8基于卡尔曼滤波的最大似然参数估计(2)
进而有准则函数：
k
J v T ( j)Rv1( j)v ( j) ln Rv ( j) j 1
上式相当于以测量噪声的协方差矩阵的逆 Rv1 为 权的加权最小二乘估计，称之为输出误差法。 当测量噪声的特性已知，直接采用牛顿－拉夫 逊算法，即可对参数进行估计。
k j1
取B为此常值，则可以简化准则函数的求导运算：
J
l
k j 1
2v
T
(
j)
B 1 (
j)
v( j) l
, (l
1, 2,
, p)
2 J
ml
k j 1
2
vT(
l
j)
B 1 (
j)
v( j) m
,
(l,
m
1,
2,
, p)
对于增益阵K，定义：
K l
0
Ilm
(当l不是Klm时) (当l是K矩阵中的Klm时)
y( j) X ( j) v( j) X Rn1,U Rr1
系统噪声通过状态方程影响观测量，观测量中 同时包含了观测噪声与系统噪声的贡献。
如果观测噪声与系统噪声相比较，可以忽 略不计，这时新息表达式成了测量值和状态 变化量预估值之间的误差。
v( j) y( j) fˆ X ( j),U( j), ;t j w( j)
与最大似然估计比较可见，修正最大似然 估计的要点在于引进参数 的 先验知识。若没 有先验知识， P 很( )大， P趋1(于) 零，修正最 大似然法就成了最大似然法。
若 的先验知识比较可靠， P (较) 小，则 后面一项就起作用。对于测量误差很大的试 验，其数据的 B(很j) 大，则前面一项的作用
减弱，辨识出的 将 靠近于 。0
习题： 8-7 ， 8-8
谢谢！
的hT变换成了 。
四、最大似然近似算法
考虑观测噪声与过程噪声的最大似然 法，其计算都很复杂，每次迭代计算需要 计算大量数据，而且协方差在计算过程中 还常会出现不收敛的情况，故在实际应用 中常作不同程度的简化。
（1）信息矩阵B与增益矩阵K的简化
将似然函数对B求极值，可得B的最优估计：
Bˆ 1 k v ( j)v T ( j)
J
k j 1
Xa
(Xm
ˆ T
Xa
)T
Qw1Βιβλιοθήκη 0于是有：k
k
Xa
X
T a
Qw1
X
a
X
T m
Qw1
j 1
j 1
求解上述方程组，即可确定待辨识参数。
三、最大似然递推算法
递推算法逐点进行数据处理，观测数据每 采样一次，就利用新观测信息更新一次参数 估计值，不断提高参数估计的准度。
根据该特点，递推最大似然方法可以作为 一种在线估计方法。
递推最大似然估计的思路：将j时刻准则函 数J(j)表示成j-1时刻的准则函数和j时刻新息的 形式；对J(j)在 j1处展开，并略去二阶以上项， 于是得到使J(j)达到极小的必要条件；利用必要 条件及准则函数的性质可得递推公式。
将指标函数表示成如下递推形式：
J ( j) J ( j 1) T ( j) B1( j) ( j) ln | B( j) |
T
(
j)
B 1 (
j)
T (
j)
ˆj1
N ( j) ln | B( j) | ˆ j 1
进一步，将上式配方为：
J( j)
(
a)T
P1
(
j
1)
B1( j) T
ˆj1
(
a) d
a
P1
(
j 1)
B1( j) T
1
B1(
j) ( j)
ˆj1
I
K(
j)
P
(
j
1)
T
1
K ( j) P ( j 1)
B( j)
P
(
j
1)
ˆj1
于是可得最大似然算法的递推公式：
ˆj ˆj1 K ( j) ( j)
K ( j)
P
(
j
1)
B( j)
T
P
(
j
1)
1
P
(
j)
I
K(
j)
P
(
j
1)
与Kalman滤波公式比较，相当于将观测噪声中
式中Ilm 表示除l，m位置的元素为1外，其它 都为0。这种简化在已知噪声特性时可能会出 现矛盾的结果。
（2）稳态线性系统的近似算法 常系数线性动力学系统的过程噪声和测量噪声 的统计特性变化不大时，可假定系统在运行一 段时间后趋于稳态状态，其卡尔曼滤波器的增 益、新息协方差矩阵和状态协方差矩阵都是常 数，从而进一步简化最大似然算法。
由信息矩阵公式：
P1
2J
ml
结合准则函数：
J( j)
(
a)T
P1(
j
1)
B1(
T
j)
ˆj1
(
a) d
可得：
P1 (
j)
P1 (
j
1)
B1(
T
j)
由矩阵求逆公式：
( A BCD)1 A1 A1B(C 1 DA1B)1 DA1
则有： 其中：
P
(
j)
d J ( j 1) [ T ( j) B1( j) ( j)] ˆj1
aT
P1
(
j
1)
B1( j) T
ˆj1
a
ln |
B( j) |
上式各项都在 ˆj1的条件下取值，d是 ˆj1的二次 型函数，与 无关。故要使J(j)极小的必要条件
是 a 0 ，即有：
ˆj ˆj1 a
五、修正最大似然准则
最大似然法所取的似然函数是给定参 数 条件下观测量出现的条件概率。若将似 然函数取为观测量和待估计参数出现的联 合概率，则称为修正最大似然法。
其对应的指标函数如下：
k
J v T ( j)B1( j)v( j) ln B( j) ( 0)T P1( )( 0)
j1
由上式可见，修正最大似然估计是比最大似 然估计更为广泛的一种估计，而最大似然估 计是一种特殊情况。
基于卡尔曼滤波的极大似然估计
国防科学技术大学航天与材料工程学院
2011-11-5
一、输出误差法 二、方程误差法 三、最大似然递推算法 四、最大似然近似算法 五、修正最大似然准则
一、输出误差法
非线性系统若初值准确，即初始方差为0； 又若系统过程噪声很小，可忽略不计，此时 协方差矩阵的解为零，Kalman增益矩阵也为 0，即状态预估值就是状态本身，于是新息等 于输出误差：
当仪器的测量噪声不随时间变化，则准则函
数变为：
k
J v T ( j)Rv1v ( j) j 1
当测量噪声的统计特性未知时，常取J对Rv 的导数为0，可求出测量噪声方差的最优估计：
Rˆv
1 k
k
v ( j)v T ( j)
j 1
二、方程误差法
对如下系统：
X (t) f [ X (t),U (t), ;t] W (t)
新息矩阵就是系统噪声的方差矩 阵 Qw1( j) 。
如果统计特性已知，准则函数为：
k
J v T ( j) Qw1( j) v ( j) j 1
这种情况的最大似然法称为方程误差法。相 当于
W B1( j) Qw1( j)
的加权最小二乘法。
若系统是线性系统，且已知过程噪声的统 计特性，则方程误差法不用进行迭代计算， 直接求解线性代数方程组即可得辨识参数。
假设线性系统如下：
X A( ) X B( ) U W
设A、B矩阵元素为待辨识参数，定义：
A
BT , Xa
X
T
U
则： X T Xa W
指标函数可以写为：
J
k
X
m
(
j
)
T
X
a
(
j
)
T
Qw1
(
j)
X
m
(
j
)
T
X
a
(
j)
j 1
Xm( j) 为观测量。
可以推出 的最优估计 满足必要条件：
将上式在 ˆj1 处展开，则有：
J ( j) J ( j 1) |ˆj1 [ ˆj1]T P1( j 1)[ ˆj1] M ( j) N( j)
P1
2J ml
其中：
M ( j) [ T ( j) B1( j) ( j)] |ˆj1
2
T
(
j)
B 1 (
j)
T (
j)
ˆj1
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
卡尔曼滤波的r、q参数
卡尔曼滤波的r、q参数（最新版）目录1.卡尔曼滤波简介2.卡尔曼滤波中的 r、q 参数含义3.r、q 参数对卡尔曼滤波效果的影响4.如何设置 r、q 参数5.实际应用案例及注意事项正文一、卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波（Kalman filter）是一种线性最优递归滤波算法，用于估计动态系统的状态变量。
它是在维纳滤波（Wiener filter）的基础上引入了系统模型信息，从而提高了滤波效果的一种滤波方法。
卡尔曼滤波广泛应用于导航定位、机器人控制、自动驾驶等领域。
二、卡尔曼滤波中的 r、q 参数含义在卡尔曼滤波中，有两个重要的参数：r 和 q。
它们分别表示状态变量的协方差矩阵 R 和系统噪声矩阵 Q。
其中，- R（State Covariance Matrix）表示系统状态变量的不确定性，是由系统自身的噪声引起的。
它包含了状态变量的方差信息，用于描述状态变量之间的相关性。
- Q（System Noise Covariance Matrix）表示系统噪声的影响，是由外部环境因素引起的。
它包含了噪声的方差信息，用于描述噪声之间的相关性。
三、r、q 参数对卡尔曼滤波效果的影响r 和 q 参数对卡尔曼滤波效果具有重要影响。
它们分别决定了状态变量的不确定性和系统噪声的影响程度。
具体来说：- r 参数越小，表示状态变量的不确定性越小，滤波器对状态变量的估计越精确。
然而，r 参数过小可能导致滤波器过于敏感，对噪声过度响应，从而降低滤波效果。
- q 参数越小，表示系统噪声的影响越小，滤波器对噪声的抑制能力越强。
然而，q 参数过小可能导致滤波器对系统噪声的估计不足，从而降低滤波效果。
四、如何设置 r、q 参数在实际应用中，r、q 参数的设置需要根据具体情况进行调整。
一般可以通过以下方法进行设置：1.根据实际系统的噪声特性和测量误差，估计状态变量的协方差矩阵R 和系统噪声矩阵 Q。
2.结合实际应用需求，调整 r、q 参数以达到较好的滤波效果。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波（What is the Kalman Filter?）在学习卡尔曼滤波之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/media/pdf/Kalman1960.p df。
简单来说，卡尔曼滤波是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
一种基于多级Kalman滤波的高精度距离估计方法
一种基于多级Kalman滤波的高精度距离估计方法唐玲;杜雨洺【摘要】慢速运动目标距离估计精度不高,很难用于高精度距离测量的场合中,而滤波时精度过高会导致对目标距离变化的反应时间变慢,从而不能及时对位置变化做出判断.提出利用二级Kalman滤波对距离估计的目标参数进行处理,建立对慢速目标的滤波模型,并对滤波参数的选取进行讨论.以naonohOC模块为例,通过对测量数据进行仿真实验,证实该方法距离估计精度达到0.5m,得到有效提高,并且反应时间控制在有效范围内.%In the occasion of high-precision distance measurement,it is not applicable to estimating the distance of slow moving target,but high filtering accuracy leads to slow response time when target distance changes,so position change can' t be judged opportunely.An algorithm of target parameters processing which uses a two-stage Kalman estimator is proposed,and the filter model based on slow moving target is built in this paper,concurrently the selection of the filter parameters is discussed.Taiking the naonoLOC module as an example,simulation of measurement data results show that of the improved accuracy reaches to O.5 meter through the new approach,and the reaction time is limited in a specified range.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2015(030)002【总页数】5页(P131-135)【关键词】信号与信息处理;雷达信号处理;Kalman滤波;高精度;反应时间;距离估计;慢速运动目标【作者】唐玲;杜雨洺【作者单位】成都信息工程学院电子工程学院,四川成都610225;成都信息工程学院电子工程学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言在对慢速运动目标进行距离估计时，由于目标运动速度过慢，短时间内可以认为其处于静止状态，在强干扰环境中，目标测量误差可能远远大于其实际运动的距离，在这一情况下，测量值可能很难落在误差允许范围之内，从而造成数据无法真实反应目标运动轨迹[1]。
卡尔曼滤波法( Kalman滤波)用于SOC估算
Kalman Filter的实质
• 是一种数据处理算法 • 利用测量数据来滤波 • 数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种 数据处理技术 • Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够 从一系列存在测量噪声的数据中，估计动 态系统的状态 • “没有时间把一件事情做好，却有时间把 一件事情反复做”
Nernst模型系数
• K0 = 534.0017 • K1 = 2.6273 • K2 = -131.7037 • K3 = 95.4526 • K4 = -6.2601 确定：放电实验 + 最小二乘法
扩展卡尔曼滤波（ EKF ）
对非线性的观测方程做线性化 • Y(k) = f(Ik, xk) + Vk • f(Ik, xk) 对xk在某一时刻的xk0做泰勒展开 • 其一次项系数为
反馈控制法估计状态
符号惯例
• • • • • • • X：状态变量 U：输入量（如电流） Z：测量值 H：Z = H * X（H – 系数） P：协方差 K（Kg）：Kalman增益 Q、R：估算与测量噪声的方差
线性Kalman滤波：一般理论
• 状态方程 X(k) = A * X(k-1) + B * U(k) + W(k) Cov(W(k)) = Q • 测量方程 Z(k) = H * X(k) + V(k) Cov(V(k)) = R
对SOC初始值0.7不敏感
SOC初始值：0.95
卡尔曼滤波法
• 优点： 1. 克服电流积分法对初始值依赖的严重缺点
2. 能够消除采样噪声
• 缺点：
1. 模型参数会随时间变化，需修正 2. 计算量大，一个采样周期难以完成计算 3. 计算机字长有限造成舍入、截断误差积累
卡尔曼滤波Kalman filter
卡尔曼滤波器– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter ）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
卡尔曼滤波估计算法
卡尔曼滤波估计算法卡尔曼滤波是一种统计估计算法，用于对线性动态系统进行状态估计。
它是由当时的航空工程师Rudolf E. Kalman于1960年所提出的，并被广泛应用于航天、导航、自动控制等领域。
卡尔曼滤波算法的核心思想是通过利用系统的已知模型和传感器的测量结果，不断对系统状态进行估计和修正。
它通过最小化状态估计值与实际值之间的均方误差，达到对系统状态的精确估计。
卡尔曼滤波算法包含两个基本步骤：预测和校正。
预测步骤：在预测步骤中，根据系统的数学模型和上一时刻的状态估计值，计算当前时刻的状态预测值。
卡尔曼滤波假设状态的变化是线性的，并用状态转移矩阵描述系统的状态演化。
状态转移矩阵描述了系统状态在不同时刻之间的演化关系。
状态预测值是通过状态转移矩阵和上一时刻的状态估计值相乘得到的。
同时，预测过程也会估计预测误差协方差，该协方差矩阵描述了状态估计与实际状态之间的差异。
校正步骤：在校正步骤中，将传感器获得的实际测量值与状态预测值进行比较。
考虑到传感器误差，通过测量矩阵来转化预测的状态，并计算误差协方差矩阵。
测量矩阵描述了状态到观测之间的映射关系。
最后，通过计算卡尔曼增益，将预测值与实际测量值进行加权平均，得到修正后的状态估计值。
卡尔曼增益可以看作是一个衡量预测值与测量值之间权重的因子。
卡尔曼滤波算法的核心思想是不断迭代，通过预测和校正步骤，逐渐逼近真实状态。
通过对系统的状态进行估计，可以对系统的行为进行预测和控制。
总结起来，卡尔曼滤波算法通过利用系统模型和测量结果，不断迭代预测和校正步骤，对系统状态进行估计。
它在处理线性系统和高斯噪声的情况下，具有较好的估计性能。
卡尔曼滤波的估计算法被广泛应用于导航系统、自动驾驶、航天控制、目标跟踪等领域，并且在实际应用中得到了验证和改进。
其简洁、高效的特点使其成为状态估计问题的重要手段之一。
卡尔曼滤波简介和实例讲解
卡尔曼，美国数学家和电气工程师。
1930年5月19日生于匈牙利首都布达佩斯。
1953年在美国麻省理工学院毕业获理学士学位,1954年获理学硕士学位,1957年在哥伦比亚大学获科学博士学位。
1957～1958年在国际商业机器公司(IBM)研究大系统计算机控制的数学问题。
1958～1964年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。
1964～1971年到斯坦福大学任教授。
1971年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任，并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。
1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。
卡尔曼滤波器在随机序列估计、空间技术、工程系统辨识和经济系统建模等方面有许多重要应用。
1960年卡尔曼还提出能控性的概念。
能控性是控制系统的研究和实现的基本概念，在最优控制理论、稳定性理论和网络理论中起着重要作用。
卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念，并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。
为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖──荣誉奖章。
卡尔曼著有《数学系统概论》(1968)等书。
什么是卡尔曼滤波最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。
从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。
为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波精彩文档理论。
卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。
它适合于实时处理和计算机运算。
卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。
它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。
卡尔曼(Kalman)滤波
第4章 卡尔曼（Kalman ）滤波卡尔曼滤波的思想是把动态系统表示成状态空间形式，是一种连续修正系统的线性投影算法。
功能 1） 连续修正系统的线性投影算法。
2）用于计算高斯ARMA 过程的精确有限样本预测和精确的似然函数。
3） 分解矩阵自协方差生成函数或谱密度。
4）估计系数随时间变化的向量自回归。
第一节 动态系统的状态空间表示一．假设条件令t y 表示时期t 观察到变量的一个()1n ×向量。
则t y 的动态可以用不可观测的()1r ×向量t ξ来表示，t ξ为状态向量。
t y 的动态系统可以表示为如下的状态空间模型：11t t t F v ξξ++=+ （1）t t t t y A x H w ξ′′=++ （2）其中′′F,A ,H 分别为()r r ×，()n k ×和()n r ×矩阵，t x 是外生变量或前定变量的()1k ×向量。
方程（1）称为状态方程，方程（2）称为观察方程。
其中()1r ×向量t v 和()1n ×向量t w 为向量白噪声：()()00t t Qt E v v t R t E w w t ττττττ=⎧′=⎨≠⎩=⎧′=⎨≠⎩ （3）其中,Q R 为()(),r r n n ××矩阵。
假定扰动项t v 和t w 在所有阶滞后都不相关：()0t t E v w ′= 对所有的t 和τ （4）t x 为前定或外生变量，意味着对0,1,2,....,s =除包含在121,,...,t t y y y −−之内的信息外，t x 不再能提供关于t s ξ+以及t s w +的任何信息。
即t x 可能包含y 的滞后值或所有与τ、τξ和w τ不相关变量。
状态空间系统描述有限观察值序列{}1,...,T y y ，需要知道状态向量的初始值1ξ，根据状态方程（1），t ξ可写作()123,,,...,t v v v ξ的线性函数： 2211221....t t t t t t v Fv F v F v F ξξ−−−−=+++++ 2,3,...,t T = （5）这里假定1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：()()1101,2,...,01,2,...,t t E v TE w Tξτξτ′==′== （6）根据（3）和（6），得t v 和ξ的滞后值不相关：()0t E v τξ′= 1,2,...,1t t τ=−− （7） ()0t E w τξ′= 1,2,...,T τ= （8） ()()()0t t E w y E w A x H w ττττξ′′′=++= 1,2,...,1t t τ=−− （9） ()0t E v y τ′= 1,2,...,1t t τ=−− （10）二．状态空间系统的例子例1 ()AR p 过程，()()()112111...t t t p t p t y y y y µφµφµφµε+−−++−=−+−++−+ （11）()2t t E t τστεετ⎧==⎨≠⎩ （12） 可以写作状态空间形式。
8 状态估计(卡尔曼滤波)
8 状态估计(卡尔曼滤波)内容提要本章将介绍状态估计方法。
一般来讲，观测向量的维数总是小于系统状态向量的维数。
其原因主要基于以下两点：首先，在很多情况下系统的状态变量没有明确的物理意义，根本无法直接通过仪器设备获得；其次，为了减少系统的投资，在可能的条件下，观察量应尽量减少。
本章就讨论如何通过观察向量去估计系统的状态向量，主要内容为：离散随机系统的数学描述，最小方差估计，线性最小方差估计，最小二乘估计和投影定理以及离散系统的卡尔曼滤波。
最小方差估计是一种理想的估计，但需要了解被估计量的概率分布或密度，这就限制了应用，线性最小方差估计只需要了解被估计量的一阶矩和二阶矩，这在实际中容易实现，因此应用的比较广泛，卡尔曼滤波是一种递推的线性最小方差估计。
最小二乘估计不需要知道关于被估计量概率分布和矩的任何先验信息，只要采集足够多地的相互独立的样本就可以实现最小二乘估计。
最小二乘估计也是实际中最常用的估计方法之一。
习题与解答8.1试求常数a , 使()()()22E X a x a p x dx ∞-∞⎡⎤-=-⎣⎦⎰取最小值，其中X 是随机变量。
解 注意22()()()2()()2[()()]2()d E x a x a p x dx da a x a p x dxxp x dx a p x dx Ex a ∞-∞∞-∞∞∞-∞-∞∂-=-∂=--=--=--⎰⎰⎰⎰令此导数等于零，可得a Ex = □8.2. 根据两次观测1311201110x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；[]2512x e =+ 求x 的最小二乘估计。
解 ()Y X XX x T T 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-51232011110121011011201111011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2115963331□8.3 如公式()1T T LS X H H H Z ∧-=中的()TH H 没有逆存在，那代表什么情况？解 如()T H H 无逆，则ˆLS X 公式推导过程中只能得到()T T H H X H Z =，由于||0T H H =，可知方程有无穷多组解，即Z HX =的解不唯一，估计值不确定。