第12章 应力状态分析和强度理论—《材料力学》课程PTT精华版

σα = σxcos2α σ ysin2α τxysin2α
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
2 Ax
o
C
σ
Ay
斜微面上的应力。
Me F
Me
B 30°
F
120°
s
t
解： B点的应力状态如图所示，微面上的应力：
σ = FN = F = 20 103 N = 63.7 MPa A A 314mm2
τ
=T Wp
=
Me Wp
=
600 103 N mm 7854mm3
= 76.4
MPa
σx = 63.7MPa t xy = 76.4 MPa
(σα
σx
2
σy
)2
=
(σx
2
σy
cos2α
τ xy sin 2α) 2
τα2
=
(σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α) 2
12.2 平面应力状态分析
得：
(σα
σx
2
σy
)2
τ
2 α
=
(σx
2
σy
)2
τ
2 xy
取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的切应力，则
上式为一圆方程。
sy tyx
τ xy
τ
s1引起铸铁
的失效断裂。
12.3 特殊三向应力状态分析
一、三向应力圆
s2
s1
s1
s3
s1
t s
s3
s3 s2
s2
τ
显然平行于s3的斜 截面上的应力与s3无关
，可由应力圆求解。
σ
s2
s1
12.3 特殊三向应力状态分析
s2
s2
s2
s1
s1
s1
s3
s3
s3
τ
研究表明，任意
斜截面上的应力可由
σ
σ σ
=
OC
r
=
σx
σy 2
σx
2
σy
2
τ
2 xy
Ay(sy, tyx)
s
显然A点和A点的极值正应力也是主应力，另一主应力 s=0 ；A点所对应的主平面方位角为：
tanα = AE = σ σx
Ax E
τ xy
α
=
arctan
σ
x τ xy
σ
12.2 平面应力状态分析
6. 极值切应力（又称主切应力）
任意斜截面的正应力和切应力为
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
12.2 平面应力状态分析
例12.3 薄壁圆筒受力如图所示。已知F=20kN，Me=600N∙m，
横截面A=314mm2，WP=7854mm3。试用解析法求B点处指定
坏现象。
Me
Me
s3
B
t
45°
s1
解：在危险点处取单元体如图，已知 σx = 0, σ y = 0,τxy = τ
σ' σ"
=
0
2
0
(0 0)2 τ2 = τ 2
，σ = 0
σ1 = τ , σ2 = 0, σ3 = τ
α = arctan σx σ1 = arctan 0 τ = 45
单位MPa) 。
y
20
20
z
40
60
y x
40
x
解：显然另外两个主应力与60MPa主应力无关，图示的空 间单元体可转化为平面单元体。
已知 σx = 0, σ y = 20MPa,τxy = 40MPa
12.3 特殊三向应力状态分析
σ' σ"
=
0
20 2
(0 20)2 2
402
=
31.2 51.2
=120
σy = 0
12.2 平面应力状态分析
s120
=
63.7MPa 2
0MPa
63.7MPa 2
0MPa
cos 240
(76.4MPa) sin
240
= 50.2 MPa
t120
=
63.7MPa 2
0MPa
sin 240
(76.4MPa)cos 240
=
10.6
MPa
大家可以用解析的方法进一步分析一点处的正应力和
σ σ = σx σ y
12.2 平面应力状态分析
例12.4 求图示单元体的主应力、主切应力、并画出主单元体。
40MPa 20MPa
解：已知 s x = 50MPa, s y = 40MPa,
50MPa
τxy = 20MPa,
s ' s "
=
50
2
40
(50 40)2 (20)2 = 5 49.2 2
切应力的极值，下面用图解法可以直观地得到这些极值结
果。
三、平面应力状态分析的图解法
1. 应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
t xz t yz
sx txy
xsx
t
t
xy
yx
sy y
（3）三向应力状态：三个主应力都不等于零的应力状态。
12.1 引言 六、应力状态分析举例
例12.1 直角折拐，试用单元体表式危险点的应力状态。
l
A B
F a
C
12.1 引言
解：(1) 外力分析
M e = Fa
(2) 内力分析，确定危险截面
A
n
s
sx
t
sx txy
t
σ
o
C
sy
t
(s x s y ) / 2
圆心坐标为
s
(
x
s
y
,0);
半径为
2
r=
(σx
2
σy
)2
τ
2 xy
12.2 平面应力状态分析
tyx txy
2. 应力圆的绘制
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
t
Ax
o
C
σ
Ay
sy
sx
（1） 由x 截面上的应力确定Ax（sx，txy）点； 由y 截面上的应力确定Ay（sy，tyx）点；
（2） 连接Ax 、 Ay点，交横轴于C点；
（3） 以C点为圆心，C Ay为半径作圆，即得应力圆。
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
3. 用应力圆求斜截面上的应力
s
sy tyx
n
t
A
s
2 Ax
sx
t
sx txy
sy
t
o
C
σ
Ay
sy
sx
（1）方法
从Ax点出发，按照单元体上斜截面方位角的转向，转过2得
第12章 应力状态分析和强度理论
12.1 引言 12.2 平面应力状态分析 12.3 特殊三向应力状态分析 12.4 广义胡克定律 12.5 弹性应变能的概念 12.6 强度理论及其应用
12.1 引言 一、概述
1. 回顾：简单受力情况下的强度条件的建立
截面 应力
强度 条件
C
FN
s=smax
smax ≤[s ]
解：(1) 外力分析
FA
=
FB
=
F 2
(2) 内力分析
F
m
A
DE
Cm
B
h
b
画内力图 (3) 应力分析
s
FA
FB
FS
F/2
tM
x
F/2
Fl/4
x
12.1 引言
C sC
D sD
t
E
t
F
m
A
DE
B
Cm
FA
FB
12.2 平面应力状态分析
y sy tyx
sx sx txy x
z
一、符号规定
sy tyx
n
s
σ1 = 54.2MPa, σ2 = 0, σ3 = 44.2MPa
α = arctan σx σ1 = arctan 50 54.2 = 11.9
τ xy
20
σ = 0
12.2 平面应力状态分析
40MPa 20MPa 50MPa
s3
s1 tmax
1=11.s09=181°1.98°
s1
s3
主切应力：
t
sx txy
sy
1. 正应力s ：拉为正； 2. 切应力t ：顺剪为正；
3. 方位角 ：逆转为正。
二、平面应力状态分析的解析法
12.2 平面应力状态分析
1. 斜截面上的应力
sy tyx
n
s
txy
A s
s
txy
sx
t
sx sx txy
sx t
t tyx
sy
t
tyx sy
sy
Fn = 0；
σα Aα σx Aαcosαcosα τxy Aαcosαsinα σ y Aαsinαsinα τ yx Aαsinαcosα = 0;
主切应力 作用面方位角：
τm ax =
50 (40) 2 2
+ (20)2
=
49.2MPa
α1 = 11.9 45 = 56.9
主切应力作用面上 的正应力：
σα1
=
σx
σy 2
= 50 (40) = 5MPa 2
12.2 平面应力状态分析
例12.5 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁的扭转破
sy
sx
点面对应，夹角2倍，转向相同。
应力圆上的一个点对应单元体上一个面；应力圆上
两点之间的圆心角是单元体上对应的两个面的法线的夹
角的两倍，且转向相同。
12.2 平面应力状态分析
5. 极值正应力
t
A点和A点分别为正应力的极 s
大值和极小值点。
o A
Ax(sx, txy)
C 2α α α E A σ
到A点， A点的横坐标即为斜截面上的正应力， A点的纵坐 标即为斜截面上的切应力。
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
（2）证明
t
OD = OC CD
= σx σ y rcos(2α + 2α)
2
o
= σx σ y rcos2αcos2α rsin2αsin2α sy
2 = σx σ y CEcos2α AEsin2α
固定端所在的A截面为危
T
险截面。
(3) 应力分析，确定危险点
M
Fl
Me F
Me
x x
A截面
12.1 引言
y
1
4
z
2
x
3
12.1 引言 y
y
F
Fs
1 4
M
2
T z
3
x
s
t
y
Fs
1 4
M
2T 3
12.1 引言
1
τ σ
3
x
τ σ
4
τ
s
1
t
s
3
t
4
t
12.1 引言
例12.2 矩形截面简支梁，试用单元体表式各点的应力状态。
C
T
t max
t max ≤ [t ]
smax
C
M
smax
s max ≤[s ]
12.1 引言
2. 问题：复杂受力情况下的强度条件该如何建立？
F
M
s
t
强度 条件
smax ≤ [s ] ？
t max ≤ [t ] ？
显然简单受力情况下的强度条件不能应用于复杂受力情 况。
12.1 引言
二、应力状态
mn
确定受力构件内危险截面上的危险点的危险方向，为复
杂受力情况下的强度条件的建立打下基础。
四、研究应力状态的方法 —单元体法
y
sy tyz
tyx
1. 单元体：无限微小的正六面体。
tzx
txz sx
2. 单元体的特点
sz tzy
txy
x
z12.1 引言源自 微面上应力均匀分布； 平行微面上应力相同。 3. 空间单元体
sx sy sz txy tyz tzx
4. 平面单元体
sx sy txy
五、应力状态分类
1. 主平面：切应力为零的平面。
y
sy tyz
tyx
txz
tzx
sx
sz tzy
txy
x
z
y sy
tyx
sx txy x
z
12.1 引言
2. 主应力：主平面上的正应力。
3. 主单元体：三对正交微面都是主平面的单元体。
B点和B点分别为切应力的极
大值和极小值点。
τm ax τm in
=
r
=
σx
2
σy
2
τ
2 xy
t
s
o A
B
Ax(sx, txy) 2α1