初二数学同步辅导教材(第3讲)

初二数学同步辅导教材（第3讲）【教学进度】§8.2 §8.3【教学内容】1．运用公式法2．分组分解法【重点、难点剖析】一、运用公式法1．常用的公式如下：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)±)2完全平方公式a2±2ab+b2=(a b2．运用公式分解因式（1）要注意公式的特点平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 特点是：公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反，每一项都可以化成某个数或某式的平方的形式，左边分解的结果：这两个数或两个式子的和与它们的差的积，相当于分解成两个一次二项式的积。

运用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式已在上讲中我们已讲了例题，做了练习。

（2）平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2特点是：左边相当于一个二次三项式，首末两项是两个数或某个式子的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号正负均可，公式右边是某两个数或某两个式子的和或差的平方，完全平方公式分解之后，括号右上方的指数“2”，不要忘记，要特另注意。

（3）运用公式法分解因式，对一些计算可以起到简化的作用，例如：4282-3282=(428+328)(428-328)=756×100=75600(4) 无法考虑使用哪一个公式，在此之前应先考虑是否可提取公式，因为它能使剩下的多项式因式简化，另外要检查分解后的多项式因式能否再分解。

二、分组分解法1．对于一个含有四项或更多项的多项式进行分解因式，一般采用分组分解法来进行。

2．分组原则（1）分组后能提公因式；（2）分组后能运用公式；例如：分解因式x2-xz+xy-yz，把前两项作为一组，后两项作为一组，当组内公因式提出后，同时组间产生了新的公因式，从而达到分解因式的目的，x2-xz+xy-yz=x(x-z)+y(x-z)=(x-z)(x+y)分组分解法分组并不是唯一的，对于x2-xz+xy-yz，可以把第一、三两项作为一组，也可以把第二、四两项作为一组，同样可以达到因式分解目的：x2-xz+xy-yz=(x2+xy)+(-xz-yz)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z)例1．分解因式：（1）m 4-1 (2) a 2-a+41 (3) (x 2+4x)2+8(x 2+4x)+16 (4) x 6-y 6 分析：对（1）、（2）、（3）明显可直接运用平方差公式或完全平方公式；对（4）可将x 6, y 6分别写为(x 3)2和(y 3)2 解（1）m 4-1=(m 2-1)(m 2+1)=(m+1)(m-1)(m 2+1)(2) a 2-a+41=a 2-2.a.21+(22)21()21-=a (3) 1+6(x+y)+9(x+y)2=12+2×3(x+y)×1+[3(x+y)]2=(1+3x+3y)2(4) x 6-y 6=(x 3)2-(y 3)2=(x 3+y 3)(x 3-y 3)=(x+y)(x 2-xy+y 2)(x-y)(x 2+xy+y 2)点评：1．分解因式一定要彻底，即进行到每个多项式都不能再分解为止。

如(4)如果分解因式m 4-1=(m 2-1)(m 2+1)就叫做分解因式不彻底。

2．立方和(差)公式：a 3))((223b ab a b a b +±=± ,在分解因式的时候也经常用到，熟悉并掌握是有好处的。

如(4)中就用到这个公式，以使分解因式达到彻底。

例2．分解因式（1）x n+1-6x n +9x n-1 (2) x 6(x+y-z)+y 6(z-x-y)分析：提取公因式后再运用公式解（1）原式=x n-1(x 2-6x+9)=x n-1(x-3)2（2）原式=(x+y-z)(x 6-y 6)=(x+y-z)[(x 3)2-(y 3)2]=(x+y-z)(x 3+y 3)(x 3-y 3)=(x+y-z)(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2)例3．分解因式（1）x 3(x-2y)+y 3(2x-y) (2) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24分析：本题二个小题从原形式来既不能提取公因式入手来分解因式，又不能直接应用公式进行因式分解，为此先展开变形后运用公式。

解（1）原式=x 4-2yx 3-2xy 3-y 4=(x 4-y 4)-(2x 3y-2xy 3)=(x 2+y 2)(x 2-y 2)-2xy(x 2-y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2-2xy)=(x+y)(x-y)(x-y)2=(x+y)(x-y)3(2) 原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)-24设x2+5x+5=y则原式=(y-1)(y+1)-24=y2-25=(y+5)(y-5)=(x2+5x+10)(x2+5x)=x(x+5)(x2+5x+10)(2)展开时考虑到两个二次三项式中二次项与一次项分别相等，这里引入辅助字母y=x2+5x+5，而x2+5x+5是x2+5x+4与x2+5x+6的平均值，所以这种换元称为均值换元。

例4．把mx+nx+my+ny因式分解分析：多项式共有四项，可按公因式分成两组mx与nx , my与ny各一组。

解：原式=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)点评：分组分解法的关键是适当、合理地分组，本题按公因式分组是一种常用的分组方法。

例5．把16x2-9y2-32x+16因式分解分析：先把一、三、四项分在一组，利用完全平方公式分解，再与第二项运用平方差公式分解。

解：原式=(16x2-32x+16)-9y2=(4x-4)2-(3y)2=(4x-4+3y)(4x-4-3y)按能否使用公式分组是分组分解法中也是一种常用的方法例6．分解因式a2-6ab+9b2-4a+12b分析：将所有二次项作为一组，将所有一次项作为一组，第一组是一个完全平方，第二组有公因式解：原式=(a2-6ab+9b2)-(4a-12b)=(a-3b)2-4(a-3b)=(a-3b)(a-3b-4)例7．分解因式（1）20y3+6ax2-8axy-15xy2(2) a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)(1) 式中y为3次，x为2次，a为一次，可依最低的a为主元重新排列。

(2) 式中a、b、c的字母次数相同，可选一个字母为主来排列。

解（1）原式=6ax2-8axy+20y3-15xy2=2ax(3x-4y)-5y2(4y-3x)=(3x-4y)(2ax+5y2)（2）原式=(b-c)a3-(b3-c3)a+(b3c-bc3)=(b-c)a3-(b-c)(b2+bc+c2)a+bc(b2-c2)=(b-c)[a 3-(b 2+bc+c 2)a+bc(b+c)]=(b-c)[(c-a)b 2+(c-a)bc-a(c 2-a 2)]=(b-c)(c-a)[b 2+bc-a(c+a)]=(b-c)(c-a)(b 2+bc-ac-a 2)=(b-c)(c-a)[(b 2-a 2)+c(b-a)]=(b-c)(c-a)(b-a)(b+a+c)例8．分解因式(1) x 4+4 (2) x 3-9x+8分析：(1)只有两项，这两项是平方和(x 2)2+22的形式，而公式中没有平方两项和的公式，只有平方差公式、完全平方公式、立方和(差)公式，要使用公式必须添一中项222x ,随即将此项减去即可。

（2）本题是三次三项式，显然不能直接进行因式分解，可将8折成-1+9，即可运用公式了。

解（1）原式=x 4+4x 2+4-4x 2=(x 4+4x 2+4)-4x 2=(x 2+2)2-(2x)2=(x 2+2x+2)(x 2-2x+2)(2)原式=(x 3-1)+(-9x+9)=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x+1-9)=(x-1)(x 2+x-8)点评：本例是先添(拆)项，后分组【巩固练习】一、选择题1．将x 2(x-y)2-y 2(y-x)2因式分解的结果是（ ）(A) (x-y)2(x 2+y 2) (B) (x-y)2(x 2-y 2) (C) (x-y)2(x-y)(x+y) (D) (x-y)3(x+y)2．下列多项式中能运用公式法因式分解的是（ ）(A) –a 3-b 3 (B) a 2-ab+b 2 (C) a 2+b 2 (D) –a-b3．用分组分解法把多项式ab-c+b-ac 分解因式，分组的方法有（ ）(A) 4种 （B ）3种 （C ）2种 （D ）1种4．用分组分解法分解多项式a 2-b 2-c 2+2bc 时，分组正确的是( )(A) (a 2-c 2)+(2bc-b 2) (B) (a 2-b 2-c 2)+2bc (C) (a 2-b 2)-(c 2-2bc) (D) a 2+(2bc-b 2-c 2）5．已知多项式2x 3-x 2-13x+m 有一个因式是2x+1，则m 的值是( )（A ）0 （B ）6 （C ）-1 （D ）-66．下列多项式按下面的分组不能分解的是（ ）（A ）(2ax-10ay)+(5by-bx) (B) (5by-10ay)+(2ax-bx)(C) (x 2-y 2)+(ax+ay) (D) (x 2+ax)-(y 2-ay)二、填空题7．利用公式填空（1）++mn m 2412( )2=( )2 (2) 多项式x 4-y 4, x 4+2x 2y 2+y 4, x 3y+xy 3, x 6+y 6的公因式是————（3）9x 2+( )+16y 2=( )2(4) 将-m 4+m 2n 2因式分解的结果是___________(5) 分解因式8x 3-12x 2y+6xy 2-y 3适当分组的方法是_________8．在下列多项式a 2-4b 2-a+2b, a 2b 2-4ab+4-c 2, 4a 2-9b 2+24bc-16c 2, a 2-4b 2+4b-1, 16a 2-16b 2+8a+1中用分组分解法时，能够分成三项一组和一项一组的多项式有_____个。

三、解答题9．把x 3y-xy 3分解因式10．把16(x+y)2-24(x+y)+9分解因式11．把(x 2+y 2)2-4x 2y 2分解因式12．x 6n+2+2x 3n+2+x 213．9(a+1)2(a-1)2-6(a 2-1)(b 2-1)+(b+1)2(b-1)214．3241a - 15．把16x 2-8x-y 2+2y 分解因式16．把x 3+2x 2-4x-8因式分解17．把下列各式分解因式（1）x 2-y 2-z 2-2yz (2) a 3+a 2+b 3+b 2+2ab (3) 16-x 2n -100y 2+20x n y(4) ab(c 2-d 2)-cd(a 2-b 2) (5) x 3-x 2-x-y 3+y 2+y (6) 4x 4+118．使多项式2x 3-x 2-2x+1的值等于0的x 值为_______19．已知x+y=1,求x 3+3xy+y 3的值【参考答案】一、1．D ；2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．D ；6．D二、7．（1）2n 、n m 221+ （2）(x 2+y 2)2 (3) (3x+4y)2 (4) –m 2(m+n)(m-n) (5) (8x 3-y 3)-(12x 2y-6xy 2)8．3三、解答题9．xy(x+y)(x-y) 10．(4x+4y-3)2 11．(x-y)2(x+y)2 12．x 2(x n +1)2(x 2n -x n +1)213．(3a 2-b 2-2)2 14．)421)(21(412a a a ++- 15．(4x-y)(4x+y-2) 16．(x+2)2(x-2) 17．(1) (x+y+z)(x-y-z); (2) (a+b)(a 2-ab+b 2+a+b) (3) (4+x n -10y)(4-x n +10y)(4) (ac+bd)(bc-ad) (5) (x-y)(x 2+xy+y 2-x-y-1) (6) (2x 2+2x+1)(2x 2-2x+1)18．,21 1, -1 提示：将2x 3-x 2-2x+1因式分解 19． 1 提示：将x 3+3xy+y 2因式分解，再将已知条件中代入。