高等数学在中学数学中的应用1000例
高等数学在中学数学中的若干应用
improve the students' thinking, widen the thinking of students, cultivate the innovative consciousness; On the other hand can also improve their professional knowledge, the organic combination of higher mathematics and the middle school mathematics, achieve mastery through a comprehensive study. This paper will be linked with elementary mathematics, higher mathematics through some examples to illustrate some application of higher mathematics in middle school mathematics. Key words: higher mathematics; elementary mathematics; application
a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b，
b) ，使等式 f (a)
f (b)
f , ( )(a b) 成立。
第 2 页 （共 13 页）
把区间 [a, b] 分成 n 个小区间
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],...,[ xn 1 , xn ],
各个小区间的长度依次为
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 ,..., xn
众所周知， 高等数学是中学数学的深入研究和扩展，中学数学是高等数学的 基础。因此，不应该将二者对立、区分开来，它们是紧密联系的[2]。数学是一门 抽象性、 概括性和推理性较强的学科。义务教育阶段的数学课程主要是培养公民 素质的课程，使学生为适应社会生活进一步发展所需的基础知识、基本技能、基 本思想、基本活动经验。高中阶段的数学教育是在九年义务数学课程的基础上，
浅析高等数学在中学数学解题中的应用
浅析高等数学在中学数学解题中的应用【摘要】本文主要从微积分、线性代数、概率论、数学分析和向量解析这五个方面，浅析了高等数学在中学数学解题中的应用。
在微积分中，我们可以利用求导和积分来解决中学数学中的函数最值、曲线切线等问题；线性代数在矩阵运算和方程组解法中发挥了关键作用；概率论为统计和概率题目提供了解决思路；数学分析通过极限和级数求和帮助我们更好地理解数学问题；向量解析则在解决几何问题中发挥了重要作用。
这些高等数学工具和思想使中学数学解题更具深度和广度，为学生提供了更多解题的可能性和视角。
高等数学为中学数学解题提供了更深层次的数学工具和思想，丰富了学生的数学知识体系，提高了解题能力。
【关键词】高等数学、中学数学、微积分、线性代数、概率论、数学分析、向量解析、应用、解题、工具、思想1. 引言1.1 高等数学在中学数学解题中的应用高等数学在中学数学解题中的应用十分广泛，它为中学生提供了更深层次的数学工具和思想，帮助他们更好地理解和解决数学问题。
高等数学中的各个分支对中学数学解题都有着重要的作用，从微积分到线性代数，再到概率论、数学分析和向量解析，每一部分都为中学数学解题提供了强大的支持。
微积分在求导与积分中的应用使我们能够更准确地描述物理问题和解决实际生活中的数学难题。
线性代数在矩阵运算与方程组解法中的应用让我们能够更高效地处理复杂的计算和问题。
概率论在统计与概率题目中的应用帮助我们更好地理解事件的发生概率和可能性。
数学分析在极限与级数求和中的应用则让我们能够更深入地探讨数列和函数的性质。
向量解析在几何问题中的应用让我们能够更清晰地描述空间中的各种几何形状和运动。
2. 正文2.1 微积分在求导与积分中的应用微积分是数学中非常重要的一个分支，它在中学数学解题中有着广泛的应用。
求导和积分是微积分的两个基础操作，它们在解题中起着至关重要的作用。
求导在中学数学解题中被广泛应用。
求导是指对函数进行微分运算，求出函数的导数。
高等数学在中学数学中的应用----毕业论文
⾼等数学在中学数学中的应⽤----毕业论⽂【标题】⾼等数学在中学数学中的应⽤【作者】丁海云【关键词】⾼等数学中学数学联系应⽤【指导⽼师】陈强【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1 引⾔近⼏年来，⾼等师范院校数学系的不少⼤学⽣对学习⾼等数学存在不少看法，如“现在学的⾼等数学好像与初等数学没有多⼤联系”，“学习⾼等数学对今后当中学数学教师作⽤不⼤”，有的甚⾄提出“⾼等数学在中学教学⾥根本⽤不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的⼤学⽣⼀⼊学就发现，他⾯对的问题好像和中学⾥学过的东西⼀点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了⽼师，他们⼜突然发现，要他们按⽼师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受⼤学数学训练之间的联系，于是很快坠⼊相沿成习的教学⽅法，⽽他们所受的⼤学训练⾄多成为⼀种愉快的回忆，对他们对教学毫⽆影响”．然⽽在新的数学教材中已经出现了⼀些基础的⾼等数学知识，可以说是数学发展的⼀种必然．现在的中学数学教师必须掌握⾼等数学的基础知识以适应数学发展和教材改⾰，⽽⾼等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等⽅⾯的作⽤就尤为突出了．本⽂探讨⼀些⾼等数学知识和⽅法在初等数学中的应⽤．2 初等数学与⾼等数学的联系⼀般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典⾼等数学时期、现代⾼等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．⽆论何种⽅法，都把第⼆发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,⽽把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“⾼等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“⾼等数学”．理论意义下的初等数学和⾼等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，⾼等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R? Descartes)1637年发明的解析⼏何看成为出现⾼等数学或进⼊⾼等数学时期的标志．⽽教育意义下的初等数学和⾼等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、⼩学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视⾼等教育阶段的数学主要内容为⾼等数学．当然，由于社会和教育的思想、⽅法、⼿段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“⾼等数学”也是⼀个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是⼀个不可分割的整体，它的⽣命⼒在于各部分之间的有机联系，只从学科表⾯上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深⼊研究初等数学，理清其中最基本的思想和⽅法，努⼒寻求初等数学和⾼等数学的结合点．2.1 知识⽅⾯的联系⾼等代数在知识上是中学数学的继续和提⾼．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等．从以下⼏个⽅⾯说明：⾸先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.⾼等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最⼤公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常⽤⽅法.⾼等代数⾸先⽤不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯⼀因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的求解⽅法及⼀元⼆次⽅程根与系数的关系.⾼等代数接着讲⼀元n次⽅程根的定义，复数域上⼀元n次⽅程根与系数的关系及根的个数，实系数⼀元n次⽅程根的特点，有理系数⼀元n次⽅程有理根的性质及求法，⼀元n次⽅程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲⼆元⼀次、三元⼀次⽅程组的消元解法．⾼等代数讲线性⽅程组的⾏列式解法和矩阵消元解法、讲线性⽅程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为⾼等代数的数环、数域提供例⼦；中学代数学习的有理数、实数、复数、平⾯向量为⾼等代数的向量空间提供例⼦．中学代数中的坐标旋转公式成为⾼等代数中坐标变换公式的例⼦.其次，中学⼏何的内容体系主要是由平⾯⼏何、⽴体⼏何和平⾯解析⼏何三部分构成．平⾯⼏何研究由点的集合⽽形成的平⾯⼏何图形的性质；⽴体⼏何研究空间⼏何图形的性质诸如直线、平⾯及旋转体；平⾯解析⼏何研究形与数结合的问题，重点是⼆次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就⼆次曲线⽽⾔也侧重于定义的直观描述和各⾃所具有的性质．作为⾼等⼏何⽽⾔，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及⼆次曲线⼀般理论的研究，具有普适性、全⾯性．中学⼏何学习的向量的长度和夹⾓为欧⽒空间向量的长度和夹⾓提供模型，三⾓形不等式为欧⽒空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平⾯上的投影为欧⽒空间中向量在⼦空间的投影提供模型.第三，⾼等数学分⽀之⼀数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想⽅法上发⽣了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的⼀些基本概念如导数、积分、⽆穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运⽤代数运算求直线斜率这⼀问题的基础上，发展成为运⽤极限⽅法求曲线上的点的斜率⽽形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到⼀定阶段的必然结果．第四，集合论是关于⽆穷集合和超穷数的数学理论．它的建⽴是数学发展史上的⼀个⾥程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语⾔，同时也树⽴了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使⽤了点集、解集合等集合论语⾔．综上所述可知，⾼等代数在知识上的确是中学数学的继续和提⾼.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等问题，⽽且以整数、实数、复数、平⾯向量为实例，引⼊了数环、数域、向量空间、欧⽒空间等代数系统．这对⽤现代数学的观点、原理和⽅法指导中学数学教学是⼗分有⽤的.2.2 思想⽅⾯的联系中学数学思想和⽅法主要体现为三个层次，第⼀层次指数学各分科的具体解题⽅法和解题模式，如代数中的加减消元法、代⼊消元法、韦达法、判别式法、公式法、⾮负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；⼏何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助⾯的作法、⾯积⽅法、体积⽅法、图形及⼏何体的割补⽅法、三⾓形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第⼆层次指适⽤⾯很⼴的⼀些“通法”，如配⽅法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、⼀般化与特殊化法、参数法、反证法、同⼀法、观察与实验、⽐较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类⽐与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即⼈们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在⾼等数学教育活动中，上述数学思想和⽅法将得到进⼀步强化，⾼等数学各分⽀学科中⼏乎渗透了三个层次的思想和⽅法，在空间解析⼏何、⾼等⼏何、微分⼏何等学科中明显渗透着第⼀层次的思想和⽅法，第⼆、第三层次的思想和⽅法是数学学习和研究的重要⽅法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和⽅法的训练．除上述所举的思想和⽅法外，⾼等数学各分⽀学科中也渗透着许多新的思想和⽅法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性⽅程组的矩阵解法、⼆次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和⾼等数学教学的⼀个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学⽣的数学思想和⽅法，会⽤数学思想和⽅法来解决问题．3 ⾼等数学在中学数学中的应⽤⽤⾼等数学的观点、原理和⽅法，认识、理解和解决中学数学问题是我们⼤多数⼈的共同⽬的，也是⾼等数学价值的⼀种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等⽅⾯，体现⾮常明显．3.1 ⾼等数学在中学数学教学中的作⽤我们知道，初等数学与⾼等数学之间⽆论在观点上还是在⽅法上都有着很⼤的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学⽣不需要懂得什么⾼等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是⼀种误解．诚然，我们在课堂上不能把⾼等数学知识传授给学⽣，但我们作为⼀名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚⾄连⾃⼰对⼀些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：⼀⽅⾯，⾼等数学是初等数学的继续和提⾼；另⼀⽅⾯，初等数学⾥很多理论遗留问题必须在⾼等数学中才能得以澄清．因此，我们对⾼等数学在初等数学教学中的作⽤不能掉以轻⼼，下⾯就这个问题谈谈笔者的⼀些初浅的体会．3.1.1 ⾼等数学原理与中学数学教学⾸先，注重⾼等数学对初等数学的指导作⽤,运⽤原理，把握本质.多数教育⼯作者实践中认识到：教师只有深⼈研究⾼等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居⾼临下，把课教活．如有这样⼀道题⽬：例1 解⽅程．解此题若按三次⽅程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是⼀个关于“”的“⼀元⼆次⽅程”，，解之得= ．所以原⽅程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题⽬的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚⾄常数看作变量,⽽将字母间的关系看作函数关系,运⽤变量和函数的观点去考察它,会使⼀些问题变得容易或为解题提⽰⼀种可⾏的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学⽣的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的⼀些知识内容不可能严谨透彻,例如⾼中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推⼴到有理数,⽽指数函数的定义域是实数集.然⽽要在中学阶段讲清这个问题是不⼤容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,⼀些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作⽤,⼤都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过⾼等数学的知识加以证明和完善.可以说,运⽤⾼等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为⾼等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运⽤⾼等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提⾼⾼师⽣数学解题能⼒.其次，在教学中讲解⾼等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握⾼等数学中的概念、思想、⽅法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这⽅⾯的讲解，就能使学⽣充分地认识到⾼等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居⾼临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和⽅法没有加以解释和说明，就交给学⽣应⽤，虽然使⽤时能解决问题，但深⼊理解是不可能的．⽽作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的⽔平上，⽽应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这⾥的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这⾥的“+”只能看作是将a与bi连结成⼀个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表⽰复数的加法与乘法，则（C；+，）是⼀个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从⽽复数域就是实数域的⼀个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是⽅程的⼀个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全⼀致.3.1.2 ⾼等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透⾼等数学思想、观点,使它们相结合．现代⾼等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙⽽诱⼈的技巧和⽅法,使它更具有魅⼒．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的⽅法,⽽且⼜引进新的思想⽅法———极限法．运⽤极限⽅法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“⾮均匀”等可实现相互转化．所以，从⽅法论的⾓度来讲，数学分析的有关知识和⽅法对理解和解决⼀些中学数学问题会起导向作⽤．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，⽤微分⽅法求函数极值.解所以当>0时，⽆驻点，因⽽也⽆极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时⽆极值点；当 0时，有⼆驻点，⼜所以函数在处取得极⼤值在处取得极⼩值.这从思想、⽅法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运⽤这样的⽅法，将会使我们中学数学问题的解决思路⼤为开阔,⽅法更加灵活有效,从⽽摆脱对问题束⼿⽆策或盲⽬乱试的困境.另外⾼等数学知识进⼀步探讨和学习，可增强学⽣的求知欲，达到培养学⽣的学习兴趣．教师运⽤⾼等数学知识可以提⾼对学⽣提出的⼀些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 ⾼等⼏何思想与中学数学教学⾼等⼏何对教材内容的安排⼀般不同于中学⼏何，它是先给出定义、定理⽽后直观解释和证明，中学⼏何⼀般是先通过实例描述⽽后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同⼀问题得出的结论相同．全⾯了解欧⽒⼏何、仿射⼏何、射影⼏何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，⼜从局部上深⼊，才能深刻认识动与静、特殊与⼀般的辩证关系．就内容⽽⾔，⾼等⼏何⽐中学⼏何丰富，⽽且分析问题、处理问题的观点新颖，⽅法独特．如对偶原则，在研究点⼏何的同时，也研究了线⼏何的内容，对⼆次曲线的定义，既有⼏何定义，⼜有代数定义，开拓了认识眼界．从⽅法论来看，⾼等⼏何对具体问题处理的⽅法独特，⽽且灵活，对解决中学⼏何的有关命题提供了⼀种新的模式，也为中学⼏何的有关问题提供了知识背景．如利⽤中⼼射影投影⼀直线到⽆穷远来证明中学⼏何问题：若在平⾯上给定⼀个与直线有关的本质上是射影性质的⼏何命题，则只要恰当选择射影中⼼和向平⾯，总可以使直线的象直线是上的⽆穷远直线．由于⽆穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和⽅法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语⾔，⽽且树⽴了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学⽅法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有⼒研究⼯具，也是数学中⼗分重要的化归⽅法，利⽤映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从⽽实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射⽅法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有⼀⼀对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,⼜可⽤来指导数学发现.如：数学模型⽅法. 数学模型⽅法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的⼀种数学⽅法.中学数学中的解应⽤题是最简单的数学模型⽅法.过程如下图:图1：运⽤数学模型⽅法解题过程框图3.2 ⾼等数学在中学数学解题过程中的作⽤初等数学是⾼等数学的基础，⼆者有本质的联系．将⾼等数学的理论应⽤于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进⽽去指导初等数学的教学⼯作，是⼀个值得研究的课题．俗话说，站得⾼才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等⽅法外，还应善于⽤⾼等数学⽅法解决中学数学问题，特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁，⽽⽤⾼等数学⽅法则易于解决的中学数学问题,从⽽拓⼴解题思路和技巧，提⾼教师专业⽔平，促进中学数学教学．下⾯略⼏举例说明之：3.2.1 变换⾓度，化繁为简例3 求满⾜⽅程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上⾯的⽅程只能确定之间的函数关系，⽽不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是⽅程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题⽬⾥⾯却是两个未知数⼀个⽅程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的⽅程.在实数范围内，将⼀个等式分成⼏个等式，最常见的⽅法是利⽤⾮负数，即若⼏个⾮负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将⽅程变形为进⽽变为，由是锐⾓知，上式中两项均为负，故都都等于零．从⽽解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较⾼层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将⾼等数学的原理、⽅法应⽤于⼀些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学⽣的视野，⽽且可使学⽣体会到教师所使⽤的⾼等数学的原理、⽅法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进⽽更加有兴趣学习数学．3.2.2 利⽤函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的⼯具之⼀，有许多不等式在数学研究中有着重要的作⽤.但⽤初等数学知识证明⼀些不等式⽐较困难，下⾯利⽤⾼等数学的原理和⽅法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，⼜,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上⽅法体现了⽤初等数学知识证明⽐较难的不等式时，可充分利⽤⾼等数学的原理和⽅法思考，进⽽收到很好的效果．3.2.3 利⽤⾼等⼏何思想解初等⼏何问题在中学数学教学中往往会碰到⼀些初等⼏何问题,欲⽤传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,⽽⽤解析法却轻⽽易举,可⼜不能将此法告知学⽣,⾯临如何将它转化为纯⼏何的证明⽅法的问题,往往⼗分棘⼿．但利⽤⾼等⼏何知识进⾏思考，可收到很好的效果．例5 过⼀圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平⾯⼏何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三⾓形的对应边，宜将沿直线翻折⾄,则有, ,故知.这样，⼜将线段相等归结为⾓的相等，⽽⾓的相等关系在圆上⼜可利⽤圆周⾓定理进⾏转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利⽤⾼等⼏何的交⽐来证明，就⾮常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，⽽且还把结论推⼴到了⼆次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，⼀对平⾏线或⼀对相交直线，结论仍成⽴.⾼等数学的许多⽅法和技巧都能直接应⽤于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓⼴的作⽤．以上只是给出两个实例说明⾼等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等⼏何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学⽣，对于丰富学⽣的解题⽅法，特别是作为教师在将来的数学教学中⽤它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作⽤．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作⽤微积分在⾼等数学⾥占有⾮常⾼的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了⼀种新的思想⽅法——极限法．俗话说，站得⾼才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利⽤微积分思想解决中学数学问题特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁，⽽⽤微积分思想则易于解决的中学数学问题，从⽽拓⼴解题思路和技巧，提⾼教师专业⽔平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得=对上式取不定积分,得其中是常数,此处是含有变量的代数式,从⽽得恒等式.上式中令,得,于是= .⽤导数和积分进⾏因式分解,常可使解法简便、巧妙.3.3 ⾼等数学对中学数学问题的诠释在中⼩学数学教学中，⼈们往往重视对教学⽅法和解题思路的研究，这在许多教学经验⽂章中都可以看到.同时，⼈们也常常重视研究中⼩学数学教材的衔接问题以及初⾼中数学教材的衔接问题，这在许多教学研究⽂章中也可以看到.然⽽,在初等数学教学中涉及与⾼等数学衔接的问题却很少有⽂章谈到.笔者从阅读⼤量前辈的⽂章中总结于下，供分享.3.3.1 映射所引出的问题⾼中数学课本代数上册第⼀章幂函数、指数函数和对数函数中，叙述了映射、⼀⼀映射的概念.中学⼀级教师焦鸣讲述了他在课堂教学中曾经举的⼀个例⼦.例7 设集合A={弧CD上的点}，集合B={弦CD上的点},试建⽴⼀个对应关系f，使得f:A→B为⼀⼀映射.解:如图3所⽰,弧CD上的点与弦CD上的点建⽴如下对应关系f:过弧CD上的任⼀点P作弦CD的垂线得垂⾜T，则这样建⽴的映射f:A→B是⼀⼀映射．举了上述例⼦之后,当时就有学⽣提出疑问:根据平⾯⼏何知识可知,弧CD的长度⼤于弦CD的长度,即弧CD上的点多于弦CD上的点.⽽由上述例⼦,它们之间的点⼀⼀对应起来了,这不是⽭盾了吗?回答这个问题确实⽐较困难,它超出了初等数学的范围,⽽要到⾼等数学中去寻找答案.为此,先引进⼀个定义: 图3定义1 对于两个集合A和B,如果存在对应关系f,使A和B成为⼀⼀对应,则A和B叫做具有相同基数的或对等的集合.记作:A B.这⾥应注意A B与A=B的区别.例如:设A= {1、2、3、4},B= {红、黄、⿊、⽩},C={东、南、西、北}.显然有A B,B C,C A.可以看出,有限集合之间对等的充要条件就是它们的元素个数相同．可以告诉学⽣的是:⾃然数集和有理数集是对等的,和⽆理数集是不对等的,和弦CD上的点所成的集合也是不对等的.3.3.2 ⾼等数学对中学数学概念的诠释在⾼中数学课本代数上册第⼀章中,⽤描述性的语⾔给出了函数y=f(x)的反函数的定义.在谈到函数y=f(x)时,把它称为反函数的“原来的函数”.然⽽,有的数学复习资料及有些数学教师为了⽅便,往往把它说成是反函数的“原函数”.就是这两个字之差，就出现了科学性的错误．如以下两例：“反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，⽽应当是原函数的值域”.“反函数的定义域是原函数的值域，必须通过求原函数的值域得到”.⽽关于“原函数”的定义在⾼等数学的数学分析中早有定论.定义2 设已知函数f(x)，如果有函数F(x)使得=f(x),那么F(x)便叫做f(x)的原函数.(这⾥的是指F(x)的导数) 由此可见,“原函数”早就有它特定的含义,是不能随便乱⽤的.如果象⽂献上述两种说法，就是犯了科学性的错误．虽然学⽣由于所学知识的限制,不可能发现这个错误,但作为教师应该注意避免发⽣．这就提醒我们,在中学数学教学中,不能为了表达⽅便或其他原因,随意杜撰⼀个相关的词语来说明有关的问题．这样往往会在不知不觉中犯科学性错误,误⼈⼦弟．在这⾥我认为还是⽤“原来的函数”来表达⽐较贴切．从上述例⼦我们可以看到:中学数学教学虽然基本不涉及⾼等数学的内容,但⾼等数学起着潜在的作⽤.对于⼀个中学数学教师来说,只有掌握了相关的⾼等数学知识,才能在讲述有关内容时,做到讲得清楚,讲得透彻,讲得不含糊,不出现科学性错误.4 总结加强⽤⾼等数学的思想⽅法来指导中学数学研究，着眼研究中学数学与初等数学的接轨处，⽴⾜于更⾼观点，教学中⽤⾼等数学的⽅法去剖析初等数学，能培养学⽣⾯对新问题、新情境及综合运⽤所学知识解决问题的能⼒，对提⾼中学⽣的数学素养有着重要的意义；中学数教师善于⽤⾼等数学的观点处理中学数学中的问题，不但体现了⾼等数学具有居⾼临下的作⽤，⽽且对中学数学中有些较难的题型通过⽤⾼等数学的理论与⽅法较易解决，充分现了⾼等数学的优越性；⾼等数学能在更⾼层次上认识初等数学，特别是⼀些接轨处，不但让中学数学教师教轻松驾驭数学课堂，还使学⽣感到⾼等数学与初等数学存在联系，增。
高等数学在中学数学中的应用
高等数学在中学数学中的应用【摘要】随着我国中学新课改的逐渐展开，高等数学由于其本身极强的逻辑性和高度的抽象性，使得不少人认为高等数学在中学数学中的逐渐深入，并得到应用。
在中学教学中站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题会更深刻、更全面，有利于进一步培养学生的逻辑思考和全面考察问题的能力在高等数学教学中科学合理地开展数学实验，更长远的考虑，有利于培养符合社会发展的当代新型人才。
本文主要就高等数学在中学数学教学中的应用问题进行了简要分析与论述。
【关键词】高等数学；中学数学；教学的应用相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为复杂的一部分。
高等数学是比初等数学“高等”的数学。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科，主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。
一般以微积分学和级数理论为主，其他方面的内容为辅，这是对高等数学的总述。
随着我国新课程改革的逐步展开，在中学数学教学中，逐渐改变教学方法，将高等数学的教学与中学数学的教学相融合，在中学数学教学过程中插入高等数学，有利于一些抽象数学问题的解决，是学生能更好的掌握所学的知识内容，并更好的举一反三，解决中学数学中较高逻辑的问题。
1、高等数学教学如何与中学数学的教学巧妙结合高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与中学数学的教学有着紧密的联系。
中学数学教学中插入高等数学教学的方法不仅可以使学生居高临下地去观察一些初等问题，帮助学生确定新的解题思路时，还能够帮助学生剖析某些疑难问题的实质，寻求简捷的解法。
站在高等数学的角度来看中学数学教学中出现的某些问题，又会更深刻、更具体、更全面、更据逻辑性。
对于高等数学在中学数学教学中的进行的巧妙结合简要总结为以下几点：1.1 要根据数学教学的内容设计贯彻学习高等数学思想方法的途径。
高等数学在中学数学中的应用1000例
定理10 设函数f(x)在I 可导。
函数f(x)在区间I 是凸函数⇔I x x ∈∀21,，且21x x <，有 ))()()(()(22x f x f x f x f '≥''≤'。
推论 若函数f(x)在区间I 上存在二阶导数，且（1）I x ∈∀，有0)(>''x f ，则函数f(x)在区间I 严凸。
（2）I x ∈∀，有0)(<''x f ，则函数f(x)在区间I 严凹。
定理11（詹生不等式）若函数f(x)在区间I 是凸，则有不等式)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++ 其中,,,2,1,0,n i q I x i i ⋅⋅⋅=>∈且121=+⋅⋅⋅++n q q q 。
利用拉格朗日重要不等式证明不等式例33（101页） 证明：若函数)(x f 在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理，且)(x f '在[a,b]上单调增加（减少），则∑∑-=+-='<-<'111)()()()(n i i n i i x f h a f b f x f h（ ∑∑-=+-='>->'111)()()()(n i i n i i x f h a f b f x f h ）其中a=0x ,ih x x i +=0(i=0,1,2,···，n),na b h b nh x x n -==+=,0(此不等式称为拉格朗日重要不等式)证明 已知函数)(x f 在闭区间[a,b]满足拉格朗日定理，则)(x f 在[]1,+i i x x （i=0，1，2，···，n-1）上也满足拉格朗日定理，有))(()()(11i i i i i x x f x f x f -'=-++ξ ),(1+∈i i i x x ξ（i=0，1，2，···，n-1）又已知)(x f '在[a,b]上单调增加，则)(x f '在[]1,+i i x x （i=0，1，2，···，n-1）上也单调增加，从而<-'+))((1i i i x x x f ))(()()(111i i i i i x x x f x f x f -'<-+++ 或<')(i x f h )()()(11++'<-i i i x f h x f x f（i=0，1，2，···，n-1） 于是∑∑∑-=+-=-=+'<-<'101111)())()(()(n i i n i n i i i i x f h x f xf x f h即 ∑∑-=+-='<-<'111)()()()(n i i n i i x f h a f b f x f h类似可证，)(x f '为单调减少的情形利用凸凹函数证明不等式例38 （105页）证明：当0>i a （i=0,1,2,····,n ）时，有不等式na a a a a a a a a nnnn n+⋅⋅⋅++≤⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅++212121121（调和平均数） （几何平均数） （算术平均数）证明 分别证明两个不等式，首先证明右端不等式。
浅谈高等数学在中学数学中的应用
浅谈高等数学在中学数学中的应用I21微积分方法在求函数的极值、最值中的应用利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间［a,b ］上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点。
例：已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠,在1x =±时取得极值,且(1)1f =- （1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x=±1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由。
解： （1）'2()2f x ax bx c =++ 1x =±Q 是函数的极值点1x ∴=±是方程'()0f x =即220ax bx c ++=的根'(1)0f =即20a b c ++= '(1)0f -=即20a b c -+= 又'(1)=-1f ,1a b c ∴++=- 将上面三式联立得：21,0,1,3a b c ===-（2）3()f x x x =-'2()1(1)(1)f x x x x ∴=-=+-1,1x x ∴><-时, '()0f x > 当 11x -<<时, '()0f x <∴ 函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数,在(－1,1)上是减函数。
∴ 当x=－1 时,函数取得极大值f(－1)=1。
当x=1时,函数取得极小值f(1)=－1。
这样,我们就很容易地解决了这个一元三次函数的极值问题.总之,微积分它作为是一种数学思想,用它解决中学数学问题有很多便捷之处。
2用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论方法可以得到圆满的解决。
例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。
浅析高等数学在中学数学解题中的应用
浅析高等数学在中学数学解题中的应用高等数学是一门重要的学科，它涉及到微积分、线性代数、概率论等多个分支，是现代科学和技术的基础和支柱，也是中学数学解题中必不可少的一部分。
下面从微积分、线性代数和概率论三个方面来浅析高等数学在中学数学解题中的应用。
微积分是高等数学中重要的一个分支，如果没有微积分的帮助，很多中学生难以理解和解决数学问题。
比如，在函数的极值问题中，需要求函数的导数，找出驻点，再通过二阶导数判断极值，这就离不开微积分；在曲线面积、体积等问题中，需要使用微积分方法，求出对应的积分式，然后计算出答案。
微积分在中学生的数学学习和解题中，发挥了不可替代的作用。
线性代数也是高等数学的重要分支之一。
在中学数学中，线性方程组、矩阵等数学基础知识都是线性代数的一部分，它们的解题方法和技巧也需要依赖于线性代数的理论和方法。
比如，在线性方程组中，可以通过高斯消元等方法来求解未知变量的值，这就需要用到线性代数的知识；在矩阵运算中，需要求矩阵的逆、转置等问题，也需要运用到线性代数的理论和方法。
概率论是高等数学的另一个重要分支，也是中学数学中必不可少的一部分。
在中学数学解题中，概率论主要涉及到两个方面，一个是排列组合问题，一个是概率计算问题。
在排列组合问题中，需要运用到概率论中的组合数、排列数等知识；在概率计算问题中，需要求某个事件的概率，需要利用到概率分布函数、贝叶斯公式等概率论的基本理论和方法。
总之，高等数学在中学数学解题中发挥着重要的作用。
微积分、线性代数和概率论等分支的理论和方法都为中学生的数学学习和解题提供了坚实的基础和有力的支撑。
因此，我们应该重视高等数学的学习和应用，帮助中学生掌握和运用高等数学知识，提高他们的数学综合素质和解题能力。
高等数学方法在中学数学中的应用研究
高等数学方法在中学数学中的应用研究一、概述随着教育改革的不断深化和数学学科的不断发展，高等数学方法在中学数学中的应用逐渐受到广泛关注。
高等数学作为数学学科的重要组成部分，具有严密的逻辑体系、丰富的理论内涵和广泛的应用价值。
将其引入中学数学教学，不仅有助于提升学生的数学素养和思维能力，还能为中学数学教学注入新的活力和动力。
高等数学方法在中学数学中的应用，主要体现在以下几个方面：一是微积分思想的渗透，通过极限、导数、积分等概念，帮助学生理解函数的变化规律和图形的几何性质二是线性代数初步知识的引入，通过矩阵、向量等概念，培养学生的空间想象能力和问题解决能力三是概率统计知识的应用，通过概率、统计等概念，增强学生的数据分析和决策能力。
高等数学方法在中学数学中的应用也面临一些挑战和问题。
一方面，高等数学与中学数学的衔接不够顺畅，需要教师在教学实践中不断探索和完善另一方面，学生的数学基础和接受能力参差不齐，需要因材施教，合理安排教学进度和难度。
本文旨在探讨高等数学方法在中学数学中的应用策略和实践经验，以期为中学数学教学改革提供有益的参考和借鉴。
通过深入研究高等数学在中学数学中的具体应用案例，分析其在提升学生数学素养和思维能力方面的作用，以期推动中学数学教学质量的提升和学生全面发展。
1. 高等数学与中学数学的关系高等数学与中学数学之间存在着密切而复杂的关系。
从知识体系的角度来看，高等数学是中学数学的延续和深化。
中学数学为学生提供了基础的数学概念和技能，如代数、几何、三角函数等，而高等数学则在此基础上引入了更高级的概念和理论，如极限、微分、积分、线性代数等。
这些高等数学的知识和工具，不仅扩展了数学的应用领域，也为解决更复杂的问题提供了有力的武器。
从教学方法的角度来看，高等数学与中学数学也存在相互影响。
高等数学的教学方法往往更加注重理论性和抽象性，这要求教师在教学过程中更加注重启发和引导，帮助学生建立正确的数学思维和解题方法。