一常量与变量和函数的概念
函数的概念
y
1
o
x
1
13
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数.
y
[ 5 ]0, 7
[ 3 ]1, [ 1 ] 1， [ 3.5 ] 4 .
4 3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
14
(3) 狄利克雷函数(Dirichlet)
1 当x是有理数时 y D( x) 0 当x是无理数时
5
25 x2
(4) y lg(x2 1) 1
解 (1) 2 x 0 , 2 x 2，即定义域为 [2, 2) .
2 x
(2)
3x 2 0 ln(3x 2)
0
,
即
x 2/3
x
1
,
因此，函数的定义域为 D ( 2 , 1) (1, ) . 3
6
x1 1
(3) y arcsin
定义 设数集 D R , D Φ ，如果对 D 中的每一 个 x，按照某个对应法则 f，有唯一的数 y R 与之对 应，则称 f 是定义在 D 上的一个函数，记为 y f ( x) ， x D .其中 D 称为定义域.
x称为自变量，y称为因变量.
定义域通常记为 D f . 全体函数值组成的集合称为函数的值域,记为 Z 或者Z f ，
（4） y x, y 3 x3 相同
（5） y ln x2 , y 2 ln x 不同 (定义域不同)
4
四、函数定义域的求法
(1) 根据实际问题；
(2) 自然定义域：使算式有意义的一切实数值.
如何求函数的自然定义域？
1） 分式的分母不等于零； 2） 偶次根号内的式子应大于或等于零； 3） 对数的真数应大于零；
函数的概念
函数的概念
一、常量和变量：
常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量。
变量：在某一变化过程中，可以取不同熟知的量，叫做变量；
变量和常量的最大区别在于表示量的数值是变还是不变。
此外，还要注意区分常量和变量，要结合具体的问题进行具体的分析。
二、函数的概念：
函数：在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变
化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。
理解函数的概念，要注意以下三点：
（1） 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系，至于这两个量
是否用x 、y 表示是不一定的。
（2） 自变量x 虽然可以任意取值，但在许多问题中，自变量x 的取值是有范围的；
自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。
对于函数的关系式，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：用数学式子来表示、用表格来表示、用图像来表示
（3） 对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。
函数的定义域与函数值
定义域：函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
函数值：在定义域内取定x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。
有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。
如()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +⎛⎫=
- ⎪-⎝⎭求。
初中函数概念与正比例函数
一、常量与变量的概念：常量：在某一变化过程中,始终保持不变的量．变量：在某一变化过程中,可以取不同数值的量．二、自变量、函数的概念设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
1．圆周长公式C=2πR中，下列说法正确的是( )(A)π、R是变量，2为常量(B)C、R为变量，2、π为常量(C)R为变量，2、π、C为常量(D)C为变量，2、π、R为常量2、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系式。
关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（是自变量，是因变量）；一辆汽车行驶5小时，写出行驶路程s(千米)与行驶速度v(千米/小时)之间的关系式。
关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（是自变量，是因变量）3、写出下列函数关系式，并指出关系式中的自变量与因变量：⑴每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，总金额Y（元）与学生数n（个）的函数关系式；关系式为（是自变量，是因变量）⑵计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的函数关系式．关系式为（是自变量，是因变量）（3）、用长20m的篱笆围成一个矩形，则矩形的面积S与它一边的长x的关系是什么？关系式为 （ 是自变量， 是因变量） 4、用长20m 的篱笆围成矩形，使矩形一边靠墙，另三边用篱笆围成， ⑴ 写出矩形面积S （m 2）与平行于墙的一边长x （m ）的关系式；关系式为 （ 是自变量， 是因变量）⑵ 写出矩形面积S （m 2）与垂直于墙的一边长x （m ）的关系式．关系式为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（ 是自变量，是因变量）5：指出下列变化关系中，哪些x 是y 的函数，哪些不是，说出你的理由。
常量变量函数的概念
常量变量函数的概念常量、变量和函数是编程中的三个基本概念。
常量是指在程序执行过程中，其值不会发生改变的数据；变量是指可以被程序修改的数据；函数是指完成特定任务的一段代码。
下面将分别介绍常量、变量和函数的概念。
一、常量的概念常量是指在程序执行过程中，其值不会发生改变的数据。
在程序中，我们经常需要使用一些固定不变的值，比如圆周率π等。
这些固定不变的值就可以定义为常量。
定义一个常量需要使用const关键字，语法格式如下：const 数据类型常量名 = 常量值;其中，const表示定义一个常量；数据类型表示该常量所属的数据类型；常量名表示该常量的名称；常量值表示该常量所代表的值。
例如，在C++中定义一个整型常数PI：const int PI = 3.1415926;二、变量的概念变量是指可以被程序修改的数据。
在程序中，我们经常需要使用一些可以改变数值或状态的数据，比如计数器、累加器等。
这些可修改数据就可以定义为变量。
定义一个变量需要使用数据类型和名称来描述它，并且需要给它赋初值（如果不赋初值，则默认为0）。
语法格式如下：数据类型变量名 = 初值;其中，数据类型表示该变量所属的数据类型；变量名表示该变量的名称；初值表示该变量的初始值。
例如，在C++中定义一个整型变量num：int num = 0;三、函数的概念函数是指完成特定任务的一段代码。
在程序中，我们经常需要完成一些特定的任务，比如计算两个数之和、输出一段文本等。
这些特定任务就可以封装成一个函数，方便程序调用和复用。
定义一个函数需要指定函数名、参数列表、返回值类型和函数体。
语法格式如下：返回值类型函数名(参数列表){函数体;}其中，返回值类型表示该函数返回结果的数据类型；函数名表示该函数的名称；参数列表表示传递给函数的参数（可以有多个参数）；函数体表示实现具体功能的代码块。
例如，在C++中定义一个计算两个数之和的函数add：int add(int a, int b){return a + b;}四、常量、变量和函数在程序中的应用常量、变量和函数是编程中非常重要的概念，它们在程序中有着各自不同的应用。
12生活中的常量与变量 函数的初步认识
生活中的常量与变量函数的初步认识一、知识概述1、常量与变量不同的事物的变化过程中，有些量的值是按某种规律在变化，有些量的值是始终不变的.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.现实生活中有很多这样的例子，例如，汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，在这一过程中，速度60km／h是常量，路程与时间是变量．注意：常量和变量是对某一变化过程来说，不是绝对而是相对的．常量不一定是具体的数，也有用字母表示的．2、函数在同一个变化过程中，有两个变量x和y，变量y的取值是由变量x的取值惟一确定的，我们把y 叫做x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量．自变量取一个值时y的对应值为对应的函数值正确理解函数的概念，需注意：①“同一变化过程”是有条件限制的，所给条件不同，“过程”也就不同，不在同一变化过程中的两个变量，不具有函数关系，如小明到书店买书所付的钱数与他的体重都是变量，但这两个变量没有函数关系；②一个变化过程中只有“两个变量”才有可能形成函数关系，其中一个是自变量，如小明放学回家这个过程中，所用的时间与平均速度是两个变量，其中平均速度是自变量，平均速度决定他所用的时间；③“唯一确定”的意思是“有一个并且只有一个”，如在y＝2x＋1中，给x一个值，y只有一个值与之对应，因此y是x的函数；而在y2＝x中，给x一个值，如当x＝1时，y＝±1，即y有两个值与之对应，因此y不是x的函数；④“函数”与“函数值”是两个不同的概念，“函数”是两个变量之间的关系，而“函数值”是一个具体的数；⑤列函数关系式时，要弄清题意，理解问题的实际背景，发现其中的规律，列出关系式.3、变量之间关系常常用三种方法表示：列表法、解析法、图象法．三种变量之间关系的表达方式与特点：二、典型例题讲解例1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量？哪些量是变量？（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m）2与一边长x（m）之间的关系式；（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔数n（支）的关系；（3）运动员在400m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）某种活期储蓄的月利率为0.16%，存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y（元）与所存月数x之间的关系式．分析：（1）由矩形的性质可求得另一边为，所以可知矩形的面积S与x的关系式．在这个问题中x是变量，当x取不同的数值时，S有惟一的值与之对应，所以S也是变量，30是常量;（2）购物所花的总金额应等于物品的单价与购买的数量的乘积，由关系式则不难指出其常量和变量；（3）根据：距离=速度×时间可以得到，，结合题设即可写出其关系式，继而指出常量和变量；（4）本息和=本金×[1＋月利率×月数×（1－20%）]，由此可写出关系式，并由关系式指出其常量和变量．解：（1）S与x之间的关系式为S= x(30－x)，其中常量为30，变量为S与x；（2）y与n之间的关系为y=0.4n，其中常量为0.4，变量为y与n；（3）t与v之间的关系式为，其中常量为400，变量为t与v;（4）y与x的关系式为y=10000×[0.16%·x·(1－20%)＋1]=12.8x＋10000，其中常量为12.8和10000，变量为x和y．例2、观察下列直棱柱，回答问题（1）直三棱柱有几个面？直四棱柱有几个面？直五棱柱有几个面？（2）直n棱柱有几个面？若用m表示直n棱柱的面数，试写出m与n之间的关系式；（3）指出你所写的关系式中，哪些是常量？哪些是变量？解析：（1）5个面；6个面；7个面．（2）直n棱柱有（n＋2）个面，关系式是：m＝n＋2．（3）2是常量，m，n是变量．例3、某校校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，由此可知，年产值发生了变化．（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果年数用x（年）表示，年产值用y（万元）表示，那么y与x之间有什么样的关系？（3）当年数由1年增加到5年后，年产值是怎样变化的？分析：由题意可知，现有年产值是15万元，以后每年增加2万元，由此，年数乘以2万元，即为增加的产值．解：（1）在这个变化过程中，自变量是年数，因变量是年产值．（2）y=2x＋15.（3）当年数由1年增加到5年后时，年产值由17万元增加到25万元.例4、下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．长方形的宽一定，其长与面积B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边与面积D．球的体积与球的半径分析：判断变量之间的关系是否存在着函数关系，首先看是否有两个变量，然后再看这两个变量是否是一对一的关系．A项中，长方形的宽一定，它是常量，而面积=长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也变，故A项是函数关系．B项中，正方形的周长与面积是两个变量，给出一个周长的值，除以4就是边长，再平方与面积相对应，故B项是函数关系．C项中，底边与面积虽是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里的高也是变量，这样就有三个变量了，因此C项不是函数关系．D 项中，球的体积与其半径是函数关系．答案：C例5、心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：分）之间满足如下：（接受能力数值越大，表示接受能力越强）（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个是因变量？（2）提出概念所用时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内学生的接受能力逐步降低？（3）提出概念的第10分钟时，学生的接受能力数值是多少？（4）估计第几分钟时，学生接受能力最强？分析：表中反映提出概念所用时间与学生对概念的接受能力两个数值之间的关系．要解答后面三个问题关键是观察出表内两个变量之间的变化规律，从数值上的变化找出学生接受能力最强的时间．解：（1）反映了提出概念所用时间与学生对概念的接受能力之间的关系，提出概念所用时间是自变量，学生对概念的接受能力是因变量；（2）从第1分钟到第13分钟，学生的接受能力逐步增强；从第13分钟到第30分钟，学生的接受能力逐步降低；（3）提出概念的第10分钟，学生的接受能力数值是59；（4）提出概念的第13分钟，学生的接受能力最强.例6、观察图中图形和所给表格中的数据回答问题．（1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的函数关系式；（2）求n=11时图形的周长．解：（1）由已知得l=5＋3(n－1)=3n＋2（n为正整数）．（2）当n=11时，l=3×11＋2=35，故n=11时图形的周长为35．。
八年级数学下册第19章一次函数19.1变量与函数19.1.1变量与函数课件(新版)新人教版
例2 下列变量间的关系是函数关系的是
.
①长方形的长与面积;②圆的面积与半径;
③y=± x ;④S= 1 ah中的S与h.
2
解析 ①因为长方形的长、宽、面积都不确定,有三个变量,所以长方
形的长与面积不是函数关系.②因为圆的面积公式为S=πr2,当半径r取一
个确定的值时,面积S就唯一确定,所以圆的面积与半径是函数关系.③当
解析 (1)根据函数的定义可知,对于底面半径的每个值,都有一个确定 的体积的值按照一定的法则与之相对应,所以自变量是底面半径,因变 量是体积. (2)体积增加了(π×102-π×12)×3=297π cm3.
2.(2018湖北咸宁咸安模拟)若函数y=
x
2
2(
x
2),
则当函数值y=8时,自
答案 B 把h=2代入T=21-6h,得T=21-6×2=9.故选B.
5.在函数y=3x+4中,当x=1时,函数值为 为10.
,当x=
时,函数值
答案 7;2
解析 当x=1时,y=3x+4=3×1+4=7.当函数值为10时,3x+4=10,解得x=2.
知识点三 自变量的取值范围
6.(2018江苏宿迁中考)函数y= 1 中,自变量x的取值范围是( )
知识点一 常量与变量 1.(2017河北唐山乐亭期中)一辆汽车以50 km/h的速度行驶,行驶的路程 s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式为s=50t,其中变量是 ( ) A.速度与路程 B.速度与时间 C.路程与时间 D.三者均为变量
答案 C 在s=50t中路程随时间的变化而变化,所以行驶时间是自变 量,行驶路程是因变量,速度为50 km/h,是常量.故选C.
初中数学——(30)函数基本概念
初中数学——（30）函数基本概念一、常量与变量（一）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
（二）常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
二、函数（一）定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数1、有两个变量2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化3、一个自变量确定的值，函数只有一个值与之对应（二）判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应（三）函数关系式是等式（四）函数关系式在书写时有顺序性．例：① y=-3x+1是表示y是x的函数② x=3y1 是表示x是y的函数三、定义域（一）定义域：一般一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域（二）很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围例：y=1x-y x受到开平方运算的限制因此有x-1≥0，即x≥1（三）确定函数定义域的方法：1、关系式为整式时，函数定义域为全体实数2、关系式含有分式时，分式的分母不等于零3、关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零4、关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零5、实际问题中，要和实际情况相符合，使之有意义四、函数图像（一）函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式（二）一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（三）描点法画函数图形的一般步骤1、列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值2、描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来（四）函数解析式与函数图象的关系：1、满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上2、函数图象上点的坐标满足函数解析式．（五）验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断五、练习题（一）下列函数y=πx ，y=2x －1，y=x 1，y=21－3x ，y=x 2－1中，是一次函数的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个（二）已知函数y=5-x ，当时，y 的取值范围是 （ ）A 、-25＜y ≤23B 、23＜y ＜25C 、23≤y ＜25D 、23y ＜≤25 （三）若函数y=(m-1)2x m +3是y 关于x 的一次函数，则m 的值为我少？解析式为什么（四）函数y=5-x 中自变量x 的取值范围是。
一次函数知识点总结初中数学
变量与函数要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，s=60t，速度60千米/时是常量，时间t和里程s为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值y是x的函数，如果当x＝a时x＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一y 中，当函数值为4时，自变量x的值为±个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2x2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.正比例函数（基础）要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如kx y =（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）y 是x 的正比例函数；（2）kx y =（k 为常数且k ≠0）；（3）若y 与x 成正比例；（4）k xy =（k 为常数且k ≠0）；. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数kx y =（k 为常数，且k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线kx y =.当k ＞0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的y 增大反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数kx y =（k 为常数，且k ≠0)中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.一次函数的图象与性质（基础）要点一、一次函数的定义一般地，形如b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，b kx y +=即kx y =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k,b 的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线b kx y +=是由直线kx y =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线b kx y +=是由直线kx y =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k ,b 对一次函数b kx y +=的图象和性质的影响：k 决定直线b kx y +=从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k ,b 一起决定直线b kx y +=经过的象限．4. 两条直线l 1：11b x k y +=和l 2：22b x k y +=的位置关系可由其系数确定：（1）k 1≠k 2l 1与l 2相交； （2）k 1=k 2，且b 1≠b 2l 1与l 2平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）中有两个待定系数k,b ，需要两个独立条件确定两个关于k,b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x,y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数b kx y +=中有k,b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k,b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.⇔⇔一次函数与一次方程（组）（基础）要点一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0=+b kx ，此时自变量x 的值就是方程0=+b kx 的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0），确定它与x 轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数42+-=x y 与21323-=x y 图象的交点为(3，－2)，则⎩⎨⎧-==23y x 就是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=2132342x y x y 的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组⎩⎨⎧+=-=1353x y x y 无解，则一次函数53-=x y 与13+=x y 的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.要点三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．一次函数与一元一次不等式（基础）要点一、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为b ax +＞0或b ax +＜0或b ax +≥0或b ax +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数b ax y +=的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式b ax +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数b ax y +=的值大于0？从“形”的角度看，确定直线b ax y +=在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系d cx b ax +>+（a≠c ，且ac ≠0）的解集⇔b ax y +=的函数值大于d cx y +=的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线b ax y +=在直线d cx y +=的上方对应的点的横坐标范围．x x。
一次函数详细讲义
1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
注意：①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。
②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。
③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数2(3)y x=-中，2x=时，1y=；4x=时，1y=．2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。
注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
高等数学第一章函数与极限可修改文字
xn
1
1 n
O
102 103 104
105 106 107
108 109 1010 1011 n
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xn n
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●
n
●
OO
n
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
xn (1)n
1
●
●
●
●
●
●
●
●
O n 3120 3121 3122 1323 3124 3125 3126 3127 3128 3129 4320 4321 n
高等数学第一章函数与极限
1.1.1 常量与变量
常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的 量叫做常量。
变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的
量叫做变量。
A r 2
常量与变量的划分是相对的。
1.1.2 函数的概念
定义1：设x 和 y 为同一过程两个变量 ，若对非空数集D
中任一x （记为 x D ） ，在数集M中存在 y
（3）有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a，b) 上，若存在
一个常 数 k ， 使得当 x ∈ (a，b) 时，恒有 f (x) k
( f (x) k) 成立，则称f ( x )在 (a，b)有上界（下界）。
若 f ( x )在 (a，b)既有上界又有下界， 则称f (x )在 (a，b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界，则称f ( x ) 为有界函数。
则称函数 f ( x ) 为奇函数（或偶函数）。
（2）单调性 若函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上
任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 x2 时，有
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数学八年级(上)(浙教版)同步单元复习卷1
《一》常量与变量和函数的概念
（1）。
笔记本每本a 元，买3本笔记本共支出y 元，在这个问题中：①a 是常量时，y •是变量；②a 是变量时，y 是常量；③a 是变量时，y 也是变量；④a ，y 可以都是常量或都是
变量，上述判断正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
（2）．圆的面积S 与半径R 的关系是______，其中常量是______，变量是_______．
（3）s 米的路程不同的人以不同的速度a 米/分各需跑t 分，其中常量是_____，变量是_____． 《二》求自变量的取值范围
（1）平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数y 与另一个角的度数x 之间的关系是（ ）
A 、 y =x
B 、 y= 90 – x
C 、 y= 180 – x
D 、 y= 180 + x
（2）把方程xy=3x-5y 改成用x 的代数式表示y 的函数形式为 ，当x=5时，y 的值为 。
（3）．在函数y ＝2x －6＋3101
-x ＋(x －4)0中，自变量x 的取值范围为______。
《三》正比例函数，一次函数的概念
(1).下列函数是一次函数的是( )．
①y=-3x ②y=3x
③y=3x 2 ④y=3 ⑤y=3x+2 A ．①⑤ B ．①④⑤ C ．②④⑤ D ．②③
（2）．一台拖拉机开始工作时，油箱中有40升油，如果每小时耗油6升，则油箱中的余油量Q （升）与工作时间t （时）之间的函数关系式为________．
(3),当m 为＿＿＿时，函数y=－（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数；
(4)．已知s 是t 的一次函数，并且当t=1时，s=2；当t=-2时，s=23，•试求这个一次函数的关系式．
《四》待定系数法求函数解析式
(1)如果正比例函数y=kx 的图像经过(-1，-3)，那么k=______，图像经过第____•象限，y
随x 的增大而_______．
(2)已知一次函数y ＝2x ＋4的图象经过点(m ，8)，则m ＝_______．
(3)．一次函数y=5x-10的图象与x 轴的交点坐标是_______，它与y•轴的交点坐标是
________．
(4).直线y=kx+b 与直线y=-32
x+5平行，且过点A （0，-3）． （1）求该直线的函数表达式；
（2）该直线可由直线y=-
32
x+5通过怎样的平移得到？
《五》函数图像及性质
(1)图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2是容器中水高度随滴水时间变化
的图像.
给出下列对应：（1）：（a ）——（e ） （2）：（b ）——（f ） （3）：（c ）——(h)
（4）：（d ）——（g ）， 其中正确的是( )
（A ）（1）和（2） （B ）（2）和（3） （C ）（1）和（3） （D ）（3）和（4）
(2)若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，
则m 的取值范围是 ( )
A ． m ＜0
B ． m ＞0
C ． m ＜12
D ． m ＞12
(3).已知一次函数y =-6x +1，当-3≤x ≤1时，y 的取值范围是 .
(4)函数y=ax+2与y=bx-4的图象相交于x 轴的同一点，则a ︰b = .
(5).已知函数y =(2m+1)x+m-3
(1)若函数的图象图象是经过原点的直线，求m 的值
(2)若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围
(6).已知m 是整数，且一次函数y ＝(m ＋4)x ＋m ＋2的图象不经过第二象限，则m ＝_______
(7).已知直线l 与直线y ＝2x ＋1的交点横坐标为2，与直线y ＝－x －8的交点的纵坐标为－7，求直线l 的解析式．
\
已知直线y ＝2x －35
，求：(1)直线在y 轴上的截距；(2)与y 轴的交点坐标；(3)与x 轴的交点坐标；(4)与两坐标轴围成的三角形的面积．。