第一节向量及其运算

单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
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2
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
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二、向量的线性运算
AC AB BC, 即 ( AC)e ( AB)e (BC)e ( AB BC)e,
AC AB BC.
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三、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
7
证 充分性显然；
当
必要性
设
b‖
a
取
b
与
a同向时
取正值，
b a ,
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
的唯一性.
a同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
a 0， 故 0， 即 .
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定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
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Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
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空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
uuur OM
r
urruu，r 如图r 所uu示ur，设r
kR
K
OP xi , OQ yj , OR zk . H
•M
则
r OM xi yj zk .
P o i
x
j
Q
N
y
上式称为向量
rr
rr r 的坐标分解式，xi 、yj、zk
称为向量rr
沿三个坐标轴方向的分向量。
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5
b.
2
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
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向量在轴上的值：
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段.
a 2a
1 a 2
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数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
，那末向量
r b
平行于
ar
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
r b
ar.
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1[1、] 加向法量：的a加 b减法c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
b
分为同向和反向
c
|
c||
a|
|
b|
b a
c
|
c|
|
a|
|
b|
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向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
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定义：
向量 rr 的坐标： x、y、z , 向量 rr 的坐标表达式： rr ( x, y, z). 点M的坐标： x、y、z ,
记作： M( x, y, z).
向量
rr
uuur OM
称为点M
关于原点
O
的向径。
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四、利用坐标作向量的线性运算
设则：aab{ax{,aax
y,
az },
bx
,
a
y
b by ,
{bx ,
az
by , bz }
bz },
a
(a
x
b {ax
bx )i (ay by )
bx
,a
y
by ,
az
j (az
bz
}
bz
)k;
a
(ax bx )i
{ax ,ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
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向量的坐标分解式：
以i , j , k 分别表示沿x, y, z 轴正向的单位向量.
r
z
任给向量 r ，对应有点M ,
使
uuur
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例 3 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两
部分 AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
第一节 向量及其运算
一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 六、小结 思考题
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一、向量概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
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设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
A
B
u
如果数 满足 AB，且当 AB 与 u 轴同 向时 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
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设 e是与 u 轴同方向的单位向量，
AB ( AB)e.
e A o1
B
u
设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 的相互位置如何，
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
[2]
减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
a
b
b
b c
a
b
c
a
(b)
a
b
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2、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, a与a同向，| a| | a|
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a反向，| a|| | | a|