平行四边形题目

板块考试要求 A 级要求B 级要求C级要求平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题会运用平行四边形的性质和判定解决有关问题1．平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍． 平行四边形的面积：底乘以高． 2.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．一、平行四边形的性质【例1】 如图，四边形ABCD 为平行四边形，即AB CD ∥，AD BC ∥．通过证明三角形全等来说明：⑴AB CD =，AD BC =．（对边相等） ⑵AO CO =，BO DO =．（对角线互相平分）ODCBA【例2】 如图，点E F ，是平行四边形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =，那么AF 和CE 相等吗？请说明理由例题精讲知识点睛中考要求平行四边形的性质及判定21FEDCB A【例3】 如图所示，已知四边形ABCD ，从⑴AB DC ∥；⑵AB DC =；⑶AD BC ∥；⑷AD BC =；⑸A C ∠=∠；⑹B D ∠=∠中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合。

ADBC【例4】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF BC GH AB EF ∥，∥，与GH 相交于点O ，图中共有 个平行四边形O HGF EDC BA【例5】 如图，在平行四边形ABCD 中，5AD =，3AB =，AE 平分BAD ∠交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为（ ）A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和4如图DCE B A【例6】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例7】 如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．⑴ 证明：当旋转角为90︒时，四边形ABEF 是平行四边形； ⑵ 试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等．【例8】 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．15【例9】 如图，在平行四边ABCD 中，AC 、BD 为对角线，6BC ，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．24(1)DB【例10】 现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．(2)【例11】 如图3，一个平行四边形被分成面积为1S 、2S 、3S 、4S 四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时．① 14S S 与23S S 的大小关系为 ．② 已知点C 与点A 、B 不重合时，图中共有 个平行四边形，S 4S 3S 2S 1(3)DCBA【例12】 如图1，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图2，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．【例13】 如图，,E F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =.求证：（1）ADF ∆≌CBE ∆；（2）EB DF ∥.AFE DCB【例14】 如图，已知：在平行四边形ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．FGEDCBA【例15】 已知：如图，平行四边形ABCD 内有一点E 满足ED AD ⊥于点D ，EBC EDC ∠=∠，45ECB ∠=︒，请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明．EDCBA【例16】 如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．FEDCBA【例17】 如图，平行四边形ABCD 中，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥于F .求证：AE CF =.DEF CAB【例18】 如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ，过A C ，两点分别作AE BD CF BD E F ⊥⊥，，，为垂足，求证：四边形AECF 是平行四边形FEDCBA【例19】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．求证：ABE EFC S S ∆∆=．【例20】 如图，已知等边三角形的边长为10，P 是ABC ∆内一点，PD AC ∥，PE AB PF BC ∥，∥，点 D E F ，，分别在AB BC AC ，，上，则PD PE PF ++= PFEDCBA【例21】 如图1，在平行四边ABCD 中，120A ∠=︒，则D ∠= ︒．AB图图1DC BA【例22】 如图2，在平行四边形ABCD 中，DB DC =，65A ∠=︒，CE BD ⊥于E ，则BCE ∠= ︒．EEAB图ABCD图2D【例23】 已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形【例24】 （2009东营）如图3，在平行四边ABCD 中，已知8cm AD =，6cm AB =，DE 平分ADC ∠交BC 边于点E ，则BE 等于 cm ．E ABCD图3D【例25】 已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，则AB 的长度为 cm ．OD CBA【例26】 一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是 ．OD CBA【例27】 如图，是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ，AB DC ∥，BC DF ∥，从B 站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E ---，路线2是B C F E ---，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．A BCDEFG【例28】 如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD 是平行四边形，BE AC ⊥，DF AC ⊥，E 、F 是垂足，G 、H 分别是BC 、AD 的中点，连接EG GF FH ，，． HE 为公园中小路，问小明从B 地经E 地，H 地到F 地，与小强从D 地经F 地，G 地到E 地，谁的路程远．A BCDEFGH【例29】 在平行四边形ABCD 中，过A 任作一直线AM ，过B 、C 、D 作AM 的垂线BE 、CF 、DG ，垂足分别是E 、F 、G ，求证：BE DG CF =-．GFE DCBA【例30】 AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．ABOEF GGFE ODCBA二、平行四边形性质和判定的综合应用【例31】 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【例32】 如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ∥，在AB 上截取BF AE =，连接DE EF ，，求证：四边形BDEF 是平行四边形FEDCBA【例33】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB CD 的中点.求证：(1)AFD ∆≌CEB ∆；(2)四边形AECF 是平行四边形．CE FDBA【例34】 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBA【例35】 如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，B D ∠=∠，6BC =，3AB =，求四边形ABCD 的周长．DCB A【例36】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，、F 是对角线AC 上两点，且AF CE =，求证：四边形BEDF是平行四边形．FEDCBA【例37】 已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF CE =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．FEDCBA【例38】 如图，在平行四边形ABCD 的各边AB BC CD DA ，，，上，分别取E F G H ，，，，使AE CG =， BF DH =，求证：四边形EFGH 为平行四边形H GF ED CB A【例39】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若P E P F =，且AP AE CP CF +=+．求证：四边形ABCD 是平行四边形．PFE DBA【例40】 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，在AD BC ，上，且AE CF =，AF 与BE 交于点M ，CE 与DF 交于点N ，求证：四边形EMFN 是平行四边形NMFE DCBA【例41】 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM CN =，DE BF =，求证：四边形MFNE 是平行四边形．ENFM D CBA【例42】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE CF =．⑴求证：ABE ∆≌CDF ∆；⑵若M N ，、分别是BE 、DF 的中点，连接MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论．EN M CDFBA【例43】 如图，过四边形ABCD 对角线的交点O 作直线EF 交AD 、BC 分别于E 、F ，又G 、H 分别为OB 、OD 的中点，求证：四边形EHFG 为平行四边形．O GFH EDCBA【例44】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．当AB AC ≠时，证明四边形ADFE为平行四边形．FEDCBA【例45】 如图，点E F G H M N ，，，，，分别在ABC ∆的BC AC AB ，，边上，且 NH MG BC ME NF AC ∥∥，∥∥，GF EH AB ∥∥，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F 点出发，黑蚂蚁沿路线F N H E M G F →→→→→→爬行，白蚂蚁沿路线F B A C F →→→→爬行，那么（ ） A ． 黑蚂蚁先回到F 点 B ． 白蚂蚁先回到F 点 C ． 两只蚂蚁同时回到F 点D ． 哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定N MH GFECBA【例46】 以ABCD 的对边AB 、CD 为边分别在外作等边ABE ∆、等边CDF ∆．求证： 四边形AECF 是平行四边形．EC DFBA【例47】 等边ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD BE =，所以AD 为边作等边ADF ∆．求证：四边形CDFE 是平行四边形．FEDCBA【例48】 如图，已知AC 是平行四边形ABCD 的对角线，ACP ∆和ACQ ∆都是等边三角形，求证：四边形BPDQ 是平行四边形．QP DCB A【例49】 如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF 与AE 互相平分．FEDCB A【例50】 已知BD 为平行四边形ABCD 的对角线，过C 作CE BD ∥，连接AE 交BD 的延长线于F ，求证：AF FE =．FEDC BA【例51】 如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A B C D ，，，处均种有一颗大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由DBA【例52】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED BC ⊥于点D ，在DE的延长线上取一点F ，使AF CE =．求证：四边形ACEF 是平行四边形．FEDBCA【例53】 如图，在平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥于E ，BM MC DC ==，那么EMC ∠与BEM ∠的大小关系怎样？EMDC BA【例54】 已知平行四边形ABCD ，2BC AB =，M 为AD 的中点，CE AB ⊥．求证：3EMD AEM ∠=∠．EMDCBA【例55】 已知：如图，平行四边形ABCD 中，AE BE CF DF 、、、分别平分BAD ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠，BE DF 、的延长线分别交AD BC 、于点M N 、．连接EF ，若7AD =，4AB =．求EF 的长．NM F EDCBA【例56】 如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB 、AD 的平行线，交平行四边形于E 、F 、G 、H 四点，若3AHPE S =，5PFCG S =，求PBD S △．P GHFE D CBA【例57】 已知五边形ABCDE 中，AC ED ∥，交BE 于点P ，AD BC ∥，•交BE 于点Q ，BE CD ∥，求证：BCP QDE ∆∆≌．QP EDC BA【例58】 如图，在 ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC 于F 。