闭区间
连续函数在闭区间上的有界定理
连续函数在闭区间上的有界定理连续函数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于科学和工程领域，因此有很重要的研究价值。
其中，闭区间上的有界定理是连续函数的一个重要性质，我们将在本文中对其进行详细介绍。
首先，我们需要了解连续函数的概念。
在数学中，连续函数是指函数在其定义域内每个点都存在极限，并且函数值与极限相等。
具体来说，设函数f(x)的定义域为D，若对于任意x∈D，均有：lim (x→x0) f(x) = f(x0)则f(x)在x0处连续。
如果f(x)在D内的每个点都连续，则称f(x)在D内是连续的。
然后，我们来看闭区间上的有界定理。
闭区间[a,b]是指包含a 和b的实数集合，一般写作[a,b]。
有界意味着存在常数M，使得对于[a,b]内任意的x，有|f(x)|≤M，即f(x)的值被一个常数M所限制。
有界性可以让我们更方便地研究函数的性质，这是数学分析中非常重要的一个概念。
闭区间上的有界定理表明，任何连续函数f(x)在闭区间[a,b]上都有界。
也就是说，存在一个常数M，使得对于[a,b]内任意的x，有|f(x)|≤M。
这个定理的证明比较复杂，需要用到反证法和极值定理等数学工具，这里不再赘述。
闭区间上的有界定理是连续函数的一个重要性质，它与另一个定理——连续函数在闭区间上的最大值和最小值定理——密切相关。
这个定理表明，任何连续函数f(x)在闭区间[a,b]上都有最大值和最小值，即存在x1和x2，使得f(x1)是f(x)在[a,b]上的最大值，f(x2)是f(x)在[a,b]上的最小值。
闭区间上的有界定理和最大最小值定理可以让我们更好地理解和应用连续函数。
例如，在实际问题中，如果我们需要求出一个连续函数的最大值或最小值，就可以利用这两个定理来简化计算过程。
总之，连续函数在闭区间上的有界定理是数学分析中非常重要的一个定理，它揭示了连续函数的一些基本性质，为我们研究函数提供了重要的工具和思路。
希望读者通过本文的介绍，能够更好地掌握和应用这个定理。
积分中值定理开区间和闭区间
积分中值定理开区间和闭区间积分中值定理开区间和闭区间积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。
而对于开区间和闭区间，积分中值定理也有着不同的表现和应用。
在本文中，我们将深入探讨积分中值定理在开区间和闭区间上的应用，以及对这一概念的个人理解和观点。
一、积分中值定理的概念积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。
它可以形式化地表述为：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在这个区间上一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在区间[a, b]上的平均值。
积分中值定理指出了在连续函数的情况下，必然存在一个点，使得该点的函数值等于函数在整个区间上的平均值。
二、积分中值定理在开区间上的应用对于开区间(a, b)，积分中值定理也是成立的。
在开区间上，积分中值定理告诉我们，对于连续函数f(x)，一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在开区间(a, b)上的平均值。
这个结论在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学和工程学中，我们常常需要求解一些变化率或平均速度等问题，而积分中值定理为我们提供了一个有力的工具。
三、积分中值定理在闭区间上的应用在闭区间[a, b]上，积分中值定理同样适用。
对于连续函数f(x)，在闭区间上一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均值。
这个结论在数学分析和实际问题中都具有重要的应用价值，比如在统计学和经济学中，我们常常需要计算一些总量或平均数值，而积分中值定理为我们提供了一个非常方便的工具。
四、个人观点和理解从我的个人观点来看，积分中值定理是微积分中一个非常有用的定理，它不仅能够帮助我们理解函数在某个区间上的平均值，还能够提供我们一个快速求解的方法。
在实际应用中，积分中值定理为我们提供了一个非常方便和强大的工具，它不仅可以用来分析函数的性质，还可以用来解决一些实际问题。
闭区间[0,1]不可数的八种证明
![闭区间[0,1]不可数的八种证明](https://img.taocdn.com/s3/m/29d605246d85ec3a87c24028915f804d2a168740.png)
方法 1. 不等式证明：由于0和1之间没有可以数出来的整数，所以它不是一
个可计数集合，也就是说[0,1]是一个不可计数集合。
2. 函数证明：如果[0,1]是可计数的，则存在一个可以将[0,1]中的元素一一映射到有限的正整数上的函数f，但根据反证法，我们可以知道这样的函数不存在。
3. 抽象数学证明：抽象数
学理论表明，[0,1]是一个不可计数的集合，因为它不能满足象征性抽象数学中
的“可数”要求。
4. 集合论证明：[0,1]是一个有限的闭区间，而有限的集合是不
可计数的，所以[0,1]也是不可计数的。
5. 组合数学证明：[0,1]可以看作是一个
n元组(x1,x2,...,xn)，其中x1=0,x2=1，因此[0,1]是一个不可计数的集合。
6.
连续性证明：[0,1]是一个连续的区间，而连续的集合是不可计数的，所以[0,1]
也是不可计数的。
7. 序数证明：[0,1]是一个序数为1的区间，而序数为1的
集合是不可计数的，所以[0,1]也是不可计数的。
8. 无穷小证明：当x从0到1时，x会变得越来越小，但永远不会到达0，因此[0,1]是不可计数的。
积分中值定理开区间和闭区间
积分中值定理开区间和闭区间1. 介绍对于初学者而言，积分中值定理可能是比较具有挑战性的数学概念之一。
积分中值定理是微积分的一个重要定理，它提供了一个关于函数在某个区间内的平均值和在该区间上某一点的函数值之间的关系。
在本文中，我们将讨论积分中值定理在开区间和闭区间上的应用和性质。
2. 积分中值定理的概念让我们回顾一下积分中值定理的定义。
对于一个连续函数f(x)在闭区间[a,b]上，我们可以将其积分表示为：b(x)dx∫fa根据积分中值定理，存在一个c∈(a,b)，使得：b(x)dx=f(c)(b−a)∫fa其中，f(c)是函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均值。
当我们应用积分中值定理于开区间(a,b)时，我们需要对定理进行一些调整。
在这种情况下，我们将积分中值定理表示为：b(x)dx=f(c)(b−a)∫fa其中，c∈(a,b)是函数f(x)在开区间(a,b)上的某一点。
3. 开区间上的积分中值定理应用现在，让我们来探讨积分中值定理在开区间上的一些应用和性质。
A. 区间平均值积分中值定理告诉我们，一个连续函数在某个区间内的平均值可以表示为该函数在该区间上的某一点的函数值。
这个特性在实际问题中有很好的应用。
假设我们有一个速度函数v(t)，描述了某一段时间内物体的速度变化。
我们想要计算物体在该时间段内的平均速度。
根据积分中值定理，在时间段(t1,t2)内的平均速度可以表示为：1 t2−t1∫vt2t1(t)dt=v(c)其中，c∈(t1,t2)是某一点的时间。
这样，我们不需要知道速度函数在整个时间段内的变化情况，只需要找到一个时间点c，就可以得到平均速度。
B. 函数值和区间平均值的关系在开区间上的积分中值定理中，我们注意到函数值f(c)和区间平均值的乘积等于积分的结果。
这个关系是非常有意思的，因为它展示了函数在某点的取值与整个区间上的平均值之间的关系。
假设我们有一个连续函数f(x)在开区间(a,b)上的非负函数值。
高数1-7闭区间
定理1 在闭区间上连续的函数 在该区间上有界，并且在该区 间上，它取得最大值与最小值.
定理1中的“闭 区间”,“连续” 两个条件能不 能缺少?
y
y f ( x)
y
f ( x1 )
f (a )
O
x 1, 0 x 1 y 1, x 1 x 3, 1 x 2
第一章
函数与极限
第九节闭区间上连续函数的性质
１．最大值、最小值定理与有界性 定理1 在闭区间上连续的函数 在该区间上有界，并且在该区 间上，它取得最大值与最小值.
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x2
x1
b
x
从这个图形可以看到, 在闭区间上连续的函 数是有界的, 而且能够取到最大和 最小值，这就是定理1.
b
x
一个是取得介于两端点处 函数值之间的任意值,另一 个是取得介于最大值和最 小值之间的任意值.
y
f (a )
y f ( x)
b
O
a
x
f (b)
推论2(零点定理) 设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续， 在区 间两端点上的函数值分别f(a)为和f(b)，且f(a)·f(b)<0. 那么，在区间(a,b)内至少存在一点ξ ，使得f(ξ)=0
B
C
B
y f ( x)
C O
A
A
O
a
b
x
a
b
x
不仅如此，如果把区间两端点改为最大最小值点，有 推论1 闭区间上的连续函数必取得介于
y
其最大值与最小值之间的任意一个值．
闭区间连续函数必然存在最大值最小值证明
闭区间连续函数必然存在最大值最小值证明首先，我们先给出一个重要的定理：在闭区间[a,b]上的连续函数必然达到最大值和最小值。
证明如下：首先，我们可以证明连续函数在闭区间上必然有界。
假设函数f(x)在[a, b]上连续且无界，即对于任意的M > 0，都存在x0 ∈ [a, b]，使得，f(x0)， > M。
根据无界性的定义，对于M=1、2、3、..n，分别可以找到x1、x2、x3、..、xn ∈ [a, b]，使得，f(x1)， > 1，f(x2)， > 2，f(x3)， > 3、..，f(xn)， > n。
由于[a, b]是有限区间，那么x1、x2、x3、..、xn必然有收敛的子列xn(k)。
假设xn(k)收敛于x0，由于f(x)在x0处连续，那么根据极限的性质，有lim(k→∞)f(xn(k)) = f(x0)。
而根据xn(k)的定义，有，f(xn(k))， > n(k)。
将n(k)取为k，则有，f(xn(k))， > k，这与lim(k→∞)f(xn(k)) = f(x0)矛盾。
因此，假设不成立，即函数f(x)在[a, b]上必然有界。
接下来，我们使用抽象的方法来证明：设f(x)在[a,b]上连续且有界，即存在M>0，使得，f(x)，≤M，∀x∈[a,b]。
我们考虑闭区间[a,b]上的所有取值点，记为A={f(x)，x∈[a,b]}。
由于f(x)有界，所以A也是有界集。
根据实数系中的确界原理，A必然有上确界和下确界。
设上确界为M1，下确界为M2，则有M2≤f(x)≤M1，∀x∈[a,b]。
接下来，我们分两种情况来说明：1.如果M1∈A，那么f(x)在闭区间[a,b]上达到最大值。
因为对于任意的ε>0，存在x0∈[a,b]，使得，M1-f(x0)，<ε。
由于A是上确界，所以存在f(x1)∈A，使得M1-ε<f(x1)≤M1、由此可知，f(x1)是f(x)在区间[a,b]上的最大值。
闭区间上连续函数性质
，使 f ( x )
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ...... f ( x n )
2.设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a c d b ,试证明： 对 任 意 正 数 p和 q ； 至 少 有 一 点 [ c , d ] , 使
pf ( c ) qf ( d ) ( p q ) f ( ) .
f ( 1 ) min f f ( x ).
o
a
1
2 b
x
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
f (x) max{ m , M },
二、介值定理
定理 3(零点定理)设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，
且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a ) f ( b ) 0 ),
f ( b ) b . 证明 ( a , b ),
证
令 F ( x ) f ( x ) x , 则 F ( x ) 在 [ a , b ]上连续 ,
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b ) f (b ) b 0
由零点定理,
( a , b ),
a xb
max
f (x) M ,
a xb
min
f (x) m,
那末，对于 m 与 M 之间的任意一个数 C ，
在 a, b 内至少存在一点 ，
使得
f ( ) C ( a b ) .
例2
设函数
f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 且 f ( a ) a , 使得 f ( ) .
闭区间连续函数的性质
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
开闭区间符号
开闭区间符号在我们日常生活和学习中，开闭区间符号是数学中一个非常基础且重要的概念。
它有助于我们表示某个数值范围，以便更好地研究和分析问题。
本文将详细介绍开闭区间符号的定义、常见使用方法，以及在数学和实际应用中的例子。
一、开闭区间符号的定义和意义开闭区间符号是用来表示实数轴上某个区间的集合。
其中，开区间符号表示区间的端点不包含在区间内，即表示为（a，b），其中a和b是实数，且a < b。
闭区间符号表示区间的端点包含在区间内，即表示为[a，b]，其中a和b 是实数，且a ≤ b。
此外，还可以用半开区间符号（a，b）表示区间的一个端点开放，另一个端点闭合；用半闭区间符号[a，b）表示区间的两个端点都闭合，但区间左端点开放。
二、常见开闭区间符号的使用方法在实际应用中，我们通常根据需要选择合适的开闭区间符号。
以下是一些常见的情况：1.表示某个数的范围：例如，某商品的价格在20元至30元之间，可以用开闭区间表示为[20，30]。
2.表示不等式的解集：例如，解不等式x + 2 ≤ 5，可以用闭区间表示为[3，5]。
3.表示函数的定义域或值域：例如，某函数的定义域为实数轴上的开区间（0，∞），可以用开区间表示为（0，∞）。
4.表示概率分布：例如，某事件发生的概率在0至1之间，可以用开闭区间表示为[0，1]。
三、开闭区间符号在数学和实际应用中的例子1.数学分析：在微积分中，开闭区间符号常用于表示函数的定义域和值域，有助于研究函数的性质和求解相关问题。
2.物理：在物理学中，开闭区间符号用于表示物理量的取值范围，如温度、速度等。
3.经济学：在经济学中，开闭区间符号常用于表示商品价格、产量等经济指标的变动范围。
4.工程领域：在工程设计中，开闭区间符号可用于表示设计参数的取值范围，以确保设计的可行性和合理性。
四、总结开闭区间符号在数学和实际应用中具有重要意义。
它帮助我们更好地表示和分析数值范围，为各种领域的研究和应用提供便利。
在闭区间[a,b]上连续的定义
在闭区间[a,b]上连续的定义
我们要解释在闭区间[a,b]上连续的定义。
首先，我们需要了解什么是连续。
在数学中，一个函数f在点x0处连续，意味着当x趋近于x0时，f(x)的值趋近于f(x0)。
更具体地说，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，f(x) - f(x0) < ε。
现在，对于闭区间[a,b]，如果函数f在[a,b]内的每一点都连续，那么我们说f在[a,b]上连续。
换句话说，为了确保f在[a,b]上连续，我们需要确保：
对于任意x∈[a,b]，以及任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ (其中x0可以是a或b)时，f(x) - f(x0) < ε。
这样，我们就解释了在闭区间[a,b]上连续的定义。
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闭区间上连续函数的代数多项式逼近
学术版中国外资【字体：大中小】
闭区间上连续函数的代数多项式逼近
乐山师范学院数学系林天毅黄季胡剑
注：本文为创新基金项目：乐山师范学院科研项目(SXX0823)
[摘要]根据内积空间的向量平行理论，引入了一个以未知多项式的系数为自变量的多元函数，称之为Cauchy函数，从此函数得到的线性方程组的解即为逼近函数的系数。
本文主要给出了逼近闭区间上连续函数的代数多项式逼近的新算法.
关键词：连续函数代数多项式逼近.
2001 MR分类号: 47A62 47A05
中图分类号 O177.1 文献标识码 A
一．引言
函数逼近问题是从绘图学、机械设计等实际需要中提出来的.一些著名数学家,如Euler,Laplace,Fourier等都曾研究过函数的最佳逼近问题.此后，不断有数学家参与研究逼近问题，但最基本最重要的一个定理[1]就是Weierstrass于1885年提出的,因为这条定理保证了闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近.但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好.现在函数逼近论已应用到拓扑学、泛函分析、神经网络等各个领域，见文献[2-6].而本文就将采用在内积空间中逼近的方法来给出一个用代数多项式逼近闭区间上连续函数的具体算法.
二．正文
为了便于叙述逼近算法，我们先给出一些定义和引理.
定义1 设 , , 表示闭区间上的全体连续函数,定义与的内积为 = .
定义2 设任意次数不超过的实系数代数多项式形式为，则称
为关于函数的
Cauchy函数.
定义3 设 , ,若存在一个非零常数 ,使得，则称与平行(线性相关)，记为 .
注：，即是的函数曲线形状和的函数曲线形状相同，经过一个纵轴方向的平移可得到 . 创新基金项目：乐山师范学院科研项目(SXX0823)
作者简介：林天毅：男(1987-),四川隆昌人,研究方向:函数论.
引理4 [7](Cauchy-Ьуняковский不等式) 设，则
，当且仅当与线性相关时等式成立.
引理5 设 , ,则
.
证：必要性若，即存在一个非零常数使得，则
充分性由引理1知,若，则与线性相关，即 .
引理6 在任何闭区间上，对于任何非代数多项式的连续函数都不存在一个有限次数的代数多项式使得 .
证：假设存在一个多项式使得在某个闭区间
上有 .
设在处的Taylor展开式为
由代数多项式相等的充要条件“两个多项式相等当且仅当它们所有同次项的系数都相等”有，但这与已知为非代数多项式相矛盾，故原命题成立.
下面叙述具体的逼近算法.
预先给定 ,且不为代数多项式.设，
可得关于的Cauchy函数：
.
由引理4可知， .
显然，当 ( )时, ,因此原点是函数的一个最小值点(其实也是唯一的极值点)，在原点处的各偏导数均为零.
根据定义3，如果，等价于存在一个非零常数使得，由引理6可知不可能成立，所以不成立.根据引理5，
等价于，从而 .前面已得
.因此除原点外，总有 .由此可知，原点是唯一满足的点.但此时 ( )，得到 .这不是我们期望的 .
由于是一个连续函数，在原点的充分小邻域内，函数值与零相差不大.而函数值是代数多项式与已知函数平行程度大小的度量，其值越接近零，表明两个函数就越平行.因此可在原点的充分小邻域内找出一个点使得在该点处的函数值接近于零，从而以这个点作为系数的多项式与给定的多项式是“比较”平行的.
对函数的各个变量 (i=0,1,…,n)分别求一阶偏导数：
(i=0,1,...,n) (1)
(1)式说明的各一阶偏导数在任一点处都连续，从而在原点充分小邻域内的点的各一阶偏导数都接近零，下面就找出这样的一个点.
令，且有
联立 (i=0,1,…n) 这n+1个线性方程，解这个线性方程组，可得，
, ,…, (其中是线性方程组的解).
将 , ,…, 代入 ,得
.
即是与“较为”平行的向量.
取 , 为函数的展开点.
若，由可解出 .
若在展开点处, ，则在的充分小邻域内任取一点 ,由可解出 .
下面给出一个具体例子.
例:给定 ,用次数不超过二次的实系数代数多项式在[-1,1]上逼近 .
由(1)式可得线性方程组如下：
(2)
(3)
(4)
令(2)=0.01，(3)=0.01，(4)=0.01，联立3个方程求解，解得
从而被确定下来.
取，令，解得
令，则即为所求的逼近多项式.
绘制函数和的图像如下图所示：
已知 2.7182818
计算 2.6500193
两者差值为0.0682625.
以上计算及绘图均在Mathematica下进行.
参考文献：
[1] 徐利治王仁宏周蕴时. 函数逼近的理论与方法[M].上海科学技术出版社.1983.05.
[2] 王月芹.基于BP算法的函数逼近算法设计[J].广西轻工业学院.2008（05）69-70.
[3] 李仁所,刘永平.由Fourier系数确定的函数类的最佳m-项单边逼近渐近估计[J].数学进展.2008（02）211-221.
[4] 陈小平,赵鹤鸣,杨新艳.遗传前馈神经网络在函数逼近中的应用[J].计算机工程.2008（02）24-25+28.
[5] 孙永生.函数逼近论[M].北京师范大学出版社.
[6] 莫国端刘开第.函数逼近论方法[M].北京科学出版社.2003.
[7] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 (第三版)[M].高等教育出版社.2003。