高中数学人教版选修1-2 第二章 推理与证明 反证法

2.2.2反证法
[教材研读]
，思考以下问题
预习课本P42
～43
1．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？
2．“反证法”的关键是得出矛盾，那么矛盾可以是哪些矛盾？
[要点梳理]
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设定义矛盾，或与公理、定理、事实矛盾等．[自我诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．反证法属于间接证明问题的方法．()
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．()
[答案] 1.√ 2.× 3.√
题型一用反证法证明“否定性”命题
思考：根据反证法的定义如何证明一个命题？
提示：反证法证明可考虑以下步骤：①反设；②归谬；③存真．
已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根．
[思路导引] 此题从正面证明无所适从，可考虑用反证法，即设方程f (x )＝0存在负实根．
[证明] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0，
则x 0<0且x 0≠－1且a x 0
＝－x 0－2x 0＋1， 由0<a x 0
<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．
用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
[跟踪训练]
设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[证明]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．
∴n，an＋b均为奇数，
又∵a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
∴f(x)＝0无整数根．
题型二用反证法证明“至多”、“至少”型问题
思考：什么样的命题证明可用反证法？
提示：直接证明情况比较多，不易证明从词语上看含有“至多”“至少”等词语．
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1
－c )a 不能都大于14.
[思路导引] 从量词角度分析，该命题的否定只含一种情况．
[证明] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.
因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a >0,1－b >0,1－c >0.
所以(1－a )＋b 2>(1－a )b >14＝12.
同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得
(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．
所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.
证明时常见的“结论词”与“反设词”
[跟踪训练]
已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
[证明]假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1<x2，则(x1)＝f(x2)＝0.
因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1<x2，
∴f(x1)<f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．
题型三用反证法证明“唯一性”命题
已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一
条直线和平面α垂直．
[思路导引]用反证法，假设存在另一条直线．
[证明]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
①如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC ⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
②如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确
定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A 有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．
证明“唯一性”问题的方法
“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．
[跟踪训练]
用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．
假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．
1.反证法的证题步骤：(1)反设；(2)推理归谬；(3)存真，即假设不成立，原命题成立．
2．用反证法证明问题时要注意以下三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设
矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.
1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除[解析]用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．
[答案] B
2．“a<b”的反面应是()
A．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
[解析]“a<b”的反面即否定，为“a≥b”．
[答案] D
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
[解析]在同一平面a与b平行的否定为a与b相交．
[答案] D
4．否定“等差数列{b n}中任意不同的三项不可能为等比数列”时，正确的反设是：________________________________________.
[答案]假设等差数列{b n}中存在不同的三项成等比数列
5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．
[证明](反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．。