串联超前校正的计算方法
串联滞后-超前校正剖析
例 6-5 设某单位反馈系统，其开环传递函数 K G0 ( s) s( s 1)(0.125s 1) 要求Kv=20(1/s)，相位裕度γ=50°，调节时间ts不超过4s，试 设计串联滞后-超前校正装置，使系统满足性能指标要求。 解：确定开环增益K=Kv=20 作未校正系统对数幅频特性渐近曲线，如图6-22所 示。由图得未校正系统截止频率ωc=4.47rad/s，相位 裕度γ=-16.6°。 20 20 lg 0 ωc=4.47rad/s c c
20 20 9.1 2.2 c
此时，滞后-超前校正网络的传递函数可写为 s (1 )(1 s ) a Gc ( s ) 9.1s (1 )(1 0.11s )
a
根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的转折频率ωa。 校正后系统的开环传递函数
20(1 Gc ( s )G0 ( s ) s (1 0.125s )(1 s ) )(1 0.11s )
(Ta s 1)(Tb s 1) Gc (s) Tb (Ta s 1)( s 1)
j
-αωb前校正的设计步骤如下： 根据稳态性能要求，确定开环增益K； 绘制未校正系统的对数幅频特性，求出未校正系统的 截止频率ωc、相位裕度γ及幅值裕度h； 使中频段斜率为-20dB/dec ，确定ωb。通常，在未校正 系统对数幅频特性上，选择斜率从-20dB/dec 变为-40dB/dec 的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率ωb。这种选 法可以降低已校正系统的阶次，且可保证中频区斜率为20dB/dec，并占据较宽的频带。
tan1 21.2 2.2 tan1 0.11 2.2 51.21
调节时间
ts
1 1 [2 1.5( 1) 2.5( 1) 2 ] 3.75( s) c sin sin
自动控制原理7-2频率域中的无源串联超前校正
可能引入噪声
由于无源元件的局限性， 无源串联超前校正器可能 会引入额外的噪声，影响 系统性能。
未来研究方向与展望
新型无源元件研究
随着科技的发展，新型的无源元件不断涌现，如薄膜电阻、 高温超导材料等，为无源串联超前校正器的设计提供了新 的可能性。
集成化与微型化研究
随着微电子技术的发展，无源串联超前校正器的集成化与 微型化成为可能，这将有助于减小系统体积和重量，提高 系统的便携性和可靠性。
提高系统性能的实例
温度控制系统
在温度控制系统中，通过串联超 前校正器，可以减小系统的调节 时间和超调量，提高温度控制的 稳定性和准确性。
伺服控制系统
在伺服控制系统中，串联超前校 正器能够提高系统的跟踪性能和 抗干扰能力，减小误差并提高控 制精度。
串联超前校正器的比较与选择
参数选择
串联超前校正器的参数选择需要根据具体的应用场景和控制要求进 行优化，以达到最佳的系统性能。
03
无源串联超前校正器具有结构简单、易于实现的特点，适用于各种线 性控制系统。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ04
频率域中的无源串联超前校正方法可以与其他控制策略相结合，进一 步优化系统的性能。
对实际应用的指导意义
在实际应用中，可以根据系统的具体需求，选择合适 的无源串联超前校正器参数，以获得更好的系统性能。
输标02入题
对于一些具有特定要求的控制系统，如快速响应、高 精度和高稳定性的系统，可以采用频率域中的无源串 联超前校正方法来改善其动态性能。
04 无源串联超前校正器的应 用实例
在控制系统中的应用
控制系统稳定性增强
抑制高频噪声
通过串联超前校正器，可以改善控制 系统的相位裕度，提高系统稳定性。
串联滞后超前校正
6－4 串联迟后－超前校正一、迟后－超前校正网络串联迟后－超前校正，可以通过单独的迟后网络和超前网络来实现，如图6－12（a ）。
也可以通过相位迟后－超前网络来实现，如图6－12（b ）所示。
图6－12（b ）所示网络传递函数为1)()1)(1()(212211*********++++++=s C R C R C R s C C R R s C R s C R s G c 11112211++++=s aT s T s a T s T （6－9） 式中 111T C R = ；222T C R =21212211aT aT C R C R C R +=++， （1>a ） 式中迟后校正部分为)1()1(22++s aT s T ；超前校正部分为)1()1(11++s aT s T 。
其对数频率特性曲线如图6－13所示。
由图可见，在频率ω由零增加到1ω的频段内，该网络呈现积分性质，具有迟后相角。
也就是说，在0～1ω频段里，相角迟后－超前网络具有单独的迟后校正特性；而在1ω～∞频段内，呈现微分性质，具有超前相角。
所以它将起单独的超前校正作用。
不难计算，对应相角等于零处的频率1ω为 2111T T =ω （6－10）二、串联迟后－超前校正应用串联迟后－超前校正设计，实际上是综合地应用串联迟后校正与串联超前校正的设计方法。
当未校正系统不稳定，且校正后系统对响应速度、相角裕量和稳态精度的要求均较高时，以采用串联迟后－超前校正为宜。
利用迟后－超前网络的超前部分来增大系统的相角裕量，同时利用迟后部分来改善系统的稳态性能或动态性能。
下面举例说明串联迟后－超前校正设计的一般步骤。
【例6－4】 设单位反馈系统，其开环传递函数为)15.0)(1()(++=s s s K s G 要求：（1）开环放大系数110-=s K ；（2）相角裕量︒=50γ；（3）幅值裕量dB h 10=；试确定串联迟后－超前校正网络的传递函数)(s G c 。
自动控制原理超前网络及其串联校正
Gc(s)=
1+bTS 1+TS
b＜1
低频段： 1 (0dB)
转折频率：
1 T
1 bT
斜 率： [-20]1 [+20]
T
ω=0 ω=∞
0o
+90o
0o
-90o
0o
0o
1
bTω=10 b1T时
1 bT
c(ω) ≈ -5o~ -9o
Lc(ω)= 20lgb
4、串联滞后 校正 步骤：
确定开环增益K
根据稳态误差的要求
2）反馈信号是从系统前向通道的某一元件的输出端引出的, 这 就是说, 信号是从功率电平较高的点传向电平较低的点。 因而通常不必采用附加的放大器。因此, 它所需的元件数往 往比串联校正少, 所用的校正装置也比较简单。
3）反馈校正在系统内部形成了一个局部闭合回路, 作用在这个回 路上的各种扰动, 受到局部负反馈的影响, 往往被削弱。
适当选择反馈校正装置的形式和参数，可使已校正系统性能满足 给定性能指标的要求。
2、复合校正
1） 概念
也就是说, 系统对扰动的敏感度低, 这样可减轻测量元件负担, 提高测量的准确性, 对于控制系统的性能也是有利的。
基本原理：用反馈校正装置包围待校正系统中对动态性能改善
有重大防碍作用的某些环节，形成一个局部反馈回路；在局部反馈 回路的幅值远大于1的条件下，局部反馈回路的特性主要取决于反 馈校正装置，与被包围的部分无关。
根据响应速度要求选择系统的截止频率 ，c 及响应衰减因
子 1 a，确定方法：
20
lg
a
L(
'' c
)
20
lg
'' c
串联校正中的超前校正
上可能无法实现。
2. 试差法（分析法）
根据知识和经验先按某一思路或简便方法综合校正 装置，然后进行检验；
•优点：设计的校正装置物理上易于实现。 •缺点：设计过程带有试探性；需具有一定的工程
设计经验。
3. 专门领域的工程设计方法和PID参数的工程整定法
可见此时系统的动态性能指标未满足设计要求。
(3)串联超前校正的综无合源超前网络 1 aTds 1 a Tds 1
初选校正后的幅穿频率
ωc 50rad / s(指标ω c 45rad / s)
超前校正装置在ωc处应提供的超前角d：
30=180 Go(jωc)+d(ωc)90 arctg0.1ωc arctg0.01ωc +d(ωc) d d(ωc)ε，其中ε为安全裕量
解 由Go (s)可知,系统为最小相位系统
(1)由稳态指标确定校正后系统的开环增益K， 画出此增益下的开环对数幅频渐近线。
1，由速度误差系数与开环增益之间的关系知， K K v。
由题中指标要求知: K Kv 100s1,这里取K 100s1。 画校正前K 100s1时的开环对数幅频渐近线。
通过对上面系统进行了超前校正设计，该系统已能够 全面满足设计要求。
L(ω)
40
-20dB/dec
c '
20
-40dB/dec
-20dB/dec
1
10
100
ω
-40dB/dec
-20
co
-60dB/dec
-40
c
-60dB/dec
校正装置
注：均为渐近线
6-2 超前-滞后校正
1
2.65
引入超前校正网络的传递函数：
1 α Ts 1 1 0.378s 1 G c (s) α Ts 1 3 0.126s 1
（4）引入 倍的放大器。为了补偿超前网络造成的衰减，引 入倍的放大器， 3 。得到超前校正装置的传递函数
1 0.378s 1 0.378s 1 α G 0 (s) 3 3 0.126s 1 0.126s 1
《自动控制原理》
—— 频率特性法（6－2）
（超前校正）
1
6.3 频率域中的无源串联超前校正 三个频段的概念
L() dB
15
c
15
低频段
中频段
高频段
2
校正方法通常有两种： 1. 分析法。实际上是一种试探的方法，可归结为： 原系统频率特性+校正装置频率特性=希望频率特性 G0(jω) + Gc(jω) = G(jω) 从原有的系统频率特性出发，根据分析和经验，选 取合适的校正装置，使校正后的系统满足性能要求。 2. 综合法。这种方法的基本可归结为： 希望频率特性原系统频率特性=校正装置频率特性 G(j) G0(j) = Gc(j) 根据系统品质指标的要求，求出满足性能的系统开 环频率特性，即希望频率特性。再将希望频率特性与 原系统频率特性相比较，确定校正装置的频率特性。
17
通过超前校正分析可知： （1）提高了控制系统的相对稳定性——使系统的稳定 裕量增加，超调量下降。 工业上常取α=10，此时校正装置可提供约550的超前 相角。为了保证系统具有300600的相角裕量，要求校 正后系统ωc处的幅频斜率应为－20dB/dec，并占有一定 的带宽。 (2) 加快了控制系统的反应速度——过渡过程时间减 小。由于串联超前校正的存在，使校正后系统的c、r 及b均变大了。带宽的增加，会使系统响应速度变快。 （3）系统的抗干扰能力下降了—— 高频段抬高了。 （4）控制系统的稳态性能是通过步骤一中选择校正后 系统的开环增益来保证的。
串联超前校正
串联超前校正简单的超前网络若在系统的前向通路上（一般是串联于两级放大器之间），就构成了串联超前校正。
给系统串入串联超前校正，减少对数幅频特性在幅值穿越频率上的负斜率，可以有效地改善原系统的平稳性和稳定性，并可以提高系统的频带宽度，对快速性也将产生有利的影响，但是超前校正很难使原系统的低频段特性得到改善。
如果采取进一步开环增益的办法，使低频段上移，则系统的平稳性有所下移；幅频段过分上移，还会大大削弱系统干扰能力。
故超前校正对提高系统稳态精度的作用是很小的。
利用Bode 图设计超前校正网络超前校正的基本原理是利用超前网络的相位特性去增大系统的相位裕度，以改善系统的瞬态响应，具体设计步骤如下。
（1）求出满足稳态指标的开环放大系数K 值。
（2）根据求得的K 值，画出未校正系统的Bode 图，并计算出其幅值穿越频率c ω、相位裕度γ、幅度裕度g K 。
（3）确定需要对系统增加的相位超前m ϕ，m ϕ可表示为m ϕ=∆--γγ'式中，'γ 和γ 分别表示期望的相位裕度和未校正系统（原系统）的相位裕度，∆为增加超前网络后使幅值穿越频率向右方移动所带来的原系统相位的滞后量，一般该滞后量为 5~12。
（4）确定α值。
（5）确定校正后系统的幅值穿越频率'c ω。
为了最大限度利用超前网络的相位超前量。
'c ω应与m ω相重合，即 'c ω 应选在未校正系统的αωlg 10)(-=L 处。
（6）确定校正装置的传递函数。
令)/(1'αωωT c m ==，从而求出超前校正为了的两个转折频率 ⎩⎨⎧==T T αωω1112由此得出校正装置具有的传递函数为111121)(++=++=Ts Ts s sG s αωω（7）验证校正后系统的相位裕度γ。
MATLAB ProgramK0=1000;n1=1;d1=([1 0],[1 2]); sope= tf(K0*n1,d1);[mag,phase,w] =bode(sope);gama=45;[mu,pu]=bode(sope,w); gam=gama*pi/180;alfa=(1-sin(gam))/(1+sin(gam));adb=20*log10(mu);am=10*log10(alfa); ca=adb+am;wc=spline(adb,w,am); T=1/(wc*sqrt(alfa));alfat=alfa*T;Gc=tf([T 1],[alfat 1])MATLAB ProgramK0=1000;n1=1;d1=conv([1 0],[1 2]); S1=tf(K0*n1,d1);N2=[0.04916 1];d2=[0.008434 1]; S2=tf(n2,d2);sope=s1*s2;[mag,phase,w]=bode(sope);Margin（mag,phase,w);。
超前校正
设 计 任 务题目： 超前校正一、设计内容设某控制系统不可变部分的传递函数为)11.0)(1001.0()(0++=s s s K s G ，要求该系统有如下性能指标：1）响应匀速信号r(t)=1R t 的稳态误差不大于0.0011R ，其中1R 为常量；2）剪切频率ωc =165rad/s ；3）相角裕度045γ≥；4）幅值裕度20lg g K ≥15dB 。
二、设计要求试应用频率响应法确定串联超前校正参数要求方法一用带惯性的PD 控制器实现串联超前校正方案1）劳斯判据判定未校正系统的稳定性，确定校正环节的传递函数模型。
2）计算校正系统的开环增益写出计算公式并通过MATLAB 编程计算，用MATLAB 画出未校正系统开环频率响应的Bode 图，计算未校正系统的剪切频率 ωc 写出计算公式并通过MATLAB 编程计算，相角裕度γ1写出计算公式，并通过MATLAB 编程计算。
3）根据给定的性能，计算要求校正后系统的剪切频率写出计算公式并通过MATLAB 编程计算，确定中频段宽度h 写出计算公式并通过MATLAB 编程计算。
4）计算最大超前相角m ϕ写出计算公式并通过MATLAB 编程计算。
5）计算串联超前校正参数a,T 写出计算公式并通过MATLAB 编程计算。
6）用MATLAB 验证性能四项指标，如果不符合修正校正参数继续验证，用劳斯判据和Nyquist 判据判定校正后系统稳定性。
7）设计校正环节的硬件参数，要求分别搭出无源校正和有源校正的电路图，确定电阻电容参数，用MATLAB 画出校正环节和最后的Bode 图，并进行对比说明。
要求方法二用PD 控制器实现串联超前校正方案1) 劳斯判据判定未校正系统的稳定性，确定校正环节的传递函数模型。
2) 根据要求求剪切频率ωc 计算出校正参数T 写出计算公式并通过MATLAB 编程计算。
3) 用MATLAB 验证性能四项指标，如果不符合修正校正参数继续验证，用劳斯判据和Nyquist 判据判定校正后系统稳定性。
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完成一个控制系统的设计任务，往往需要经过理论和实践的反复比较才可以
得到比较合理的结构形式和满意的性能，在用分析法进行串联校正时，校正环节
的结构通常采用超前校正、滞后校正、超前滞后校正这三种类型，也就是工程上
常用的PID 调节器。
本次课设采用的超前超前校正的基本原理是利用超前相角
补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相角裕度，提高系统稳定性
能等，而由于计算机技术的发展，matlab 在控制器设计，仿真和分析方面得到
广泛应用。
本次课设采用用Matlab 软件对系统进行了计算机仿真，分析未校正
系统的动态性能和超前校正后系统是否满足相应动态性能要求。
超前校正就是在前向通道中串联传递函数为:
()()()1
11G c ++⋅==Ts aTs a s R s C s 其中：
C R R R R T 2
121+= 1221>+=
R R R a 通常 a 为分度系数,T 叫时间常数,由式(2-1)可知,采用无源超前网络进行
串联校正 时,整个系统的开环增益要下降 a 倍,因此需要提高放大器增益交易
补偿. 如果对无源超前网络传递函数的衰减由放大器增 益所补偿，则
()1
1++=Ts aTs s aG c 上式称为超前校正装置的传递函数。
无源超前校正网络的对数频率特性如图6-4。
图6-4无源超前校正网络的对数频率特性
显然，超前校正对频率在1/aT 和1/T 之间的输入信号有微分作用，在该频
率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。
因此
超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性
能，如增加相位裕度，提高系统的稳定性等。
下面先求取超前校正的最大超前相角m ϕ及取得最大超前相角的频率m
ω，则像
频特性： ()ωϕc =arctanaT ω-arctanT ω ()()()221T
1d ωωωϕωT T a aT d c +-+= 当(),0=ωϕωd d e 则有： T a m 1=
ω 从而有：
a
a T a T T a aT 1arctan arctan 1arctan 1arctan m -=-=ϕ =11arcsin 21arctan 111arctan +-=-=+-a a a a a
a a a 既当T a m 1=ω时，超前相角最大为11arcsin m +-=a a ϕ，可以看出m
ϕ只与a 有关这一点对于超前校正是相当重要的
超前校正RC 网络图如图2。
图2超前校正RC 网络图
利用超前网络进行串联校正的基本原理，乃是利用超前网络相角超前特性。
只要正确地将超前网络的交接频率1/aT 和1/T 设置在待校正系统截止频率c ω的
两边，就可以使已校正系统的截止频率'c ω和相裕量满足性能指标要求，从而达
到改善系统动态性能的目的。
串联超前校正设计的一般步骤为
（1）根据稳态误差要求，确定开环增益K 。
（2）在已确定K 值条件下，计算未校正系统的相裕量。
（3）根据指标要求，确定在系统中需要增加的相角超前量。
（4）确定a 值及m L 值，在未校正系统的对数幅频特性曲线上找到幅值等于－m L 点所对应的频率，即为'c ω，这一频率为所选网络的c ω，并且在此频率上
将产生最大超前相角值m ϕ。
（5）确定超前网络的交接频率1ω＝1/aT ，2ω＝1/T 。
（6）验算。
二、原系统分析
设单位反馈系统的开环传递函数为：)
1001.0)(16.0)(1(5)(+++=s s s s s G 要求校正后系统的幅值裕度大于10dB ，相角裕度ο40≥γ，试设计串联超前
校正装置。
3.1 校正装置参数的确定
校正前截止频率s rad w c /73.1=,相角裕度γo o 402.16<-=，可知相角裕度不
满足要求，由此考虑加入串联超前校正系统。
为了满足校正后的系统的相角裕度︒≥40γ的条件，故需要加入 m θ='γ-[γ-(︒︒12~5)]=︒40-[︒-2.16-(︒︒12~5)]， 然后再根据2.621
1sin
arg =+-=a a m θ求出7.15=a 。
跟据系统对相角裕度的要求，确定校正后系统的截止频率'c ω，由式10lg )(lg 20'c W A +α=0，由此可求得02.3c ='ω计算校正装置的时间常数T 。
由于a T W W m c 1
'==，由此可以解出T=0.084.
则校正装置的传递函数为()1084.01
3188.1s G c ++=s s
4.2 二次校正系统分析
如图6所示相角裕度o r 407.18<=，可知相角裕度不满足要求，由此考虑在次加入串联超前校正系统进行二次校正。
故需要加入m θ='γ-[γ-(︒︒12~5)]=o 50-[︒7.18-(︒︒12~5)]， 然后再根据4.431
1sin arg =+-=a a m θ求出365.5=a 。
跟据系统对相角裕度的要求，确定校正后系统的截止频率"c ω
，由式10lg )''(lg 20c W A +α=0，由此可求得7.4''c =ω
计算校正装置的时间常数T 。
由于a
T W W m c 1''==，由此可以解出T=0.092. 则二次校正装置的传递函数为()1092.0149.0s "G c ++=
s s 校正后的传递函数为：
)
1092.0)(1084.0)(1001.0)(16.0)(1()149.0)(13188.1(5)(+++++++=s s s s s s s s G 如图7所示，由图可知h=12.1dB,ο8.43=γ满足系统要求
在设计超前校正装置校正时，要合理选择校正装置的参数，一般可以改善系统的动态性能。
从频率特性角度出发，可以利用将较高频段幅值下降20lg α、相位幅度较小的特性,减小系统的截止频率,提高相角裕度,从而提高了系统的稳定性。
但同时我们也应认识到串联校正装置本身所存在的缺陷和不足，以更好的把它应用于工程设计中。
如果在未校正系统的截止频率c ω附近，相频特性的变化率很大，即相角减小得很快，则采用单级串联校正效果将不大，这是因为随着校正后的截止频率'c
ω向高频段的移动，相角在c ω附近将减小得很快，于是在新的截止频率上便很难
得到足够大的相裕量。
在工程实践中一般不希望a 值很大，当a ＝20时，最大超
前角︒=60m ϕ，如果需要60°以上的超前相角时，可以考虑采用两个或两个以上的串联超前校正网络由隔离放大器串联在一起使用。
在这种情况下，串联超前校正提供的总超前相角等于各单独超前校正网络提供的超前相角之和。
(2)校正前系统的bode图
图2 (3)校正后系统的Bode图
图6 (4)二次校正后系统的Bode图
图7。