枚举出四点，当这四点满足正方形的条件时，就算枚举出一个正方形。
当 N 个点中枚举全部的四个点组合时，就可以求出 N 个点组成的正方形的个数。
最后，要再次强调，求出正方形的个数不局限于枚举法，还可以采用组合数计算方法来解决。
比如：N个点组成的正方形的个数为C(N,4)÷4，也就是说，从N个点中枚举出4个点组成的正方形的个数为C(N,4)，然后将此值除以4，即可得到N个点构成的正方形的个数。
总结以上，正方形的个数计算方法主要有两种，枚举法和组合数计算法。
其中，枚举法从N个点中枚举出4个点，满足正方形的条件，当我们枚举完全部的组合时，就可以求出N个点构成的正方形的个数；而组合数计算法则是利用公式C(N,4)÷4，其中C(N,4)表示从N个点中枚举出4个点，即可求出N个点构成的正方形的个数。
掌握了正方形个数计算方法，我们在学习和工作中所遇到计算正方形个数的问题，就可以得心应手，轻松解决，为我们节省大量的时间，提高效率。
四年级奥数巧数长正方形的个数
第 4 讲巧数长（正）方形的个数数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用规律。
长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。
数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和数正方形的公式：1、一个被划分成m×n 的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是：m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2 ）＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋1×【n-（m-1）】（其中m<n）2 、当m=n时，即一个划分成n×n=n2个小正方形的正方形中，共可以数出正方形的个数是：n2＋（n-1）2＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋22＋12典型例题：1、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个？分析与解答:因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数有关，所以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素上图上长有6 条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3 条线段，即2＋1=3（个）因此，根据数长方形公式：6×3=18（个）答：上图中共有18 个长方形。
2、下图中共有多少个长方形？分析与解答：这道题比例1 横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10 个宽边上的线段和：3+2+1=6个因此根据数长方形公式：10×6=60 个答：上图中共有60 个长方形。
3、下图中共有多少个正方形？分析与解答：我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即2×2=4）；含有9 个正方形的有1个通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1× 1+2× 2+3×3=1+4+9=14 个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。
人教版四年级数学奥数 数数图形(课件)(共20张PPT)
【例题1】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】 数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点， 因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得： 1+2+3+4=10（个）.
【例题2】 数一数下图中有多少个长方形？
【思路导航】 图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边பைடு நூலகம்的
第12讲 数数图形
小学奥数 四年级
同学们对于图形肯定不陌生，但数学中经常会出现这样的题目： （1）下图中共有几条线段？ （2）下图中共有几个长方形？
要正确解答这类问题，就要做到数图形时不重复、不遗漏。这就需要 我们按照一定的顺序去数，并找出它的规律，巧妙地数出图形的个数。数 图形的方法一般有两种：按顺序数和分类数。今天就让我们用数学的方法 巧妙地数图形吧！
实践与应用
【练习5】 P94 数一数，下图中共有多少个长方形？
同学们，图形世界是不是非赏精彩呢？数学的魅力就在于千变万化的图形和数字。通过 这一进，我们对图形有了更深的认识，遇到数图形的问题也能有序、严密地思索，关于数 图形，我们来总结一些最基本的方法吧。
（1）数线段。假设端点有n个（n是整数），那么线段的总条数就是从比n小1的数开始， 一直加到1。
每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6×3=18个长方形。 数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个 长度单位的正方形）
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有 2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份， 宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
数正方形的公式口诀
数正方形的公式口诀在初中数学中，我们常常会遇到需要数正方形的问题。
为了更便捷地计算正方形的个数，我们需要掌握几个数正方形的公式口诀。
以下就是数正方形公式口诀的详细介绍：一、以n×n的正方形为例1. 当n为奇数时，正方形的总数为：n² + (n-1)² + (n-3)² + … + 1²2. 当n为偶数时，正方形的总数为：n² + (n-2)² + (n-4)² + … + 2² + (n-1)² + (n-3)² + (n-5)² + … + 1²举例说明，当n=4时，正方形的总数为：4² + 2² + 1² = 21二、以m×n的矩形为例我们将整个矩形拆分成较小的正方形，再统计每种大小的正方形的个数，最终将它们加起来，就能得出总的正方形个数。
下面是一个m×n的矩形的分析列表：1. 大小为1的正方形个数：m×n2. 大小为2的正方形个数：(m-1)×(n-1)3. 大小为3的正方形个数：(m-2)×(n-2)4. 大小为k的正方形个数：(m-k+1)×(n-k+1)那么，矩形中所有正方形的个数为：(m×n + (m-1)×(n-1) + (m-2)×(n-2) + … + 1×1)例如，若矩形为4×3，则所有正方形的个数为：4×3 + 3×2 + 2×1 + 1×0 = 20因此，我们可利用以上公式口诀快速计算出所需的正方形个数，简化计算难度，提高计算速度。
正方形个数的规律公式
正方形个数的规律公式在我们的数学世界里，正方形可是个常见又有趣的图形。
今天，咱们就来好好聊聊关于正方形个数的规律公式。
还记得我之前教过的一个班级，有一次上课，我在黑板上画了一堆小正方形拼成的大图形，然后问同学们：“你们能快速数出这里面有多少个正方形吗？”大家顿时瞪大了眼睛，开始埋头苦数。
结果，答案五花八门，谁也说服不了谁。
这时候，有个聪明的小家伙举手说：“老师，这有没有啥规律呀？”这一问，可把大家的兴趣都勾起来了。
咱们先从简单的情况说起。
假如有一个 1×1 的方格，那里面就只有1 个正方形，这没啥好说的。
如果是 2×2 的方格呢？那可就不止 1 个了，除了单个的 1×1 的小正方形 4 个，还有一个 2×2 的大正方形，所以一共是 5 个正方形。
再看 3×3 的方格，1×1 的小正方形有 9 个，2×2 的正方形有 4 个，3×3 的大正方形有 1 个，加起来一共有 14 个正方形。
这其中的规律到底是啥呢？咱们来好好琢磨琢磨。
通过观察这些数字，你会发现，对于一个 n×n 的方格，正方形的个数可以用这样一个公式来计算：总数 = n² + (n - 1)² + (n - 2)² + …… + 1² 。
就拿刚才说的 3×3 的方格为例，按照这个公式，就是 3² + 2² + 1² =9 + 4 + 1 = 14 ，是不是和咱们数出来的结果一样？这个规律在生活中也有不少用处呢。
比如说，家里铺地砖，你想知道用同样大小的正方形地砖能拼成多少种不同大小的正方形图案，就可以用这个公式来算一算。
再回到之前的课堂上，当我把这个规律公式告诉同学们后，大家都恍然大悟，然后开始兴奋地用这个公式去计算各种不同大小方格中的正方形个数。
看着他们那认真又兴奋的样子，我心里别提多高兴了。
数正方形个数的简便方法
数正方形个数的简便方法数正方形的问题在数学中有着广泛的应用，包括计算几何、组合数学、算法等领域。
本文将介绍数正方形的简便方法，同时讨论该问题在不同领域中的应用。
一、基本概念在介绍数正方形的方法之前，我们先来回顾一下数正方形的基本概念和问题描述。
问题描述：给定一个网格图，其中有若干个正方形格子，要求计算正方形的数量。
例如下图所示的网格图中，红色方框所圈出的格子就是一个正方形。
[Image]基本概念：我们定义一个正方形的边长为k，如果这个正方形的面积为k*k，则称它为一个大小为k的正方形。
根据定义，大小为k的正方形的个数可以表示为：(n-k+1)^2，其中，n表示网格图的大小。
我们可以用一个二元组(i,j)表示一个正方形的左上角，其中，i表示该正方形在竖直方向上的位置，j表示该正方形在水平方向上的位置。
则一个大小为k的正方形就可以用左上角的坐标来表示，即左上角的坐标为(i,j)时，对应的正方形大小为k的正方形。
因此，我们可以枚举所有可能的左上角坐标，然后判断以该坐标为左上角时，能否构成一个大小为k的正方形。
假设网格图的大小为n*n，则总共有\binom{n}{2}个左上角坐标可以枚举。
二、暴力方法我们可以枚举所有可能的左上角坐标(i,j)，然后检查以该坐标为左上角时，能否构成一个正方形。
如果可以，则计数器cnt+1。
最终的答案即为cnt的值。
下面是暴力枚举左上角坐标的代码实现：pythondef countSquare(n, mat):cnt = 0for i in range(n):for j in range(n):# 如果该坐标所在的格子是1if mat[i][j] == 1:# 枚举正方形边长for k in range(1, n):# 如果以该坐标为左上角的正方形大小为kif i + k < n and j + k < n and mat[i][j+k] == 1 and mat[i+k][j] == 1 and mat[i+k][j+k] == 1:# 计数器加1cnt += 1return cnt# 测试mat = [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]print(countSquare(3, mat))该方法的时间复杂度为O(n^5)，显然随着n的大小增加，计算时间会非常长，并且难以应用到大规模数据中。
小学四年级奥数讲义
小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。
相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。
即 a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
如： a-b+c=a+c-b（3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。
如a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。
2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c、 (a-b)×c=a×c-b×c 3、除法中的巧算：（1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。
公式：如果a÷b=c 则 (a×n)÷(b×n)=c(a÷n)÷(b÷n)=c n≠0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。
公式：a÷(b×c)= a÷b÷c（4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”公式：a÷(b÷c)= a÷b×c（5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c +b÷c=(a + b)÷c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 2×5=104×25=100 8×125=1000 16×625=10000 3×37=111 7×11×13=100137037×3=101015、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾“尾同头合十”：（头×头+尾）×100+尾×尾6、平方差公式： a2-b2=(a+b)×(a-b)7、配对求和，也就是等差数列求和。
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第4讲巧数长（正）方形的个数
数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用规律。
长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。
数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和
数正方形的公式：1、一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是：
m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2）＋…………………………＋1×【n-（m-1）】（其中m<n）
2、当m=n时，即一个划分成n×n=n2个小正方形的正方形中，共可以数出正方形的个数是：n2＋（n-1）2＋……………………＋22＋12
典型例题：
1、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个？
分析与解答:
因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数有关，所以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素。
上图上长有6条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3条线段，即2＋1=3（个）因此，根据数长方形公式：6×3=18（个）
答：上图中共有18个长方形。
2、下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题比例1横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即
长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10个宽边上的线段和：3+2+1=6个
因此根据数长方形公式：10×6=60个
答：上图中共有60个长方形。
3、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即2×2=4）；含有9个正方形的有1个。
通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1×1+2×2+3×3=1+4+9=14个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。
4、下图中共有多少个正方形？
分析与解答：
这道题显然与上题不一样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方形拼接成了一个长方形，那么方法也要有所改变。
先看长边上小正方形的个数，有5个，再看宽边上小正方形的个数，有3个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有3×5=15个，含4个小正方形的有（3-1）×（5-1）=8个，含9个小正方形的有（3-2）×（5-2）=3个，
通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为：
3×5＋（3-1）×（5-1）＋（3-2）×（5-2）=26个
答：图中共有26个正方形。
5、数一数，下图中共有多少个长方形？
分析与解答：
这道题和前4个题不同，不是横竖规范的分割，这道题意在提醒同学遇到问题不能
思维定式，不能按上面所讲的规律求解，我们可以用枚举法找出个数，灵活解决问题，先给图中每个基本图形编上序号。
再分类数一数：
（1）、6个基本图形中有4个长方形：①、③、④、⑥
（2）、由两个基本图形组成的长方形有3个：②+④、③+⑤、③+④
（3）、由3个基本图形组成的长方形有2个：①+③+⑤、②+④+⑥
（4）、由6个基本图形组成的长方形有1个：①+②+③+④+⑤+⑥
所以上图中共有长方形：4+3+2+1=10个
答：上图中共有10个长方形。
基础练习：
1、下图中共有多少个长方形？
2、下图中共有多少个长方形？
3、下图中共有多少个正方形？
4、下图中共有多少个正方形？
5、下图中共有多少个正方形？
提高练习：
1、数一数图中长方形的个数
2、数一数下图中有多少个正方形？
3、下图中共有多少个正方形？
4、下图中共有多少个正方形？。