机器人运动学逆解及笛卡尔空间轨迹规划
面向机器人笛卡尔空间的轨迹运动自适应抑振控制
面向机器人笛卡尔空间的轨迹运动自适应抑振控制作者：李琳古智超张铁来源：《振动工程学报》2021年第03期摘要：工業机器人的柔性传动部件导致机器人末端产生振动，严重降低笛卡尔运动精度，为此提出自适应输入整形抑振控制策略。
以“双惯量模型+PD控制”建立关节伺服系统模型，分析振动特性。
由于运动中的振动信号存在较大噪声，无法准确辨识振动频率和阻尼比，故采用基于递推最小二乘法（Recursive Least Squares， RLS）的任意时延输入整形器自适应设计方法。
通过对笛卡尔轨迹规划的归一化插补函数输入整形，提出笛卡尔轨迹输入整形方法，实际表现为重新规划笛卡尔速度大小而不改变运动方向。
输入整形抑振实验中直线轨迹振动信号能量最大降低77.08%，圆弧轨迹振动信号能量最大降低31.07%，残余振动信号能量降低80%以上，验证了所述抑振控制策略能有效抑制机器人笛卡尔运动启停时的振动。
关键词：工业机器人; 振动抑制; 柔性关节; 自适应输入整形; 笛卡尔运动中图分类号： TP242.2; TB535 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2021）03-0499-08DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.03.007引言工业机器人的柔性传动部件（如谐波减速器、同步带等）启动和停止时导致机器人末端存在较大的振动，严重降低了运动精度[1]。
在工业生产中，要求工业机器人具备高速、高精度的运动控制特点，故需要研究抑制末端振动的控制策略。
柔性关节通常采用双惯量模型描述，振动现象属于伺服系统的机械谐振[2]。
常用的伺服振动控制方法包括陷波滤波器[3⁃4]、状态反馈法[5⁃6]、迭代学习控制[7] 、输入整形器[8⁃9]等。
输入整形器利用特定的脉冲序列与参考输入进行卷积运算得到抑振控制输入。
与陷波滤波器和低通滤波器相比，输入整形器的抑振效果更优且具有更短的滤波时间长度[10]。
《机器人》第5章-轨迹规划
(t) 20t 6.666 t 2
(t) 20 13.332 t
进而可以画出以下曲线
max
4( f i )
(t f ti )2
为保证 机器人 的加速 度不超 过其自 身能力， 应考虑 加速度 的限制。
根据此式可计算出达到目标所需 要的时间
二、 五次多项式轨迹规划
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就 相当于一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说 明在起点和终点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬 间达到匀速状态。但很显然这是不可能的，因此在起点 和终点处，可以用抛物线来进行过渡。如图所示
假设ti和 tf时刻对应的起点和 终点位置为 i 和 f ，抛物线与直
2 引入相对参考坐标系的绝对运动和相对运动坐标系的 相对运动—机器人空间位姿和关节电机控制关节空间
3 已知机器人关节变量求得机器人位姿；给定机器人位 姿求得各关节变量进而控制机器人到达给定位姿
机器人求解问题：
1 给定一个位姿到达新的位姿—中间怎么办？ 2 控制电机转动方式—启动、停车、通过中间点等 3 电机转动角度、速度等与位姿及微分变化关系
实际上把所有中间路径点既看作下一段起始点也看做上一段终止点相对应可以通过运动规划函数求出该点的直角坐标空间的位置速度插值分量以及该点的关节坐标空间的位置速度插值分量将所有这些插值分量连接起来就得到直角坐标空间的机器人路径和关节坐标空间的关节变化
第5章 轨迹规划
在前面的机器人运动学分析中：
1 引入齐次坐标，将机器人位置和姿态有效表达；并将 机器人杆件与运动坐标系相固连—将机器人运动转化
(t
0) 0)
自由漂浮空间机器人的笛卡尔连续路径规划
第3期
徐文福等 : 自由漂浮空间机器人的笛卡尔连续路径规划
279
本文利用速度级逆运动学方程 , 规划空间机器 人的运动 ,可实现 5 种情况的笛卡尔连续路径跟踪 : 1) 末端连续位姿跟踪 ;2 ) 基座姿态无扰动的连续位 置跟踪 ;3) 基座姿态无扰动的连续姿态跟踪 ;4) 基座 姿态调整的连续位置跟踪 ;5 ) 基座姿态调整的连续 姿态跟踪 .
式中 : p k ∈R3 为 J k 的位置矢量 , kk ∈R3 为关节 k 旋 转轴的矢量 , p0 e 为矢量 p 0 e 的叉乘操作数 .
2 . 2 自由漂浮模式的运动方程
对于自由漂浮模式 ( 基座位置 、 姿态均不受控) , 系统的线动量和角动量守恒 , 即满足 [ 10 ]
P L0 = ME Mr0 g
Tw
( 4)
2 空间机器人运动方程
2. 1 空间机器人一般运动方程
有关空间机器人动力学建模和控制的一些重要 研究成果参见文献 [ 10 ]. 单臂空间机器人的模型如 图 1 所示 , 它由 n 自由度机械臂和作为基座的航天 器组成 .
式 ( 4) 写成矩阵形式 , 有 Θ = 0. ( 5) Hsω0 + HΘ 式 ( 5) 即为自由漂浮空间机器人的角动量守恒方 程 . 其中 3× 3 Hs = ( M r 0 g r 0 g + Hw ) ∈ R ,
[ 4 ,5 ]
.
收稿日期 : 2006211219 ; 修回日期 : 2007204208. 基金项目 : 国家 863 计划项目 (2005AA745060) .
) ,男 ,贵州安顺人 ,讲师 ,博士 ,从事空间机器伺服控制的研究 ; 强文义 (1939 — ) ,男 ,江苏无锡人 ,教授 ,博士生导师 ,从事智能机器人 、 智能控制等研究 .
机器人学领域中的运动学与轨迹规划
机器人学领域中的运动学与轨迹规划机器人学是一门研究如何设计、制造和应用机器人的科学和技术。
机器人学领域中的运动学和轨迹规划是机器人学的核心内容之一。
一、运动学运动学是机器人学中研究机器人运动状态的学科，并且是一种描述机器人位置、速度和加速度等运动参数的方法。
一个完整的机器人都可以通过由多个关节组成的联动机构进行自由灵活的运动。
因此，了解每个关节的运动参数，包括角度、速度和加速度等，有助于更好地控制机器人的运动。
1. 机器人的运动学参数机器人的运动学参数包括关节角度、机器人的位姿和机器人工具端点的位姿等。
其中，各个关节的角度是决定机械臂位置的最基本的参数，机器人位姿描述机器人身体的位置、方向和姿态等信息，而机器人工具端点的位姿描述机器人工具的位置和方向信息。
了解这些运动学参数对于需要实现机器人的运动控制和规划非常重要。
机器人学家们研究如何控制和规划机器人的运动，以便机器人能够完成各种各样的任务，例如生产线上的组装、协作机器人之间的交互等。
2. 机器人的运动学模型机器人的运动学模型主要用于描述机器人的运动规律和动力学参数，包括机械结构参数、质量分布以及摩擦系数等。
运动学除了能够定义机器人的位置和运动规律外，还能够对机器人进行动力学仿真和运动规划，使机器人的控制更加精确和高效。
3. 常见的机器人运动学模型（1）PUMA模型PUMA模型是一种广泛应用于工业机器人的模型之一，其中PUMA的全称为：Programmable Universal Machine for Assembly，即用于装配的可编程通用机器。
PUMA机器人由5个自由度的旋转关节构成，使它能够沿x，y和z轴进行运动。
（2）SCARA模型SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Arm）是一种广泛应用于装配和加工的机器人，具有三个旋转角度和一个平移自由度。
SCARA机器人通常用于精确的三维加工和装配任务，如内部器件装配、晶片制造等。
6轴机械手 笛卡尔坐标系
6轴机械手笛卡尔坐标系什么是6轴机械手？6轴机械手是一种机器人，具有6个自由度。
它的设计灵感来源于人类的手臂，可以在各种环境和任务下执行复杂的操作。
这种机械手通常由基座、臂部、腕部和爪子组成。
每个部分都可以进行独立运动，以便适应不同的需求。
机械手的各个关节可以由电机驱动，实现灵活的运动能力。
这些关节通常是旋转或旋转加平动的，使机械手能够在三维空间内工作。
通过控制这些关节的运动，机械手能够移动和操作物体。
什么是笛卡尔坐标系？笛卡尔坐标系是一种用于描述物体位置和方向的数学模型。
它由直角坐标系组成，包括X轴、Y轴和Z轴。
这三个轴相互垂直，形成一个三维空间。
在笛卡尔坐标系中，物体的位置可以由三个数值表示，分别表示在X、Y 和Z轴上的坐标。
在机械手的应用中，笛卡尔坐标系可以用来描述机械手末端执行器（通常是爪子）的位置和方向。
通过在笛卡尔坐标系中设定目标点，机械手可以通过控制各个关节的运动，使末端执行器达到目标点的位置和方向。
步骤一：关节坐标和笛卡尔坐标的转换在机械手的控制中，有时需要将关节坐标转换为笛卡尔坐标，或者将笛卡尔坐标转换为关节坐标。
这样可以方便地在不同的坐标系中对机械手进行控制。
首先，我们需要确定机械手的关节参数，即各个关节相对于基座的位置和方向。
然后，通过运动学逆解算，可以将笛卡尔坐标转换为关节坐标。
这样就可以确定各个关节的角度，使机械手末端能够达到目标点的位置和方向。
而将关节坐标转换为笛卡尔坐标则相反。
通过运动学正解算，可以确定机械手末端执行器在笛卡尔坐标系中的位置和方向。
步骤二：控制机械手的运动控制机械手的运动涉及到各个关节的协同操作。
通过控制各个关节的角度，可以使机械手末端执行器在笛卡尔坐标系中移动到指定的位置。
一种常用的方法是使用逆运动学控制。
逆运动学控制通过对机械手的目标位置进行逆运动学求解，得到各个关节的角度。
然后，将这些角度反馈给机械手的控制系统，控制各个关节的运动。
除了逆运动学控制，还可以使用轨迹规划来控制机械手的运动。
机器人技术基础实验报告7(机器人笛卡尔空间规划)
机器人基础原理实验报告班级：学号：姓名：台号：内容：7机器人笛卡尔空间规划成绩：批改日期：教师签字：实验目的：1、了解笛卡尔空间规划特点2、学习笛卡尔空间直线规划方法实验设备及软件:1、珞石机器人2、MA TLAB实验原理:笛卡尔空间规划是用笛卡尔位姿关于时间的函数来描述路径形状的。
位置规划：直线规划、圆弧规划、样条规划等姿态规划：等效转轴描述下的等效转轴规划、单位四元数描述的球面线性规划运动规划 = 路径规划 + 沿路径的速度规划实验步骤：1、代码实现空间位置直线规划和姿态四元数球面线性规划。
使用MATLAB软件打开\\东大机器人实验程序\7、7、机器人笛卡尔空间规划\sia007.slx 文件。
选择Part1 轨迹规划，补充直线规划模块内容2、在part1中，完成下列数据的笛卡尔空间直线规划和姿态四元数球面线性规划，并绘制位置的三个分量和姿态四元数的四个分量。
利用完成的模块，绘制规划曲线图3-1图3-2图5-1图5-2图3-3图5-3图3-4图3-5图5-4图5-53、针对给定的起点和终点分别进行关节空间规划（利用实验六的实验工程完成）和笛卡尔空间的位置直线规划，姿态球面线性规划（利用本实验的part2部分完成）。
并将关节空间规划结果利用正运动学求得笛卡尔空间曲线。
真机实验步骤：1、打开RokaeNEU007.Slx ，将写好的模块替换到红色框图中2、在桌面程序中单“关闭通信服务”按钮，关闭通信服务进入真机仿真模式。
3、按照前面实验介绍的真机运行步骤运行程序（实验四真机运行步骤2~5）4、控制仿真机器人运动上电开关至on●监控开关至on●更改关节规划走的角度值，更新规划时间●打开运动开关，机器人开始运动，观察运动曲线是否连续，若连续方可进行下一步5、在桌面程序中单“重启通信服务”按钮，启用真机模式。
6、重复步骤3，步骤4，运行程序五次多项式速度规划注意事项：1、规划的空间曲线避开机器人奇异点。
工业机器人笛卡尔空间轨迹规划
２ ０ １ ４年 １ Ｏ月
机 械 工 程 与 自 动 化 ＭＥ ＣＨＡＮＩ ＣＡＬ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＆ ＡＵＴＯＭＡＴ１ ０Ｎ
Ｎｏ ．５
０ｃ ｔ ．
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ６ ４ １ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５ — ０ １ ４ １ — ０ ３
工 业 机 器 人 笛 卡 尔 空 间轨 迹 规 划
林 威 ，江 五讲
４ ３ ０ ０ ７ 程 学 院 ，湖 北 武 汉
摘 要 ：研 究 了在 笛 卡 尔 坐 标 系 中工 业 机 器 人 空 间 直 线 及 圆弧 轨 迹 规 划 问题 ，提 出利 用 抛 物 线 过 渡 的 空 间 直 线
口 ： ＝ ： １ ＋ △口 。
（ １）
…
臣＝融＋ △ ８
ｙ ｆ ＝ｙ １ 十Ａ Ａ７
其 中： 为 归 一 化 因 子 ； △ ｚ， Ａ ｙ ， Ａ ｚ ， △ 口 ， △ ， Ａ ７为位 置 和Ｒ Ｐ Ｙ 角 的增量 ， 其 求解 如下 ：
ｆ Ａｘ— ２ 一 ｌ
Ｊ ｌ Ａ 。 ｙ ＝ ｙ ２ 一
．
ｌ △ａ： ＝ ＝ ２ 一
（ ２ ）
ｌ △ ＝ ＝ ＝ 一
【 Ａ ７ ＝ｙ ２ － ７ １
归一 化 因 子 采 用抛 物 线 过 渡 的 线 性 函数 ， 以保 证 整段 轨 迹上 的位 移和 速度 都连续 。抛 物线 过 渡 的线 性 函数是 对两 点 的位 姿使 用 线 性 插 值 时 ， 在 两 点 的邻 域 内增 加 一段 抛物 线 的缓 冲区段 。假设 两端 的抛 物线 运动 时 间相等 ， 即在两个 过 渡 区域 中的加速 度值 相 同 、 符号 相反 。设 为 对 时 间的导 数 ， 随 时间 ｔ变化 的 曲线 如 图 ２所示 。
机器人轨迹规划实验
过所有路径点，最终到达目标点。
关节插值函数
三次多项式插值
五次多项式插值 抛物线过渡的线性插值
高次多项式插值
4
2
关节空间轨迹规划
五次多项式插值
机器人轨迹规划实验
如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，必须用更高阶的多项式对运动轨迹的 路径段进行插值，例如对某段路径的起始点和终止点都规定了关节的位置、速度和加速度。
机器人轨迹规划实验
目 录
CONTENTS
机器人轨迹规划实验
1 2
实验介绍及内容 关节空间轨迹规划
笛卡尔空间轨迹规划
3
4
实验总结
2
1
实验介绍及内容
轨迹规划
机器人轨迹规划实验
所谓轨迹，是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。而轨迹规划是根据作业任务的 要求计算出预期的运动轨迹，确定机器人手部或关节在起点和终点之间的路径和运动学参数。
角位移
角速度
角加速度
8
3
笛卡尔空间轨迹规划
基本原理
机器人轨迹规划实验
对末端手的位姿轨迹进行规划，依靠逆运动学不断求将直角坐标转换为关节角度，得出关
节信息，循环过程为：
（1）将时间增加一个增量
（2）利用所选择的轨迹函数计算出机械臂末端手的位姿，即齐次变换矩阵
（3）利用逆运动学方程计算相应的关节变量 （4）将关间轨迹规划
设计实验
机器人轨迹规划实验
基于PUMA560机器人，以五次多项式插值为例实现轨迹规划。给定起始点和目标点参数， 在满足一定约束的条件下输出最终路径轨迹和关节运动曲线
机器人建模仿真
末端轨迹
6
‹#›
2
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Robot Inverse Kinematics and Trajectory Planning in Cartesian Space
Major：Mechanical Engineering Direction of Study：Electromechanical Integration Graduate Student： Ye Shang-gao Supervisor： Prof. Liu Dian-ting
目
录
摘 要.................................................................................................................................................................I Abstract..............................................................................................................................................................II 目 录..............................................................................................................................................................III 第 1 章 绪论......................................................................................................................................................1 1.1 工业机器人发展历程....................................................................................................................... 1 1.2 国内外工业机器人应用和研究概况............................................................................................... 1 1.2.1 国外工业机器人应用和研究概况....................................................................................... 1 1.2.2 国内工业机器人应用和研究概况....................................................................................... 4 1.3 课题背景及研究意义....................................................................................................................... 6 1.4 本文主要研究内容........................................................................................................................... 6 1.5 本章小结............................................................................................................................................7 第 2 章 机器人运动学逆解算法及奇异和多解的处理................................................................................. 8 2.1 引言....................................................................................................................................................8 2.2 现有典型逆运动学解析法简介....................................................................................................... 9 2.2.1 传统反变换法....................................................................................................................... 9 2.2.2 其它典型解析法................................................................................................................. 12 2.3 本文提出的运动学逆解方法......................................................................................................... 16 2.3.1 IRB2600 型机器人运动学正解.......................................................................................... 16 2.3.2 IRB2600 型机器人运动学逆解.......................................................................................... 18 2.3.2.1 求解前三个关节角................................................................................................. 19 2.3.2.2 求解后三个关节角................................................................................................. 21 2.3.2.3 逆解过程中奇异的处理......................................................................................... 22 2.3.2.4 逆解过程中多解的处理......................................................................................... 23 2.4 运动学逆解算法的仿真验证......................................................................................................... 24 2.5 本文逆解方法与其它解析法的比较............................................................................................. 28 2.6 本章小结..........................................................................................................................................29 第 3 章 笛卡尔空间轨迹规划与参数化插补算法....................................................................................... 30 3.1 引言..................................................................................................................................................30 3.1.1 机器人轨迹规划................................................................................................................. 30 3.1.2 机器人轨迹插补................................................................................................................. 31 3.2 参数化插补及运动速度控制方法................................................................................................. 34 3.3 笛卡尔空间轨迹规划..................................................................................................................... 36 3.3.1 直线轨迹规划..................................................................................................................... 36 3.3.2 圆弧轨迹规划..................................................................................................................... 36 3.3.3 一般空间轨迹规划............................................................................................................. 39 3.3.4 姿态规划..............................................................................................................................42 3.4 轨迹规划及匀速插值算法的仿真验证......................................................................................... 43 3.5 本章小结..........................................................................................................................................46 第 4 章 轨迹规划与运动学逆解算法联合仿真........................................................................................... 47 4.1 联合仿真平台的搭建..................................................................................................................... 47 4.2 轨迹规划插值与运动学逆解算法的联合仿真............................................................................. 50