根轨迹串联超前校正

东北大学秦皇岛分校自动化工程系自动控制系统课程设计

根轨迹串联超前校正

专业名称自动化

01

班级学号50801

5080101

学生姓名

指导教师

设计时间2020111111..6.2.277~20

~20111111..7.8

目录

摘要 (1)

1.绪论 (3)

1.1课题概述 (3)

1.2根轨迹法超前校正简介 (3)

1.3课题研究的目的和意义 (4)

1.4本课题研究的主要内容 (4)

2.系统校正 (5)

2.1已知条件及要求 (5)

2.2对系统进行分析 (5)

2.2.1当串联一个零点时 (7)

2.2.2串联一个具有零点性质的零极点对 (8)

2.2.3串联一个具有两个零点，一个极点的控制器时 (9)

2.2.4当串联具有零点性质的两个极点，一个零点的控制器时 (10)

2.2.5串联更复杂的具有零点性质的控制器 (11)

3.总结 (13)

4.致谢 (13)

5.参考文献 (14)

摘要

根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为增益）从零变化到无穷大时，如何根据开环极点和零点的位置确定全部闭环极点位置。从根轨迹图可以看出，只调整增益往往不能获得所希望的性能。事实上，在某些情况下，对于所有的增益，系统可能都是不稳定的。因此，必须改造系统的根轨迹，使其满足性能指标。

利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。

是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。

用根据轨迹法进行超前校正的一般步骤为：

1)根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环

增益和闭环主导极点的位置。

2)画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左

侧，以确定是否应加超前校正装置。

3)根据题目要求解出超前校正网络在闭环主导极点处应提供的相位超前

角。

4)根据图解法求得G c(s)的零点和极点，进而求出校正装置的参数。

5)画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。

本文在进行根轨迹超前校正时应用了MATLAB，MATLAB的根轨迹方法允许进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点。早期超前校正器的设计往往依赖于试凑的方法，重复劳动多，运算量大，又难以得到满意的结果。MATLAB作为一种高性能软件和编程语言，以矩阵运算为基础，

把计算、可视化、程序设计融合到了一个简单易用的交互式工作环境中，是进行控制系统计算机辅助设计的方便可行的实用工具。因此，随着计算机的飞速发展和MATLAB软件的普及，借助MATLAB，通过编写函数和程序，可以容易地设计出超前校正器，避免了繁琐的计算和绘图过程，从而为线性控制系统的设计提供了一种简单有效的途径。本文将基于根轨迹法设计超前校正器，并给出它的MATLAB实现。

关键词：根轨迹，超前校正，MATLAB

绪论

1.1课题概述

在系统校正中，当性能指标是以时域指标给出时，通常采用根轨迹法对系统进行校正，根轨迹法校正通常超前校正、滞后校正和滞后——超前校正，本文主要介绍根轨迹串联超前校正法。

固有传递函数的闭环特征根在S平面上是有确定点的，由这些点确定的响应性能不好时，需要加以改变。改变开环放大系数能使闭环特征根沿着根轨迹移动，结果有两种情形：一种情形是开环放大系数在某个数值下或某个取值范围内特征根的分布能够满足系统性能的要求，于是只要调节开环增益就行了；另一情形是根轨迹上没有合乎要求的特征根，这是需要在S平面上先选定一个期望的闭环主导极点，再通过串联合适的校正装置使校正过的根轨迹：1、通过这一点，并且确定开环增益使校正后的一个特征根就是这点；2、其余的特征根比这个特征根远离虚轴，以确保选定的闭环主导极点的地位。当在系统中配置一个开环零点或具有零点性质的开环零极点对时，可使原根轨迹向左偏移，如若在系统中配置一个极点，或一个具有极点性质的开环零极点对时可使的原根轨迹向右偏移，只要配置的零点或极点或零极点对适当，就可使得期望点成为校正后的闭环主导极点。根轨迹串联超前校正就是通过串联零点，或具有零点性质的零极点对来实现的。

1.2根轨迹法超前校正简介

1948年，伊文斯（W·R·EVANS）提出了直接由系统的开环传递函数确定系统闭环特征根的图解法，即工程上广泛使用的根轨迹法。利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应有的结构和参数，也可用于校正装置的综合，根轨迹法的基础是系统的传递函数，这一方法仅适用于线性系统。根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。它描述的是系统某个参数(通常指增益)从零变化到无穷大时的闭环极点的位置变化。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系

统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。这一附加装置称为校正装置。加入校正装置后使未校正系统的缺陷得到补偿，这就是校正作用。

常用的校正方式有串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正4种。本文我们所涉及的是超前校正。超前校正网络：无源超前校正网络的传递函数可写为1()1aTs G s Ts

+=+其中a>1,故超前网络的负实零点总是位于其负实极点之右，起到微分作用，a 的值选的越大，则超前网络的微分作用越强。

1.3课题研究的目的和意义

在实际工程控制中，往往需要设计一个系统并选择适当的参数以满足性能指标的要求，或对原有系统增加某些必要的元件或环节，使系统能够全面满足性能指标要求，此类问题就称为系统校正与综合，或称为系统设计。当被控对象给定后，按照被控对象的工作条件被控信号应具有的最大速度和加速度要求等，可以初步选定执行元件的形式、特性和参数。然后，根据测量精度、抗扰能力、被测信号的物理性质、测量过程中的惯性及非线性度等因素，选择合适的测量变送元件。在此基础上，设计增益可调的前置放大器与功率放大器。这些初步选定的元件以及被控对象适当组合起来，使之满足表征控制精度、阻尼程度和响应速度的性能指标要求。如果通过调整放大器增益后仍然不能全面满足设计要求的性能指标，就需要在系统中增加一些参数及特性可按需要改变的校正装置，使系统能够全面满足设计要求，这就是控制系统设计中的校正问题。系统设计过程是一个反复试探的过程，需要很多经验的积累。在某些系统校正中，当所要求的性能指标是以时域指标给出时，则此时应用根轨迹校正法来解决问题就显得比较方便何必要了。

1.4本课题研究的主要内容

已知某控制系统的开环传递函数为，当k=0.25时控制以a 为变量的根轨迹，用根轨迹法设计串联超前校正装置，使超调量

。

2.2.系统校正

系统校正

2.1已知条件及要求

已知条件：

系统的开环传递函数为：，其中k=0.25；

要求：

控制以a为变量的根轨迹，用根轨迹法设计串联超前校正装置，使超调量，并用matlab仿真出其结果。

2.2对系统进行分析

根据所给定的开环传递函数可以用MATLAB作出其初始的根轨迹图：因为是以a为变量的根轨迹，所以所得到的轨迹为广义根轨迹。经变形后的广义根轨迹方程为：，由MATLAB作出其根轨迹图，输入程序如下：

num=[0,1];

den=conv([1,1,0.25,0],[0,1]);

g=tf(num,den)

rlocus(g)

hold on

所得广义根轨迹图为：

图1校正前广义根轨迹

校正后使得根轨迹上所有的点都满足其超调量都小于10%，即对任意变化的a 的值，都能满足题目要求。

1、根据要求知要使得校正后系统的超调量小于10%，如若要满足此条件，则首先要满足整个系统是稳定的，即所有的根轨迹必须在虚轴的左侧。因为根轨迹中极点数与零点数之差大于2，所以得出所有的根轨迹之和应为定值，当零极点数之和为奇数时，总有根轨迹沿着实轴负方向趋向无穷远处，那么必然有根轨迹趋向于实轴正方向无穷远处，即有根轨迹处于虚轴的右侧，即不能够满足题意。则如若想满足题意，利用根轨迹串联超前校正时，只能串联奇数个零极点。

2、仅仅使得系统满足稳定还不够，还要使其超调量满足小于10%，根据二

阶系统时域指标公式：%100%10%e σ=×≤可得到阻尼比：0.59ζ≥；这里

取0.625ζ=，则对应的阻尼角：arccos 51οβζ==。及系统的根轨迹要满足在阻尼比为0.625到1之间。

2.2.1当串联一个零点时

即校正后的广义根轨迹方程为：

当零点在0到0.5之间取值时，以0.25为例，用MATLAB进行仿真，输入程序：num=[1,0.25];

den=conv([1,1,0.25,0],[0,1]);

g=tf(num,den)

rlocus(g)

hold on

得到对应的根轨迹为：

图2串联一个零点后的根轨迹

根轨迹上的点都在虚轴的左侧，系统满足稳定性，但是其渐近线与实轴成90ο，根轨迹上有一部分点超出了0.625

ζ=的范围。所以此种情况满足题意，不可取。

当零点在大于0.5的范围内取值时，以1为例，用MATLAB进行仿真，

输入程序：

num=[1,1];

den=conv([1,1,0.25,0],[0,1]);

g=tf(num,den)

rlocus(g)

hold on

得到对应的根轨迹为：

图3串联一个零点后的根轨迹

同理虽然根轨迹上的点都在虚轴的左侧，系统满足稳定性，但是其渐近线与实轴成90ο，根轨迹上有一部分点超出了0.625

ζ=的范围。所以此种情

况同样不满足题意，不可取。

时

2.2.2串联一个具有零点性质的零极点对

串联一个具有零点性质的零极点对时

分析可知当零极点数之和为奇数时，总有根轨迹沿着实轴负方向趋向无穷远处，那么必然有根轨迹趋向于实轴正方向无穷远处，即有根轨迹处于虚轴

的右侧，即不能够满足题意。当串联一个零极点对时，此时零极点数之和正

好为奇数，因此不能满足题意。

2.2.3串联一个具有两个零点，一个极点的控制器时

即校正后的广义根轨迹方程为：

此时极点数与零点数之差为2，则渐近线与实轴的夹角为90ο，与串联

一个零点的状况类似，也会有一部分根轨迹不在0.625

ζ=与1

ζ=之间，因此此种情况也不满足题意。

例：当取

10.2

z=、

20.8

z=、3

p=；此时在MATLAB中输入程序：num=[1,1,0.16];

den=conv([1,1,0.25,0],[1,3]);

g=tf(num,den)

rlocus(g)

hold on

得到根轨迹图为：

图4串联两个零点一个极点的根轨迹

因为极点数与零点数之差为2，渐近线与实轴的夹角为90ο，因此无论零极点取何值总有一部分根不能满足其超调量在10%以内，所以此种情况亦不可取。

2.2.4当串联具有零点性质的两个极点，一个零点的控制器时

此时的根轨迹方程可写为：

当取0.2z =、15p =、23p =时，在MATLAB 中输入如下程序为：

num=[1,0.2];

den=conv([1,6,5.25,1.25,0],[1,3]);

g=tf(num,den)

rlocus(g)

hold on 得到根轨迹图为：

图5串联两个极点一个零点的根轨迹

由根轨迹图得此种情况也不满足题目要求。

2.2.5串联更复杂的具有零点性质的控制器

如果这样的话，则会使得系统变的更为复杂，结合实际情况可得此种情况亦不可行。

校正后使得根轨迹上大部分的点都满足其超调量都小于10%，即对a

在很大范围内变化的值，都能满足题目要求即可。

经以上分析，若要使得校正后使得根轨迹上所有的点都满足其超调量都小于10%，这种情况很难做到。但是经过串联超前校正能够使得对于a 在很大范围内取值时，都满足题意。在本系统中，由图（1）可以得出在系统校正之前就有一部分a 的值可以满足题意，但是此时a 的范围较小。若想让a 的范围变得大的话，那么就得让根轨迹整体向左移，所以需串联具有零点性质控制器，串联一个零点后的根轨迹可以变为图（2）所示，此时根轨迹完全在虚轴的左侧，在图中找到使得其系统超调量等于10%的点，那么在0.625ζ=与1ζ=之间的根轨迹对应的a 的值就可以满足题意。此时a 的范围就要比校正之前打的多了。当在系统中串联具有零点性质的零极点对时，根轨迹也会向左移，使得系统的稳定性变得更好，串联具有零点性质的零极点对之后的根轨迹方程为：

例：当取0.2z =、1p =时，在MATLAB 中输入如下程序：

num=[1,0.2];

den=conv([1,1,0.25,0],[1,1]);

g=tf(num,den)

rlocus(g)

hold on

所得到的根轨迹如图（6）所示

图6串联一个零极点对的根轨迹

与图一相比，根轨迹明显向左移动了,稳定性变好了，这样使得适合题意

的a的值范围变得大了。将根轨迹上固定的确定点带入如下公式：

根据此公式可求得K g的值。由此可确定对应的a的值，经比较可得此

种情况是可以扩大a的范围的。

经以上分析可知：在原有的系统中串联一个合适的具有零点性质的控制器，可使得系统的根轨迹向左平移，使得系统的稳定性变得更好，可以实现在原有系统的基础上使得a在更大范围内都满足题意。

总结

本课题的设计使我对根轨迹校正有了更深入的了解，为以后的实践工作打下了坚实的基础。在大学的课堂的学习只是在给我们灌输专业知识，指导我们学习的方向。如果我们想把所学的用到我们现实的生活中去，则必须要有扎实的理论基础，此次的根轨迹串联超前校正的设计为我奠定了一个理论基础，同时我会在以后的学习、生活中磨练自己，使自己更好的将理论与实践相结合，以取得更好的成果。此外在查找资料的过程中我也学到了许多新的知识，在和同学协作过程中增进同学间的友谊，使我对团队精神的积极性和重要性有了更加充分的理解。

本次毕业设计使我深有感触，只要付出就有回报，遇到问题多与老师同学交流，利用网络资源学习。通过这次毕业设计，我才明白学习是一个长期积累的过程，在以后的工作、生活中都应该不断的学习，努力提高自己的知识和综合素质。总之，万事开头难，知识必须通过应用才能实现其价值！有些东西以为学会了，但真正到用的时候才发现是两回事，所以我认为只有到真正会用的时候才是真的学会了。

致谢

最后感谢我的指导老师高原老师，他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。在我学习期间不仅教我们专业知识，还传授给我们了做人的准则，这些都使我们终身受益。在做课设时，老师始终给予我精心的指导和不懈的支持。在他的教导下使得我们把课设顺利的完成。在此谨向高老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

同时，我也要向身边的同学表示感谢，因为论文中某些观点提出和他们的讨论是分不开的。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。我我愿在未来的学习和实践过程中，以更加丰厚的成果来答谢曾经关心、帮助和支持过我的老师和同学。向所有关心、理解、支持和帮助过我的同学、师长、亲人和朋友他致以诚挚的谢意！

在此由衷的说一声：谢谢你们！

参考文献

[1]赵文峰MATLAB控制系统设计与仿真[M]．西安：西安电子科技大学出版社，2002：

[2]黄忠霖自动控制原理的MATLAB实现北京国防工业出版社.2007.

[3]任彦硕自动控制原理机械工业出版社

[4]王划一自动控制原理国防工业出版社

[5]胡寿松自动控制原理科学出版社

[6]杨宏基葛云龙根轨迹串联校正设计的研究

[7]孟淑丽基于MATLAB控制系统串联校正设计及可视化仿真北京工业大学

硕士学位论文