分支定界法和割平面法
整数规划算法
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
整数规划
比如下面的例子：
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 下表：
货物 体积（每 箱M3) 5 甲 4 乙 托运限制 24 重量(每箱 50kg) 2 5 13 利润(每 箱百元) 20 10
问两种货物各托运多少箱,可使利润最大?
为了满足整数解得要求，初看，似乎只要把已得到的分 数或小数， “舍入化整”就可以了。但是，这常常是不行的， 因为化整后，不一定是可行解，或者虽是可行解，但不一定 是最优解。
整数规划
§1 整数规划及其解法 §2 0-1型整数规划 §3 指派问题
整数规划
1、理解整数规划、0-1规划和指派问题的数学 模型 2、理解整数规划模型的类型 3、理解整数规划的求解方法:分支定界法和割 平面法、0-1规划的隐枚举法和指派问题的 匈牙利法的思想和步骤
求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
a x
i 1 ij
n
j
bi yi M (i 1,, m)
y1 + y2 + „ + ym = m –1， yi = 0 或 1 (i=1，„，m)
3、关于固定费用问题
• 在讨论线性规划时，有些问题是要求使 成本最少的方案，那时总设固定成本为 常数，并在线性规划的模型中不必明显 列出。但有些固定成本的问题不能用一 般线性规划来描述，但可改为混合整数 规划来解决。
aj
值最大？
解：设 x j 为决策变量，且 x j 满足如下限制
xj {
1，携带第j件物品 0，不携带第j件物品
，j 1,2, n
则问题的数学模型为
x c j x j max
j 1
n
6.2 分支定界解法
①若LP无可行解，则IP也没有可行解；
②若LP有最优解且满足整数要求，则即为IP的最优解; ③若LP有最优解但不满足整数要求，则转下一步；
2. 进行迭代：
①分支与定界：在LP的最优解中任选一个非整数解的变量 xi =b,在LP问题加上约束：
xi [b]和xi [b]+1
组成两个新的LP问题，称为分枝。
5 x1 7 x2 35 5 x1 7 x2 35 4 x 9 x 36 4 x 9 x 36 1 2 1 2 s.t . s.t . x2 2 x2 2 x 5 x 4 1 1 x1 , x2 0. x1 , x2 0. B11的最优解 x1 4, x2 2, z11 14. * 14 z 14.4. 3 2 B12的最优解 x1 5, x2 1 , z12 14 . 7 7
Page 23
x z 32 z1，对B 21进行分枝，增加约束x1 4及x1 5得：
B 211 : max z 4 x1 3 x2
10
A
B211:X=(4,6), z5=34
6
B1
1.2 x1 0.8 x2 10 2 x1 2.5 x2 25 s.t . x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 B212:X=(5,5), 即x1 4 ,可行域是一条线段 z =35
问题B的解中有一个非整数变量 x2=2 6/17。于是在原问题中 增 加 两 个 约 束 条 件 ： x2≤2 和 x2≥3 ， 将 原 问 题 分 解 为 B1 和 B2(即两支)。 B 1 : max z 2 x1 3 x2 B 2 : max z 2 x1 3 x2
整数规划 割平面法 分枝定界法
用图解法求得可行域D及最优解点A，见下图：
x2
A（3/4，7/4） 由标准化的约束方程组可得
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
下面以实例来说明算法的步骤。
例2 求解下面整数规划
x2
maxZ=40x1+90x2
⑴8
9x1+ 7x2≤56 7x1+20x2≤70 xx11,,xx22≥0整数
⑵
⑶ ⑷
4
⑸
解：先不考虑条件⑸，求解相 0
应的线性规划问题L，得最优解
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
整个分枝定界过程如下图所示：
问题L
Z0=356 x1=4.81x2=1.82
Z 0,Z 356
x1≤4
问题L1 Z1=349 x1=4.00，x2=2.10
x2≤2 问题L3 Z3=340 x1=4.00 x2=2.00
Z※=340
x2≥3
问题L4 Z4=327 x1=1.42 x2=3.00
×
x1≥5
运筹学
整数线性规划
§1 整数规划问题
在前面的线性规划问题中，它的解都假设为可以取连续数值。 但是在许多实际问题中，决策变量仅仅取整数值时才有意义，比如 变量表示的是工人的人数、机器的台数、货物的箱数、装货的车皮 数等等。为了满足整数解的要求，比较自然的简便方法似乎就是把 用线性规划方法所求得的非整数解进行“四舍五入”取整或“舍尾 取整”处理。当然，这样做有时确实也是有效的，可以取得与整数 最优解相近的可行整数解，因此它是实际工作中经常采用的方法。 但是实际问题中并不都是如此，有时这样处理得到的解可能不是原 问题的可行解，有的虽是原问题的可行解，但却不是整数最优解。 （详见后面例1）。因而有必要专门研究只取整数解的线性规划的 解法问题。
milp优化问题的典型求解方法
Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。
对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。
本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。
（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。
（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。
由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。
优化理论求解技巧
优化理论求解技巧优化理论是数学中的一个分支，主要研究如何找到最佳解或最优解的方法。
在实际问题中，优化理论可以应用于各个领域，例如经济学、工程学和运筹学等。
本文将介绍一些求解优化问题的技巧和方法。
一、线性规划问题的求解技巧线性规划是优化理论中的一个重要分支，常用于解决具有线性约束条件的最大化或最小化问题。
线性规划问题可以通过以下步骤进行求解。
1. 确定目标函数：首先，需要确定一个目标函数，表示要最大化或最小化的目标。
目标函数必须是线性函数，即只包含线性项和常数项。
2. 确定约束条件：接下来，需要确定一组约束条件，限制变量的取值范围。
约束条件也必须是线性的。
3. 构建线性规划模型：将目标函数和约束条件组合在一起，构建线性规划模型。
可以使用线性规划软件或编程语言来进行建模。
4. 求解线性规划问题：使用线性规划求解器来求解线性规划问题。
常用的线性规划求解器有Simplex算法和内点法等。
二、非线性规划问题的求解技巧非线性规划是求解非线性目标函数和约束条件的最优化问题。
由于非线性规划问题的复杂性，通常需要使用一些特殊的求解技巧。
1. 构造梯度和黑塞矩阵：对于非线性函数，常用的求解方法是通过计算目标函数的梯度向量和黑塞矩阵来找到最优解的方向。
2. 利用迭代算法：非线性规划问题通常无法直接求解，因此需要使用迭代算法来逐步逼近最优解。
常用的迭代算法有牛顿法、共轭梯度法和拟牛顿法等。
3. 多起点搜索：非线性规划问题由于存在局部最优解，因此可以通过多起点搜索的方式来寻找更好的解。
多起点搜索可以采用随机初始化的方法或从不同的初始点开始搜索。
三、整数规划问题的求解技巧整数规划是一类特殊的线性规划问题，变量需要满足整数约束条件。
整数规划问题的求解相对困难，常用的求解技巧有以下几种。
1. 分支定界法：分支定界法是整数规划问题的一种求解方法。
该方法通过将问题分解为若干个子问题，并通过不断分支和剪枝的方式来确定最优解。
2. 割平面法：割平面法是一种通过逐步添加线性约束条件来修正松弛问题的方法。
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分支定界法和割平面法
在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某些
具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。
整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就
称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划；
（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。
本文就适用于
纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。
一、分支定界法
在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。
对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。
所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最有的整数解。
分支定界法就是其中一个。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在二十世纪六十年代初
由Land Doig和Dakin等人提出。
由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作z ；而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z。
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域再求其最大值的方法。
逐步减小z和增大z，最终求到z*。
现用下例来说明：例1求解下述整数规划
Max z = 40x「90x2
9X1 7X2 -56
7X1 20X2 - 70
x1,x2 -0 且为整数
解（1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B，得最优解为：
洛=4.81,x2= 1.82, z 二356
可见它不符合整数条件。
这时z是问题A的最优目标函数值z*的上界，记作z。
而X1=0, X2=0显然是问题A的一个整数可行解，这时z = 0，是z*的一个下界，记作z，即0w z*< 356。
（2）因为X1X2当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。
设选X1进行分枝，于是对原问题增加两个约束条件：
x, -〔4.81 丨-4“ 一〔4.811 1 =5
于是可将原问题分解为两个子问题B1和B2 （即两支），给每支增加一个约束条件并不影响问题
A的可行域，不考虑整数条件解问题B1和B2，称此为第一次迭代。
得到最优解
为:
显然没有得到全部变量时整数的解，于是再定界
：0岂Z ：乞349。
(3)继续对问题B i 和B 2因乙〉Z 2，故先分解B i 为两支，增加条件 X 冬2,称为 B 3；增加条件
X 2> 3,称为B 4。
再舍去X 2>2与X 3< 3之间的可行域，再进行第二次迭代。
解题过程如图：
由图可知，B 3的解已都是整数，他的目标函数值Z 3 =340
，可取为z ，而它大于Z 4 =327。
所以，再分解B 4已无必要。
而问题B 2的Z 2 =341,所以z *可能在340和341之间有整数解。
于是对B 2分解，得问题B 5,既非整数解且Z 5 =308< Z 3,问题B 6为无可行解。
于是有
z =Z 3=z=340
问题B 3的解X i =4.00, X 2=2.00为最优整数解。
340
从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划(最大化)问题的步骤为：开始，将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。
(1)解问题B可能得到以下情况之一：
(a)B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止.
(b)B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解，则停止。
(c)B有最优解，但不符合问题A的整数条件，记它的目标函数值为z。
(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取X j =0,j =1,…,n，试探，求得其目标函数值，并记作z。
以z*表示问题A的最优目标函数值；这时有
*
z _ z - z
进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量X j,其值为b j,以[b j]
表示小于b j的最大整数。
构造两个约束条件
X j 乞[b j]和X j -[b j] 1
将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题 B i和B2。
不考虑整数条件求解
这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优
目标函数值最大者作为新的上界z。
从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大
者作为新的下界z，若无作用z = 0。
第二步：比较与剪枝，各分枝的最优目标函数中若有小于z者，则剪掉这枝，即以后
不再考虑了。
若大于z，且不符合整数条件，则重复第一步骤。
一直到最后得到z* =z为止。
得最优整数解X*, j =1/\n。
二、割平面法
割平面法德基础仍然是用解线性规划得方法去解整数规划问题，首先不考虑变量X i是
整数这一条件，但增加线性约束条件使得有缘可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任何整数可行解。
这个方法就是指出怎样找到适当的割平面，是切割后最
终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的几点恰好是问题的最优解。
现用下例来说明：
maxZ = X2
3捲+2x2兰6 」
一3x1 +2x2 兰0
X1, X2 - 0且为整数
增加松弛变量X3和X4，得到初始单纯形表和最优单纯形表如下图:
C j
1 0 0 C B
X B
b X 1 X 2 X 3 X 4 初始 0 X 3 6 3 2 1 0 计 0
X 4
0 -3 2 0 1 算表 一
Z 0
0 1 0 0 最终 0
X 1 1 1 0 1/6 -1/6 计
X 2
3/2 0 1 1/4 1/4 算表
一
Z -3/2
-1/4
-1/4 此题的最优解为：X*= (1 , 3/2) , Z = 3/2，但不是整数最优解，引入割平面。
以 x
2
为源
行生成割平面，由于1/4=0+1/4, 3/2=1 + 1/2,我们已将所需要的数分解为整数和分数， 所以,
生成割平面的条件为：
1 1 1
X 3
X 4
4 4
2
得到等价的割平面条件： X 2< 1见下图。
现将生成的割平面条件加入松弛变匙X 然后加到表中: S !
4
4
也即:
X 2 X 2 X 2
1 1 3 + — X 3
X 4
4 4 "2 1 1 1 + 一 X 3 X 4 =1 _ 4
4 2 1 1 .
-仁厂（4X
3
-
X4）
将 X 3=6-3X 1-2X 2 , X 4=3X 1-2X 2J ,带入
X 4
从而得到:
易
b
£ £2
st
2/3 1 0 0 -1/3 2/3 1
1
0 1 (1 0 1 0
2
0 0 1 1 -4 —
1
1)
1
此时，X1 = (2/3, 1), Z =1,仍不是整数解。
纟继续二X1为源行生成割平面，其条件为:
3 3 3
得到:
X B
h X,
町
Sjt
1
1 0 0
0 1 1/2 i
1
0 1 册
0 1 0
X
J
1
0 0 1 0 -5 3/2
1
0 0 1 1 -3/2 —
-1 1}
(>
-J
{>
x1 > X2见图:
3
3
3。