第四章 向量组的线性相关性

第四章 向量组的线性相关性4.1目的要求1．了解n 维向量的概念，并掌握其线性运算的方法.2．理解向量组线性相关性的若干概念，了解与相关性的结论. 3．理解向量组的极大无关组的定义与向量组秩的定义. 4．了解n 维向量空间、子空间、基底、维数的概念.5．掌握矩阵初等变换判断向量组的相关性，求向量组的秩和极大无关组的方法.4.2重要公式和结论4.2.1 向量组及其线性组合1．n 维向量 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为 该向量的n 个分量，第i 个数i a 称为第i 个分量.2．向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组. 3．线性组合 给定向量组A 12m :a ,a ,,a 对于任何一组实数n k k k ,,,21 表达式12m k k k ++12m a a a 称为向量组A 的一个线性组合，n k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.4．线性表示 给定向量组A 12m :a ,a ,,a 和向量b ，如果存在一组数m λλλ,,,21 ，使12m λλλ=+++ 12m b a a a ，则称向量b 能由向量组A 线性表示; 若向量组B 12l:b ,b ,,b 中的每个向量都能由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由A 线性表示．5．向量组等价 若向量组A 与向量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价. 6．定理1 向量b 能由向量组A 12m :a ,a ,,a 线性表示的充要条件是矩阵()= 12m A a ,a ,,a 的秩等于矩阵 12m B =(a ,a ,,a ,b)的秩.7．定理 2 向量组12l B ,,, :b b b 能由向量组A 12m :a ,a ,,a 线性表示的充要条件是 矩阵()= 12m A a ,a ,,a 的秩等于矩阵11(,)(,,,,,)m l =A B a a b b 的秩，即()()R R A =A,B .8．推论1 向量组A 12m :a ,a ,,a 与向量组12l B ,,, :b b b 等价的充要条件是()()()R R R A =B =A,B ，其中，A 和B 是向量组A 和B 所构成的矩阵.9．定理3 设向量组12l B ,,, :b b b 能由向量组A 12m :a ,a ,,a 线性表示， 则12(,,,)()l R R ≤ 12m b b b a ,a ,,a . 4.2.2向量组的线性相关性1．线性相关、线性无关 给定向量组A 12m :a ,a ,,a ，如果存在不全为零的数n k k k ,,,21 ，使11220m m k k k ++=a a a ，则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关.2．性质① 含有零向量的向量组必线性相关，线性无关的向量组必不含零向量； ② 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例； ③ 多于n 个向量的n 维向量组必线性相关；④ 如果向量组中一部分向量线性相关，那么整个向量组线性相关；如果整个向量组线性无关，那么由它的部分向量构成的向量组也线性无关.3．定理1 向量组A 12m :a ,a ,,a 线性相关的充要条件是它构成的矩阵()= 12m A a ,a ,,a 的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充要条件()R m =A 。

4．定理 2 ①若向量组A 12m :a ,a ,,a 线性相关，则向量组,,,,B 12m :a a a b 也线性相关，反言之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关； ② m 个n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关； ③ 设向量组A 12m :a ,a ,,a 线性无关，而向量组,,,,B 12m :a a a b 线性相关，则向量b 必能由向量组A 线性表示，且表达式是唯一的. 4.2.3向量组的秩1．最大线性无关向量组 设有向量组A ，如果在A 中能选出r 个向量,,,r 12a a a ， 满足 ① 向量组0A 12r :a ,a ,,a 线性无关；② 向量组A 中任意r+1个向量（如果A 中有r +1个向量）都线性相关，则称向量组A 0是向量组A 的一个最大线性无关向量组，最大无关组所含有向量个数r 称为向量组A 的秩，记作R A .2．等价的向量组有相同的秩。

3．定理1 矩阵的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩. 4．推论 设向量组012r A :a ,a ,,a 是向量组A 的一个部分组，且满足① 向量组A 0线性无关； ② 向量组A 的任一向量都能由向量组A 0线性表示；那么向量组A 0便是向量组A 的一个最大无关组。

5．定理2 向量组12l b ,b ,,b 能由向量组12m a ,a ,,a 线性表示的充要条件是1211(,,,)(,,,,,)m m l R R =a a a a a b b .4.2.4线性方程组的解的结构1．对齐次线性方程组 AX =0其中111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A , 12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x , 若11211n ξξξ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1x ξ 满足方程组，则1ξ称为方程组的解. 齐次线性方程组的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.2．性质1 若1x =ξ，2x =ξ为AX =0的解，则12x =ξ+ξ也是它的解； 3．性质2 若1x =ξ为AX =0的解，k 为实数，则k 1x =ξ也是它的解.4．定理 设m n ⨯ 矩阵A 的秩()R r =A ，则n 元齐次线性方程组AX =0的解集S 的秩s R n r =-.5．性质1 设1x =η及2x =η都是方程AX =b 的解，则12-x =ηη为对应齐次线 性方程组AX =0的解.6．性质2 设x =η是方程AX =b 的解，x =ξ是方程AX =0的解，则+x =ξη 仍是方程AX =b 的解. 4.2.5向量空间1．向量空间 设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且若V ∈a ，V ∈b ，则V +∈a b ；若V ∈a ，λ∈R ,则V λ∈a ，即V 对加法及数乘封闭，就称集合V 为向量空间.2．子空间 设有向量空间V 1及V 2，若21V V ⊂，就称V 1是V 2的子空间. 3．由向量组12m a ,a ,,a 所生成的向量空间为 {}112212,,,m m mλλλλλλ==+++∈L x a a a R4．基 设V 为向量空间，如果r 个向量12r ∈a ,a ,,a V ，且满足① 12r a ,a ,,a 线性无关； ② V 中任何一向量都可由12r a ,a ,,a 线性表示，那么，向量组12r a ,a ,,a 就称为向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间.5．如果在向量空间V 中取定一个基 12r a ,a ,,a ，那么V 中任一向量x 都可唯一表示为 1122r r λλλ=+++x a a a 数组 12,,r λλλ 称为向量x 在基 12r a ,a ,,a 中的坐标. 4.2.6基变换公式与坐标变换公式1．设向量组12,,,n a a a 与12,,,n b b b 是V 的两组基，且有1212(,,,)(,,,)n n =b b b a a a A 其中 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 称上式为由基12,,,n a a a 到基12,,,n b b b 的基变换，称A 为由基12,,,n a a a 到基12,,,n b b b 的过渡矩阵.2．对向量∈x V ，它在基12,,,n a a a 与12,,,n b b b 下的坐标分别为12(,,,)n x x x 及12(,,,)n y y y ，即11221212(,,,),(,,,)n n n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x a a a x b b b ，则有 11221n n y x y x y x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 这就是由基12,,,n a a a 到基12,,,n b b b 的坐标变换公式.4.3 例题分析例4.1 若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1m =123αααβ，2n =123ααβα，试求四阶行列式T =A αα.解：311131m =-=-22αααβαααβ，312123n ==22αααβααβα故 3112311312())m n +=+=-+222αααββαααβαααβ.例4.2 设(1,0,1)T =-α，矩阵T=A αα，n 为正整数，计算n -αE A .解：12,()()()20222000202T n T n T T Tn n n n T n T n n -==⋅=⋅⎛⎫- ⎪⋅⋅=⋅= ⎪⎪-⎝⎭ααA αααααααααααα个-1-1-1-1-1-1＝ 所以22020a 000020********(2)202n n n n n n n n n na aa a a a a a aa a a ---==-----E A -1-1行-1-1-1-1列-1＝＝.例 4.3 已知向量123(1,1,1),(1,2,4),(1,3,9)T T T ===ααα及(1,1,3)T=β，试用123,,ααα线性表示β.解：设112233x x x =++βααα，即 123111112311493x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解上述方程组，方程组的增广矩阵为322131321223333/2111111111111123101200120149303820022101110020102010200110011r r r r r r r r r r r r r ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B解得方程组得解1232,2,1x x x ==-=，线性表示式为12322=-+βααα.例4.4 设向量123,,ααα线性相关，向量234,,ααα线性无关，问：（1） 向量1α能否由向量23,αα线性表示？（2） 向量4α能否由向量123,,ααα线性表示？证（1）由234,,ααα线性无关知23,αα必线性无关，又知添加了1α后123,,ααα线性相 关，则1α必能由23,αα线性表示，这是因为123,,ααα线性相关时，有不全为零的数123,,k k k 使 1122330k k k ++=ααα1k 必不为零，否则10k =，23,k k 必不全为零且使22330k k +=αα，这与23,αα线性无关矛盾，因此必有10k ≠，则3212311k k k k =--ααα，即向量1α能由向量23,αα线性表示. （2）若4α能由123,,ααα线性表示，即 411223k k k =++αααα由(1)的结论知，11223t t =+ααα，将1α代入，整理得 41122123()()k t k k t k =+++ααα 这表明234,,ααα线性相关，与题设矛盾，因此向量4α不能由向量123,,ααα线性表示.例4.5 设向量 2123111,,1,111λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ问λ取何值时，（1） β不能由123,,ααα线性表示？（2） β可由123,,ααα线性表示，且表示式唯一？并求出这个表达式.解 设有数123,,x x x 使 11223x x x =++βααα设其系数矩阵123(,,)=A ααα，增广矩阵123(,,,)=B αααβ，对B 作初等变换22222232231111111101101111101110021λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B（1） β不能由123,,ααα线性表示⇔=Ax β无解()()R R ⇔<A B22320210λλλλλλ⎧--=⎪⇔⇔=-⎨+--=⎪⎩ 所以，当2λ=-时, β不能由123,,ααα线性表示.（2）β可由123,,ααα唯一线性表示⇔=Ax β有唯一解()()3R R ⇔=A =B 220λλ⇔--≠且21λλ⇔≠-≠且，所以当21λλ≠-≠且时β可由123,,ααα唯一线性表示.求解方程组=Ax β，即 2123232233(1)(1)(1)(2)1x x x x x x λλλλλλλλλλλ⎧++=⎪-+-=-⎨⎪--=+--⎩解得 212311(1),,222x x x λλλλλ++=-==+++， 于是β可由123,,ααα唯一线性表示式为 212311(1)222λλλλλ++=-+++++βααα 例4.6 判断向量组()()()1231,2,0,3,2,5,1,0,3,4,1,2=-=-=ααα是否线性相关. 解（法一）应用向量组线性相关与线性无关的定义设 1122330k k k ++=ααα则有 123123231323025400320k k k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎪⎨-+=⎪⎪+=⎩对应齐次线性方程组得系数矩阵进行行的初等变换，有1231231232540910011011011091030206706712312001190100010010013000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A由此可得1230k k k ===，故123,,ααα线性无关.（法二）应用向量组何矩阵之间的关系来判别，考虑由向量123,,ααα为行向量组成的矩阵 120325103412-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，对其进行初等行变换120312031203251009160101734120101709161203120301210111091600193---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-→--→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭B由此知()3R =B ，从而123,,ααα线性无关.例4.7 已知A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若,≠=A α0A α230， 证明2,,αAαA α线性无关.证 若 21230k k k ++=αAαA α， 用2A 左乘上式，并把=A α30代入得21k ≠A α0，而2≠A α0，从而有10k =，于是223k k +=A αA α0，再用A 左乘，类似可知20k =，于是23k =A α0，即知30k =，因此2,,αAαA α线性无关.例4.8 设()()()1231,1,1,1,2,3,1,3,t ===ααα（1） 问当t 为何值时，向量组123,,ααα线性无关； （2） 问当t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关；（3） 当123,,ααα线性相关时，将3α表为12,αα的线性组合． 解 设112233k k k ++=ααα0，由分量方程组写法，即得123123123023030k k k k k k k k tk ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式111123513D t t ==- （1） 当5t ≠时，方程组只有零解1230k k k ===故123,,ααα线性无关； （2） 当5t =时，方程组有非零解，即123,,k k k 可取不全为零的值，使112233k k k ++=ααα0，故123,,ααα线性相关;（3） 当5t =时，设31122x x =+ααα，解得121,2x x =-=-，于是 3212=-ααα 例4.9 已知()()()1231,4,3,2,,1,2,3,1TTTt ==-=-ααα线性相关，求t 的值.解：（法一） 用行列式判定()32321312317(8)41233122122122,,430811011311077003r r t r r r r r r rt t t -⨯----↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα可见3t =-.（法二） 矩阵的秩()32321312317(8)41233122122122,,430811011311077003r r t r r r r r r rt t t -⨯----↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα所以当()2R =A ，即3t =-时，123,,ααα线性相关.例4.10 已知向量组12,,s ααα 线性无关，11111221221122221122s ss ss s s ss sa a a a a a a a a =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩βαααβαααβααα证明12,,,s βββ 线性无关的充要条件是 1112121222120s s s s ssa aa a a aa a a =≠A.证 充分性 设0≠A ，要证12,,,s βββ 线性无关，设11220s s k k k +++=βββ 则将i β代入有 1122111()()()0ss si i i i i s i s i i i ak a k a k ===+++=∑∑∑ααα 由于12,,s ααα 线性无关，则 111122121122221122000s s s ss s ss s a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于此方程组的系数行列式0T=≠A A ，故上述方程组只有零解, 从而12,,,sβββ 线性无关.必要性 假设0=A ，则A 的行向量线性相关，于是存在不全为零的数12,,,s k k k ，使 11112122122212(,,,)(,,,)(,,,)0s sss s s sk a a a k a a a k a a a +++=由此可知 111122121122221122000s s s ss s ss s a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ，于是 11221122111()()()s sss s i ii iis i s i i i k k k a k ak a k ===+++=+++=∑∑∑βββααα 0即12,,,s βββ 线性相关，与题设矛盾，故0≠A .例4.11 设有向量组 1234(1,1,2,2,1)(0,2,1,5,1)(2,0,3,1,3)(1,1,0,4,1)=⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩αααα求向量组1234,,,αααα的秩，并求出它的一个极大线性无关组.解12341021102112010220(,,,)2130011225140552113101121021102110210112011201120220000400005520001201120004T T T T⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A αααα1000121000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B由此知秩1234{,,,}3=αααα，因为B 的一个3阶子式 1011210001-=≠所以与这三列所对应的向量124,,ααα是原向量组的一个极大线性无关组，容易看出，134,,ααα也是它的一个极大线性无关组.例4.12 已知向量组 12341132413261,,,,151********p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα（1） p 为何值时，向量组1234,,,αααα线性无关？并在此时将向量α用1234,,,αααα 线性表出；（2） p 为何值时，向量组1234,,,αααα线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线 性无关组.解 将向量组中的各向量作为矩阵的各列，然后作初等行变换，化为阶梯形矩阵1132411324132610214315110606412231210047621132411324021430214300707001010092800021p p p p p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪------ ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-------- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A（1） 2p ≠时，向量组1234,,,αααα线性无关，此时可进一步把化为10002340100200101100002p p p p ⎛⎫⎪- ⎪-⎪→⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭A ，故有 1234341222p pp p --=+++--ααααα; （2） 2p =时，向量组1234,,,αααα线性相关，此时，向量组的秩等于3，矩阵1234[,,,]αααα 可进一步化为 123411320214[,,,]00100000--⎛⎫⎪---⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααα 可见123,,ααα（134,,ααα）为其一个极大线性无关组.例4.13 设向量组（I ）1234,,,αααα的秩为3，向量组（II ）1235,,,αααα的秩为4， 证明向量组12354,,,-ααααα的秩为4.证 由向量组（II ）1235,,,αααα的秩为4，知123,,ααα线性无关，又由向量组（I ）1234,,,αααα的秩为3，知4α可由123,,ααα线性表出，即有不全为零的数123,,l l l ，使得4112233l l l =++αααα.设有一组数1234,,,k k k k ，使得 112233454()k k k k +++-=ααααα0由上两式整理得 14112422343345()()()k k l k k l k k l k -+-+-+=αααα0由于1235,,,αααα线性无关，所以 14124234340000k k l k k l k k l k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩该方程组只有零解12340k k k k ====，故12354,,,-ααααα线性无关，也就是说该向量组的秩为4.例4.14 证明 ()min{(),()}r r r ≤AB A B . 证 只需证明()()r r ≤AB A 且()()r r ≤AB B ，设C =AB ，其中A ,B ,C 分别为,,m r r n m n ⨯⨯⨯矩阵，记C 的行向量为12,,,m c c c ，B 的行向量为12r ,,,b b b ，()ijm ra ⨯=A 则由C =AB ，得11121r (1,2,,)i i i i a a a i m =+++=c b b b这说明C 的行向量组可由B 的行向量组表示，从而()()r r ≤C B ， 又因为 ()()()()()TTTTr r r r r ==≤=C C B A A A 所以有 ()()min{(),()}r r r r =≤C AB A B .例4.15 求齐次线性方程组 1245123412345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩的基础解系，并用基础解系表示出方程组的全部解.解 将方程组的系数矩阵A 化为行最简形矩阵71010611031511210011064263410001242473000-⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪-- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭A从而知()3R =A ，故基础解系中有 ()532n R -=-=A 个解向量，由系数矩阵的变换结果 1523457365613x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，令351001x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭及，得原方程组的基础解系127615*********ξξ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭＝，＝， 于是通解为123121245761516,)1001031x x x C C C C R x x ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭，(.例4.16 求方程组 12345123452345123457323222623543312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+-+-=⎩ 的通解.解 对方程组的增广矩阵B 施行初等行变换，得111117111117101516321132012262301026230122623001000001000543311200000000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B 因为()()3R R ==A B ，故方程组有解，且 145245351626230x x x x x x x =+-⎧⎪=--+⎨⎪=⎩ 取450x x ==，则1216,23x x =-=，即得原方程组的一个特解1623000*-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭η在对应的齐次线性方程组14524535260x x x x x x x =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩中，取451001x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭及，得基础解系121526001001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ＝，＝ ，于是所求通解为12312124515162623(000100010x x x C C C C x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，R)例4.17 已知向量空间的两个基123123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)(1,2,1),(2,3,4),(3,4,3)T T T T T T ==-====αααβββ与求由基1123123,,)(,,)-=βββC ααα(的过渡矩阵C .解 由基变换公式 123123,,)(,,)=βββαααC (C 为过渡矩阵，矩阵123(,,)ααα可逆，且 112301011(,,)02211122-⎛⎫⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ααα 所以，过渡矩阵112312301012323411(,,),,)02340102214310111122-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭C αααβββ(. 例4.18 证明向量组 12(1,1,0,0),(1,0,1,1)T T ==αα 和向量组12(2,1,3,3),(0,1,1,1)T T =-=--ββ是同一个向量空间的基，并求由基 12,ββ 到基 12,αα的过渡矩阵.证 易知1212(,)(,)2R R ==ααββ, 所以12,αα与12,ββ都是线性无关的向量组1212112011401120101101310131(,,,)013101310000013100000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ 1212(,,,)2R =ααββ，于是12121212(,)(,)(,,,)2R R R ===ααββααββ，则12,αα与12,ββ是线性无关的等价的向量组，它们是同一向量空间的基.设由基12,ββ到基12,αα的过渡矩阵为11122122c c c c ⎛⎫=⎪⎝⎭C ，那么 111221221120101101310131c c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，由此四元方程组解得过渡矩阵为 111312⎛⎫= ⎪⎝⎭C . 例4.19 设123,,εεε是3R 空间的一个基，又 1123112232123233234235,2342=+-=⎧⎧⎪⎪=+=-+⎨⎨⎪⎪=+=+⎩⎩βεεεαεαεεβεεβεεαεε.（1） 证明123,,ααα和123,,βββ也是3R 中的基； （2） 求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵； （3） 求由基123,,ααα到基123,,βββ的坐标变换公式. 解（1）只需证明123,,ααα和123,,βββ线性无关即可，设112233x x x ++=ααα0，即 11223323(35)(2)x x x ++++=εεεεε0 亦即 11232233(3)(52)x x x x x ++++=εεε0由线性无关得 12323030520x x x x x =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩易知上面方程组的系数行列式不为0，所以1230x x x ===，故123,,ααα线性无关，同理可证123,,βββ线性无关.（2）因为 123123123100(,,)(,,)031(,,)052⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭αααεεεεεεA 123123123420(,,)(,,)231(,,)104-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭βββεεεεεεB由上面的第1式得 1123123(,,)(,,)-=εεεαααA从而有 1123123(,,)(,,)-=βββαααA B 于是基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为1110042003123105210410042042002123156205310413157---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭P A B . （3）设ξ是中的任一向量，它在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标分别为123(,,)x x x 和123(,,)y y y ，则其坐标变换公式为 11223342056213157x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭P .。