上海市西南位育中学2017届高三开学考试数学试题(WORD版有简答)
2017年上海春季高考数学试卷(附简析)
；
x
10.
设椭圆
x2 2
y2
1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，则使得△ F1F2P 是
等腰三角形的点 P 的个数是
；
11. 设 a1 、 a2 、…、 a6 为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足 | a1 a2 | | a3 a4 |
| a5 a6 | 3 的不同排列的个数为
17. 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AA1 3 ； （1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积； （2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小；18.设 a 来自R ，函数f (x)
2x a 2x 1
；
（1）求 a 的值，使得 f (x) 为奇函数； （2）若 f (x) a 2 对任意 x R 成立，求 a 的取值范围；
16. 如图所示，正八边形 A1A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为 2，若 P 为该正八边形边上的动点，
则 A1A3 A1P 的取值范围为（ ）
A. [0,8 6 2]
B. [2 2,8 6 2]
C. [8 6 2, 2 2]
D. [8 6 2,8 6 2]
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
C. (, 0]
D. (,1]
14. 设 a R ，“ a 0 ”是“ 1 0 ”的（ a
A. 充分非必要
B. 必要非充分
）条件 C. 充要
D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）
A. 三角形
B. 长方形
上海市位育中学2017届高三上学期9月零次考试数学试题
绝密★启用前上海市位育中学2017届高三上学期9月零次考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设x ∈R ，则“x ＞1”是“x 2＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若函数()y f x =存在反函数,则方程()f x c =(c 为常数)( ) A ．有且只有一个实根 B ．至少有一个实根 C ．至多有一个实根 D ．没有实数根3．设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）. A ．1B ．2C ．3D ．44．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．设全集U =R ,集合3405x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭,则U A =ð______6．若tan 3α=,则22sin sin cos 2cos αααα++=______ 7．已知函数22()log 1f x a x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭是奇函数,则不等式()0f x <的解集是______ 8．若集合{}2=10A x ax ax -+==∅,则实数a 的取值范围是__________. 9．函数()2f x x =+__________． 10．函数1x ay x a -=--的图像的对称中心是()4,1P ,则实数a =______11．数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1323n n a S ++=(n *∈N ),则数列{}n a 的通项公式n a =______12．无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为______.13．已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中13214n a a a +++⋅⋅⋅+=，2423n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =______.14．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．15．已知()()()sin f x x x ϕϕ=+-是偶函数,则所有满足条件的ϕ的值组成的集合为______16．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______17．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是____．18．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,n x x x L 满足1206n x x x π≤<<<≤L ，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112n n f x f x -+-=L （2m ≥，*N m ∈），则m 的最小值为__________． 三、解答题19．解关于x 的不等式:11axx ≤-; 20．已知函数()cos2cos f x x x x =+; (1)求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值,并指出取得最大值时对应的x 的值;(2)若06πθ<<,且()43f θ=,求cos2θ的值; 21．甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.22．已知()21,f x log a a R x ⎛⎫⎪⎝⎭=+∈. （1）当1a =时，解不等式()1f x >； （2）若关于x 的方程()()220f x log x+=的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n m S a =,则称{}n a 是“H 数列”;(1)若数列{}n a 的前n 项和2nn S =(n *∈N ),判断数列{}n a 是否是“H 数列”?若是,给出证明;若不是,说明理由;(2)设数列{}n a 是常数列,证明:{}n a 为“H 数列”的充要条件是0n a =;(3)设{}n a 是等差数列,其首项11a =,公差0d <,若{}n a 是“H 数列”,求d 的值;参考答案1．A 【解析】 【详解】试题分析：由x >1可得x 2>1成立，反之不成立，所以“x >1”是“x 2>1”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件 2．C 【解析】 【分析】由已知函数y ＝f （x ）存在反函数，根据函数的定义，可得函数的x ，y 之间是一一对应的关系，然后分析c 与函数y ＝f （x ）的值域的关系，即可得到答案． 【详解】若函数y ＝f （x ）存在反函数， 则函数是一个单射函数 设B 为函数y ＝f （x ）的值域当c ∈B 时，方程f （x ）＝c 有一实根； 当c ∉B 时，方程f （x ）＝c 无实根； 故方程f （x ）＝c 至多有一个实根 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是反函数，根的存在性及根的个数判断，其中根据函数的定义得到函数是一个单射函数是解答本题的关键． 3．B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 4．B 【解析】 【详解】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根考点：不等式性质 5．4,53⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】解分式不等式求出集合A 后可得补集． 【详解】由3405x x +≤-得(34)(5)05x x x +-≤⎧⎨≠⎩，(34)(5)05x x x +-≥⎧⇒⎨≠⎩43x ⇒≤-或5x >，即4{|3A x x =≤-或5}x >，∴U 4{|5}3A x x =-<≤ð．故答案为：4(,5]3-．【点睛】本题考查集合的补集运算，解题关键是解分式不等式确定集合A ． 6．75【解析】 【分析】把求值式看作分母为1的分式，并把1代换为22sin cos αα+，化为sin cos αα，的齐次式求值．【详解】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos αααααααααα++++=+22tan tan 2tan 1ααα++=+ 223327315++==+． 故答案为：75．【点睛】本题考查三角函数求值，考查同角间的三角函数关系，解题关键是“1”的代换化求值式为sin cos αα，的齐次式求值．7．()1,0- 【解析】 【分析】由奇函数的定义求得a ，结合对数函数性质解不等式． 【详解】由题意2(0)log (2)0f a =-=，1a =，此时函数为2221()log (1)log 11xf x x x+=-=--为奇函数，所以由21()log 01xf x x +=<-得1011x x+<<-，解得10x -<<． 故答案为：(1,0)-． 【点睛】本题考查奇函数的性质，考查解对数不等式．解题关键是由奇函数性质求出参数a ． 8．[)0,4 【解析】 【分析】本题首先要理解{}2=10A x ax ax -+==∅,即210ax ax -+=无实数解,即可求得答案. 【详解】当0a =时,原不等式无实解,故符合题意. 当0a ≠时, 210ax ax -+=无实数解,故∆<0,可得:240a a -< 解得:04a <<综上所述,实数a 的取值范围是:[)0,4. 故答案为:[)0,4. 【点睛】本题考查了根据集合为空集求参数,解题关键是掌握一元二次方程基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 9．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】函数()2f x x =令t 0=≥，则21x t =-.得22117y 222(),t 048t t t =-+=--+≥.当14t =时，函数有最大值178. 所以值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择 10．3 【解析】 【分析】用分离常数法分离常数，然后结合函数1y x=的性质可得对称中心． 【详解】由题意1x a y x a -=--111x a =+--，其图象对称中心是(1,1)a +，∴14a +=，3a =．故答案为：3. 【点睛】本题考查函数的对称性．解题关键是掌握幂函数1y x=的性质及图象平移的知识． 11．113n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由1323n n a S ++=，再写出一个等式1323n n a S -+=，两式相减可得数列的递推关系，从而确定数列的性质． 【详解】∵1323n n a S ++=，∴2n ≥时，1323n n a S -+=，两式相减得130n n a a +-=，即113n n a a +=，又11a =，∴{}n a 是等比数列，公比是13，首项是1，∴11()3n n a -=．故答案为：11()3n -．【点睛】本题考查等比数列的通项公式．已知前n 项和n S 与项的关系，求通项公式，方法是利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列的递推关系，从而确定数列是等比数列还是等差数列，或者是有其它的性质，以便求得通项公式． 12．S 【解析】 【分析】根据条件判断数列{}n b 为等比数列，然后确定数列{}n b 的首项和公比，利用无穷等比数列各项和公式进行求解． 【详解】解：∵无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，∴设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 则由定义得11a S q=-． ∵数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，(332313313132333231332313)n n n n n n n n n n n n n nq a a a b a a a q b a a a a a a --++++----++++∴===++++， ∴数列{}n b 为等比数列，且公比30q q =，首项()2112311b a a a a q q=++=++，∴数列{}n b 的各项和为()()()22111133211111(1)1a q q a q q b a S qq q S qq q '++++=====----++． 故答案为：S ． 【点睛】本题主要考查无穷等比数列的各项和公式以及等比数列的判断，利用立方差公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．无穷等比数列{}n a 的各项和公式为：11a S q=-． 13．3 【解析】 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列前n 项和公式，可以求出n 的值. 【详解】12113211)(1)(44(1)24n n n a a a a a a n n ++++++⋅⋅⋅+=⇒=⇒++=，222421(33)23n n n a a a a n a na ++++⋅⋅⋅+⇒=⇒==，所以有1143(1)3n n n a na n ++=⇒=+. 故答案为：3 【点睛】本题考查了等差数列下标的性质和等差数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 14．8 【解析】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题. 15．,6k k Z πϕϕπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】利用偶函数定义结合正弦函数性质求解． 【详解】∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，即sin())sin())x x x x ϕϕϕϕ++-=-++--sin())x x ϕϕ=--++，sin())sin())x x x x ϕϕϕϕ+-+=---，2sin()2sin()2sin()333x x x πππϕϕϕ+-=--+=-+-， 此式对任意实数x 恒成立，则()2,33x x k k Z ππϕϕππ+-+-+-=+∈，∴,6k k Z πϕπ=+∈．故答案为：,6k k Z πϕϕπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是掌握奇偶性的定义及恒等式知识． 16．9 【解析】 【分析】由奇函数性质得(0)0f =，由周期性得(2)(2)f f -=，再由奇函数性质得(2)0f =，再结合周期可得． 【详解】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈． 在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点． 故答案为：9. 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，考查函数的奇偶性与周期性，掌握奇函数定义和周期函数定义是解题关键． 17．()2,+∞ 【解析】钝角三角形内角,,A B C 的度数成等差数列，则+3A B C B ππ++=⇒=⇒2,33B A C ππ=+=，可设三个角分别为,,333A A πππ-+，故133sin A A sinAc m a sin A ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⎛⎫- ⎪⎝⎭，又,tan 633A A ππ<<<<tan t A =，且3t <<，则m =，在⎣ 上是增函数，2m ∴>，故答案为()2,+?.18．8 【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取 123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m =考点：三角函数性质19．当0a <时,()1,1,1x a ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥-⎝⎦U ，当0a =时,()(),11,x ?ト+?，当01a <<时,()1,1,1x a ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢-⎣⎭U ，当1a =时,(),1x ∈-∞，当1a >时,1,11x a ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭． 【解析】 【分析】先分类0a =和0a ≠，然后在0a ≠时，把分式不等式转化为整式不等式，再由最高次项系数是等于0，大于0，小于0分类，同时对相应方程的两根要讨论大小． 【详解】0a =时，不等式恒成立，解集为()(),11,-∞+∞U ；0a ≠时，不等式化为(1)101a x x -+≤-，即[(1)1](1)0a x x -+-≤且1x ≠，1a =时，不等式为10x -≤且1x ≠，∴1x <，1a >时，不等式化为1()(1)01x x a +-≤-且1x ≠，111x a ≤<-， 1a <时，不等式化为1()(1)01x x a +-≥-且1x ≠， 0a <时，11x a≤-或1x >，01a <<时，1x <或11x a≥-．综上不等式解集为：当0a <时,()1,1,1x a ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥-⎝⎦U ，当0a =时,()(),11,x ?ト+?，当01a <<时,()1,1,1x a ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢-⎣⎭U ，当1a =时,(),1x ∈-∞，当1a >时,1,11x a ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭． 【点睛】本题考查解含参数的分式不等式．解题时可利用移项通分化分式不等式为整式不等式，然后分类讨论解整式不等式即可．20．(1)6x π=,最大值为2;(2; 【解析】 【分析】把函数利用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式， （1）利用正弦函数性质可得最大值． （2） 由2(2)66ππθθ=+-，结合两角差的余弦公式计算．【详解】()cos2cos f x x x x =+cos 222(sincos 2cossin 2)66x x x x ππ=+==+2sin(2)6x π=+，（1）[0,]2x π∈，则72[,]666x πππ+∈， ∴262x ππ+=即6x π=时，max ()2f x =．（2）4()2sin(2)63f πθθ=+=，2sin(2)63πθ+=，∵06πθ<<，∴2662πππθ<+<，∴cos(2)6πθ+==， ∴cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin666666ππππππθθθθ=+-=+++213232=⨯+⨯26=． 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．考查三角函数问题时一般要利用二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再结合正弦函数的性质求解．三角函数求值问题，一定要观察寻找已知角和未知角之间的联系，以确定选用哪个公式进行化简变形． 21．(1)310x ≤≤(2)6x =时，元【解析】 【详解】(1)根据题意，200351x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－≥3000，即5x －14－3x≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100351x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－＝9×104211613612x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－－＋，故x ＝6时，y max ＝457500元． 22．（1）(0,1)（2）0a =或14a =-，（3）23a ≥ 【解析】 【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据a 分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数()f x 单调性，确定()f x 最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果. 【详解】（1）当1a =时，()22111f x log a log x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⎭+ ()211112101111log x x x x f x ⎛⎫>++>∴>∴∴ ⎪⎝>⎭<∴<Q不等式解集为(0,1) （2）()()()22222100f x log xloga log x x ⎛+=∴+⎫ ⎝⎭+⎪=Q 222111,0,010a x a x ax x x x ⎛⎫ ⎪⎝+=+>∴+-⎭>= ①当0a =时，210ax x +-=仅有一解1x =，满足题意； ②当0a ≠时，则0∆≥， 若10140,4a a ∆=⇒+==-时，解为2x =，满足题意；若10140,4a a ∆>⇒+>>-时，解为0x =≠此时110a x x =+=>Q即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意； 综上，0a =或14a =-， （3）因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差为()(1)t f f t -+，因此2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，因为0a >，所以2(1)1y at a t =++-在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以21131(1)1(1)1=4242y at a t a a a =++-≥⨯++⨯-- 因此3120423a a -≥∴≥ 【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.23．(1)是,见解析;(2)见解析;(3)1d =- 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项公式，确定n S 是数列中的项即可； （2）利用n S 是数列中的项可求，注意要证明必要性和充分性． （3）利用n m S a =，求出m ，由m 是正整数分析d 的可能情形． 【详解】（1）2nn S =，则112a S ==，2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，显然对任意的2nn S =是数列中的第1n +项，所以数列{}n a 是“H 数列”；（2）数列{}n a 是常数列,即1n a a =，而1n S na =，数列{}n a 是“H 数列”，则11n S na a ==对一切正整数n 成立，所以10a =；反之，若10a =，则0,0n n a S ==是数列{}n a 中的项，即数列{}n a 是“H 数列”． 综上，{}n a 为“H 数列”的充要条件是0n a =;（3）{}n a 是等差数列,其首项11a =,公差0d <，1(1)n a n d =+-，(1)2-=+n n n S n d ， 若{}n a 是“H 数列”，则存在正整数m ，使得(1)1(1)2n n n S n d m d -=+=+-， 1(1)12n n n m d --=++，(1)2n n -是正整数，所以1n d -是整数，因为*n N ∈，所以d 是所有正整数的公约数，又0d <，所以1d =-． 【点睛】本题考查数列新定义问题，考查了学生的创新意识．理解新定义是解题关键．本题新定义实质就是对任意的n S ，求出m ，使n m S a =．。
2017年高考数学上海卷含答案
【解析】an n2 ，n N* ，若对于一切 n N* ，bn 中的第 an 项恒等于 an 中的第 bn 项，
可得 ban abn (bn )2 ．于是 b1 a1 1 ， (b2 )2 b4 ， (b3 )2 b9 ， (b4 )2 b16 .即可得出.
C2 : {(
x2 P,
Q
y2 1 9 )} ，P
．P 为 C1 上的
在 C1 上，Q 在 （）
A.2 个
B.4 个
C.8 个
D.无穷个
数学试卷 第 2页（共 14页）
三、解答题：本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分. 17.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为
故答案为： 9π ．
【考点】球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法。 5.【答案】 3 【解析】设 z a bi(a,b R) ，代入 z2 3 ，由复数相等的条件列式求得 a，b 的值得
答案．
数学试卷 第 5页（共 14页）
【考点】复数代数形式的乘除运算。 6.【答案】11 【解析】根据题意，由双曲线的方程可得 a 的值，结合双曲线的定义可得 || PF1 | | PF2 || 6 ，解可得 | PF2 | 的值，即可得答案． 【考点】双曲线的几何性质。 7.【答案】 (4,3, 2) 【解析】解：如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点， 过 D的 三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵ DB1 的坐标为 (4,3, 2) ，∴ A(4,0,0) ， C1(0,3, 2) ， ∴ AC1 (4,3, 2) . 故答案为： (4,3, 2) ．
上海市位育中学2017届高三上学期期中考试数学试卷Word版含答案
位育中学2017届第一学期期中考试高三数学试卷一 填空题（本大题满分56分，每小题4分）1 设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M C u ;则集合M =______________2 已知53)2sin(=-απ，则)cos(απ-=_____________ 3 公比为2的等比数列}{a n 的各项都是正数，且16113=a a ，则102log a =_____________ 4 求值：)74arcsin(cos π=_____________ 5 在等差数列}{a n 中，若2576543=++++a a a a a ，则=+82a a _____________ 6 在ABC ∆中，3=a ，6=b ，3π=A ,则B =____________7 已知数列}{a n 是递增数列的等比数列，941=+a a ，832=a a ，则数列}{a n 的前n 项和等于____________8 若函数22log 36)(>≤⎩⎨⎧++-=x x x x f a （0>a 且1≠a ）的值域是[)∞+，4。
则实数a 的取值范围是____________9 若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a ___________10 设n s 是数列}{a n 的前n 项和，且11-=a ，11++=n n n s s a ，则n s =___________11 设函数211|)|1ln()(xx x f +-+= ，则使得)12()(-≥x f x f 成立的x 的取值范围是__________12 已知函数)0(cos sin )(>+=ωωωx x x f ，R x ∈，若函数)(x f 在区间)(ωω，-内单调递增，且函数)(x f 的图像关于ω=x 对称，则ω的值为___________13 若ab 是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于___________14 已知函数)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若同时满足条件：（1）对任意实数x 都有0)(<x f 或0)(<x g ；（2）总存在），（4-∞-∈o x 时，使0)()(<o o x g x f 成立，则m 的取值范围是___________二 选择题（满分20分，每小题5分）15 设n s 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{a n 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ） A 若0<d ,则数列}{s n 有最大项 B 若数列}{s n 有最大项，则0<dC 若数列}{s n 是递增数列，则对任意*N n ∈,均有0>n sD 若对任意*N n ∈，均有0>n s ，则数列}{s n 是递增数列16 将函数x x f 2sin )(= 的图像向右平移ϕ）（20πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图像，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x 2x ，有3x min 21π=-x ，则ϕ=___________ A125π B 3π C 4π D 6π 17 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“)(x f 为[]10，上的增函数”是“)(x f 为[]43，上的减函数”的（ ） A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件18 对于函数)(x f ，若存在区间[]n m A ,= 使得{y|y=f （x ），x ∈A}=A ，则称函数f （x ）为“可等域函数”，区间A 为函数f （x ）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f （x ）=sin （x ）； ②f （x ）=2x 2﹣1；③f （x ）=|1﹣2x |；④f （x ）=log 2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三 解答题（满分74分）19 （满分12分）已知二次函数32)(2--=x mx x f ，若不等式0)(<x f 的解集为),1(n -（1）解关于x 的不等式：1)1(422-+>+-x m n x x ；（2）是否存在实数），（10∈a ，使得关于x 的函数14)(+-=x x a a f y []），（21∈x 的最小值为4-？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由20 （本题满分14分）在ABC ∆中,已知135cos =A , 3102cot 2tan =+B B , 21=C （1）求)cos(B A -的值;（2）求ABC ∆的面积.21 (本题满分14分) 已知函数2cos 102cos 2sin 310)(2x x x x f += （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）将函数)(x f 的图像向右平移6π 个单位长度,再向下平移a )0(>a 个单位长度后得到函数)(x g 的图像,且函数)(x g 的最大值为2 .① 求函数)(x g 的解析式;② 证明:存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得0)(0>x g22 (本题满分16分)已知数列}{a n 的前n 项和为n s , 且n n s s a a +=22 对一切整数n 都成立.（1）求1a ,2a 的值（2）若01>a ,设数列}{n b 的前n 项和为n T , 且满足nn a a b 110lg= ,证明}{n b 是等差数列; （3）当n 为何值时, n T 最大? 并求出n T 的最大值.23(本题满分18分)已知函数)(x f ,如果存在给定的实数对）（b a , ,使得b x a f x a f =-+)()(恒成立,则称)(x f 为”-Γ函数” .（1）判断函数x x f =）（1, xx f 32=）（ 是否是”-Γ函数” . （2）若x x f tan 3=）（ 是一个”-Γ函数” .,求出所有满足条件的有序实数对）（b a ,; （3）若定义域为R 的函数)(x f 是”-Γ函数” ,且存在满足条件有序实数对），（10和)4,1( ,当[]10，∈x 时,)(x f 的值域为[]21， ,求当[]20162016-，∈x 时函数)(x f 的值域答案1 }6,5,3{=M ,2 53-， 3 5， 4 14π-， 5 10， 6 4π， 7 12-n ， 8(]21，， 9 1， 10 n 1-， 11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡131，， 12 2π，13 9 ，14 ），（2-4- 15 C, 16D, 17C,18B.19 (1) ()),2(1,+∞⋃∞- (2) 31=a 20 （1）6556， （2）126 21 （1） π2=T （2）①8sin 10)(-=x x g ② 证明题 22 （1） 121+=a ，222+=a ，或211-=a ，222-=a （2）2lg 21-=d （3）7=n 2lg 2217)(7max -==T T n23 （1）不是；是（2） ))(1,4(z k k ∈±ππ (3) []201620162,2-。
上海市位育中学2016届高三数学上学期零次(9月)考试试题
位育中学2015学年第一学期零次考试高三数学试卷2015-9-2_____班，_____号，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．函数)1lg(252-+--=x x x y 的定义域为______________．2．若双曲线221x y m-=的一个焦点为(2,0)F ，则实数m =______________．3．在五个数字1，2，3，4，5中随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______．4．二项式6x⎛⎝的展开式中的常数项为______________．5．已知1lim 0nn a a →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是______________． 6．已知点(2,4),(4,6)A B --，若2AB BC =，则点C 的坐标为______________． 7．等比数列}{n a 中，19693=a a ，3575=+a a ，则公比q =______________． 8．对一切实数x 都有032>+++a ax ax ，那么实数a 的取值范围是______________． 9．过点(1,4)且和抛物线24y x =有且仅有一个公共点的直线有______________条． 10．函数2sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈的递减区间是______________．11．已知)cos(3)sin()(αα-++=x x x f 的最小正周期为______________．12．某企业开发了一个受政府扶持的新项目，得到政府无息贷款50万元购买了一套设备，若该设备在使用过程中第一天维护费用是101元，…，第n 天的维护费用是100+n 元，设使用m 天后，平均每天消耗的设备费用（总设备费用=购置费+维护费）最低，则m =_________． 13．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且满足1(3)()f x f x +=-，若当32x -≤≤-时，x x f 2)(=，则=)5.113(f ______________．14．设n a a a a ,,,,321 是各项均不为零的等差数列(4≥n )，且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则da 1的所有可能的值是______________． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．若集合{|,}3n A x x n ==∈Z ，1{|,}3B x x n n ==±∈Z ，2{|,}3C x x n n ==±∈Z ，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ≠B ．A B ⊆C ．B C A =⊆D ．A C ⊆16．如果函数x y a b =+的图像经过第二、三、四象限，则（ ）A ．1,1a b >>-B ．1,1a b ><-C ．01,1a b <<>-D ．01,1a b <<<-17．设函数)(x f y =的反函数为)(1x fy -=，且)12(-=x f y 的图像过点)1,21(，则)(1x f y -=的图像必过点（ ） A ．)1,21(B ．)21,1(C ．)0,1(D ．)1,0(18．已知数列{}n a 的通项为1122133n n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下列表述正确的是 （ ）A ．最大项为0，最小项为2081-B ．最大项为0，最小项不存在C ．最大项不存在，最小项为2081-D ．以上答案都不对三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．矩形ABCD 的边长AB =4，AD =6，P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA =3，PB =5，PD =求 (1) 点P 到平面ABCD 的距离；(2) 点C 到平面PAB 的距离．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知点A,B,C 的坐标分别为A(3,0),B(0,3),(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈．(1) 若||||AC BC =，求角α的值；(2) 若1AC BC ⋅=-，求22sin sin21tan ααα++的值．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．设x ,y ∈R ，i ,j 为直角坐标平面内x ,y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-，且||||8a b +=．(1) 求点M (x ,y )的轨迹C 的方程；(2) 过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得||||OP AB =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．22．（本题满分16分）第1小题6分，第2小题4分，第3小题6分．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--（a >0且a ≠1）．(1) 讨论f (x )的奇偶性与单调性； (2) 求f (x )的反函数f -1(x )；(3) 若11(1)3f -=，解关于x 的不等式f -1(x )<m （m ∈R ）．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．定义：如果数列{a n }的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n }为“三角形数列”．对于“三角形数列”{a n }，如果函数y =f (x )使得b n =f (a n )仍为一个“三角形数列”，则称y =f (x )是数列{a n }的“保三角形函数”，（n ∈N *）．(1) 已知{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，若f (x )=k x,（k >1）是数列{a n }的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2) 已知数列{c n }的首项为2010，S n 是数列{c n }的前n 项和，且满足4S n +1-3S n =8040，证明{c n }是“三角形数列”；(3) 根据“保三角形函数”的定义，对函数h (x )=-x 2+2x ,x ∈[1,A ]，和数列1,1+d ,1+2d ，（d >0）提出一个正确的命题，并说明理由．位育中学2015学年第一学期零次考试高三年级数学 试卷（答案）2015-9-2一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）解：(1) 由已知易得：PA⊥ AB ，PA ⊥ PD ，∠PAD =60︒，∵ AB ⊥ AD ，AB ⊥ PA ，∴ AB ⊥ 平面PAD ， 2分作PH ⊥ AD ，垂足为H ， 则AB ⊥ PH ，PH ⊥ 平面ABCD ， 4分∴ 点P 到平面ABCD 的距离PH =； 6分 (2) 由平面PA B 外直线CD //AB ，得CD //平面PAB ， 8分 ∵ PD ⊥ AB ，PD ⊥ PA ，∴ PD ⊥ 平面PAB ，10分 故点C 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离PD = 12分20．（本题满分14分）解：(1) (cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，2分 由||||AC BC =，化简可得sin α =cos α，又3(,)22ππα∈，∴ 54πα=；6分PDC BA(2) 由1AC BC ⋅=-，可得2sin cos 3αα+=，52sin cos 9αα=-， 10分 ∴ 22sin sin 22sin cos (sin cos )52sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++===-++．14分21．（本题满分14分）解：(1) 由||||8a b +=8，2分设F 1(0,-2)、F 2(0,2)，则|MF 1|+|MF 2|=8，点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点，长轴长2a =8的椭圆， 4分∵ a =4，c =2，∴ 22212b a c =-=，∴ 轨迹C 的方程是2211612y x +=；6分(2) 由OP OA OB =+知四边形OAPB 是平行四边形， 欲使||||OP AB =，只需OA OB ⊥，8分显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y =kx +3， 由方程组223,1,1612y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22(34)18210k x kx ++-=，10分设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，则1221834k x x k +=-+，1222134x x k ⋅=-+， 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=，而2121212121212(3)(3)(1)3()9x x y y x x kx kx k x x k x x +=+++=++++， ∴ 222221(1)54903434k k k k +--+=++，整理得2516k =，k = 故存在直线l:3y =+，满足条件． 14分22．（本题满分16分）解：(1) 1()log (11)1a xf x x x+=-<<-2分 ∵对任意x ∈(-1,1)，都有f (-x )+f (-x )=0，∴f (x )是奇函数； 4分 当a >1时，f (x )单调递增，当0<a <1时，f (x )单调递减；6分 (2) 11()()1x x a f x x a --=∈+R10分(3) 由11(1)3f -=，得a =2，121()()21x x f x x --=∈+R13分解不等式2121x x m -<+，得当m ≥1时，x ∈R ；当-1<m <1时，21log 1mx m+<-；当m ≤-1时，无解 16分23．（本题满分18分）解：(1) 显然1n a n =+，12n n n a a a +++>对任意正整数n 都成立，即{a n }是三角形数列．∵k >1，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<，由12()()()n n n f a f a f a +++>，得12n n n k k k +++>，解得k <，∴当k ∈时，f (x )=k x是数列{a n }的“保三角形函数”； 4分(2) 由4S n +1-3S n =8040，得4S n -3S n -1=8040（n ≥2)，两式相减，得13(2)4n n c c n +=≥，由c 1=2010，4S 2-3S 1=8040，得c 2=1507.5，2134c c =满足上式，∴134n n c c +=，132010()4n n c -=7分显然12n n n c c c ++>>，∵1112332132010()2010()2010()44164n n n n n n c c c +-+++=+=⨯>∴{c n }是“三角形数列”；10分(3) 探究过程：函数数h (x )=-x 2+2x ,x ∈[1,A ]是数列1,1+d ,1+2d ，（d >0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：1︒是“三角形数列”，∴1+1+d >1+2d ，即0<d <1； 12分 2︒数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ；14分3︒h (1),h (1+d ),h (1+2d )是“三角形数列”，由于h (x )=-x 2+2x ,x ∈[1,A ]是单调递减函数，∴h (1+d )+h (1+2d )> h (1)，解得0d <<18分。
2017年上海中学高考数学模拟试卷(1)+Word版含解析
2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=．2．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于．3．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．4．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是．10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+316．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上17．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=0．【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），又根据f（x）是以2为周期的周期函数得f（x+2）=f（x），取x=﹣1可求出f（1）的值．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（1）=f（﹣1），又函数f（x）是奇函数，∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0故答案为：02．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于0．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果．【解答】解：∵===，∵实部和虚部互为相反数，∴，∴，∴b=0，故答案为：03．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=5．【考点】DC：二项式定理的应用．=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系【分析】由题意可得T r+1数，从而可求=C n r（2x）r=2r C n r x r【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：54．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4．故答案为：4．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集．【解答】解：因为a＜0，则关于x的不等式，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a，根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a的距离大于0并且小于﹣3a，可知不等式的解集为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．故答案为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF1F2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．【解答】解：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6，令内切圆圆心为O则=++=（|PF1|r+|PF2|r+|F1F2|r）=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•1=8又∵=|F1F2|•y P=3y P．所以3y p=8，y p=．故答案为7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．【考点】8E：数列的求和；6F：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n项和记为S n，再求它们的极限．【解答】解：当n=2k时，当n=2k+1时，∴S n=故答案为8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A被选中的情况和城市A未被选中的情况都找出来，即可得到城市A被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的情况有：ACE、ACF、ACG、ACH、ADF、ADG、ADH、AEG、AEH、AFH，共10种．则城市A未被选中的情况有：BDF、BDG、BDH、BEG、BEH、BFH、CEG、CEH、CFH、DFH 共10种．故城市A被选中的概率为：=，故答案为：．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0} ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设y1=，y2=﹣kx+2，画出函数y1=图象，结合图象，即可得到k的取值范围．【解答】解：根据题意设y1=，y2=﹣kx+2，当k=0时，方程只有一个解x=0，满足题意；当k≠0时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当﹣k＞1或﹣k＜﹣1时，直线y=﹣kx+2与y=只有一个交点，即方程只有一个解，综上，满足题意k的取值范围为k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0}10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6=×6×6×6=72∴V四棱锥P﹣ABCD∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2412．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于8.4（精确到0.1）．【考点】4R：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，a x）在函数y=的图象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），∵函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，∴|AB|=，⇒点A到直线y=x的距离为，∴⇒a x﹣x=2，①又A（x，a x）在函数y=的图象上，⇒a x=，②由①②得：﹣x=2⇒x=，∴a﹣（﹣1）=2，⇒a=（）≈8.4故答案为：8.4．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）【考点】F3：类比推理；LL：空间图形的公理．【分析】由题意可得：•=0，即与垂直，设D为BC的中点，则=，可得=，即可得到，进而得到点P在BC的垂直平分线上，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：•=﹣||+||=0∴与垂直设D为BC的中点，则=，所以，所以=，因为与垂直所以，又∵点D为BC的中点，∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．故答案为：．二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA：余弦函数的单调性．【分析】可把A，B，C，D四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D项的符合题意．【解答】解：y=cos2x在区间上是减函数，y=sin（x+）[0，]上单调增，在[，]上单调减，故排除A．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除B．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除C．在区间上也是减函数，故选D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+3【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．16．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．17．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何的正整数n 都成立，则的值为（ ） A ．5032B ．5044C ．5048D ．5050【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，①；a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，②；①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，① a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，② ①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，∴， 同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a 1=，a 2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B ．三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=1﹣sin，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1﹣sin．（2）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表作图即得所求．【解答】解：（1）∵=+1﹣=1﹣sin．由于它的最小正周期为π，故=π，∴ω=1．故f（x）═1﹣sin．（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]．列表如下：如图：19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值（2）对于此种题型可假设存在实数a使∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得=+（）∈R即=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则∵|2z+15|=|+10|∴|（2a+15）+2bi|=|（a+10）﹣bi|∴=∴a2+b2=75∴∴|z|=（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使∈R则有=+（）∈R∴=0∵b≠0∴a=由（1）知=5∴a=±520．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B1C与C1A垂直，可在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，证明B1C⊥平面ABC1，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B 1C ⊥AB ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥C 1A ．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积为221．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p 的最小值． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）y=10n（1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%，得p%≥，令a n =，由此能求出p 的最小值．【解答】解：（1）y=10n （1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%， 得p%≥， 令a n =，由，得1≤n≤2，∴p%≥a1=a2=，∴p≥．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）将b=2，m=﹣4代入函数解析式，根据f（x）≥g（x）恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c的取值范围；（2）将c=﹣3，m=﹣2代入函数解析式得（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，然后转化成（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函数的性质得c≥﹣．（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，由根的分布得b≥1且1＜b＜，∴1＜b＜．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0．由△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0，能求出N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0．由此能求出λ1+λ2=0．【解答】解：（1）即ax2﹣2ax0x+ax02=0∴△=4a2x02﹣4a2x02=0∴l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0则△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0∴ax02﹣by02+b2y04﹣ax02+abx02y02＞0∴by02+ax02＞1∴N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，即ax0x1+by0y1=1，整理得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0同理得关于λ2的方程，类似．即λ1、λ2是（ax02+by02﹣1）λ2+ax12+by12﹣1=0的两根∴λ1+λ2=0．2017年7月7日。
2016-2017学年位育中学高三上开学考数学试卷
位育中学高三零次考试数学试卷2016.09一. 填空题1. 设全集U R =，集合34{|0}5x A x x +=≤-，则U C A = 2. 若tan 3α=，则22sinsin cos 2cos αααα++= 3. 已知函数22log ()1y a x =--是奇函数，则不等式()0f x <的解集是 4. 若集合2{|10}A x ax ax =-+==∅，则实数a 的取值范围是5. 函数2y x =+的值域为6. 函数1x a y x a -=--的图像的对称中心是(4,1)P ，则实数a = 7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1323n n a S ++=*()n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =8. 无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和可以用S 表示为9. 等差数列{}n a 共有21n +项，其中13214n a a a +++⋅⋅⋅+=，2423n a a a ++⋅⋅⋅+=，则 n =10. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，当{}n a 的前n 项和最大时，则 n =11. 已知()sin())f x x x ϕϕ=++-是偶函数，则所有满足条件的ϕ的值组成的集合 为12. 已知定义在R 上，且最小正周期为4的函数()f x ，满足()()f x f x -=-，则在区间 (10,10)-内函数()y f x =的零点个数的最小值是13. 已知钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最长边与最短边之比为m ，则m 的取值 范围是14. 已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x ⋅⋅⋅满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，其中2m ≥且*m N ∈， 则m 的最小值为二. 选择题15. 设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 设c 为常数，若函数()y f x =存在反函数，则方程()f x c =（ ）A. 有且只有一个实根B. 至少一个实根C. 至多一个实根D. 没有实数根17. 设a R ∈，[0,2)b π∈，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 418. 记方程①2110x a x ++=，方程②2220x a x ++=，方程③2340x a x ++=，其中1a 、 2a 、3a 是正实数，当1a 、2a 、3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根 的是（ ）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根三. 解答题19. 解关于x 的不等式：11ax x ≤-；20. 已知函数()cos 2cos f x x x x =+；（1）求函数()f x 在[0,]2x π∈上的最大值，并指出取得最大值时对应的x 的值； （2）若06πθ<<，且4()3f θ=，求cos2θ的值；21. 甲厂以每小时x 千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可 获得的利润是3100(51)x x+-元；（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产速度？并求出最 大利润；22. 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+；（1）当1a =时，解不等式()1f x >； （2）若关于x 的方程22()log ()0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不 超过1，求a 的取值范围；23. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =， 则称{}n a 是“H 数列”；（1）若数列{}n a 的前n 项和2n n S =*()n N ∈，判断数列{}n a 是否是“H 数列”？若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设数列{}n a 是常数列，证明：{}n a 为“H 数列”的充要条件是0n a =；（3）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；参考答案一. 填空题 1. 4(,5]3-2. 753. (1,0)-4. [0,4)5. 17(,]8-∞6. 37. 11()3n -8. S9. 3 10. 8 11. {|,}6k k Z πϕϕπ=-+∈ 12. 9 13. (2,)+∞ 14. 8二. 选择题15. A 16. C 17. B 18. B三. 解答题 19. ① 当0a <，1(,](1,)1x a∈-∞+∞-；② 当0a =，(,1)(1,)x ∈-∞+∞； ③ 当01a <<，1(,1)[,)1x a∈-∞+∞-；④ 当1a =，(,1)x ∈-∞； ⑤ 当1a >，1[,1)1x a ∈-；20.（1）6x π=，最大值为2；（2； 21.（1）[3,10]；（2）6x =，最大利润457500元； 22.（1）(0,1)；（2）0a =或14a =-；（3）2[,)3+∞； 23.（1）是，12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）略；（3）1d =-，可用特值法先求出d ，再证明；。
上海西南位育中学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A ．()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B ．()()()sin 222x xf x x -=⋅- C ．()()()cos 222xxf x x -=⋅+ D ．()()()cos 222xxf x x -=⋅-2．已知()2xf x x =+，[](),M a b a b =<，(){}4,N yy f x x M ==∈∣，则使得MN 的实数对(),a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，当0x y <<时，都有()()f x f y >，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（ ）A ．[)1,0-B ．[)4,0-C ．(]3,4D ．[)(]1,03,4-4．若奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，且在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为-1，则()()263f f -+-的值为（ ） A ．5B ．-5C ．13D ．-135．已知函数()x xf x e e -=-，则不等式()()2210f x f x +--<成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．()2,1- B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断7．若函数()f x 同时满足：①定义域内存在实数x ，使得()()0f x f x ⋅-<；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ）A ．()3f x x =B ．()sin f x x =C ．()1x f x e-=D ．()ln f x x =8．若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（ ） A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞9．已知32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，则a 的取值范围（ ）A ．2a ≥-B ．2a ≤-C ．4a ≥-D ．4a ≤-10．函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[222,0)--B ．(0,222]-C ．2,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．[222,1)-11．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =-C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对(]12,0x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．(0,8]D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭13．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（ ） A ．[22,)+∞B ．[3,)+∞C ．(22,)+∞D ．(3,)+∞14．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．15．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( )A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞二、填空题16．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且当(0,1)x ∈时，3()24x f x =-，则12(log 25)f =________．17．设函数()()333f x x x x R =-+∈.已知0a >，且()()()()2f x f a x b x a -=--，b R ∈，则ab =______.18．设2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()1 2f x f x +<的实数x 的取值范围是__________.19．函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________．20．已知函数()cos ,0sin ,0x x f x x x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩给出下列三个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有且仅有3个零点； ③()f x 的值域是[]1,1-. 其中，正确结论的序号是______.21．已知函数246,0()log ,0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪<⎩，则()()2f f -=______. 22．已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________.23．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________．24．如果方程24x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y ＝f （x ）有如下结论：①函数f （x ）在R 上单调递减；②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]；④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.25．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当[1,0)x ∈-时1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则()2log 8f =_________．26．已知f （x ）是R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣5x ，则f （x ﹣1）＞f （x ）的解集为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据奇偶性排除AD ，根据图象过原点排除C ，从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称，且图象过原点， 对于A ， ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除A ；对于C ，()()000cos02220f =⋅+=≠，不合题意，排除C ；对于D ，()()()()()()cos 222cos 222xxxxf x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除D ； 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．D解析：D 【分析】 先判断函数()2xf x x =+是奇函数，且在R 上单调递增；根据题中条件，得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，求解，即可得出结果. 【详解】 因为()2xf x x =+的定义域为R ，显然定义域关于原点对称， 又()()22x xf x f x x x --==-=--++， 所以()f x 是奇函数， 当0x ≥时，()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增；所以当0x <时，()2xf x x =-+也单调递增； 又()00f =，所以函数()2xf x x =+是连续函数； 因此()2xf x x =+在R上单调递增； 当[],x M a b ∈=时，()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦，因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣，所以为使M N ，必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或02a b =⎧⎨=⎩， 即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-，()2,0-，()0,2，共3对.故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，得出[],x M a b ∈=时，()4y f x =的值域，列出方程，即可求解.3．A解析：A 【分析】采用赋值法，令1x y ==求得()10f =，同理可求()21f =-，()42f =-； 化()()32f x f x -+-≥-为()()234f x x f -≥，再结合单调性解不等式得结果.【详解】令1x y ==，得()()121f f =即()10f =，令12x =，2y =则()()1122f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()21f =-，令2x y ==，()()()4222f f f =+=-，所以由()()32f x f x -+-≥-得()()234f x x f -≥；又因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，且0x y <<时，都有()()f x f y >，所以203034x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ 即0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩所以10x -≤<， 即不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为[)1,0-. 故选：A 【点睛】思路点晴：抽象函数往往通过赋值法来解决问题.4．D【分析】先利用条件找到()31f =-，(6)7f =，再利用()f x 是奇函数求出(3)f -，(6)f -代入即可． 【详解】由题意()f x 在区间[]3,6上是增函数， 在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为1-， 得()31f =-，(6)7f =，()f x 是奇函数，(3)2(6)(3)2(6)12713f f f f ∴-+-=--=-⨯=-．故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．B解析：B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x f x <+，即得221x x <+，解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ，x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，则不等式()()2210f xf x +--<化为()()()2211f x f x f x <---=+，221x x ∴<+，解得112x -<<， 则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集， 只有B 选项满足. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.6．A【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m = -2或m =3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m =3（m = -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．7．A解析：A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可. 【详解】解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B. 故选：A 【考点】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.8．B解析：B 【分析】由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性，再由奇函数把不等式化为(2)()f x f x -≥-，然后由单调性可解得不等式．【详解】∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型：（1）()f x 为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为12()()0f x f x +>转化为12()()f x f x >-，然后由单调性去掉函数符号“f ”，再求解；（2）()f x 是偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调，不等式为12()()f x f x >，首先转化为12()()f x f x >，然后由单调性化简． 9．C解析：C 【分析】首先变形条件，得到函数()()f xg x x=在[)1,+∞单调递增，利用二次函数的单调性，求a 的取值范围.【详解】[)12,1,x x ∈+∞，不等式两边同时除以12x x ()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x --∴>⇔>--， 即函数()()f x g x x=在[)1,+∞单调递增，()22g x x ax a =++， 函数的对称轴是4a x =-，则14a-≤，解得：4a ≥-.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是原式等价为()()121212f x f x x x x x ->-，从而通过构造函数，确定函数的单调性，转化为二次函数的单调性解决问题.10．D解析：D 【分析】转化条件为22,(),x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩，结合二次函数的图象与性质，作出分段函数的图象，数形结合结合可得()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即可得解. 【详解】由题意，函数22,(),x ax x af x x x a x ax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，函数2y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为2a x =， 函数2y x ax =-的图象开口朝上，对称轴为2a x =， 当0a =时，22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数在R 上单调递增，不合题意；当0a <时，作出函数图象，如图，易得函数在区间(0,1)上无最值； 当0a >，作出函数图象，如图，若要使函数()f x 在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即2201122a a a a <<⎧⎪⎨⎛⎫-≤-+⎪⎪⎝⎭⎩，解得2221a ≤<； 综上，实数a 的取值范围是[222,1).故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质作出分段函数()f x 的图象，结合图象数形结合即可得解.11．A解析：A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项B 、D ，再根据()01f =-不成立排除选项C ，即可得正确选项. 【详解】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ， 故选：A 【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.12．D解析：D 【分析】问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集，先求出()f x 在(]2,4上的值域，再根据(2)2()f x f x +=求出()f x 在(]2,0-的值域；分类讨论求出()g x 的值域，根据子集关系即可求出a 的范围. 【详解】由题知问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集．当(]2,4x ∈时，2(2)4,23()2,34x x f x x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时9()3,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由(2)2()f x f x +=，可得11()(2)(4)24f x f x f x =+=+ 当(]2,0x ∈-时，(]42,4x +∈．则()f x 在(]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[21,1]g x a a ∈-++，则有3214918a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[1,21]g x a a ∈+-+，则有3149218a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，解得14a -．综上所述，可得a 的取值范围为11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查双变元利用值域求参数的问题，属于中档题.结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．13．D解析：D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【详解】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=， 设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >，函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.14．B解析：B 【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.15．C解析：C【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4， 故选C. 【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.二、填空题16．【分析】由对称性奇偶性得出周期性然后再结合周期性和奇偶性进行计算【详解】因为则又函数为奇函数所以所以是周期函数周期为4又所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性对称性周期性函数具有两个对 解析：1316-【分析】由对称性、奇偶性得出周期性，然后再结合周期性和奇偶性进行计算． 【详解】 因为(1)(1)f x f x -=+，则()(2)f x f x =-，又函数为奇函数，所以()()(2)(2)(4)f x f x f x f x f x =--=-+=--=+，所以()f x 是周期函数，周期为4． 又125log 254-<<-，所以111122222252525(log 25)(4log 25)(log )(log )(log )161616f f f f f =+==--=-225log 163253132416416⎛⎫=--=-+=- ⎪⎝⎭．故答案为：1316-． 【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性．函数()f x 具有两个对称性时，就具有周期性．（1）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于直线xn =对称，则()f x 是周期函数，4m n -是它的一个周期；（2）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于点(,0)n （m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期；（3）()f x 的图象关于直线x m =对称，又关于直线x n =（m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期．17．【分析】先将进行因式分解再与比较利用对应系数相等可得关于的方程即可得的值即可求解【详解】因为所以因为所以对任意的恒成立所以不恒为所以展开整理可得：所以解得：或（舍）所以故答案为：【点睛】关键点点睛： 解析：2-【分析】先将()()f x f a -进行因式分解再与()()2x b x a --比较，利用对应系数相等可得关于,a b 的方程，即可得,a b 的值，即可求解.【详解】因为()()333f x x x x R =-+∈，所以()()()()333333333f x f a x x a a x a x a -=-+----=-+，()()()()222233x ax a x ax x a x a x a a ⎡⎤---==+-++-⎣+⎦，因为()()()()2f x f a x b x a -=--，所以()()()2223x ax a x b x x a a ⎡⎤-=⎣-⎦++--，对任意的x 恒成立， 所以x a -不恒为0，所以()()223x ax a x b x a ++-=--展开整理可得：()23ax a a b x ab +-=-++，所以()23a a b a ab⎧=-+⎨-=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩或12a b =-⎧⎨=⎩（舍），所以()122ab =⨯-=-， 故答案为：2-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将()()f x f a -进行因式分解，由x a -不恒为0，得出()()223x ax a x b x a ++-=--利用待定系数法可求,a b 的值.18．【分析】画出图像结合图像判断题出函数的单调性即可求解【详解】作出函数的图像如图满足解得故答案为：【点睛】方法点睛：该不等式的求解利用的是函数的单调性用数形结合法解决更为直观解析：(),0-∞【分析】画出2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩图像,结合图像判断题出函数的单调性,即可求解(1)(2)f x f x +<.【详解】作出函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩的图像如图，满足(1)(2)f x f x +<2021x x x <⎧∴⎨<+⎩，解得0x <. 故答案为：(),0-∞. 【点睛】方法点睛：该不等式的求解利用的是函数的单调性，用数形结合法解决更为直观.19．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取解析：32-【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值． 【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，2()2g a a a c =--，()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．当02a <<时，10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，10c --<，若1c c --≤-，即112c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，13222b ac a -=-->-=-， 若1c c -->-，12c >-时，(1)111b g c c c ==--=+=+，1311222b ac a -=+->--=-，若2a ≥时，若212c a a c --≤--，即2212a a c --≤时，22()22b g a a a c a a c ==--=--，222221(2)3333222a a ab a a ac a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号，若212c a a c -->--，即2212a a c -->时，(1)11b gc c ==--=+1c =+，222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号．综上所述，b a -的最小值是32-． 故答案为：32-． 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，由于有绝对值符号，引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．20．②③【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③【详解】函数①由于所以是非奇非偶函数所以①不正确；②可得所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数的值域是正确；正确结论的解析：②③ 【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③. 【详解】函数()cos ,0sin ,0x x f x x x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩，①由于()()1,sin 0f fπππ-=-==，所以()f x 是非奇非偶函数，所以①不正确；②()0f x =，可得2x π=-，0x =，x π=，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数()cos ,0sin ,0x x f x x x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩，()f x 的值域是[]1,1-，正确；正确结论的序号是：②③. 故答案为：②③. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.21．11【分析】用分段函数的解析式先求出从而可得的值【详解】解：∵且∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一这类问题的特点是综合性强对抽象思维解析：11 【分析】用分段函数的解析式先求出()2f - ，从而可得()()2f f -的值.【详解】解：∵ 246,0()log ,0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪<⎩，且20-<， ∴ ()222log 10f -=->= ∴ ()()()42116111f f f -==++=. 故答案为：11. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰．22．【分析】根据题意分析函数的单调性结合函数的最小值为可得出关于实数的不等式组由此可求得实数的取值范围【详解】由于函数的值域为则函数在区间上单调递减或为常值函数函数在区间上单调递增或为常值函数①若函数在 解析：[)1,0-【分析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数， 函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-， 且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数， 则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦， 即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-，当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=， 即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.23．【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析：[2,)+∞【分析】先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，得到()g x 关于(1,0)对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解． 【详解】构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e--=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到1()(1)xxh x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()x x h x e x h x e-=--=-，所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称． 不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--， 等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-，结合()g x 单调递增可知342x x x -∴， 所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2，)+∞． 故答案为：[2，)+∞． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y ＜0时方程y|y|＝1化为（y ＜0）解析：②④ 【分析】根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择. 【详解】当y ≥0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y +=（y ≥0），当y ＜0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y -=（y ＜0）.作出函数f （x ）的图象如图：由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误； y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； 函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±， 故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点，即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确.故答案为：②④.【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.25．2【分析】利用确定函数的周期再结合偶函数性质求值【详解】用x+1代换x 得即f(x+2)=f(x)f(x)为周期函数T=2又是偶函数所以故答案为：2【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值属于中解析：2【分析】利用()()1f x f x +=-确定函数的周期，再结合偶函数性质求值．【详解】用x +1代换x ，得[]()()(1)+1(+1)f x f x f x f x +=-=--=⎡⎤⎣⎦，即f (x +2)=f (x )，f (x )为周期函数，T =2，又 2log 83=， ()f x 是偶函数，所以()()()()121log 831122f f f f -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭， 故答案为：2．【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值，属于中档题.函数()f x 若满足()()f x a f x +=-，1()()f x a f x +=等时，则此函数为周期函数，且2a 是它的一个周期． 26．【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式在同一坐标系中做出和的图像求出交点的坐标根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的 解析：{23}x x -<<【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数()f x 和()1f x -的解析式，在同一坐标系中做出()f x 和()1f x -的图像，求出交点的坐标，根据不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.【详解】当0x <时， 0x ->，所以 ()()22()55f x x x x x -=--⨯-=+，又f （x ）是R 上的奇函数，所以 2()()5f x f x x x =--=--，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 所以()()()()22151,1(1)151,1x x x f x x x x ⎧---≥⎪-=⎨----<⎪⎩，即2276,1(1)34,1x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨--+<⎩， 做出()f x 和()1f x -的图像如下图所示，不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由22576,x x x x -=-+得3,x =所以()3,6A -，由22534x x x x --=--+得2x =-，所以()2,6B -，所以不等式(1)()f x f x ->的解集为{23}x x-<<.故答案为：{23}x x -<<.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.。
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷及解析
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合23},{|log 1},N x x =>则M N =（ ）A.∅B.{|03}x x <<C.{|13}x x <<D.{|23}x x <<2.若()sin 3cos2,f x x =- 则()cos f x = ( )A. 3cos2x -B. 3sin2x -C. 3cos2x +D. 3sin2x +3.定义两个平面向量的一种运算sin ,a b a b θθ⊗=⋅⋅为,a b 的夹角，则对于两个平面向量,a b ，下列结论错误的是（ ） A.a b b a ⊗=⊗B.=a b a b λλ⊗⊗()()C.2222)+=a b a b a b ⊗⋅⋅(()D.若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221=a b x y x y ⊗-第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）2,},{|}x R B x x a ∈=≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.5.函数y =cos x +cos （x +）的最大值是 .6.函数()22log 1y x =+（0x <）的反函数是______. 7.方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是_______.8.若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =_______.9.在等差数列{}n a 中，13464,2,a a a a +=+=-若2log n n a b =，则12lim()n n b b b →∞++…+=_______.10.若ABC △的面积2221(),3S a b c =+-则C ∠=_________. 11.复数z a bi =+，其中{1,3,5},{0,2,4,6},a b ∈∈则得到的复数z 的模不大于5的概率是_____.12.若函数14()121x f x a a x=的最小值是非负数，则符合条件的整数a 的一个可能值是______.13.函数sin arcsin y x x =+的值域是______.14.定义：若函数()f x 的图像经过变换T 后所得的图像对应的函数与()f x 的值域相同，则称变换T 是()f x 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①21()(1),f x x T =-将函数()f x 的图像关于y 轴作对称变换； ②12()21,x f x T -=-将函数()f x 的图像关于x 轴作对称变换；③3(),1xf x T x =+将函数()f x 的图像关于点（-1，1）作对称变换； ④4()sin(),3f x x T π=+将函数()f x 的图像关于点（-1，0）作对称变换；其中T 是()f x 的同值变换的有_______.（写出所有符合题意的序号）15.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．三、解答题（题型注释）16.如图，正四棱柱1111A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。
2016-2017学年上海市徐汇区西南位育中学高三(上)9月摸底数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市徐汇区西南位育中学高三（上）9月摸底数学试卷一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝．2．（3分）设平面向量＝（﹣1，2），＝（2，b），若∥，则|﹣|＝．3．（3分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n 是数列{a n}的前n项和，则S5＝．4．（3分）（﹣）10的展开式中有理项且系数为正数的项有项．5．（3分）从n个正整数1，2，3，4，5，…，n任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是，则n＝．6．（3分）双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线的方程是．7．（3分）若复数z＝（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣）的值为．8．（3分）函数f（x）＝（x﹣2）2+1，x∈（﹣∞，0]的反函数f﹣1（x）＝．9．（3分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．10．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝．11．（3分）已知函数f（x）＝x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为．12．（3分）已知函数g（x）＝，若方程g（x）﹣mx﹣m＝0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是．13．（3分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为10，定长为m（m ＜6）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），线段MN的中点P的轨迹的面积为2π，则m的值等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y＝（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．二.选择题15．（3分）设，为向量，则|•|＝||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（3分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称17．（3分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．2B．C．3D．218．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y＝EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．三.解答题19．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|（x﹣a）（x+2）＜0}，C＝{x|≥2}；（1）若A∪B＝B，求a的取值范围；（2）若A∪B＝B∩C，求a的取值范围．20．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G；（1）求直线D1E与平面D1DBB1所成角的大小；（2）求点D1到平面B1EF的距离d．21．已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2＝6ab cos C，且sin2C＝2sin A sin B；（1）求角C的值；（2）设函数f（x）＝sin（ωx+C）+cosωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．22．正项数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）＝0；（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n ＜．23．已知动点Q到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离和为4，设点Q的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）若曲线E被直线y＝x+m所截得的弦长|MN|＝，求m的值；（3）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在曲线E上，且点A在第一象限，点P在第二象限，点B是点A关于原点的对称点，求证：当x12+x22＝4时，△P AB的面积为定值．24．已知f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）证明：对任意实数b，函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+b最多只有一个交点；（3）设g（x）＝log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2016-2017学年上海市徐汇区西南位育中学高三（上）9月摸底数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，由B中y＝ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，解得：x＜2，即B＝（﹣∞，2），则A∩B＝[﹣1，2），故答案为：[﹣1，2）2．【解答】解：∵∥，∴﹣b﹣2×2＝0，解得b＝﹣4．∴＝（﹣3，6）．∴|﹣|＝＝3．故答案为：3．3．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5＝2（a4+2），∴2q+2q4＝2（2q3+2），解得q＝2．∵S5＝＝62．故答案为：62．4．【解答】解：（﹣）10的展开式中通项公式：T r+1＝＝（﹣1）r．（r＝0，1，2，…，10）．由题意可得：r为偶数，且为整数，因此r＝2，8．有理项且系数为正数的项有2项．故答案为：2．5．【解答】解：从n个正整数1，2，3，4，5，…，n任意取出两个不同的数，基本事件总数为，和为5包含的基本事件有（1，4），（2，3），共有2个，∵其和为5的概率是，∴＝，解得n＝8．故答案为：8．6．【解答】解：抛物线的焦点为（2，0），由题意可得双曲线的c＝2，即有4+b2＝c2＝8，解得b＝±2，即有双曲线的方程为x2﹣y2＝4，可得渐近线方程为y＝±x．故答案为：y＝±x．7．【解答】解：∵复数z＝（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数，∴，则cos，sin，即tan．∴tan（θ﹣）＝．故答案为：﹣7．8．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1（x≤0），∴x＝2﹣，且y≥5，∴函数f（x）＝（x﹣2）2+1，x∈（﹣∞，0]的反函数为，x∈[5，+∞）．故答案为，x∈[5，+∞）．9．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x＝0.2，∴中间一组的频数＝160×0.2＝32．故填：32．10．【解答】解：如图，∵，∴＝，又D为AC中点，∴，则＝＝＝．故答案为：﹣2．11．【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）＝3x2+1＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）＝f（﹣x），由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，所以，解得﹣2＜x＜，即x的取值范围是（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．12．【解答】解：由g（x）﹣mx﹣m＝0得g（x）＝m（x+1），原方程有两个相异的实根等价于两函数y＝g（x）与y＝m（x+1）的图象有两个不同的交点．当m＞0时，易知临界位置为y＝m（x+1）过点（0，2）和（1，0），分别求出这两个位置的斜率k1＝2和k2＝0，由图可知此时m∈[0，2）；当m＜0时，设过点（﹣1，0）函数g（x）＝﹣3，x∈（﹣1，0]的图象作切线的切点为（x0，y0），则由函数的导数为g′（x）＝﹣得：，解得：得切线的斜率为k1＝﹣，而过点（﹣1，0），（0，﹣2）的斜率为k1＝﹣2，故可知m∈（﹣，﹣2]，则m∈（﹣，﹣2]∪[0，2）．故答案为：．13．【解答】解：如图所示∵三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直，∴MA⊥AN．∴∠MAN＝90°，点P是线段MN的中点，可得AP＝m，且点P的运动轨迹为圆弧，是以点A为圆心，m为半径的圆的，∴×＝2π，解得m＝4．故答案为：4．14．【解答】解：设点P，则|P A|＝＝＝，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2＝，解得a＝﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g（a）＝a2﹣2，∴a2﹣2＝，解得a＝．综上可知：a＝﹣1或．故答案为﹣1或．二.选择题15．【解答】解：∵•＝，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ＝±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．16．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx＝sin（2x++φ）的图象，∴+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（2x﹣）．由于当x＝时，函数f（x）＝0，故A不满足条件，而C满足条件；令x＝，求得函数f（x）＝sin＝，故B、D不满足条件，故选：C．17．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD＝AB＝2、BC＝1，P A⊥底面ABCD，且P A＝2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC＝＝＝3，故选：C．18．【解答】解：当x＝0时，y＝EB+BC+CD＝BC＝；当x＝π时，此时y＝AB+BC+CA＝3×＝2；当x＝时，∠FOG＝，三角形OFG为正三角形，此时AM＝OH＝，在正△AED中，AE＝ED＝DA＝1，∴y＝EB+BC+CD＝AB+BC+CA﹣（AE+AD）＝3×﹣2×1＝2﹣2．如图．又当x＝时，图中y0＝+（2﹣）＝＞2﹣2．故当x＝时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选：D．三.解答题19．【解答】解：（1）由||x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，即A＝（﹣1，3），由≥2，即﹣2≥0，即≤0，解得﹣3＜x≤5，即B＝（﹣3，5]，∵A∪B＝B，∴A⊆B，∵B＝{x|（x﹣a）（x+2）＜0}，∴a≥3，故a的取值范围为[3，+∞），（2）A∪B＝B∩C，∴A⊆B，且C⊆B，∴3≤a≤5，故a的取值范围[3，5]20．【解答】解：（1）设EF与DB交于点G，连接D1G，连结AC，由已知，EF∥AC，AC ⊥BD．∴EF⊥BD．又BB1⊥EF，且BD∩B1B＝B．∴EF⊥平面BDD1B1，易得EG⊥面平面D1DBB1，所以∠ED1G就是所求的角，EF＝AC＝1，D1G＝，∴直线D1E与平面D1DBB1所成角的大小为arctan．（2）连接B1G，作D1H⊥B1G，H为垂足．由于平面B1EF⊥平面BDD1B1，B1G为交线，∴D1H⊥平面B1EF．D1H的长是点D1到平面B1EF的距离．在Rt△D1B1H中，D1H＝D1B1•sin a∠D1B1H．∵D1B1＝A1B1＝4，sin∠D1B1H＝sin a∠B1GB＝∴D1H＝∴点D1到平面B1EF的距离为21．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵sin2C＝2sin A sin B，∴c2＝2ab．∴cos C＝＝＝3cos C﹣，解得cos C＝．∴C＝；…（6分）（2）∵f（x）＝sin（ωx+）+cosωx＝sin（ωx+），由已知＝π，ω＝2，∴则f（x）＝sin（2x+），…（9分）∵C＝，B＝﹣A，由于0＜A＜，0＜B＜，∴＜A＜．∴π＜2A+＜，∴﹣＜f（A）＜0．∴f（A）的取值范围为：．…（12分）22．【解答】解：（1）解：由S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）＝0，整理得：[S n﹣（n2+n）]（S n+1）＝0，由a n＞0，∴S n＞0，则S n＝n2+n，∴当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1）＝n2﹣n，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+n）﹣（n2﹣n）＝2n，当n＝1时，成立，综上，数列{a n}的通项：a n＝2n，数列{a n}的通项公式a n＝2n；（2）证明：b n＝＝＝（﹣），数列{b n}的前n项和为T n，T n＝b1+b2+b3+…+b n，＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣），＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣），＝﹣（﹣），∴．23．【解答】解：（1）动点Q到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离和为4，满足椭圆的定义，且a＝2，c＝1，∴b＝，∴曲线E的方程；（2）将直线y＝x+m代入椭圆方程3x2+4y2＝12，可得7x2+8mx+4m2﹣12＝0，△＝64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得﹣＜m＜，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，即有|MN|＝＝，解得m＝±2，满足△＞0；（3）证明：直线AB的方程为y＝x，即为y1x﹣x1y＝0，可得P（x2，y2）到直线AB的距离为d＝，|AB|＝2，则S△P AB＝d•|AB|═|x1y2﹣x2y1|，由x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0，y12＝（4﹣x12），y22＝（4﹣x22），可得y1＝•，y2＝•，则|x1y2﹣x2y1|＝|x1|y2+|x2|y1＝（|x1|+|x2|）由x12+x22＝4，可得x12＝4﹣x22，x22＝4﹣x12，即有|x1y2﹣x2y1|＝（x12+x22）＝2．故当x12+x22＝4时，三角形△P AB的面积为定值；24．【解答】解：（1）∵f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．∴f（﹣x）＝f（x）即log4（4﹣x+1）﹣kx＝log4（4x+1）+kx即log4（4x+1）﹣（k+1）x＝log4（4x+1）+kx即2k+1＝0∴k＝﹣证明：（2）由（1）得f（x）＝log4（4x+1）﹣x令y＝log4（4x+1）﹣x由于y＝log4（4x+1）﹣x为减函数，且恒为正故当b＞0时，y＝log4（4x+1）﹣x﹣b有唯一的零点，此时函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+b有一个交点，当b≤0时，y＝log4（4x+1）﹣x﹣b没有零点，此时函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+b 没有交点故对任意实数b，函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+b最多只有一个交点；（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点即方程log4（4x+1）﹣有且只有一个实根化简得：方程2x+a有且只有一个实根令t＝2x＞0，则方程（a﹣1）t2﹣at﹣1＝0有且只有一个正根①a＝1⇒t＝﹣，不合题意；②△＝0⇒a＝或﹣3若a＝，不合题意；若a＝﹣3⇒t＝③若一个正根和一个负根，则＜0，即a＞1时，满足题意．所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a＝﹣3}。
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西南位育中学高三摸底测试数学试卷
2016.09
一. 填空题
1. 已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则A B =
2. 设平面向量(1,2)m =- ，(2,)n b =
，若m ∥n ，则||m n -=
3. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且2a ，42a +，5a 成等差数列，记n S 是 数列{}n a 的前n 项和，则5S =
4. 10
331()x x
-
的展开式中有理项且系数为正数的项有 项 5. 从n 个正整数1，2，3，4，5，⋅⋅⋅，n 任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114
， 则n =
6. 双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线282y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线的方 程是
7. 若复数43(cos )(sin )55
z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan()4
π
θ-的值为
8. 函数2
()(2)1f x x =-+，(,0]x ∈-∞的反函数1
()f
x -=
9. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他
10个小长方形的面积之和的
1
4
，且样本容量为160，则中间一组的频数为 10. 在Rt △ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点D 为AC 中点，点E 满足13
BE BC =
，
则AE BD ⋅=
11. 已知函数3
()f x x x =+，对任意的[2,2]m ∈-，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的
取值范围为
12. 已知函数21
310()13201
x g x x x x x ⎧--<≤⎪
=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不
等的实根，则实数m 的取值范围是
13. 已知三棱锥A BCD -中，AB 、AC 、AD 两两垂直且长度均为10，定长为m （6m <） 的线段MN 的一个端点M 在棱AB 上运动，另一个端点N 在△ACD 内运动（含边界）， 线段MN 的中点P 的轨迹的面积为2π，则m 的值等于
14. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1
y x
=
（0x >）图像上一动点， 若点P 、A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为
二. 选择题
15. 设向量a 、b ，则“||||||a b a b ⋅=⋅
”是“a ∥b ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 16. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2
π
ϕ<）的最小正周期为π，且其图像向左
平移
3
π
个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像（ ）
A. 关于直线12x π=对称
B. 关于直线512x π
=对称
C. 关于点(,0)12π对称
D. 关于点5(
,0)12
π
对称 17. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长 为（ ） A. 2 B.
5 C. 3 D. 22
18. 如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l 、2l 之间，l ∥1l ，l 与半 圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交
于点E 、D ，设弧FG 的长为x （0x π<<），
y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，
则函数()y f x =的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
19. 已知集合{||1|2}A x x =-<，{|()(2)0}B x x a x =-+<，11
{|2}3
x C x x +=≥+； （1）若A B B = ，求a 的取值范围； （2）若A B B C = ，求a 的取值范围；
20. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面边长为22，侧棱长为4，
E 、
F 分别 为棱AB 、BC 的中点，EF BD
G = ；
（1）求直线1D E 与平面11D DBB 所成角的大小； （2）求点1D 到平面1B EF 的距离d ；
21. 已知锐角△ABC 中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，
满足2
2
6cos a b ab C +=，且2
sin 23sin sin C A B =；
（1）求角C 的值；
（2）设函数()sin()cos f x x C x ωω=++（0ω>），且()f x 图像上相邻两最高点间的距 离为π，求()f A 的取值范围；
22. 正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2
22(1)()0n n S n n S n n -+--+=；
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(2)n n
b n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*
n N ∈，都有38n T <；
23. 已知动点Q 到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离和为4，设点Q 的轨迹为曲线E ； （1）求曲线E 的方程；
（2）若曲线E 被直线y x m =+所截得的弦长122
||7
MN =
，求m 的值； （3）若点11(,)A x y 与点22(,)P x y 在曲线E 上，且点A 在第一象限，点P 在第二象限，点B
是点A 关于原点的对称点，求证：当22
124x x +=时，△PAB 的面积为定值；
24. 已知4()log (41)x f x kx =++（k R ∈）是偶函数； （1）求k 的值；
（2）证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图像与直线0.5y x b =+最多一个交点； （3）设44
()log (2)3
x
g x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实 数a 的取值范围；
参考答案
一. 填空题
1. [1,2)-
2. 35
3. 62
4. 2
5. 8
6. y x =±
7. 7-
8. 1()21f x x -=--，[5,)x ∈+∞
9. 32 10. 2- 11. 2
23
x -<< 12. [0,2) 13. 4 14. 1-或10
二. 选择题
15. C 16. C 17. C 18. D
三. 解答题
19.（1）[3,)+∞；（2）[3,5]； 20.（1）1arctan 5；（2）161717
； 21.（1）
6
π；（2）3
(,0)2-；
22.（1）2n a n =；（2）1111
()2(2)42
n b n n n n =
=-++，31113(
)84128n T n n =-+<++； 23.（1）22
143
x y +=；（2）2m =±；（3）23S =； 24.（1）1
2
k =-；（2）略；（3）3a =-或1a >。