人教版初中数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (10)(含答案解析)

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2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值．3．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分∠F AE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．4．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tan C＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．5．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90°，AB＝6，CD＝2，△ABP与△PCD全等．（1）求AD的长；（2）求tan∠DAC的值．7．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tan C＝．（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离．8．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．9．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．10．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）11．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）12．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．（1）求点C到直线AB的距离；（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）13．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.28714．如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC＝6米，DE ＝4米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）15．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）16．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B 测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）17．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）18．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）19．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．20．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）参考答案1．（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案为：．2．解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，∵sin∠BCD＝，∴，∴CD＝5x，CE＝4x，∵CD＝5，∴x＝1，∴CE＝4，∵∠B＝45°，∴DE＝BE＝3x，∴BC＝BE+CE＝7x＝7．（2）过点A作AF⊥BC于点F，∴DE∥AF，∵D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴AF＝2DE，BF＝2BE，由（1）可知：DE＝BE＝3，∴AF＝6，BF＝6，∴CF＝BC﹣BF＝1，∴tan∠ACB＝6．3．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠F AC，∴∠ACF＝∠F AC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，∴EO＝3，∴S△AEO＝AO•EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．4．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠C为锐角且tan C＝1，∴∠C＝45°＝∠DAC．∴AD＝DC．∵sin C＝，AC＝4，∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，∴BD＝BC﹣DC＝2．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．（3）在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝＝．5．解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC＝，∴，∴BC＝5，∴CD＝＝3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝＝＝，DF＝＝＝2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB＝＝＝．6．解：（1）∵△ABP≌△PCD，∴AB＝CP＝6，BP＝CD＝2，AP＝PD，∠APB＝∠CDP，∵∠PCD＝90°，∴∠CPD+∠CDP＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∴∠APD＝90°，∴PD＝＝＝2，∴AD＝＝＝4；（2）过点D作DH∠AC于点H．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10．∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCH，∵∠B＝∠CHD＝90°，∴△ABC∽△CHD，∴＝＝，∴＝＝，∴CH＝，DH＝，∴AH＝AC﹣CH＝10﹣＝，∴tan∠DAC＝＝＝．7．解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．∵AB＝AD，∴BH＝HD＝BD＝2．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝4．∴HC＝HD+CD＝6．∵＝，∴．∵＝＝．（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．∵，∴．∴．∴点C到直线AB的距离为．8．解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝AB cos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．9．解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tan∠B＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．10．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH＝5a米，则PH＝12a米，由勾股定理得，AP＝＝13a（米），∴13a＝39，解得a＝3，∴AH＝15米．答：坡顶A到地面PQ的距离为15米．（2）延长BC交PQ于点D，由题意得，CD＝AH＝15米，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．设BC＝x米，则BD＝PD＝（x+15）米，由（1）可得PH＝12×3＝36（米），∴AC＝HD＝PD﹣PH＝x+15﹣36＝（x﹣21）米，在Rt△ABC中，tan76°＝≈4.01，解得x≈28，经检验，x≈28是原方程的解且符合题意．∴古塔BC的高度约为28米．11．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．12．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，在Rt△ACD中，sin30°＝，解得CD＝300，∴点C到直线AB的距离为300米．（2）在Rt△ACD中，cos30°＝，解得AD＝，在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，∴BD＝300米，BC＝米，∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，∵600+﹣（300+）≈205（米），∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．13．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．14．解：（1）过点E作EF⊥地面DC，垂足为F，∵斜坡DE的坡度为i＝1：，∴＝＝，在Rt△EFD中，tan∠EDF＝＝，∴∠EDF＝30°，∴EF＝ED＝2（米），∴E点到地面DC的距离为2米；（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，则EF＝GC＝2米，EG＝CF，∵＝，∴DF＝EF＝2（米），∵DC＝6米，∴EG＝FC＝DF+DC＝（2+6）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，∴AG＝EG•tan45°＝（2+6）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴BC＝CD•tan60°＝6（米），∴AB＝AG+GC﹣BC＝2+6+2﹣6＝（8﹣4）米，∴旗子的宽度AB为（8﹣4）米．15．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．16．解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△P AD中，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠P AD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．17．解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴，在Rt△BDE中，∴，∴（米），答：隧道AB的长为米．18．解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，∠AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．19．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．20．解：（1）过点B作BF⊥AD于点F，如图：在Rt△ABF中，BF：AF＝1：＝3：4，AB＝3米，设BF＝3x米，则AF＝4x米∴（3x）2+（4x）2＝32，解得x＝0.6，∴BF＝3×0.6＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，则AF＝AB•cos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．。

九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版

九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．图，在Rt△ABC中△ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin△CEF= 3，则△AEF的面积为（）5A．3B．4C．5D．62．小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50°B．北偏西50°C．南偏西40°D．北偏西40°3．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15︒，B处的心角为60︒，若斜面坡度为，则斜面AB的长是（）米．A．B．C．D．4．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）A ．北偏东20°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°5．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB =米，15AE =米，则宣传牌CD 的高度是（）米A ．20-B ．20+C ．15+D ．56．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的O ，随机地往O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（）A B C D ．以上答案都不对7．如图，小明利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，已知标杆BE 的长为1.2米，测得AB =85米，BC ＝425米，则楼高CD 是（）A ．6.3米B ．7.5米C ．8米D ．68．如图，点E 是⊥ABCD 的边AB 上一点，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，点P 为EF 上一点，连接PB 、PD ．下列说法不正确的是（）A ．若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上B ．若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2，则S △BEP ：S △DFP ＝3：4C ．若S △BEP ＝S △DFP ，则点P 在AC 上D ．若点P 在BD 上，则S △BEP ＝S △DFP9．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米10．如图，等腰Rt △ABC 中⊥A =90°，AB =AC ，BD 为△ABC 的角平分线，若2CD =，则AB 的长为（）A．3 B ．2 C ．4 D 2+二、填空题11．在Rt ABC 中90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．12．如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若⊥O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．13．如图，在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．14．如图，在直角坐标系中点A 的坐标为（0，点B 为x 轴的正半轴上一动点，作直线AB ，⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称，点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ，连接CE ，当⊥CEF 为直角时，则直线AB 的函数表达式为__．15．如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．16．在⊥ABC 中AB =6AC =且45B ∠=，则BC =______________．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，（即BC ：AC=1：2），若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AB 的长为________米．18．如图，等边ABC 中115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒，则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．三、解答题19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？20．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.7521．如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离． 1.41 1.73≈结果精确到0.1m ）参考答案与解析1．C【分析】连接BF ，由已知CE AE BE ==得到A FBA ACE ==∠∠∠，再得出CEF ∠与CBF ∠的关系，由三角函数关系求得CF 、BF 的值，通过BF AF =，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接BF⊥CE 是斜边AB 上的中线 ⊥12CE AE BE AB ===（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）⊥A FBA ACE ==∠∠∠又⊥90BCA BEF ==︒∠∠在⊥ABC 中180902CBF ACB A ABF A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠在⊥AEC 中180902CEF AEF A ACE A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠⊥CEF CBF ∠=∠3sin sin 5CBF CEF ∴∠=∠=4BC =，设3,5CF x BF x ==则222BC CF BF +=，即()()222435x x +=解得1x =（负值舍掉）3,5CF BF ∴== ⊥EF 是AB 的垂直平分线， ⊥5BF AF ==11·541022AFB S AF BC ∴==⨯⨯=△ 152AEF ABF S S ∴==△△故选：C ．【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．2．C【分析】画出示意图，确定好小丽和小华的的方向和位置即可．【详解】解：如图所示，当小丽在小华北偏东40°的方向时，则小华在小丽的南偏西40°的方向．故选：C【点睛】本题考查了方位角的知识点，确定好物体的方向和位置是解题的关键．3．B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒，根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒，求得60HBP ∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点A 作AF BC ⊥于点F斜面坡度为AF tan ABF BF ∠∴=== 30ABF ∠∴=︒在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15︒，山脚B 处的俯角为60︒3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒，60HBP ∠∴=︒9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒，PB AB ∴=303060PH PH m sin PB PB =︒===，解得：)PB m =故AB =故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB AB =是解题关键．4．C【分析】连接BC ，由锐角三角函数定义得AC A = km ，则AC =AB ，再由等腰三角形的性质得⊥ACB =⊥ABC =35°，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC由题意得：⊥ACP =⊥ACD =90°，⊥P AC =30°，P A =10km ，⊥BAE =40°，AB =⊥⊥BAC =180°—⊥P AC —⊥BAE =180°—30°—40°=110°⊥cos⊥P AC =ACPA =cos30°=⊥AC =P A =×10= km⊥AC =AB⊥⊥ACB =⊥ABC =12×（180°—⊥BAC ）=12×（180°—110°）=35°即B 处在C 处的北偏东35°方向故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC 的长是解题的关键．5．A【分析】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，在Rt ⊥ABG 中由已知可求得BG 、AG 的长，从而可易得EF 及EG 、BF 的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF 的长度，在Rt ⊥DAE 中由正切函数关系可求得DE 的长度，从而可求得CD 的长度．【详解】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，如图在Rt ⊥ABG 中⊥BAG =30゜⊥152BG AB ==米，cos3010AG AB =︒==⊥15)EG AG AE =+=米⊥BG ⊥AE ，BF ⊥ED ，AE ⊥ED⊥四边形BGEF 是矩形⊥EF =BG =5米，15)BF EG ==米⊥⊥CBF =45゜，BF ⊥ED⊥⊥BCF =⊥CBF =45゜⊥15)CF BF ==米在Rt ⊥DAE 中⊥DAE =60゜，AE =15米⊥tan DE AE DAE =∠=米)⊥155(20CD CF EF DE =+-=+-=-米故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．6．A【分析】连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得⊥OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出⊥OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．【详解】解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H⊥六边形ABCDEF 是正六边形⊥⊥AOB =60°⊥OA =OB =r⊥⊥OAB 是等边三角形⊥AB =OA =OB =r ，⊥OAB =60°在Rt OAH △中sin OH OA OAB r =⋅∠==⊥21122OAB S AB OH r =⋅==△⊥正六边形的面积226== ⊥⊥O 的面积=πr 2⊥米粒落在正六边形内的概率为：222rπ 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出⊥OAB 的面积是解决问题的关键．7．B【分析】先判断出⊥ABE ⊥⊥ACD ，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】⊥AB =85，BC ＝425 ⊥AC =AB +BC =10⊥BE ⊥AC ，CD ⊥AC⊥BE ⊥CD⊥AB ：AC =BE ：CD ⊥85：10=1.2：CD⊥CD =7.5米．故选：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．8．D【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可．【详解】解：A 、若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上，说法正确；B 、若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2则S △BEP ：S △DFP ＝3：4，说法正确；C 、过点P 作GH AB ∥，分别交AD ，BC 于G ，H⊥GH AB ∥ GA HB ∥⊥四边形ABHG 是平行四边形同理：四边形CDGH 、四边形BHPE ，四边形DGPE 都是平行四边形 ⊥12BEP BHPE S S =△ 12DFP DGPF S S =△又BEP DFP S S =△△⊥BEPH DGPF SS = ⊥ABHG ADFE S S =同理：BCFE CDGH S S =⊥点P 在AC 上，C 说法正确；D 、若点P 在BD 上，不能得出EP ＝PF ，所以S △BEP 不一定等于S △DFP ，说法错误；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒ 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米) 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．10．D【分析】过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设AB =AC =x ，则AD =x -2，根据等腰Rt △ABC 中90,A AB AC ∠=︒= 得到⊥C =45°，根据BD 为△ABC 的角平分线，⊥A =90°，DE ⊥BC ，推出DE =AD =x -2，运用⊥C 的正弦即可求得．【详解】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则⊥DEB =⊥DEC =90°设AB =AC =x ，则AD =x -2⊥等腰Rt △ABC 中，⊥A =90°，AB =AC ，⊥⊥C =（180°-⊥A ）=45°⊥BD 为△ABC 的角平分线⊥DE =AD =x -2⊥sin sin 452DE C CD ︒===⊥22x -⊥2x ，即2AB =．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．11．92或9或3 【分析】分⊥ABC =60、⊥ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当⊥ABC =60°时，则⊥BAC =30°⊥132BC AB ==⊥AC ==当点P 在线段AB 上时，如图⊥30PCB ∠=︒⊥⊥BPC =90°，即PC ⊥AB⊥9cos 2AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时⊥30PCB ∠=︒，⊥PBC =⊥PCB +⊥CPB⊥⊥CPB =30°⊥⊥CPB =⊥PCB⊥PB =BC =3⊥AP =AB +PB =9；当⊥ABC =30°时，则⊥BAC =60°，如图⊥132AC AB ==⊥30PCB ∠=︒⊥⊥APC =60°⊥⊥ACP =60°⊥⊥APC =⊥P AC =⊥ACP⊥⊥APC 为等边三角形⊥P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3．故答案为：92或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．12．3π【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2 AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形 OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为：3π+【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．13．(20m +【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，设DF =x m ，CF m ，求出x =10，则BH =DF =，CF =，DH =BF ，再求出AH DH ，即可求解．【详解】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H⊥DH =BF ，BH =DF⊥斜坡的斜面坡度i =1⊥:DF CF =设DF =x m ，CFm⊥CD 220x ==⊥x =10⊥BH =DF =10m ，CF =⊥DH =BF =（m ）⊥⊥ADH =30°⊥AH 10=+m ） ⊥AB =AH +BH =20103（m ）故答案为：(20m +【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．y【分析】证明⊥ABO ⊥⊥ABC ，于是可知⊥CBA =⊥ABO =30°，得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式．【详解】解：⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ACB ＝⊥AOB ＝90°⊥点E 是AB 的中点⊥CE ＝BE =EA⊥⊥EAC ＝⊥ECA⊥⊥ECA +⊥ECF ＝90°，⊥ECF +⊥CFE ＝90°⊥⊥CFE ＝⊥BAC而点D ，E 分别为AO ，AB 的中点⊥DF ∥OB⊥⊥CFE ＝⊥CBO ＝2⊥CBA ＝2⊥ABO⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ABO ⊥⊥ABC⊥⊥OAB ＝⊥CAB ＝2⊥ABO⊥⊥ABO ＝30°而点A 的坐标为（0，即OAAB ∴=⊥OB =3即点B 的坐标为（3，0）于是可设直线AB 的函数表达式为y ＝kx +b ，代入A 、B 两点坐标得30b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得kb故答案为y【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．15．3【分析】过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，先证四边形CDEB 为矩形，得出CD =BE ，再证Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ），根据S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，再求S △OBA =112OCBA S =平行四边形即可．【详解】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E⊥CD ⊥BE⊥四边形ABCO 为平行四边形⊥CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB⊥四边形CDEB 为平行四边形⊥CD ⊥OA⊥四边形CDEB 为矩形⊥CD =BE⊥在Rt △COD 和Rt △BAE 中OC AB CD EB =⎧⎨=⎩⊥Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ）⊥S △OCD =S △ABE⊥OC =AC ，CD ⊥OA⊥OD =AD⊥反比例函数1yx=的图象经过点C⊥S△OCD=S△CAD=12⊥S平行四边形OCBA=4S△OCD=2⊥S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形⊥S△OBE=S△OBA+S△ABE=13 122 +=⊥3232k=⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．16．3或3【分析】画出图形，分⊥ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当⊥ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H⊥⊥B=45°⊥⊥ABH为等腰直角三角形⊥363322ABAH BH在Rt⊥ACH中由勾股定理可知：2236273CH AC AH⊥333BC BH CH．情况二：当⊥ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH2236273CH AC AH⊥333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将⊥ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17．【分析】根据坡面AB 的坡比以及AC 的值，求出BC ，再利用勾股定理即可求出斜面AB 的长．【详解】解：⊥大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，AC=12米⊥1212BC BC AC == ⊥BC=6⊥AB =故答案为：【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC 是解题关键． 18．55°，60°，65°．【分析】通过旋转AOB 至CDB △，可得BOD 是等边三角形，将,,OA OB OC 放在一个三角形中进而求出各角大小。

人教版初中数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (19)(含答案解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (19)一、单选题1．由世界知名建筑大师摩西·萨夫迪设计的重庆新地标“来福士广场”，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑—“朝天扬帆”．来福士广场T3N 塔楼核芯简于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线．小李为了测量T3N 塔楼的高度，他从塔楼底部B 出发，沿广场前进185米至点C ．继而沿坡度为1:2.4i =的斜坡向下走65米到达码头D ，然后在浮桥上继续前行110米至趸船E ，在E 处小李操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得码头D 的俯角为58°，楼项A 的仰角为30°，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面内．则T3N 塔楼AB 的高度约为（）（结果精确到1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈ 1.73≈）A ．319米B ．335米C ．342米D ．356米2．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在AB 边上的点G ，点C 的对应点为点H ，连接BH 、DG 、GH 与BC 交于点M ，DG 与EF 交于点N ，若点G 为AB 中点，3sin 5AEG ∠=，EF =，则BH 的长为（）A B C D二、解答题3．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ，连接OF 交AD 于点G ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）设AB ＝a ，AF ＝b ，试用含a ，b 的代数式表示线段AD 的长；（3）若BE ＝5，sinB ＝38，求DG 的长．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象与反比例函数m y x=（m≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n)．线段OA ＝5，E 为x 轴上一点，且cos ∠AOE ＝35．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOC △的面积．（3）结合图象直接写出：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围．5．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D ，E ，分别在CA ，BC 的延长线上，且AD CE =．过点C 作CF DE ⊥，垂足为F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G ．（1）求证：BCG CDE ∠=∠；（2）①在图中找出与CG 相等的线段，并证明；②探究线段AG 、BG 、DE 之间的数量关系（直接写出）；（3）若AG kBG =．求DF EF的值（用含k 的代数式表示）． 6．问题探究：（1）如图（1），已知等边ABC ，边长为4，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使得点C 落在点D 处，AB 与AC 重合，连接BD ，则BD 的长为______．（2）如图（2），已知四边形ABCD ，AB BC =，60ABC ∠=︒，30ADC ∠=︒，CD =2AD =，则以对角线BD 为边长的等边三角形面积是多少？（3）如图（3），已知等边ABC 外存在一点M ，AM =2CM =，连接BM ，是否存在以BM 为边的等边三角形其面积有最大值？若存在，求其面积最大值；若不存在请说明理由．7．如图，已知锐角三角形ABC 内接于O ，⊥OD AB 于点D ，连接OC ．（1）若60ACB ∠=︒，求证：12OD OC =．（2）过点C 做O 的切线交AB 的延长线于点E ，若2sin 3E =，CE =OD =，求OC 的长．8．问题提出：平面内有两点P 、Q ，以点P 或点Q 为圆心，PQ 长为半径的圆称为点P 、Q 的伴随圆，如图①②所示，P 、Q 均为点P 、Q 的伴随圆．初步思考：（1）若点P 的坐标是（1，4），点Q 的坐标是（-4，3），则点P 、Q 的伴随圆的面积是________．（2）点O 是坐标原点，若函数12y x b =-+的图象上有且只有一个点A ，使得O 、A 的伴随圆的面积为16π，求b 的值及点A 的坐标．推广运用：（3）点A 在以P （m ，0）为圆心，半径为1的圆上，点B 在函数334y x =+的图象上，若对于任意点A 、B ，均满足A 、B 的伴随圆的面积都不小于16π，则m 的取值范围是________． 9．请解答下列各题：（1245cos30tan 60sin 60+⋅-︒︒︒︒．（2）解直角三角形：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6a =，b =10．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，∠A ＝30°，O 为线段AC 上一点，以O 为圆心，线段OC 的长为半径画圆恰好经过点B ，与AC 的另一个交点为D ．（1）求证：AB 是圆O 的切线；（2）若⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．11．如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边延长线上的任一点，AE 交CD 于点G ，AEB ∠绕点E 逆时针旋转后点B 的对应点B ′落在AE 上，另一边EA '交CD 的延长线于点F ．（1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，30AEB ∠=︒，求线段DF 的长；（2）如图2，若点G 是CD 的中点时，过点G 作GH AF ⊥于点H ．求证：BC =． 12．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米，某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C 的俯角为45，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B 点，此时测得海底沉船C 的俯角为60．沉船C 是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由 )1.414 1.732≈≈13．如图，海上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向，一艘船从A 岛出发，以20海里/时的速度向正北方向航行3小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°，求A ，B 两岛之间的距离，（结果精确到个位）（参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93︒=）14．如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一平面内，它们的海拔高度AA′、BB′、CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度11:2i=，钢缆BC的坡度21:1i=，景区因为改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？15．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，OE⊥AC于点E，ED//AB交BC于点F，且∠ECD＝∠CFD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CD2＝FD•ED；（3）若sinA＝35，BC＝6，求CD的长．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），OA＝OC，∠AOC＝60°，且//CB OA，OB平分∠AOC，点P是四边形OABC的内部一点，且点P到四边形OABC四条边的距离相等．（1）直接写出点P的坐标是_______________；（2）若一次函数y＝x+b的图象经过点P，求b的值；（3）若一次函数y＝x+m的图象与四边形OABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围．18．如图，点E在以AB为直径的O上，点C是BE的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE 的延长线于点D，连接BE交AC于点F．（1）求证：CD是O的切线；（2）若4cos,155CAD BF∠==，求AC的长．19．已知ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC上的动点（不与点B、C重合），将AD绕点A逆时针方向旋转60︒得到AE，连接DE，CE．（1）求证：ABD ACE ≅（2）当点D 运动到什么位置时DCE 的面积最大？请求出这个最大值．20．如图，线段AB 表示信号塔，DE 表示一斜坡，DC CE ⊥．且点,,B C E 三点在同一水平线上，点,,,,A B C D E 在同一平面内，斜坡DE 的坡比为42DE =米．某人站在坡顶D 处测得塔顶A 点的仰角为37°，站在坡底C 处测得塔顶A 点的仰角为48°（人的身高忽略不计），求信号塔的高度AB （结果精确到1米）．（参考数据：33sin 37,tan 3754︒≈︒≈，711sin 48,tan 481010︒≈︒≈）．21．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为O 上任意一点，如果,P Q 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“圆距”，记作()d M ．如图，已知点()2,0A ．（1）直接写出d （点A ）的值；（2）设T 是直线24y x =-+上一点，以为T 圆心，1长为半径作T ．若()d T 满足()612d O ≤≤，求圆心T 的横坐标x 的取值范围；（3）过点A 画直线2y kx k =-与y 轴交于点B ，当d (线段AB ）取最小值时，直接写出k 的取值范围．22．如图，某测量船位于海岛P 的北偏西60°方向，距离海岛60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P 的西南方向上的B 处．求测量船从A 处航行到B 处的路程（结果保留根号）．23．如图：以ABC 的边AB 为直径作⊙O ，点C 在OO 上，BD 是⊙O 的弦，∠A=∠CBD ，过点C 作CF ⊥AB 于点交于点G 过作C ∥BD 交AB 的延长线于点E（1）求证：CG=BG（2）∠BAD=30°，CG=4，求BE 的长24．如图，点F 在平行四边形ABCD 的对角线AC 上，过点F 、B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，已知ABF FBC DAC ∠=∠+∠．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若6BE =，10AD =，1tan 2CBE ∠=，求AC 的长．25．如图，海中有两个岛C 、D ，某渔船在海中的A 处测得小岛D 位于东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间到达B 处，此时测得小岛C 恰好在点B 的正北方向上，且相距75海里，又测得点B 与小岛D 相距（1）求sin ∠ABD 的值；（2）求小岛C 、D 之间的距离．三、填空题26．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2BC =，将Rt ABC △绕点C 顺时针旋转60°后得Rt DEC △，此时点B 恰好在线段DE 上，其中点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是_____．27．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC MNC △≌△，若60ACM ∠=°，连结BM ，则BM 的长是____________．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，D 是AB 的中点，DE AB ⊥，交AC 于E ，若53AE EC =，则tan A ∠=__________．29．如图，已知菱形ABCD的面积为60BAD∠=︒，对角线AC、BD交于点O，若点P为对角线AC上一点，则12AP BP+的最小值是_______．30．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠ABC＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则sin∠ABC =______ ，BD的最小值是_____．【答案与解析】1．D【解析】根据题意可知CD 的垂直高度和水平宽度，即知道了BO 和OD 的长，从而得出OE 的长度，再根据正切函数和DE 长度可求出EF 长度，正切函数和OE 长度可求出A 到F 的垂直高度，即可求出AB 的长度，即：tan30AB EF OE BO =+⨯︒-．由题意得：185BC m =，65CD m =，110DE m =，根据斜坡CD 的坡度1:2.4i =得CD 的垂直高度为25m ，水平宽度为60m ，∴25BO m =，11060185355OE m =++=．根据tan tan58110 1.6110176EF EDF ED m =∠⨯=︒⨯=⨯=，所以176tan30176355 1.73325356AB OE BO m =+⨯︒-=+⨯÷-≈故选D本题考查解直角三角形，根据题意结合正切函数是解答本题的关键．2．A【解析】连接DF 、FG ，过点H 作HJ ⊥BC 于J ，根据锐角三角函数设AG=3x ，则EG=5x ，利用2EGD GD DEF DEGF S S S S ==+△△F △四边形，即可求出x 的值，从而求出12,18CD AB BC AD ====，然后设CF=y ，根据折叠的性质可得FD=FG ，利用勾股定理列出方程即可求出y ，从而求出6,18612FH CF BF ===-=，利用锐角三角函数和勾股定理求出HJ 和FJ ，即可求出BJ ，最后利用勾股定理即可求出结论．解：连接DF 、FG ，过点H 作HJ ⊥BC 于J ，如下图所示∵四边形ABCD 为矩形∴∠A=90° ∴3sin 5AG AEG EG ∠==设AG=3x ，则EG=5x ，4x =∵点G 为AB 中点，∴GB=AG=3x ，AB=2AG=6x由折叠的性质可得DE=EG=5x ，EF ⊥GD∴AD=AE ＋DE=9x ，∴DG ===∵2EGD GD DEF DEGF S S S S ==+△△F △四边形 ∴1112222EN DG FN DG DE AB ⋅+⋅=⨯⋅ ∴11222EF DG DE AB ⋅=⨯⋅即256x x =⨯⨯解得：122,0x x ==（不符合实际情况，舍去）∴12,18CD AB BC AD ====设CF=y ，则BF=BC －CF=18－y由折叠的性质可得FD=FG=解得：y=6∴6,18612FH CF BF ===-=∵//,//EA FB EG FH∴AEG BFH ∠=∠ ∴3sin sin 5BFH AEG ∠=∠=∴31824,555HJ FH FJ =⨯=== ∴BJ=BF －FJ=365∴.5BH === 故选A ．此题考查的是矩形与折叠问题和解直角三角形，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．3．（1）证明见解析；（2）（3）DG =【解析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB=90°，即可得出结论；（2）连接EF，证明△ABD∽△ADF，由相似三角形的性质得出AB ADAD AF=，即AD2=AB•AF=ab，则可得出答案；（3）设圆的半径为r，则OD=r，OB=r+5，得出358=+rr，解得：r=3，则AE=6，AB=11，求出AF，进而求出DG的长即可．证明：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODC=∠C=90°，∴OD⊥BC，即BC为⊙O的切线；（2）连接EF，∵AE为⊙O的直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF∥BC，∴∠B=∠AEF=∠ADF，∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴AB AD AD AF=，即AD2=AB•AF=ab，∴（3）设圆的半径为r，则OD=r，OB=r+5，在Rt△BOD中，3 sin8==ODBOB，即358=+rr，解得：r=3，∴AE=6，AB=11，在Rt△AEF中，39sin sin684 =⋅∠=⋅=⨯=AF AE AEF AE B，∴===AD∵AF∥OD，∴34934===DG DOAG AF，即47=DGAD，∴47==DG AD此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键．4．（1）反比例函数解析式为12yx=-，一次函数解析式为y＝−23x＋2；（2）6；（3）−3＜x＜0或x＞6．【解析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（−3，4），再把A点坐标代入myx=可求得m＝−12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y＝kx＋b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）作AD ⊥x 轴于D ，如图，在Rt △OAD 中，∵cos ∠AOE ＝OD OA ＝35， ∴OD ＝35OA ＝3， ∴AD4，∴A （−3，4），把A （−3，4）代入m y x=得m ＝−4×3＝−12，所以反比例函数解析式为12y x=-；把B （6，n ）代入12y x =-得6n ＝−12，解得n ＝−2，把A （−3，4）、B （6，−2）分别代入y ＝kx ＋b 得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以一次函数解析式为y ＝−23x ＋2；（2）当y ＝0时，−23x ＋2＝0，解得x ＝3，则C （3，0），所以S △AOC ＝12×4×3＝6；（3）当−3＜x ＜0或x ＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值．本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题以及解直角三角形，熟练掌握反比例函数与一次函数的解析式和解直角三角形的方法是解题的关键，也考查了观察函数图象的能力．5．（1）见解析；（2）①DE CG =，证明见解析；②2222AG BG DE +=；（3）2=DF k EF【解析】（1）由余角的性质可求解；（2）①过点D 作HD AC ⊥，交BA 的延长线于H ，连接HE ，HC 交DE 于点O ，先证四边形ECDH 是矩形，可得HC DE =，由“ASA ”可证CBG CAH ∆≅∆，可得CG CH =，可得结论；②由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得AG BH =，AH BG ==，BH ，由勾股定理可求解；（3）设EC HD AD x ===，由勾股定理和锐角三角函数可求DF ，EF 的值，即可求解．解：（1）证明： CF DE ⊥，90DFC ACB ∴∠=∠=︒，90CDE DCF DCF GCB ∴∠+∠=︒=∠+∠，BCG CDE ∴∠=∠；（2）①DE CG =，理由如下：如图1，过点D 作HD AC ⊥，交BA 的延长线于H ，连接HE ，HC 交DE 于点O ，90ACB ∠=︒，AC BC =，45CAB CBA DAH ∴∠=∠=︒=∠，135CAH CBG ∴∠=∠=︒，HD AC ⊥，45DHA DAH ∴∠=∠=︒，HD DA ∴=，AD CE =，HD CE ∴=，又HD AC ⊥，EC AC ⊥，//HD EC ∴，∴四边形ECDH 是平行四边形，又HD DC ⊥，∴四边形ECDH 是矩形，DE HC ∴=，OC OD =，ODC OCD ∴∠=∠，BCG OCD ∴∠=∠，又135CAH CBG ∠=∠=︒，CA CB =，()CBG CAH ASA ∴∆≅∆，CG CH ∴=，CG DE ∴=；②2222AG BG DE +=；理由如下：CBG CAH ∆≅∆，AH BG ∴=，AG BH ∴=，AH BG ===，四边形ECDH 是矩形，90HEB ∴∠=︒，45EHB EBH ∴∠=∠=︒，BH ∴=，222BH HE ∴=，2222()BH CH EC ∴=-，2222[)]AG DE ∴=-， 2222AG BG DE ∴+=；（3）设EC HD AD x ===，AH BG ∴==，AG BH k BG k ∴==⋅=，HE DC kx ∴==，222222DE k x x ∴=⋅+，DE ∴，sin sin EF EC ECF EDC EC DE∠=∠==， ∴EF x =，EF ∴=cos DF DC FDC DC DE∠==， ∴DF kx =， 2DF ∴=， ∴2DF k EF= ．本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．6．（1）（2）4；（3）存在，34+．【解析】（1）如图1，证明四边形ABCD 是菱形，利用菱形的性质可得：cos30OB AB =︒，从而即可解决问题．（2）如图2，以AD 为边向上作等边△ADM ，连接,AC CM ．证明△MAC ≌△DAB （SAS ），推出CM=BD ，由∠ADC=30°，∠ADM=60°，推出∠CDM=90°，再利用勾股定理证明：222AD CD BD +=，求解,BD 即可解决问题．（3）如图4，以CM 为边向右作等边△CMH ，连接AH ．利用全等三角形的性质证明BM=AH ，求出AH 的最大值即可解决问题．解：（1）如图1中，设AC 交BD 于O ．由题意AB=BC=AD=DC ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD ，1302ABO ABC =∠=∠︒，∴cos304=︒==OB AB∴2BD OB==，故答案为：AC CM．（2）如图2，以AD为边向上作等边△ADM，连接,∵△ADM是等边三角形，∴∠MAD=∠ADM=60°，AM=AD=DM，∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠=∠=︒，,60BAC BCA=AB AC∴∠MAD=∠BAC，∴∠MAC=∠DAB，∴△MAC≌△DAB（SAS），∴CM=BD，∵∠ADC=30°，∠ADM=60°，∴∠CDM=90°，∴222=+，CM DM CD∵BD=CM，AD=DM，∴222+=，AD CD BD∵2，==AD CD∴27BD=，⊥于P，如图3，以BD为边作等边三角形BDF，过F作FP BD,60,BD BF B ∴=∠=︒ 由sin ,FP B AB= sin 60sin 60,FP AB BD =︒=︒211373sin 60,2224BPF S BD BD BD ∴=︒=⨯=∴以BD 为边构成的等边三角形的面积为4 （3）如图4，以CM 为边向右作等边△CMH ，连接AH ．∵△ABC ，△CMH 都是等边三角形，∴CB=CA ，CM=CH ，∠BCA=∠MCH=60°，∴∠BCM=∠ACH ，∴△BCM ≌△ACH （SAS ），∴BM=AH ，∵2,AM CM MH ===∴AH AM MH ≤+，∴2AH ≤，∴AH 2，∴BM 2，同理可得：以BM 为边构成的等边三角形的面积的最大值为)2211S ?·sin 60222BM =︒=⨯(7344=+=+ 本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．（1）证明见解析；（2）92．【解析】（1）连接OA ，OB ，根据圆周角定理可得∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，再根据等腰三角形的性质可得∠AOD ＝∠BOD ＝60°，根据30度角所对直角边等于斜边一半即可得结论；（2）如图，延长CO 交AB 与点H ，作CF ⊥AB 于点F ，根据已知条件可得CF ＝EC 是⊙O 的切线，可得OC ⊥CE ，进而可推出∠HOD ＝∠E ，设HD ＝2x ，则OH ＝3x ，再根据勾股定理求出x 的值，再根据平行线分线段成比例定理即可得OC 的长．解：（1）证明：如图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝60°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝120°．∵OA ＝OB ，OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝∠BOD ＝60°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ， ∴OD ＝12OC ．（2）如图，延长CO 交AB 与点H ，作CF ⊥AB 于点F ，在Rt△CEF中，sinE＝23，CE＝∴CF＝∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODE＝90°，∴∠COD＋∠E＝180°，∵∠COD＋∠HOD＝180°，∴∠HOD＝∠E，∴sin∠HOD＝sinE＝23，设HD＝2x，则OH＝3x，在Rt△OHD中，OD，根据勾股定理，得（3x）2−（2x）2＝54，解得x＝12，∴DH＝1，OH＝32，∵OD∥CF，∴OH OD OH OC=+，即3232OC=+，解得OC＝92．本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理及解直角三角形等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识点并能灵活运用所学知识是解答此题的关键．8．（1）26π；（2）b1，A1（，）或b2=-A2（-，-2）；（3）m≤37 3 -或m≥133．【解析】（1）根据两点间距离公式求出PQ的长，利用圆面积公式计算即可；（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，推出OA=4，因为直线y=-x+b有且尽有一个点A满足OA=4，推出点O到直线y=-x+b的距离为4，由y=-x+b与直线y=-x平行，推出直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，如图1中所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b1交y轴于M，另一条直线交y轴于N，则M（0，b1），N（0，b2），解直角三角形即可解决问题；（3）由题意：AB≥4，则点P到直线y=x-4的距离大于等于5，如图设到直线y=x-4的距离等于5的点为P1，P2，根据P1，P2的坐标，结合图象可得结论；解：（1）∵点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（-4，3），∴=∴S=π•PQ2=26π，故答案为：26π．（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，∴OA=4，∵直线y=-x+b有且尽有一个点A满足OA=4，∴点O到直线y=-x+b的距离为4，∵y=-x+b与直线y=-x平行，∴直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，如图所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b1交y轴于M，另一条直线交y轴于N，则M（0，b1），N（0，b2），∵∠OA1M=90°，∠OMA1=45°，∴△OMA1是等腰直角三角形，∴OA1，∴b1A1（，同理可得：b2=-，A2（-，-），综上所述，b1A1（，）或b2=-，A2（-，-2）．（3）由题意：∵A、B的伴随圆的面积都不小于16π，∴216ABππ•≥∴AB≥4，则点P到直线334y x=+的距离大于等于5，如图设到直线334y x=+的距离等于5的点为P1，P2，由题意，在直线334y x=+上，令x=0，则y=3，∴点D 为（0，3），令y=0，则x=-4，∴点C 为（-4，0），∴5CD =，由题意可知，11CPB ∆∽CDO ∆， ∴111PB PC DO CD=， ∵5CD =，3OD =，115PB =， ∴1535PC =， ∴1253PC =，同理可得2253P C =； ∴P 1（373-，0），P 2（133，0），结合图象可知：满足条件的m 的值为：m≤373-或m≥133．故答案为：m≤373-或m≥133．本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，两直线平行的性质、解直角三角形、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．9．（1）74；（2）60A ∠=︒，30B ∠=︒，c = 【解析】（1）先求特殊角三角函数值，再进行实数计算；（2）先用勾股定理求出斜边，再用三角函数求锐角．解：（1245cos30tan 60sin 60+⋅-︒︒︒︒2222⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 33124=+-74=．（2）Rt ABC 中，6a =，b =90C ∠=︒，∴c ==sin2a A c ===，故60A ∠=︒，906030B ∠=︒-︒=︒．本题考查了包含特殊角三角函数值的实数运算和解直角三角形，解题关键是熟记特殊角三角函数值，灵活运用勾股定理和三角函数解直角三角形．10．（1）见解析；（26π- 【解析】（1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案．（2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．解：（1）连接OB ，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠C ＝30°，∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴AB 是圆O 的切线；（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1，∴AB ＝tan 30OB =，∴S △ABO ＝12× ∵∠AOB =2∠C=60°，∴S 扇形OBD ＝601360π︒︒⨯＝6π，∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD 6π．本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．11．（1）4-；（2）证明见详解【解析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质，再利用三角函数解直角三角形，线段的和差，根据DF=CF-CD ，求出CF 的长即可求得DF 的长；（2）如详解图：作AM EF ⊥与点M ，HN CF ⊥与N ，HJ AD ⊥于J ，首先证明∠HAG=45°,四边形HJDN 是正方形,设其边长为b,正方形ABCD 的边长为2a ,则DG=a ,AJ=GN=+a b =2a b -,推出2a b =,求出CE 、DH 用b 表示,即可解决问题，即可求得答案．（1）四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=AD=2，∠B=∠BCD=∠DCE=90︒∠AEB=∠AEF=30°60BEF ∴∠=︒30EFC ∴∠=︒∴在Rt ABE △中，tan 30AB BE︒=BE ∴=∴2CE BE BC =-=在Rt FCE 中，tan 30CE CF︒=6CF ∴=-∴DF= CF-DC=624-=-（2）如图：作AM EF ⊥与点M ，HN CF ⊥与N ，HJ AD ⊥于J ，90AJH GNH ∴∠=∠=︒∵AD ∥BE,∴∠DAG=∠BEG=∠AEF,∵AB ⊥BE,AM ⊥EM∴AB=AM=AD,在Rt △AFM 和Rt △AFD 中AF AF AM AD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △AFM ≌Rt △AFD(HL)∠MAF=∠FAD,∵∠MAE+∠MEA=90°,∴2∠FAD+2∠DAG=90°,∴∠FAD+∠DAG=45°,∠HAG=45°∵GH ⊥AF,∠HAG=∠HGA=45︒∴AH=GH,∴∠FAD+∠AFD=90°,∠HGF+∠HFG=90°∴∠HAJ=∠HGN,∴在AHJ △和GHN △中HAJ HGN AJH GNH AH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AHJ △≌△GHN(AAS)∴JH=HN四边形HJDN 是矩形∴四边形HJDN 为正方形，设正方形HJDN 边长为b ，正方形ABCD 的边长为2a ，点G 为CD 中点∴DG a =2AJ GN a b a b ∴==+=-2a b ∴=//AD CEAD DG CE GC∴=2442DG GCAD CE a bDH b CE DH BC AD CE BC =∴=====∴=∴=⨯===∴= 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,学会利用参数,构建方程解决问题.12．沉船C 在“蛟龙”号深潜极限范围内，理由见解析【解析】过点C 作CD 垂直AB 延长线于点D ，设CD 为x 米，在Rt △ACD 和Rt △BCD 中，分别表示出AD 和BD 的长度，然后根据AB=2000米，求出x 的值，求出点C 距离海面的距离，判断是否在极限范围内．解：过点C 作CD 垂直AB 延长线于点D ，设CD=x 米，在Rt △ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AD=x ，在Rt △BCD 中，∵∠CBD=60°，∴CD=BD•tan60º，∴x ，∴x =2000，解得：x≈4732，∴船C 距离海平面为4732+1800=6532米＜7062．68米，∴沉船C 在“蛟龙”号深潜极限范围内．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．掌握仰角俯角定义，利用仰角俯角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数构造方程是解题关键．13．A 、B 两岛之间的距离约为56海里．【解析】根据路程=速度×时间，可得20360AC =⨯=，在Rt ABC 中，利用正切的定义即可求解；由题可知：20360AC =⨯=（海里），43ACB ∠=︒，∴在Rt ABC 中，90A ∠=︒， ∴tan 43AB AC=︒， ∴tan43600.9356AB AC =⋅︒=⨯≈（海里），∴A 、B 两岛之间的距离约为56海里．本题主要考查了解直角三角形方位角问题，准确计算是解题的关键．14．1000米【解析】过点A 作AD CC '⊥，交BB '于点E ，过点B 作BF CC '⊥于点F ，然后由题意易得BE=200米，CF=400米，CD=600米，然后由坡比可得AE 与BF 的长，最后利用勾股定理可求解．解：过点A 作AD CC '⊥，交BB '于点E ，过点B 作BF CC '⊥于点F ，如图所示：∴四边形AA B E BB C F BEDF ''''、、都是矩形，∴,,,AA EB BF ED B C BB FC AA C D ''''''''=====，∵110,310,710AA m BB m CC m '''===，∴BE=200米，CF=400米，CD=600米，∵钢缆AB 的坡度11:2i =，钢缆BC 的坡度21:1i =， ∴400,400tan tan BE CF AE m BF m BAE CBF====∠∠， ∴AD=800米，在Rt △ADC 中，1000AC m =．答：钢缆AC 的长度为1000米．本题主要考查勾股定理及坡比，熟练掌握勾股定理及坡比是解题的关键．15．（1）75°；（2）树高3222⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭米．【解析】（1）延长BA 交EF 于点G ，利用平角的定义、直角三角形的性质即可得；（2）过A 作CD 的垂线，垂足为H ，在直角三角形ADH 中，求出∠DAH ＝30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DH 与AH 的长，确定出三角形ACH 为等腰直角三角形，求出CH ，AC 的长，由AC +CH +HD 求出大树高即可．解：（1）延长BA 交EF 于一点G ，如图所示，则∠DAC ＝180°－∠BAC －∠GAE ＝180°－38°－（90°－23°）＝75°；（2）过点A 作CD 的垂线，设垂足为H ，在Rt △ADH 中，∠ADC ＝60°，∠AHD ＝90°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝3，∴DH ＝32，AH ＝2，在Rt △ACH 中，∠CAH ＝∠CAD －∠DAH ＝75°－30°＝45°，∴∠C ＝45°，∴CH ＝AH AC ，32++（米）．此题属于解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）607．【解析】（1）由直径AB ，得∠ACB ＝90°，再证明△DCF ∽△DEC ，得∠DCF ＝∠DFC ，进而得∠OCD ＝90°，便可得结论；（2）△DCF ∽△DEC 的比例线段得结论；（3）解直角三角形求得AC 、AB ，再由垂径定理得E 为AC 的中点，再证明EF 为△ABC 的中位线，进而求得CE 、CF 、EF ，再由△DCF ∽△DEC 的比例线段列出方程求得CD ．解：（1）证明：连接OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠OCA+∠OCB ＝90°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC+∠BCO ＝90°，∵∠ECD ＝∠CFD ，∠D ＝∠D ，∴△DCF ∽△DEC ，∴∠DCF ＝∠DEC ，∵ED//AB ，∴∠DEC ＝∠CAO ，∴∠DCF+∠BCO ＝90°，即DC ⊥OC ，∴CD 是⊙的切线；（2）∵△DCF ∽△DEC ， ∴CD FD ED CD=， ∴CD 2＝FD•ED ；（3）∵sinA ＝35，BC ＝6， ∴10si BC A nA B ==，∴8AC ==，∵OE ⊥AC ，∴EC ＝12AC=4， ∵ED//AB ， ∴CF ＝12CB ＝3，EF ＝12AB=5， ∵△DCF ∽△DEC ， ∴34CD CF ED CE ==， ∴设CD ＝3x ，则ED ＝4x ，∴FD ＝4x ﹣5，∵CD 2＝FD•ED ，∴()23x ＝（4x ﹣5）•4x ，解得，x ＝207，∴CD=607．本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，解直角三角形，三角形的中位线定理，相似三角形的性质与判定，关键在于运用相似三角形解决问题．17．（1）(3P；（2）3b=；（3）﹣4＜m＜2-．【解析】（1）证明CA是∠BCO的平分线，又根据OB是∠AOC的平分线，即可证明P是AC的中点，首先求得C的坐标，则P的坐标即可求解；（2）把P的坐标代入解析式即可求得b的值；（3）首先求得一次函数y=x+m经过A和C时m的值，则m的取值范围即可求解．解：（1）∵OB平分∠AOC，OA＝OC，∴AC⊥OB，∵OA∥BC，∴∠OBC＝∠AOB，又∵∠AOB＝∠BOC，∴∠BOC＝∠OBC，∴CO＝CB，又∵AC⊥OB，∴CA平分∠BCO，又∵点P到四边形OABC四条边的距离相等．∴P就是AC和OB的交点．作CD⊥OA于点D．在直角△OCD中，CD＝OC sin∠AOC＝，OD＝CO•cos60°＝4×12＝2，则C 的坐标是（2，．∴P 的坐标是（242），即（3．故答案是：（3；（2）把（3y ＝x +b 得3+b解得b ﹣3；（3）当y ＝x +m 经过点A 时，把（4，0）代入得4+m ＝0，解得m ＝﹣4，当y ＝x +m 经过点C （2，2+m ＝m ＝2．则当﹣4＜m ＜2．本题考查了待定系数法求函数解析式与角平分线的性质，利用三角函数求得C 的坐标，正确证明P 是AC 的中点是关键．18．（1）见解析；（2）AC 的长为16．【解析】（1）连接OC ，由点C 是BE 的中点，利用垂径定理可得出OC ⊥BE ，由AB 是⊙O 的直径可得出AD ⊥BE ，进而可得出AD ∥OC ，再根据AD ⊥CD 可得出OC ⊥CD ，由此即可证出CD 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，由cos ∠CAB=AC AB =45，设AC=4k ，AB=5k ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求得BC 3k =，再由cos ∠CBF=45BC BF =，即可得出AC 的长度．（1）连结OC ，如图：∵C 是BE 的中点，∴OC BE ⊥，又∵AB 是直径，∴90AEB ∠=︒，∴//OC AD ，∴90OCM D ︒∠=∠=，∴OC CD ⊥，∴CD 是O 的切线；（2）如图，连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵C 是BE 的中点，∴∠CAD=∠CAB ，又∵∠CAD=∠CBE ，∴∠CBE=∠CAB=∠CAD ，∴cos ∠CBE=cos ∠CAB=cos ∠CAD=45，由cos ∠CAB=AC AB =45，设AC=4k ，AB=5k ，∴3k ==，由cos ∠CBF=45BC BF =，得：34155k =， ∴4k =，∴AC=16． ∴AC 的长为16．本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出OC ⊥CD ；（2）根据圆周角定理得出∠CBE=∠CAB=∠CAD ，由三角函数的定义解题．19．（1）见详解；（2）当2x =时，即点D 为BC 中点时，DCE ．【解析】（1）根据题目条件可得AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒；由此可证明ABD ACE ≌；（2）作EH BC ⊥的延长线于点H ，设BD x =，由ABD ACE ≌可分别表示出CD 、CE 的长，解Rt CEH 可得EH 的长，根据三角形的面积公式将面积用含x 的代数式表示出来并配方即可求解.证明：由题意可得：∵ABC 是边长为4的等边三角形∴AB AC =，60BAC ∠=︒，∵将AD 绕点A 逆时针方向旋转60︒得到AE∴AD AE =，60DAE ∠=︒∴60BAC DAE ∠=∠=︒()ABD ACE SAS ∴≌；（2）解：作EH BC ⊥的延长线于点H ，设BD x =，∵ABC 是边长为4的等边三角形∴4CD x =-∵ABD ACE ≌CE BD x ∴==∴60ACE ABC ACB ∠=∠=∠=︒60ECH ∴∠=︒在Rt CEH 中，EH =()114222DCE S DC EH x ∆∴=⋅=-⋅)224x =--+当2x =时，即点D 为BC 中点时，DCE 本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，配方法等知识点；理解题目条件，合理做出辅助线是解题的关键.20．66米【解析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，可知四边形BCDF 是矩形，则DF BC =，CD BF =，根据斜坡DE的坡比为可求得CD 的长，设AF x =，则(21)AB x =+，再由锐角三角函数3tan 374︒≈，11tan 4810︒≈分别表示出DF 、BC 的长，通过列方程即可求得AF 的长，则塔高=AF BF +．如图，过点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴四边形BCDF 是矩形，,DF BC CD BF ∴==，42DE =米，斜坡DE 的坡比为21CD BF ∴==米，设AF x =米，则(21)AB x =+米，4tan 373AF DF x ︒∴=≈（米）， 10(21)tan 4811AB BC x ︒=≈+（米）， 410(21)311x x ∴=+，解得45x =，452166AB ∴=+=（米）．本题考查的是解直角三角形的应用、锐角三角函数的应用、仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形并运用方程的思想方法是解答此题的关键．21．（1）3；（2）圆心T 的横坐标x 的取值范围1405x -≤≤或1665x ≤≤；（3）≤≤k ．【解析】（1）根据“圆距”的定义求解即可；（2）先确定OT 的取值范围，求出T 坐标，根据勾股定理列方程求出x ，进一步确定x 的取值；（3）先求出d (线段AB ）的最小值，再求出点B 坐标，代入2y kx k =-求出k 的值，从而确定k 的取值．解：（1）∵A （2，0），O 的半径为1，∴d （点A ）=1+2=3； ()2如图1，由题意可知，410OT ≤≤．过T 作TH y ⊥轴于H ，∵24y x =-+，O 的半径为1∴(),24T x x -+，由222TH OH OT +=得，①当4OT =时，()222244x x +-+=，解得12160,5x x == ②当10OT =时，()2222410x x +-+=，解得12146,5x x ==-。

人教版九年级下册数学第28章28解直角三角形在数学中的应用

【答案】C
课堂导练
9．(2019·湘西州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D，连接 BD，若 cos∠BDC＝57，则 BC 的长是( D ) A．10 B．8 C．4 3 D．2 6
课堂导练
2பைடு நூலகம்2
解*直1角0三.如角形图及其，应用在菱形
第28章锐角三角函数
2 解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形在数学中的应用
提示：点击进入习题
课堂导练【点拨】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∴tan∠BAC＝BACC，又∵AC＝30 cm，tan∠BAC＝ 33， ∴BC＝AC·tan∠BAC＝30× 33＝10 3(cm)．故选 C.
课后训练 ∴BC＝2DE＝30，则 BD＝ BC2－DC2＝ 302－242＝18.
∵AD＝AB，AF⊥BD，∴DF＝12BD＝12×18＝9. 在 Rt△AFD 中，∵∠AFD＝90°，∠ADB＝30°，
∴AD＝AB＝coDs F30°＝ 93＝6 3. 2
则四边形 ABCD 的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝6 3＋30＋24＋ 6 3＝54＋12 3.
如图，在 Rt△ABC 2 解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形在数学中的应用
中，∠C＝90°，则有：
2 解直角三角形及其应用
第1课时第1课时
解解(直直1角角)三三三角角边形形在在之数数学学间中中的的的应应用用关系：_a_2_＋__b_2_＝__c_2 ；
提示：点击进入习题
第28章第28章
【思路点拨】连接 OD，要证 FD 是⊙O 的切线，即证 DF⊥OD，这可转化为证∠EDF＋∠CDO＝90°；

2022学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》期末复习自主提升训练1(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》期末复习自主提升训练1（附答案）1．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝米．（结果保留根号）2．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于．3．如图，△ABC的顶点都在边长为1的方格的格点上，则sin∠ACB的值为．4．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝2，则点C的坐标为．5．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了米．6．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离BC＝5米，眼镜与底面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知，则点D到底面的距离CD是米．7．某人沿着坡度i＝1：的山坡起点向上走了50米，则他离地面米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）8．如图等腰△ABC，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB ＝．9．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM＝CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为．10．如图建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为米（结果保留根号）．11．某区域平面示意图如图所示，AB和BC是两条互相垂直的公路，AB＝800米，甲勘测员在A处测得点D位于北偏东45°，乙勘测员在C处测得点D位于南偏东60°，CD＝300米，则公路BC的长为米．12．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是m．13．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是40m，则水库大坝的高度h是m．（结果保留根号）14．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角α＝37°时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度BC＝6cm，则水面宽度EF＝cm．（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）15．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A 为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB ＝．16．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC＝．17．等腰△ABC中，顶角∠ABC＝45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则S△BPM：S△ABP的值为．18．为倡导“低碳生活”，人们常常选择共享单车作为代步工具．图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可以在射线BE方向自由调节．已知车轮半径为30cm，BE＝40cm，∠ABE＝75°．小明将坐垫从位置E上移至C，CE＝20cm，则此时坐垫C离地面的高度为cm．（结果精确到1cm）（参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）．19．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．20．如图，某同学在附中红星校区（A处）测得他家位置在北偏西45°方向，当他沿红星路向西骑行600米到了市委（B处）的位置，又测得他家在北偏西30°方向，该同学每天从家（C处）出发，先向正南骑行到路口D处，再沿红星路向东到红星校区上学，假（结设他骑行的速度是250米/分，请你帮他计算一下，他从家到学校大约用分钟．果精确到1分钟，≈1.732）21．如图，由一段斜坡AB的高AD长为0.6米，∠ABD＝30°，为了达到无障碍通道的坡道标准，现准备把斜坡改长，使∠ACD＝5.71°．（1）求斜坡AB的长；（2）求斜坡新起点C与原起点B的距离．（精确到0.01米）（参考数据：≈1.732，tan5.71°≈0.100）22．如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．23．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m．（1）求观测点C到公路MN的距离；（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC ＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．25．如图，在某建筑物AC上挂着一幅宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）26．钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．M、N为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN之间的距离约为3.6km，某日，我国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，在A点测得岛屿的西端点N在点A的北偏东35°方向；海监船继续航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点M在点B的北偏东60°方向，求点M距离海监船航线的最短距离（结果精确到0.1km，tan35°≈0.7）．27．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕，组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗，已知矩形DCFE的两边DE，DC长分别为1.6m，1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图所示，（1）求DF的长；（2）求点E到墙壁AB所在直线的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）28．如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）29．放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝，如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为50°，已知点A，B，C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米）（风筝线AD，BD均为线段，≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）30．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）参考答案1．解：过点A作AM⊥BC于M，则∠MAB＝45°，∠MAC＝60°，BP＝AM＝30米，在Rt△ABP中，BP＝30米，∠P AB＝90°﹣45°＝45°，∴AP＝BP＝30米＝BM，在Rt△ACM中，∠MAC＝60°，AM＝30米，∴CM＝AM＝30（米），∴BC＝BM+CM＝（30+30）米，故答案为：（30+30）．2．解：如图所示：由题意，得：tanα＝i＝1：2.4＝，设斜坡的竖直高度为5x，则水平距离为12x，则斜坡长＝＝13x，则cosα＝＝．故答案为：．3．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由格点可求得：BC＝＝2，AC＝＝2．∵S△ABC＝×2×2＝2，S△ABC＝AC×BD＝×2×BD＝BD，∴BD＝2，∴BD＝．∴sin C＝＝＝．故答案为：．4．解：∵∠C＝∠C，∵OC2＝BC•AC，即，∴△OBC∽△OAC，∴∠A＝∠COB，∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α，∵tanα＝2，∴tan∠ABO＝，∴OA＝2OB，∵AB＝3，由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，即，解得：OB＝3，∴OA＝6．∴tan A＝．如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵tanα＝2，∴设C（﹣m，2m），m＞0，∴AD＝6+m，∵tan∠A＝，∴，∴，解得：m＝2，经检验，m＝2是原方程的解．∴点C坐标为：（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．5．解：设此人升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．6．解：如图，过A作AE⊥CD于E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝5米，CE＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，∠DAE＝α，tanα＝＝，∴DE＝AE＝×5＝1.5（米），∴CD＝CE+DE＝3.2米．故答案为：3.2．7．解：设坡面的竖直高度为x米，则水平距离为x米，由勾股定理得：x2+（x）2＝502，解得：x＝25或x＝﹣25（不合题意舍去），即坡面的竖直高度为25米，故答案为：25．8．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN．∵，，∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝CE＝．∴CE：AC＝1：3．∴cos∠ACB＝．故答案为：．9．解：连接AM、AN，∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM＝AN，∴△AMN为等边三角形，AM＝MN，当MN最短时，AM最短，此时AM⊥BC，如图，则∠MAC＝30°，∵∠AMP＝60°，∴∠APM＝90°，∵AM＝AB＝5，∴AP＝AM＝，∴PC＝AC﹣AP＝10﹣＝．故答案为：．10．解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝15米，∴BG＝9（米），AF＝CG＝12（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝60°，∴EF＝tan60°•CF＝x（米），∵DE＝10米，∴x﹣x＝10，∴x＝5（+1），∴DF＝5（+1）米，∴AD＝AF+DF＝12+5（+1）＝（17+5）米，故答案为：（17+5）．11．解：过D作DE⊥OC于E，∵∠C＝60°，CD＝300米，∴CE＝CD＝150（米），∴DE＝CE＝150（米），∵∠B＝90°，AB＝800米，∠A＝45°，∴∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝800米，∵∠DOE＝∠AOB＝45°，∴△DEO是等腰直角三角形，∴OE＝DE＝150米，∴公路BC的长为150+150+800＝（950+150）（米），故答案为：（950+150）．12．解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝150m，∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m），∴AH＝CD＝50m．在Rt△ABH中，∵∠BAH＝30°，AH＝50m，∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m），∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），答：这栋楼的高度为100m．故答案为：100．13．解：如图，作CH⊥AB于点H．∵∠ABC＝135°，∴∠CBH＝45°，∴CH＝BC•sin45°＝40×＝20（m），故答案为：20．14．解：过E作EH⊥AB于H，则四边形ACEH是矩形，∴EH＝AC＝BC＝6cm，∠EHF＝∠EHA＝90°，∵EF∥桌面，∴∠EF A＝α＝37°，∴sin37°＝＝，∴EF＝6×＝10（cm），故答案为：10．15．解：如图1所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．在Rt△ADM中，tan∠ADB＝＝2．如图2所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．∵AD＝AB＝，BD＝，∴BD2＝AD2+AB2．∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝1．故答案为：2或1．16．解：连接格点AF、BF．∵AC∥DF，AC＝DF＝1，∴四边形ACDF是平行四边形．∴AF∥CD．∴∠F AB＝∠CEA．∵AF＝2，BF＝，AB＝，∴AB2＝AF2+BF2．∴△AFB是直角三角形．∴tan∠CEA＝tan∠F AB＝＝＝．故答案为：．17．解：如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，∵AB＝CB，BN⊥AC，∴BN平分∠ABC，∵AM⊥BC，PQ⊥AB，∴PM＝PQ，∴S△BPM：S△ABP＝BM：AB，∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，∴AM＝BM，∴△AMB是等腰直角三角形，∴sin45°＝BM：AB＝．∴S△BPM：S△ABP＝．故答案为：．18．解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N．由题意可知MN＝30cm，BC＝60cm，∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，∴sin∠ABE＝sin75°＝≈0.966，∴CM≈58（cm），∴CN＝MN+CM＝88（cm），∴坐垫C离地面的高度为88cm．故答案为：88．19．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，则MN最短，∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°，∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°，∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC＝MC＝500，∵AC＝2000米，∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，故答案为：1500．20．解：由题意得：∠D＝90°，∠BCD＝30°，∠A＝90°﹣45°＝45°，AB＝600米，则AD＝BD，△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD＝BD，∴AD﹣BD＝AB，∴BD﹣BD＝600米，解得：BD＝（300+300）米，∴CD＝AD＝BD＝（900+300）米，∴CD+AD＝（1800+600）米，∴（1800+600）÷250≈11（分钟），即某同学从家到学校大约用11分钟，故答案为：11．21．解：（1）在Rt△ABD中，AB＝AD÷sin30°＝0.6÷＝1.2（米），（2）在Rt△ABD中，BD＝AD÷tan30°＝0.6≈1.039（米），在Rt△ACD中，CD＝AD÷tan5.71°≈6（米），∴BC＝CD﹣BD＝6﹣1.039＝4.96（米）．答：求斜坡AB的长为1.2米，斜坡新起点C与原起点B的距离为4.96米．22．解：（1）作MC⊥AB于C，则MC＝BM×cos45°＝60海里，答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为60海里；（2）在Rt△ACM中，AM＝＝40，40÷20＝2，答：渔船从A到达码头M的航行时间为2小时．23．解：（1）过C作CH⊥MN，垂足为H，如图所示：∵∠CBN＝60°，BC＝200m，∴CH＝BC•sin60°＝200×＝100（m），即观测点C到公路MN的距离为100m；（2）该汽车没有超速．理由如下：∵BH＝BC•cos60°＝100（米），∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100m，∴AB＝100﹣100≈73（m），∴车速为＝14.6m/s．∵60千米/小时＝m/s，又∵14.6＜，∴该汽车没有超速．24．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．25．解：∵∠BFC＝30°，∠BEC＝60°，∴∠EBF＝∠EFB＝30°，∴BE＝EF＝20m，在Rt△BEC中，∵∠BEC＝60°，∴BC＝BE•sin60°＝20×＝10m．答：宣传条幅BC的长为m．26．解：如图，延长MN交AB于K．设KN＝x，KB＝y，在Rt△MBK中，tan60°＝，∴x+3.6＝y①在Rt△ANK中，tan35°＝，∴x＝0.7（4+y）②，由①②可得x＝7.1（km），∴MK＝7.1+3.6＝10.7（km），答：点M距离海监船航线的最短距离为10.7km．27．解：（1）在Rt△DEF中，由题意知ED＝1.6 m，BD＝2 m，DF＝＝2．答：DF长为2m．（2）分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，∴DM＝2•sin35°≈1.14．∵∠DEC＝∠CNB，∠DCE＝∠NCB，∴∠DEC＝∠CBN＝35°，在Rt△DEH中，cos∠DEH＝，∴EH＝1.6•cos35°≈1.31．∴EN＝EH+HN＝1.31+1.14＝2.45≈2.5m．答：E点离墙面AB的最远距离为2.5 m．28．解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，∴HC≈161.8，在Rt△AHC中，，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∴AH≈161.8，又AB＝AH+BH，∴AB≈279.4，∴AB≈279（米），答：A、B之间的距离为279米．29．解：作DH⊥BC于H，设DH＝x米．∵∠ACD＝90°，∴在直角△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝DH÷tan30°＝x，在直角△BDH中，∠DBH＝50°，BH＝，BD＝DH•sin50°＝sin50°x，∵AH﹣BH＝AB＝10米，∴x﹣＝10，∴x＝，∴BD＝＝÷0.766≈15（米），20＞15，∴小明能把风筝捡回来．30．解：如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H，由题意知，AB＝300cm、BE＝AC＝50cm、AH＝50cm、∠AGH＝30°，在Rt△AGH中，∵AG＝2AH＝100cm，∴CG＝AC+AG＝150cm，则CD＝CG＝75cm；∵EG＝AB﹣BE+AG＝300﹣50+100＝350（cm），∴在Rt△EFG中，EF＝EG tan∠EGF＝350tan30°＝350×＝（cm），所以支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm．。

人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析)

人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 1 / 14解直角三角形的应用测试题时间：100分钟总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等小明将PB 拉到的位置，测得为水平线，测角仪的高度为1米，则旗杆PA 的高度为A.B.C. D.2. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯AC 的长为 A. B.C. D. 3. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B.米 C.米D. 米4. 上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处如图从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东和北偏东方向，那么在B 处船与小岛M 的距离为A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里 5. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长m 为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为A. B. 61 C. D. 1217.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为A. nmileB. nmileC. nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米10.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则大坝底端增加的长度CF是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 3 / 1411. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，，则CE 的长为______ 米12. 如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为，测得底部C 的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为______ 米精确到1米，参考数据：13. 小明沿着坡度i 为1：的直路向上走了50m ，则小明沿垂直方向升高了______ 14. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后楼梯AC 长为______ 米15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A 滑行至B ，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米参考数据：，，16. 如图，为测量某栋楼房AB 的高度，在C 点测得A 点的仰角为，朝楼房AB 方向前进10米到达点D ，再次测得A 点的仰角为，则此楼房的高度为______ 米结果保留根号．17. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为、，如果此时热气球C 处的高度为200米，点A 、B 、C 在同一直线上，则AB 两点间的距离是______米结果保留根号．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是：，则______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______ 米三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保留根号人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．求的度数．求教学楼的高结果精确到，参考数据：，24.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求大楼AB的高度结果保留根号5 / 14四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）7 / 14答案和解析【答案】 1. A 2. B 3. D 4. B5. A6. C7. B8. B 9. D 10. C11. 8 12. 208 13. 2514. 15. 280 16.17. 18. 130 19.20.21. 解：设每层楼高为x 米，由题意得：米，，，在中，，，在中，，，，，解得：，则居民楼高为米． 22. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，则．23. 解：过点C 作，则有，，；由题意得：，在中，，在中，，教学楼的高，则教学楼的高约为．24. 解：在中，米，，，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．在直角中，，，，．答：障碍物B，C两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 9 / 14，，．故选：A ．设，在中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在中，，，在中，，．故选B ．先在中利用正弦的定义计算出AD ，然后在中利用正弦的定义计算AC 即可．本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成：m 的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i 与坡角之间的关系为：． 3. 解：在中，米，米，地毯的面积至少需要米；故选：D ．由三角函数表示出BC ，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC 是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B 作于点N ．由题意得，海里，．作于点N ．在直角三角形ABN 中，．在直角中，，则，所以海里．故选B ．过点B 作于点根据三角函数求BN 的长，从而求BM 的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，．故选A ．根据三角函数的定义即可求解．本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键． 6. 【分析】根据题意求出CE 的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE 的长，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：，背水坡EF的坡度：4，，，米，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 11 / 14 故选C ．过D 作于G ，于H ，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A 、D 作，，垂点分别为F 、G ，如图所示．在中，米，，，，．在中，，米，．在中，，，，．即CE 的长为8米．故答案为8．分别过A 、D 作下底的垂线，设垂足为F 、在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF 的值，也就得到了DG 的长；在中，由勾股定理求CG 的长，在中，根据正切函数定义得到GE 的长；根据即可求解．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：，解得：，，解得：，故该建筑物的高度为：，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 13. 解：如图，过点B 作于点E ，坡度：：，：，，，．他升高了25m ．故答案为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故答案是：．先在中利用正弦的定义计算出AD，然后在中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280如图在中，，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故答案为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 13 / 14在中，，，，．故答案为：．先根据从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出AD 与BD 的长，根据即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．18. 解：作于E ，于F ，斜坡CD 的坡比为1：2，即，，又，，，由题意得，四边形BEFC 是矩形，，，斜坡AB 的坡比为1：3，，即，，故答案为：130m ．作于E ，于F ，根据坡度的概念分别求出AE 、DF ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解：：，则．故答案是：．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，．故答案为：．作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．21. 设每层楼高为x 米，由求出的长，进而表示出与的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，同理表示出，由求出AB 的长即可．此题属于解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22. 如图，作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角得到DF的长度；通过解直角得到CE的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．。

人教版初中数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (3)(含答案解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (3)一、单选题1．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动，求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长为（）．A B ．C ．4D ．2．如图，120AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠平分线上，2OP =，若点C ，D 分别在射线OA ，OB 上，PCD 是等边三角形，设PCD 的面积为S ，则S 的最大值和最小值分别是（）A ．2；1B ．2CD ．3．在ABC 中，13,cos 2AB AC B ∠===，则BC 边长为（） A ．7B ．8C ．7或17D ．8或174．图①、②分别是一把水平放置的椅子的效果图和椅子侧面示意图．椅子高为AC ，椅面宽BE 为60cm ．椅脚高ED 为35cm ，且AC BE ⊥，AC CD ⊥，//AC ED ．从点A 测得点E 的俯角为53︒．则AC 的长可以表示为（）A ．3560sin53+︒B ．3560tan53+︒C ．6035tan53+︒D ．3560tan53+︒5．5G 时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G 信号发射塔MN 建在了山坡BC 的平台CD 上，已知山坡BC 的坡度为1:2.4．身高1.6米的小明站在A 处测得塔顶M 的仰角是37︒，向前步行6米到达B 处，再延斜坡BC 步行6.5米至平台点C 处，测得塔顶M 的仰角是50︒，若,,,,,A B C D M N 在同一平面内，且,A B 和,,C D N 分别在同一水平线上，则发射塔MN 的高度约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.20︒≈）A ．17.3米B ．18.9米C ．65.0米D ．66.6米二、解答题6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若tan ∠P ＝34，AD ＝6，求⊙O 的半径．7．如图，O 的直径MN ⊥弦AB 于C ，点P 是AB 上的一点，且PB PM =，延长MP 交O 于D ，连结AD ，（1）求证：AD //BM ；（2）若6MB =，O 的直径为10，求sin ADP ∠的值．8．如图，⊙O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，△ABC 的外角平分线AP 交⊙O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点； ②求sin ∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长；（3）若△ABC 为非锐角三角形，求P A •AE 的最大值．9．如图1，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 为直角顶点的Rt △EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°．（1）求证：BE ＝CE ．（2）如图2，将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动，若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N ． ①求证：△BEM ≌△CEN ．②若AB ＝kCN ，求当△BMN 面积最大时，k 的值．③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin ∠EBG 的值．10．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B 、C 、D 三点，再在桥外确定一点A ，使得AB ⊥BD ，测得AB 之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB ＝60°．（1）求CD 的长（精确到0.1≈1.73≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C 到D 用时2秒，汽车是否超速？说明理由．11．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为山坡的坡角为30，小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离1CF =米，从E 测得树顶部A 的仰角为45︒，树底部B 的仰角为20︒．（1）求DF 的长．（2）求AB 的高度（精确到0.1米）．（参考数值：sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36︒≈︒︒≈≈） 12．如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶A 的仰角为60︒，然后在坡顶D 测得树顶A 的仰角为30，已知斜坡CD 的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）i =斜坡CD =，求树AB 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：1.73≈≈）13．已知：如图，在Rt ABC △与Rt DBE 中，90ABC DBE ∠=∠=︒，且点C 是线段DE 的中点．（1）求证：ABD AEB ∽．（2）当tan 0.75BAC ∠=时，求tan E ．（3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线交BE 于点F ，若AF =AD 的长．14．如图，在平行四边形ABCD 中，15AB =，AD DB ⊥，4tan 3A ∠=．点P ，Q 是射线BD 上两个动点，点Q 以每秒3个单位的速度从点B 向终点D 运动，23PQ BQ =，点P 和点B 始终在点Q 两侧，过点P 作PH AB ⊥于点H ，连接HQ ，以PH 、HQ 为邻边作平行四边形PHQG ，设点Q 的运动时间为(s)t ．（1）PH =________（用含t 的代数式表示）；（2）当点G 落在DC 上时，求t 值；（3）点O 为线段BD 中点，当直线OG 平行或垂直于BCD △一边时，求PQG 与BCD △重叠部分的面积；（4）若经过点G 的直线将平行四边形ABCD 的面积两等分，同时该直线将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，直接写出t 的值．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．16．某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为 m ． 17．矩形ABCD 中，∠ACB=30°，直角三角形AEF 中，∠EAF=90，∠AFE=30°．（1）如图①，连接BE 和CF ，求证：△ABE ∽△ACF ；（2）将直角三角形AEF 绕A 旋转至图②位置，使得点F 落在BC 上，此时AF CF =，求此时MFBM的值；（3）将直角三角形AEF 绕A 旋转至图③位置，此时有∠ABF=30°，BF=4，BE =AB 的长度18．如图，△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是O 的切线．（1）求证：∠CDE=12∠BAC ；（2）连接AD ，若tan ∠CAD=13，CE=4，求O 的半径．19．在平面直角坐标系xOy 中，对于ABC ，点P 在BC 边的垂直平分线上，若以点P 为圆心，PB 为半径的⨀P 与ABC 三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P 为ABC 关于边BC 的“Math 点”．如图所示，点P 即为ABC 关于边BC 的“Math 点”．已知点P(0，4)，Q(a ，0)．（1）如图1，a ＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(、D(5，5)中，POQ 关于边PQ 的“Math 点”为．（2）如图2，a=①已知D(0，8)，点E 为POQ 关于边PQ 的“Math 点”，请直接写出线段DE 的长度的取值范围；②将POQ 绕原点O 旋转一周，直线y b =+交x 轴、y 轴于点M 、N ，若线段MN 上存在POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求b 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，若将点P 沿x 轴折叠得到点1P ，再将点1P 绕点R 顺时针旋转90︒得到点P '，则称点P '是点P 关于x 轴－点R 的折旋点．例如：点(0,1)Q 关于x 轴－点O 的折旋点是点(1,0)Q '-．（1）如图1，点(0,1)A -．①若点B 是点A 关于x 轴－点C 的折旋点，则点B 的坐标为______； ②若点(4,1)D -是点A 关于x 轴－点E 的折旋点，则点E 的坐标为_______；（2）如图2，O 的半径为2.若O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于x 轴－点(4,0)S 的折旋点，且点M '在直线y x b =+上，求b 的取值范围；（3）(0,)F t 是y 轴上的动点，F 的半径为2，若F 上存在点N ，使得点N '是点N 关于x 轴－点(4,0)S 的折旋点，且点N '在直线y x =上，直接写出t 的取值范围． 21．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AC 边的中点，41312sin 5BC AD B ===，，．（1）求线段CD 的长；（2）求tan 2ADE ∠的值．22．如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC ＝150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝165°，如图3，求此时连杆端点D 离桌面l 的高度比（1）中的高度DE 减少了多少？23．在Rt ABC △中，9034ACB BC AC ∠=︒==，，，点Q 在边AC 上，1CQ =，动点P 从点A 出发，沿射线AC 运动，速度为每秒1个单位长度，当点P 不与点Q 重合时，以PQ 为边构造Rt PQM △，使90PMQ A QPM ∠=∠∠=︒，，且M 与点B 在直线AC 的同侧，设点P 运动时间为t 秒．（1）AB 的长为______；（2）点M 落在AB 边上时，求t 的值；（3）当点P 在线段AC 上时，设PQM 与ABC 重合部分图形的周长为l ，求l 与t 之间的函数关系式；（4）当点M 与ABC 的一个顶点（点C 除外）连线所在的直线平分ABC 面积时，直接写出t 的值．三、填空题24．如图，已知直线2y x =-与抛物线2522y ax x =+-与x 轴交于点,A B （点B 在点A 左侧），与y 轴交于点C ．点P 是x 轴上一动点，点N 为直线AC 上一点，则CP PN +的最小值为________．25．如图，在矩形ABCD 的AB 边取一点E ，将ADE 沿DE 折叠，使得点A 落在BC 边上点F处，延长EF ，与CDF ∠的角平分线交于点G ，DG 交BC 于点H ，已知AB =当12FH BC =时，点G 到直线ED 的距离为_________．26．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点D 是边BC 上（不与B ，C 重合）一动点，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，若△DCE 为直角三角形，则BD 的值为_____．27．已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=45，则AC=____．28．如图，已知A B 、两点的坐标分别为(0,2),P ，是AOB 外接圆上的一点，且45AOP ∠=︒，则点P 的坐标为_______________．29．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC 部分构成一个直角三角形，且AC BC =，起重臂AD 可以通过拉伸BD 进行上下调整．现将起重臂AD 从水平位置调整至1AD 位置，使货物E 到达1E 位置（挂绳DE 的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E 升高了24米，且到塔身AH 的距离缩短了16米，测得1AB BD ⊥，则AC 的长为______米．30．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3BC =，D 为斜边AC 的中点，连接BD ，点F 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BE BD ⊥交DF 延长线交于点E ，连接CE ，下列结论：①若BF CF =，则222CE AD DE +=；②若BDE BAC ∠=∠，4AB =，则158CD =；③ABD △和CBE △一定相似；④若30A ∠=︒，90BCE ∠=︒，则DE =________．（填写所有正确结论的序号）【答案与解析】1．B【解析】（1）利用相似三角形，证明证明线段0n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹），如答图②所示．；（2）如答图①所示，利用相似三角形△A 0n B B ∽△AON ，求出线段0n B B 的长度，即点B 运动的路径长．由题意可知，OM=，点N 在直线y=－x 上，AC ⊥x 轴于点M ，则△OMN 为等腰直角三角形，∴ ON=．如答图①所示，设动点P 在O 点（起点）时，点B 的位置为0B ，动点P 在N 点（起点）时，点B 的位置为n B ，连接0B n B ．∵AO ⊥A 0B ，AN ⊥A n B ，∴∠OAC=∠0B A n B ．又∵A 0B =AO•tan30°，A n B =AN•tan30°，∴A 0B ：AO=A n B ：AN=tan30°．∴△A 0B n B ∽△AON ，且相似比为tan30°．∴0B n B =ON•tan30°=×3＝．现在来证明线段0B n B 就是点B 运动的路径（或轨迹）：如答图②所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为i B ，连接AP ，A i B ，0B i B ．∵AO ⊥A 0B ，AP ⊥A i B ，∴∠OAP=∠0B A i B ．又∵A 0B =AO•tan30°，A i B =AP•tan30°，∴A 0B ：AO=A i B ：AP ．∴△A 0B i B ∽△AOP ，∴∠A 0B i B =∠AOP ．又∵△A 0B n B ∽△AON ，∴∠A 0B n B =∠AOP ．∴∠A 0B i B =∠A 0B n B ．∴点i B 在线段0B n B 上，即线段0B n B 就是点B 运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段0B n B ，其长度为．故选B本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．要点有两个：确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．2．C【解析】作∠CPD =60°交OA 于C ，交OB 于D ，连接CD ，在OB 上截取OE =OP ，连接PE ，过点D 作DF ⊥PC于点F ，利用ASA 即可证出△CPO ≌△DPE ，从而证出当∠CPD =60°时，△PCD 必为等边三角形，S =24PC ，即当PC 最大时，S 最大；当PC 最小时，S 最小，然后由图易知：当点C 或点D 与O 重合时，PC 最大，求出PC 最大值即可求出S 的最大值；根据垂线段最短易知：当PC ⊥OA 时，PC 最小，求出PC 最小值即可求出S 的最小值．解：作∠CPD =60°交OA 于C ，交OB 于D ，连接CD ，在OB 上截取OE =OP ，连接PE ，过点D 作DF ⊥PC 于点F∵OP 平分AOB ∠,120AOB ∠=︒∴∠COP =∠POE =6201AOB ∠=︒， ∴△OPE 为等边三角形∴OP =PE ，∠OPE =∠OEP =60°∴∠CPD =∠OPE ，∠COP =∠DEP∴∠CPO =∠DPE∴△CPO ≌△DPE∴PC =PD∴△PCD 为等边三角形，即当∠CPD =60°时，△PCD 必为等边三角形此时DF =PD ·sin60°PC∴S =12PC DF ⋅⋅2PC ∴当PC 最大时，S 最大；当PC 最小时，S 最小．由图易知：当点C 或点D 与O 重合时，PC 最大，此时PC =OP =2∴S =24PC ，即S 根据垂线段最短易知：当PC ⊥OA 时，PC 最小，此时PC =OP ·sin ∠COP∴S =24PC S 故选C ．此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短是解题关键．3．C【解析】由B 的余弦值得到它的度数，再分情况讨论，画出图象，利用锐角三角函数求出BC 的长．解：∵cos B ∠=∴45B ∠=︒，如图，当ABC 是钝角三角形时，∵AB =，45B ∠=︒，∴12AD BD ==，∵13AC =，∴5CD =，∴1257BC BD CD =-=-=，如图，当ABC 是锐角三角形时，12517BC BD CD =+=+=．故选：C ．本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法，需要注意进行分类讨论． 4．D【解析】先证四边形BCDE 是矩形，∠AEB =53°，得BC =DE =35cm ，再由锐角三角函数定义求出AB =BE •tan ∠AEB =60tan 53°，即可得出答案．解：∵AC ⊥BE ，AC ⊥CD ，AC ∥ED ，∴四边形BCDE 是矩形，∠AEB =53°，∴BC =DE =35cm ，在Rt △ABE 中，∠ABE =90°，tan ∠AEB =AB BE，BE =60cm ， ∴AB =BE •tan ∠AEB =60tan 53°，∴AC =BC +AB =35+60tan 53°，故选：D ．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义解答问题，属于中考常考题型．5．B【解析】如图，设C 点处垂线与B 处视线交点为F ，过点F 作FL ⊥MN 于L ，过点E 作EI ⊥MN 于I ，延长MN 交AB 的延长线于H ，设MN xm =，CN ym =，利用三角形函数构建方程求出x 即可解决问题．解：如图，设C 点处垂线与B 处视线交点为F ，过点F 作FL ⊥MN 于L ，过点E 作EI ⊥MN 于I ，延长MN 交AB 的延长线于H ，设MN xm =，CN ym =， 1.6AE CF m ==在Rt CBG △中， ∵152.412CG BG ==，222BC CG BG =+ ∴1312BC BG =， ∵ 6.5BC m =，∴6BG m =，5 2.512CG BG m ==，在Rt MFL 中，tan 50ML FL ︒=， ∵()1.6ML MN LN MN FC x m =-=-=-，FL CN ym ==， ∴ 1.6 1.2x y -=，则5463y x =-，在Rt EIM 中，tan 37MI EI ︒=， ∵(12)EI AH AB BG GH y m ==++=+，2.5 1.6(0.9)MI MN NI MN NH IH x x m =+=+-=+-=+， ∴0.90.7512x y +=+，则4162315y x =-， ∴54416263315x x -=-，解得28418.915x m =≈．故选：B ．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PC 是⊙O 的切线，见解析；（2）154r =【解析】（1）结论：PC 是⊙O 的切线．只要证明OC ∥AD ，推出∠OCP =∠D =90°，即可．（2）先利用锐角三角函数求出PD ，进而求出AP ，再由OC ∥AD ，推出OC OP AD AP=，由此即可计算．解：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．理由：连接OC ．如图1，∵AC 平分∠EAB ，∴∠EAC =∠CAB ，又∵OA =OC ，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠EAC =∠OCA ，∴OC ∥AD ，∵AD ⊥PD ，∴∠OCP =∠D =90°，∴PC 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ADP 中，∠ADP =90°，AD =6，tan ∠P =34， ∴PD =8tan AD P=∠，AP =10，设半径为r ，∵OC ∥AD ， ∴OC OP AD AP =，即10610r r -=，解得r =154，故半径为154．本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）见解析；（2）35【解析】（1）欲证明AD ∥BM ，只要证明∠D =∠PMB 即可．（2）连接OB ，设OC =x ，BC =y ，利用勾股定理构建方程组求解即可．解：（1）证明：∵PB =PM ，∴∠PMB =∠PBM ，∵∠PBM =∠D ，∴∠PMB =∠D ，∴AD ∥BM ．（2）连接OB ，设OC =x ，BC =y ，∵MN ⊥AB ，∴∠BCO =∠BCM =90°，则有()222225536x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得75x =， ∴MC =857155-=，由（1）可知，∠ADP =∠ABM ，∴sin ∠ADP =sin ∠ABM =CM BM =1856=35．本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．8．（1）①证明见解析；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80. 【解析】（1）①如图1，由AP 平分,FAB ∠ 证明,PAF PAB ∠=∠ 再结合四边形BCAP 为O 的内接四边形的性质证明,PBC PAF ∠=∠ 可得,PBC PAB ∠=∠ 从而可得答案；②如图2，过P 作PG BC ⊥于G ，交⊙O 于H ，连接OB ，证明,2,BG CG BPC BPG =∠=∠PH 过圆心，再证明,BOG BAC ∠=∠ 由,6,OG BC BC ⊥= 求解132BG BC ==，从而可得答案；（2）如图3，过P 作PG ⊥BC 于G ，连接OC ，求解4,9,OG PG === PC =设∠APC=x ，证明2E x x x CPE ∠=-==∠，可得CE PC == （3）如图4，过点C 作CQ ⊥AB 于Q ，证明△ACE ∽△APB ，可得,AC AEAP AB =所以PA AE AC AB =，由（1）得：3sin =,5CQ BAC AC ∠=可得13210ABCS AB CQ AB AC ==，可得10,3ABCPA AE S =结合点A 运动到使△ABC 为直角三角形时，△ABC 的面积最大，由AB=10，BC=6，求解8AC =，可得101016880,332ABCPA AE S ==⨯⨯⨯=从而可得答案．证明：（1）①如图1，AP 平分,FAB ∠,PAF PAB ∴∠=∠四边形BCAP 为O 的内接四边形，180,PBC PAC ∴∠+∠=︒ 180,PAF PAC ∠+∠=︒ ,PBC PAF ∴∠=∠ ,PBC PAB ∴∠=∠,PC BP ∴=∴ 点P 为BAC 的中点；②如图2，过P 作PG ⊥BC 于G ，交⊙O 于H ，连接OB ，,PB PC =,PB PC ∴=,2,BG CG BPC BPG ∴=∠=∠PH 过圆心，∴PH 是直径，,,BC BC BH BH ==,BPC BAC ∴∠=∠2,BOG BPG BPC ∠=∠=∠ ,BOG BAC ∴∠=∠∵,6,OG BC BC ⊥= ∴132BG BC ==， Rt △BOG 中，∵OB=5，3sin sin .5BG BAC BOG OB ∴∠=∠== （2）如图3，过P 作PG ⊥BC 于G ，连接OC ，由（1）知：PG 过圆心O ，且CG=3，OC=OP=5，∴4,OG == ∴PG=4+5=9，∴PC ===设∠APC=x ，∵点A 为PC 的中点， ∴,AP AC =∴∠ABC=∠ABP=x ， ∵PB PC =，∴2PCB PBC x ∠=∠=， △PCE 中，∠PCB=∠CPE+∠E ， ∴2E x x x CPE ∠=-==∠，∴CE PC ==（3）如图4，过点C 作CQ ⊥AB 于Q ，四边形ACBP 为O 的内接四边形，∴ ∠ACE=∠P ，∠CAE=∠PAF=∠PAB ，∴△ACE ∽△APB ， ∴,AC AEAP AB= ∴PA AE AC AB =，结合（1）得：3sin =,5CQ BAC AC ∠= ∴3sin ,5CQ AC BAC AC =∠= ∴13210ABCSAB CQ AB AC ==， ∴10,3ABC PA AE S = ∵△ABC 为非锐角三角形，∴点A 运动到使△ABC 为直角三角形时，△ABC 的面积最大，此时AB 为O 的直径，90,ACB ∠=︒在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴8AC==，此时101016880.332ABCPA AE S==⨯⨯⨯=即PA AE的最大值是80.本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．（1）见解析．（2）①见解析；②1；．【解析】（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CDE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB＝45°，进而得到∠BEM＝∠CEN，利用ASA 定理证明△BEM≌△CEN；②根据三角形的面积公式得到S△BMN＝﹣12（x﹣a）2+22a，根据二次函数的性质解答；③作EH⊥BG于H，设NG＝m，根据直角三角形的性质、勾股定理用m表示出BN、BG，根据三角形的面积公式用m表示出EH，根据正弦的定义计算，得到答案．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴BE＝CE；（2）①证明：如图2，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°（矩形的四个角都是90°），∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠MEN﹣∠BEN＝∠BEC﹣∠BEN，即∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，在△BEM和△CEN中，BEM CEN EB EC EBM ECN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BEM ≌△CEN （ASA ）； ②解：设AB ＝a ，∵∠ABE ＝45°，∠A ＝90°， ∴AE ＝AB ＝a ， ∴BC ＝AD ＝2a ， ∵△BEM ≌△CEN ， ∴BM ＝CN ，设BM ＝CN ＝x ，则BN ＝2a ﹣x ， ∴S △BMN ＝12•x （2a ﹣x ）＝﹣12（x ﹣a ）2+22a ， ∵﹣12＜0， ∴x ＝a 时，△BMN 的面积最大，此时AB ＝CN ，即k ＝1； ③解：如图3，作EH ⊥BG 于H ， ∵EF //BN ，∴∠GBN ＝∠F ＝30°，设NG ＝m ，则BG ＝2m ，由勾股定理得，BN ＝ENm ，则EBm ， ∴EG ＝EN +NG）m ，∵S △EBG ＝12×EG ×BN ＝12×BG ×EH ， ∴12×）mm ＝12×2m ×EH ，解得，EH，在Rt △EBH 中，sin EH EBG EB ∠===．本题考查的是全等三角形的判定和性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、二次函数的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）17.3米；（2）超速，理由见解析【解析】（1）根据特殊角三角函数先求出BC 和BD 的长，进而可得CD 的长；（2）先进行单位换算，再用路程除以时间求出速度进行比较即可．（1）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝60°，AB ＝15米， ∴BC ＝tan 60AB︒在Rt △ABD 中，∠ABD ＝90°，∠ADB ＝30°， ∴BD＝∴CD ＝BD ﹣BC ＝米， ∴CD 的长为17.3米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝253米/秒，而＞253， ∴汽车超速．本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用．在直角三角形中，已知一锐角和一边，利用三角函数求得其中一边，再用三角函数或勾股定理可求得第三边． 11．（1）10米；（2）6.4米．【解析】（1）解直角三角形BCD 来求CD 的长度，则DF=CD+CF ；（2）由（1）求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGE 中即可求得BG 的长，从而求得树高．（1）在Rt BCD 中，cos309CD BC =⋅︒==， 10DF CD CF ∴=+=（米），答：DF 的长为10米．（2）在Rt AGE 中，45AEG ∠=︒，10AG EG DF ∴===，在Rt BGE △中，tan 20100.36 3.6BG EG =⋅︒≈⨯=，10 3.6 6.4AB ∴=-=，答：树AB 的高约为6.4米．本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 12．26m 【解析】根据坡度求出30DCE ∠=︒，继而求得，∠ACD ＝90°，根据平行线的性质可得∠FDC ＝30°，继而得∠ADC ＝60°，在Rt ACD 中，解直角三角形可得AC ，在Rt ABC △中，解直角三角形可得AB 的值．解：∵斜坡CD 的坡度i =∴tan 1:3DCE i ∠===， ∴30DCE ∠=︒． ∵60ACB ∠=︒，∴180306090ACD ∠=︒-︒-︒=︒． ∵//DF BE ，∴30FDC DCE ∠=∠=︒， ∴303060ADC ∠=︒+︒=︒．在Rt ACD 中，CD =，tan 60ACCD︒=，∴30(m)AC ==，在Rt ABC △中，∵sin 60ABAC︒=，∴3015 1.7325.9526(m)2AB =⨯=≈⨯=≈．答：大树的高度约为26m ．本题考查解直角三角形的运用-仰角和俯角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，特殊的锐角三角函数值．13．（1）证明见解析；（2）12；（3）5．【解析】（1）根据CBE E ∠=∠和ABD CBE E ∠=∠=∠证明ABD AEB ∽相似即可；（2）设3,4(0)BC a AB a a ==>，得出5AC a =，AD=2a ，再根据BD ADEB AB=得出结果；（3）过点F 作FH AE ⊥于点H ，作//FG AB 交AE 于点G ，利用勾股定理及角平分线的性质得出FG=5k ，5,459AG FG k AH AG GH k k k ===+=+=，再利用解直角三角形求解即可．解：（1）点C 是Rt BDE 斜边中点．12BC DC EC DE ∴===， CBE E ∴∠=∠．90ABC DBE ∠=∠=︒，90,90CBE DBC ABD DBC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒， ABD CBE E ∴∠=∠=∠，ABD AEB ∴∽．（2）在Rt ABC △中，3tan 4BC BAC AB ∠==，设3,4(0)BC a AB a a ==>，5AC a ∴===．又3CD EC BC a ===，2AD AC CD a ∴=-=．又2142BD AD a EB AB a ===，在Rt DBE 中，1tan 2BD E BE ∠==．（3）过点F 作FH AE ⊥于点H ，作//FG AB 交AE 于点G ，,FGE BAC BAF AFG ∴∠=∠∠=∠，3tan tan 4FGE BAC ∴∠=∠=．∴在Rt FHG 中，3,4(0)FH k HG k k ==>，5FG k ∴===．AF 平分BAE ∠，BAF FAD ∴∠=∠．BAF AFG ∠=∠， FAD AFG ∴∠=∠，5,459AG FG k AH AG GH k k k ∴===+=+=，在Rt EHF 中，1tan 2FH E EH ∠==， 6EH k ∴=，41515203AE AH EH k ∴=+=+⨯=，由（2）得2184AD a AE a ==， 154AD AE ∴==．本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、三角函数和勾股定理在计算中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 14．（1）3t ；（2）32t =；（3）2720或154或17625；（4）1811或1813【解析】（1）先求出9AD =，12BD =，再证明△ADB PHB ∆可得AB ADPB PH=，即可求解；（2）求出4sin 5A ∠=可得4125DB AB ==，再根据PH=GQ,列出方程即可求解，从而可得结论；（3）分三种情况求解即可；（4）分两种情况根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可．解：（1）∵∠90=15ADB AB =︒，，tan BD A AD ∠==43， ∴9AD =，12BD = 在△ADB 和△PHB 中，∠90ADB PHB ABD PBH =∠=︒∠=∠， ∴△ADB PHB ∆∴AB AD PB PH =，即AD PBPH AB⋅=∵25533PB BQ PQ BQ BQ BQ t =+=+==∴45315tPH t ==故答案为：3t （2）当点G 落在DC 上时，∵4tan 3A ∠=， ∴4sin 5A ∠=，3sin 5CDB ∠=,在Rt ADB 中，90ADB ∠=︒4sin 5DB A AB ∠==， ∴4125DB AB ==∴在Rt AQG 中，90AGQ ∠=︒()31235GQ t =-，同理355PH t =，∵PH GQ =, ∴()33123555t =t - ∴32t =（3）①当//OG DC 时，3t 4=，22141212327232555420S t t t ⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪⎝⎭②当//OG BC 或OG DB ⊥时，54t =，2214121251523255544S t t t ⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪⎝⎭③当OG DC ⊥时，2t =，22121831762326529525S ⎛⎫=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭ （4）∵经过点G 的直线将平行四边形ABCD 的面积平分，∴这条直线经过平行四边形ABCD 的对角线的交点，即BD 的中点O ．①如图，当直线OG 经过PH 的中点R 时，直线OG 将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，∵PH //GQ ， ∴12PR PO GQ OQ ==， ∴561632t t -=- ∴1813t =；②如图，当直线OG 经过HQ 的中点N 时，直线OG 将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，∵PG//HQ ， ∴12NQ OQ PG PO ==， ∴631562t t -=-， ∴1811t =；综上所述，满足条件的t 的值为1811或1813．此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．15．（1）211433y x x =-++；（2）PN m ﹣2）2，当m ＝2时，PN ；（3）M 1（2，103）、M 2（，23﹣）、M 3（2﹣23），S ＝83．【解析】（1）由二次函数交点式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN ＝2（﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解．（3）由三角形的面积公式和平行线的性质知，点M 1、M 2、M 3在与直线BC 平行且与抛物线相交的直线上．利用待定系数法确定直线BC 的解析式，然后通过二次函数图象与几何变换规律求得符合条件的直线，再联立方程组，求得直线与抛物线的交点即可．解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ，即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13，则抛物线的表达式为211433y x x =-++；（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQ sin ∠PQN ＝2（﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）＝﹣6（m ﹣2）2+3，∵﹣6＜0， ∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为3．（3）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），把B （4，0），C （0，4）代入，得404k b b +=⎧⎨=⎩．解得14k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝﹣x +4设与直线BC 平行的直线的解析式为：y ＝﹣x +n ．联立得：2411433y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩．消去y 得：x 2﹣4x +3b ﹣12＝0．当直线与抛物线只有一个公共点时，△＝16﹣4（3b ﹣12）＝0．解得b ＝163．即：y ＝﹣x +163．此时交点M 1（2，103）．直线y ＝﹣x +163是由直线y ＝﹣x +4向上平移163﹣4＝43个单位得到．同理，将直线y ＝﹣x +4向下平移43个单位可得直线y ＝﹣x +83．联立28311433y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩．解得11223x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，22223x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴M 2（，23﹣），M 3（2﹣23）．综上所述，符合条件的点的坐标分别是：M 1（2，103）、M 2（，23﹣）、M 3（2﹣，23）．此时S ＝83．此题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．16．（1）见解析；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）12．【解析】（1）设CH ＝x ，在Rt △CHF 中根据∠CFH ＝∠FCH ＝45°，可知CH ＝FH ＝x ，在Rt △CHE 中根据tan ∠CEH ＝CH EH可得出x 的值，由CD ＝CH +DH 即可得出结论；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）根据小明与小红的计算结果得出古塔底面的半径，进而可得出结论．解：（1）设CH ＝x ，在Rt △CHF 中，∵∠CFH ＝∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝x ，在Rt △CHE 中，∵tan ∠CEH ＝CH EH ， ∴58.8x x ＝tan17°＝0.30， ∴x ＝25.2，即CH ＝25.2（m ），∴CD ＝CH +DH ＝25.2+1.6＝26.8（m ），答：古塔CD 的高度为26.8m ；（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．（3）如图，在EH 上取一点P 使∠CPH ＝35°，则PG ＝30，在Rt △CHP 中，CH ＝25.2，∴PH ＝tan 35CH ︒＝25.20.7＝36， ∴GH ＝PH ﹣PG ＝6，∴该古塔底面圆直径的长度＝2×6＝12（m ）．故答案为：12．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．17．（1）见解析；（2）MF BM =3；（3【解析】（1）易证明△AEF ∽△ABC ，则有AE AF AB AC =，再证明∠BAE=∠CAF ，根据相似三角形的判定即可证的结论；（2）连接BE ，设CF=x ，则x ，AE=AF·tan30°=x ，由（1）中△ABE ∽△ACF 可证得AF AE CF BE =，∠ABE=∠ACF ，进而求得x ，再证明△BME ∽△FMA ，则MF AF MB BE =，进而求解；（3）连接FC ，易证△ABE ∽△ACF ，则tan 30BE AB CF AC ==，解得CF=6，易求得∠FBC=90°，根据勾股定理求得BC ，进而由AB=BC·sin30°求解即可．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC=90°，即∠BAC=∠EAF=90°，∵∠ACB=∠AFE=30°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴AE AF AB AC =即AE AB AF AC=， ∵∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠CAF ，∴△ABE ∽△ACF ；（2）连接BE ，由（1）中方法可证明△ABE ∽△ACF ， ∴AFAE CF BE =，∠ABE=∠ACF 即∠ABE=∠AFE ，设CF=x ，则，AE=AF·tan30°，由AFAE CF BE =得：BE x = 解得：BE=3x ， ∵∠EMB=∠AMF ，∠ABE=∠AFE ，∴△BME ∽△FMA ， ∴MF AF MB BE =3=；（3）连接AC ，由（1）中方法可证△ABE ∽△ACF ， ∴tan 30BE AB CF AC==， ∴23=tan 303BE CF = ∵∠ACB=30°，∠BAC=90°∴∠ABC=60°，又∠ABF=30°，∴∠FBC=∠ABF+∠ABC=90°，在Rt △FBC 中，由勾股定理得BC===∴AB=BC·sin30°=本题考查了相似三角形判定与性质、矩形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键.18．（1）见解析；（2）16．【解析】（1）连接OD、AD，则由CA为直径可得AD⊥BC，从而得到AD平分∠BAC，然后根据弦切角定理即可得到解答；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC，∵DE是⊙O 的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90 ，∴∠ADC=∠ODE，∴∠CDE=∠ADO，∵OA= OD，∴∠CAD=∠ADO，∴∠CDE =∠CAD ，∴∠CDE=∠CAD=12∠BAC ；（2）解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∵tan ∠CAD=13， ∴AD=3CD ，∴设DC=x ，则AD=3x ，∴=，∵∠CDE=∠CAD ，∠DEC=∠AED ，∴△CDE ∽△DAE ， ∴CE DC DE DE AD AE ==，即 43x DE DE x AE== ， ∴DE=12，AE=36，∴AC=AE-CE=32，∴⊙O 的半径为16．本题考查的是切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得AD ⊥BC 是解决问题的关键．19．（1）B ，C ；（2）①6DE ≤≤；②4b ≤<-4b -<≤【解析】（1）根据“Math 点”的定义，结合图象判断即可．（2）①首先证明∠PQO ＝30°，当点E 与PQ 的中点K 重合时，点E 是△POQ 关于边PQ 的“Math点”，此时E （，2），当⊙E′与x 轴相切于点Q 时，E′（8），推出DE′＝，观察图象可知，当点E 在线段KE′上时，点E 为△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出点D 到直线E′K 的最小值，即可解决问题．②如图3中，分别以O 为圆心，2和为半径画圆，当线段MN 与图中圆环有交点时，线段MN 上存在△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出直线MN 与大圆或小圆相切时b 的值，即可判断．解：（1）根据“Math 点”的定义，观察图象可知，△POQ 关于边PQ 的“Math 点”为B 、C ．故答案为：B ，C ．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（0），∴OP＝4，OQ＝∴tan∠PQO∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2），∵D（0，8），∴DE。

九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题

九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。

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第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (10)
一、单选题
1．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结，交于点P．若的长为，则的长为（）
A． B． C． D．5
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴ ，
设BP=BF=PG=y，
②求线段的长．
11．如图，某建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C点分别测得旗杆AB的底部B点的俯角α为60°，旗杆顶部A点的仰角β为20°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940， ≈1.732，结果取整数）
12．由于“新冠病毒”的蔓延，各种医疗设备需求量大增，其中医疗病床是非常重要的医疗设备之一．如图①是一种常见的医疗病床，图②是病床的简易构造图，已知长为2米，高为0.6米，当床折起角度为时，床头处距离地面1米高，当床折起时，则此时床头距离地面有多高？（结果精确到0.1米，参考数据：）
由的长为，结合正十二边形的性质可得，
在中，
经检验：符合题意；
故选：
本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质，圆与正多边形，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角的关系定理，弧长的计算，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
2．B
【解析】
①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；
（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．
15．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.732）
5．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求出A与C之间的距离AC．
（2）已知距观测点D处50海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是x轴下方抛物线上的一动点，连接AP、CP，若△ACP与△ABC面积相等，求点P的坐标；
（3）设F为线段AC上的一点（不含端点），连接BF．一动点M从点B出发，沿线段BF以每秒1个单位的速度运动到F点，再沿线段FC以每秒个单位的速度向终点C运动，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？并求出此时t的值．
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE＝4，CE＝2，BC＝6 ，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，则tanα的取值范围（）
A． ≤tanα＜ B．＜tanα＜
C．tanα＝ D．＜tanα＜3
二、解答题
∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF=∠PFB，
∴∠BPF=∠BFP，
∴BP=BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
故②正确；
③当AD=25时，
（2）若，，求的半径．
8．如图是某堤坝经过改造后的横断面梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，此处，堤坝的正上方有高压线通过，点P，D，H在一条直线上，点P是高压线上离堤面AD最近的点，测得∠PCD＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α．
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，此次改造是否达到了安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
9．如图，DA，DC是⨀O切线，AB是直径，OD交⨀O于G，连接BG并延长交AD于E，∠DEG＝4∠ABG
（1）证明：BE∥DC
（2）连接CE交⨀O于H，DE＝1，求EH
10．如图，在矩形中，，，点E在边上，．点F是线段上一点，连接，．
（1）如果，求线段的长；
（2）如果．
①求证：；
16．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
②先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；
③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16；
④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；
⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论．
①在矩形ABCD，∠ABC=90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=11，AC=5，sinC= ．
(1)求线段BD的长度．
(2)求cosB的值．
三、填空题
25．如图，点P(m，1)是反比例函数图象上的一点，PT⊥x轴于点T，把△PTO沿直线OP翻折得到△ ，则点的坐标为_______________．
26．小君家购入如图1的划船机一台，如图2是划船机的部分示意图．阻尼轮由支架和支撑，点A处于点O的正下方，与相切，脚踏板点E和圆心O在连杆上，部分隐藏在阻尼轮内部，测量发现点E到地面的高度为35 ，E、A两点间的水平距离为72 ，，则的长为______ ．
27．已知点P是抛物线上任一点，点（n为实数），则PQ长度的最小值为________．
13．如图，要测量小山上电视塔BC的高度，在山脚下点A测得：塔顶B的仰角为∠BAD=40°，塔底C的仰角为∠CAD=30°，AC=200米，求电视塔BC的高．（结果用含非特殊角的锐角三角函数及根式表示即可）
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：
（3）当点E是线段BC的中点时，将线段DG绕着G点顺时针旋转，使D点的对应点P点刚好落在∠DCM的角平分线上．试说明点B、G、P三点在同一条直线上，并直接写出线段BG与线段DP的数量关系．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C两点，∠ABO＝∠OAC，OB：BC＝1：3．
4．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
30．如图是一张矩形纸片ABCD，点E是BC边上的点，现将△ABE沿直线AE翻折，得到，延长交线段AD于点G，再将四边形CDGF沿直线GF翻折，得到四边形，且使点恰好落在线段EG上，交BC于点H，已知AD=6，AB=3，若： =1：2，则tan∠EGF的值为________________．
（1）求BC的长；
（2）用含t的代数式表示线段QM的长；
（3）设矩形PQMN与重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连结QN，当QN与的一边平行时，直接写出t的值．
19．已知：中，，，点D在边BC上，，．求AB的长和．
20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰底边上的高，直线的解析式为，抛物线的顶点为点，且经过坐标原点．
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
17．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）延长DE交BA的延长线于点F．若AB＝5，sinB＝，求线段AE的长
18．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）有一动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，连接，设的面积为，点的运动时间为秒，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点做的垂线交射线于点，过点作的垂线交抛物线于点，直接写出当为何值时，的长为，并写出此时点的坐标．
6．如图，某人在山脚处测得一座塔的塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知坡面米，坡角，且在同一条直线上，求塔的高度．(测角仪的高度忽略不计，结果用根号表示)