用根轨迹法设计相位超前校正网络.

原系统的开环传函为：
根轨迹增益为：
Kr
m
G( s) H ( s)
v n
sv (s p j )
j v 1
i 1 n
s
s pj j v 1
m
s zi i 1
开环增益为： K Kr
7
zi
pj j v 1
i 1 n
1 K ( s z ) ( s )b rc i 校正后系统的开环传函为： bT i 1 Gc ( s)G( s) H ( s) n 1 v s (s p j ) (s ) 校正后在A点的根轨迹增益 T j v 1
Re
5
4.画出校正以后系统根轨迹，求出 A1 点根轨迹增益
Kr A1 A1 2 A1 9.6 A1 4 50.4
速度误差系数 K v K K r
4 10.51( 1 ) s 2 9.6
校正系统的开环传函为： K cGc ( s)G ( s)
50.4( s 4) s( s 2)( s 9.6)
Kr K rc b
zi
pj j v 1
i 1 n
m

Kr b
zi
pj j v 1
i 1 n
m

K b
1 即校正后系统的开环增益增大到原系统的开环增益的 b 倍。
8
2.设计步骤： （1）画出未校正系统的根轨迹，根据动态性能指标，在根轨迹上 确定期望闭环主导极点A； （2）确定未校正系统在A点的根轨迹增益和开环增益 K ；
用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当 期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。 在不考虑稳态指标时设计步骤如下：
1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置；
2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿 角 ，
（2）.画出未校正根轨迹。
期望主导极点 A1,2 在原系统根轨迹的左边，
原系统开环极点对于 A1点产生相位为 G( A1 ) A1 ( A1 2)

A1
121 101 222 要使 A1 点位于根轨迹上，校正装置要提 供的相位角为
4
O
180 (222 ) 42
（3）根据稳态指标求出系统所需要的误差系数 K（即开环增益 K0）； 0 （4）求出系统为了满足稳态性能指标，误差系数需要增加的倍数
1 K0 ，这 个需要增加的倍数由滞后网络的这一对偶极子提 b K
供；
9
（5）选择滞后校正网络的零点 Z c 及极点 Pc ，使满足 Z c Pc 1 ，
21 ， 3.画水平线 A1B ，作角平分线 AC ，再作 CA D EAC A1D 1 2

与负实轴交于-9.6，A1E 与负实轴交于-4 G ( s) s 4 c
Im
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
s 9.6
B
A1
6
4
2
D
-10 -9 -8 7 -6
C
-5 -4
E
-3 -2 1
O
-2 -4 -6
R( s)

Kr s ( s 2)
C (s)
3
解： 2 （1）.由 p 20% ，由式 p e 1 可求得 0.46 ，取 0.5 由 ts 3 得 n 6 rad s ； n 得闭环主导极点 A1,2 n jn 1 2 3 j 3 3
6
用根轨迹法设计相位滞后校正网路 1.设计思路：当滞后网络的零极点相对于主导极点A为一对偶极子 K 时，校正后的开环增益 K c ， K 为校正前的开环增益，Kc增大到 b 1 校正前开环增益的 倍， b 1 这样改善了稳态性能。下面具体推 b m 导一下： K r ( s zi )
并要求 Z c和 Pc 离开原点越近越好，但它们离原点越近就意
味着要求 T 越大，物理实现困难，一般取
； ( A P ) ( A Z ) 3 c c
b
（6）画出校正系统的根轨迹；
（7）调整根轨迹增益（放大器增益），使闭环极点位于期望位置；
（8）校验指标；
（9）求出网络参数 R, C ；
n v 1 A A pj A A pj A 1 T j v 1 j v 1 K rc m m 1 b A zi A zi A b i 1 i 1 bT v n
m
A为期望的闭环主导极点，前一项就是 K r 校正系统的开环增益
Kc K rc
10
例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G( s) 足下列性能指标；
2500k ，要求满 s( s 25)
（1）当输入是一个1 rad s的单位速度函数时，输出的速度函数
与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad；
可这样去计算：校正后系统的开环传函为：
1 1 aTs K c Gc ( s ) G ( s ) K cG ( s ) a 1 Ts
1
Kc 是附加增益
则： Gc G Gc G A点应满足根轨迹的辐角条件 Gc G (2k 1) 即： Gc (2k 1) G( A) 3.决定Gc (s) 的零极点，按下列步骤得到的Gc (s) 可使它的附加增益 Im 值最小。
B A
（1）过A点作水平线 AB；
（2）做 BAO 的角平分线AC；
2 AE，AD与负实轴的交点则为 1 1D T s 1 T 及 1 aT ， 于是有 aT Gc ( s) a 1 T
2
（3）在 AC两边做 DAC EAC ；

2
C
E 1 aT
O
Re
2
4.画出校正系统根轨迹，并由幅值条件求出校正系统的根轨迹增益 及稳态误差的系数。 例. 一控制系统如图所示，现要求满足下列性能指标。 （1）阶跃响应的最大超调量 p 20% ； （2）阶跃响应的调整时间 ts (5%) 1s；