多变量控制系统分析与设计

β βA
βB
0
βA2 βA 2β βAi iβ i 1, 2,K
βB βB L n1βB 0
β B AB L An1B 0
rank I A B n
系统状态完全可控的
输出可控性问题
y(t) Cx(t) Du(t)
与状态可控性的定义相类似，对系统规定两组输出向量值y(t0)=y0和
关于时变系统(一般的情况)可控性充要条件
x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
t
x(t) Φ(t,t0 )x0
Φ(t, )B( )u( )d
t0
t
Φ(t,t0) exp[
A( )d ]
t0
[定理4-1] 系统在时间t0可控的充分和必要条件是存在有限时间内t1＞t0， 在[t0，t1]区间内，n×m维矩阵函数Φ(t0, ·) B(·)的n行是线性独立的。
t1
)
@
t1 t0
Φ(t0
,
)B(
)B*
(
)Φ*
(t0
,
)
d
u(t) B*(t)Φ*(t0,t)W1(t0,t1)[x0 Φ(t0,t1)x1]
x(t1) Φ(t1,t0)
x0
t1 t0
Φ(t0
,
)B(
)B*
(
)Φ*
(t0
,
)d
W1
(t0
,
t1
)
g[x0 Φ(t0,t1)x1]
Φ(t1,t0 ) x0 W(t0,t1)W1(t0,t1)g[x0 Φ(t0,t1)x1]
x& Ax Bu y Cx Du
状态可控性
输出可控性
[定义4-1] 如对系统规定两种状态x(t0)＝x0和x(t1)＝x1，时间t1＞t0，倘使在规 定的时间区间[t0，t1]内，存在能使状态由x0达到x1的控制作用u(t)，则称该系 统是状态可控的。如果不满足该一条件，则系统是不可控或不完全可控的，不 可能使状态向量由任选的初值条件x(t0)达到另一个任选的条件x(t1)。
其中
x0
n1
AkB
t 0
(1)k
1 k
(
)u(
)d
n1
AkBu%k
k =0
k =0
u%k (1)k1
t
0k ( )u( )d
线性定常系统可控性充要条件(续)
除了A的特征值以外，矩阵(sI-A)都是非奇异的
rank sI A B n
对应于A的特征值
rank sI A B n
βI A B 0
第3章 可控性、可观性、标准形
本章解决的主要问题
（1）不直接求解系统时域解，考察系统结构一定条件下，系统性质与系 统参数间的关系；
（2）可控性、可观性； （3）系统描述的标准形(规范形)及其变换方法； （4）不同系统描述方法(状态空间、传递函数阵)相互转换方法与算法； （5）系统的零点、极点
3.1 可控性、可观性和解耦零点
[证明] (充分性) Φ(t0, ·) B(·)的n行是线性独立的
维克兰姆矩阵
W(t0
,
t1
)
@
t1 t0
Φ(t0
,
)B(
)B*
(
)Φ*
(t0
,
)
d
非奇异
关于时变系统(一般的情况)可控性充要条件(续)
x0 x1
t
x(t) Φ(t,t0 )x0
Φ(t, )B( )u( )d
t0
W(t0
,
线性定常系统可控性充要条件
x&(t) Ax(t) Bu(t)
[定理4-2] 系统状态可控的充分和必要条件可用下列5种等价形式的任何
一种来表述:
(1) eAtB或 eAtB 的所有各行，在复数平面 L 的[0,]域内线性独立； (2) (sI A)1 的所有各行在复数平面C 内线性独立；
(3) 可控性克兰姆矩阵Wc在t＞0的任意时刻都是非奇异的:
Φ(t0,t1)x(t1) α*
t1 t0
Φ(t0
,
)B(
)u(
)
d
αΦ(t0,t1)x(t1) αα*
t1 t0
αΦ(t0
,
)B(
)u(
)d
令 x(t1) 0 αΦ(t0,t1)B(t) 0
αα* 0 α0
导致与Φ(t0, ·) B(·)的各行在所有t1＞t0的区间[t0,t1]是线性相关 的假设矛盾
0
x(t) 0
0 eAtx0
t eA(t )Bu( )d
0
eAt x0
t eA(t )Bu( )d
0
x0 eAt
t eA(t )Bu( )d
0
Βιβλιοθήκη Baidu
t eA Bu( )d
0
由Cayley—Hamilton定理
eAt 0 (t)I 1(t)A 2 (t)A2 +L +n1(t)An1
因为拉氏变换是一一对应的线性交换，表述形式2和1是完全等价的。
eAtB 各行线性独立，可以等价为可控性矩阵ψC的秩为n。
aT eAtB @0
连续求导
aT eAt AB @0 aT eAt A2B @0
M
线性定常系统可控性充要条件(续)
aT eAt B AB A2B L An1B L @0
由Cayley—Hamilton定理，上式[·]中写到An-1B项就足够了:
Wc
@
t eA BB*eA* d
0
(4) n ×(nm)维可控性矩阵的秩为n，
Ψc @B AB A2B L An1B
线性定常系统可控性充要条件(续)
(5) 对应于A的每个特征值λ，n×(n+m)复数矩阵 I A B 的秩为n，或者说
(I A) 和B是左互质的。
[证明] L eAtB (sI A)1B
aT eAt B AB A2B L An1B @0 rank eAt B AB A2B L An1B n
rank B AB A2B L An1B n
eAtB 各行线性线性相关
rank B AB A2B L
An1B n
线性定常系统可控性充要条件(续)
x(t) eAtx0
t eA(t )Bu( )d
Φ(t1,t0 )Φ(t0 ,t1)x1 x1
关于时变系统(一般的情况)可控性充要条件(续)
(必要性) 反证法
假设系统在t0是可控的，然而Φ(t0, ·) B(·)的各行在所有t1＞t0的区间[t0,t1] 是线性相关的。由于线性相关，必然存在非零的1×n维系数行向量α能使
αΦ(t0,t1)B(t) 0
x(t0 ) @x0 α*
t
x(t) Φ(t,t0 )x0
Φ(t, )B( )u( )d
t0
x(t1) Φ(t1,t0 )x0
t1 Φ(t, )B( )u( )d
t0
Φ(t0,t1)x(t1) x0
t1 t0
Φ(t0
,
t
)Φ(t
,
)B(
)u(
)
d
关于时变系统(一般的情况)可控性充要条件(续)